专题7.1 锐角三角函数与几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题7.1 锐角三角函数与几何综合 · 典例分析 【典例1】如图，在四边形中，点P是线段上一点，，． （1）如图1，当时，猜想，，三条线段存在的数量关系并证明． （2）如图2，延长，交于点E，当时，时，求的值． （3）如图2，延长，交于点E，当时，时，用含的代数式表示的值． 【思路点拨】 本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，熟练掌握全等的判定，三角函数的应用是解题的关键． （1）根据证明即可得证． （2）过点A作于点M，过点D作于点N，根据证明，结合特殊角的三角函数计算证明即可． （3）过点A作于点M，过点D作于点N，根据证明，结合三角函数计算证明即可． 【解题过程】 解：（1）如图，三条线段存在的数量关系为，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2），理由如下： 过点A作于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ，， ∵， ∴． （3），理由如下： 如前图，过点A作于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴，，， ∴，， ，， ∵， ∴． · 学霸必刷 1．（2024·江苏无锡·二模）在中，，，点D和点E分别是线段上的动点，且，在运动过程中，可取的最大整数值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题考查了三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键．过点D作于点F，则，利用三角形相似和三角函数，转化为比例式计算即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， 设， 过点D作于点F， 则，， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵， ∴， ∴可取的最大整数值为2． 故选B． 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了三角函数，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，作的角平分线交于，过点作于，由题意可得，，，由得到，再证明，得到，，进而得到，由可得，求得，，再勾股定理可得，，，得到，由求出，再利用勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【解题过程】 解：过点作于，作的角平分线交于，过点作于，则， ∵，，， ∴，，， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，， 当时，， ∴不合，舍去， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，．有下列结论：①；②射线是的角平分线；③；④．其中正确结论的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④ 【思路点拨】 ①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到是否等于； ②根据题目中的条件，可以求得和的正切值，从而可以得到射线是否为的角平分线； ③根据前面的推论，可以得到和的关系，从而可以判断是否成立； ④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到是否成立． 【解题过程】 解：在正方形中，是的中点， ，， ， ， ，故①错误； ，， ，， ， ， ， ， 设，则，， ，，， ， ，即射线是的角平分线，故②正确； ，， ，故③错误； 作于点，如图所示： 平分，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ，故④正确， 综上所述，②④正确，正确的个数为2， 故选：D． 4．（2024·山西长治·二模）如图，已知点C为线段的中点，且，连接，点E是上的一点，且，于点F，分别交，于点G，H，则的长为 ． 【思路点拨】 根据勾股定理，设，则，再次运用勾股定理，得，得到；，根据，结合，后作差计算即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键． 【解题过程】 解：∵点C为线段的中点，且， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得，， ∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 【思路点拨】 如图，过点C作于点M，过点E作于点N，利用特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解答即可． 【解题过程】 解：如图，过点C作于点M，过点E作于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在平行四边形中，，E是边上的点，，，F是边上的一点，且，若M、N分别是线段、上的动点，则的最小值为 ．    【思路点拨】 过点F作的对称点G，过点G作于点Q，则的最小值为，利用三角函数，勾股定理，平行四边形的性质，计算即可，熟练掌握三角函数是解题的关键． 【解题过程】 解：过点F作的对称点G，过点G作于点Q，交于点H，则的最小值为， ∵平行四边形中，， ∴,， ∴， 解得， ∴，， 过点A作于点O， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，是的角平分线，过点D作的垂线交的延长线于点E，过点E作的平行线交的延长线于点F，若，，则线段的长 ． 【思路点拨】 根据，设，则，过点D作于点N,延长交于点M，结合，证明,得到，结合，计算即可，本题考查了三角函数，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角函数，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【解题过程】 解：延长交于点M， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， 则， ∴， 过点D作于点N, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故, 故答案为：． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形顶点坐标分别为，在线段和上各有一个动点，当的值最小时，点的坐标为 ．    【思路点拨】 根据轴对称最短路径，作点关于的对称点，结合点到直线垂线最短可得即为最短，交点即为所求，根据矩形的性质，垂直平分线的性质可得，为等腰三角形，运用锐角三角函数可得，可求出的值，根据即可求解的值，由此即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，作点关于的对称点，过点作的垂线，交于点，根据点到直线垂线最短可得此时的值最小，    ∵四边形是矩形，， ∴， 连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点关于对称， ∴， ∴，则，即是等腰三角形， 根据对称可得，，是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∴在直角中，， ∴， 解得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 9．（2024·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 【思路点拨】 分，，三种情况计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，正确分类，灵活应用相似和三角函数是解题的关键． 【解题过程】 解：∵在中，，，， ∴，， 过点A作于点M， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴，． ①如图1，当时， 则， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴， ∴ ②如图2，当时，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， ∴， ∴，，． 设，则． ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴； ③如图3，当时， 在中，， ∴， ∴． 综上所述，当为直角三角形时，的长为3或6或7． 10．（2024九年级下·浙江·专题练习）在中，分别是的中点，于点，于点，连接. （1）求证：四边形是平行四边形. （2）当，时，求的长. 【思路点拨】 （1）先证，再证和全等得，由此可得出结论； （2）过点作于点，根据相似三角形的性质得，，再证为等腰直角三角形得，则，再由得，进而可得4，然后在中由勾股定理即可求出的长． 【解题过程】 （1）证明：∵于点，于点， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）过点作于点，如下图所示： ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， ∴， ∴． ∴ ， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：． 11．（2024·安徽合肥·二模）如图1在中，，D是的中点，延长至E，连接、， （1）求证：； （2）在图1中，若，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作于点F，H是的中点，过点H作，交于点G，交于点M． ①求证：； ②若，，求的长． 【思路点拨】 （1）根据，D是的中点，得到，继而得到直线是线段的垂直平分线，得到，证明； （2）①连接，根据，H是的中点，得到中位线，结合，利用三角函数证明即可． ②根据，，结合三角形中位线定理，利用三角函数，平行线分线段成比例定理，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形中位线定理，三角函数的应用，是解题的关键． 【解题过程】 （1）∵，D是的中点， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴． （2）①连接， ∵，H是的中点， ∴中位线， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵，， ∴, 设， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴． 12．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、． （1）求证：； （2）过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，求的长． 【思路点拨】 （1）利用等腰三角形三线合一的性质得到，平分，故是的垂直平分线，进而通过垂直平分线的性质即可证得． （2）①根据题目中的提示构造三角形中位线：连接，再通过等角的三角函数值相等得到三角形边的比例关系，进而化比例式为等积式即可得证． ②连接，．先利用等腰三角形的性质及平行线的性质定理等证得，利用在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程进而求得的值，再根据在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程，即可求得的值． 【解题过程】 （1）证明：，平分， 且是的中点， 直线是线段的垂直平分线， ． （2）①证明：连接，如图2． ，是的中点， 中位线， ， ． ，， ，． ， ， ， ． ②解：连接，如图3． ， ， ． ， ． ，H是的中点， ． ， ， ， ， ． 连结． ，H是的中点， ． ． ． ． ． ． ， ． ． 13．（2023·四川资阳·模拟预测）在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点在线段之间，连接，且与互相垂直，求的长； （3）连接，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角函数，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据题意可得，证明，得到，结合，，即可求解； （2）根据与互相垂直和，可推出，进而得到，根据三角函数可得，从而求出，再求出，由（1）得，根据三角函数可求出，进而求出，最后根据线段的和差即可求解； （3）分为两种情况讨论：当时，当时，结合题意，利用三角函数求解即可． 【解题过程】 （1）解： 是和的比例中项， ， ， ， ， ， ，    ， ， ， ； （2） 与互相垂直， ， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ； （3） ，，又， 由（1）得， ，当与以点、、为顶点所组成的三角形相似时 ①，如图2， ，   由（2）得：， ②，如图3，过点作，垂足为点， 由（1）得， ， ， 又， 设，则，，， 又， ， 解得， ， 综上所述，DE的长分别为或． 14．（2024·吉林长春·二模）在矩形纸片中，．点是的中点．    （1）操作一：如图1，将这张纸片进行折叠，使点的对应点落在边上，折痕为，点与点重合，此时发现四边形是正方形，请证明这个结论． （2）操作二：如图2，重新折叠纸片，使点与点重合，折痕为，则____________． （3）操作三：如图3，在操作二的基础上继续折叠纸片，使点与点重合，点落在处，折痕为，连接，则____________． 【思路点拨】 （1）根据四边形为矩形，得到，；根据折叠的性质，得，，得到继而得到，得到，得到菱形，结合，得证四边形是正方形． （2）设，根据．点是的中点．得到，，根据折叠性质，得，根据勾股定理计算即可． （3）过点N作于点P，证明四边形为矩形，证明，求得，得到， 证明，可得． 【解题过程】 （1）∵四边形为矩形， ∴，； 根据折叠的性质，得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． （2）如图，设， ∵．点是的中点． ∴，， 根据折叠性质，得， 根据勾股定理，得． 解得．   故答案为：． （3）过点N作于点P， ∵四边形为矩形， ∴，； ∴四边形为矩形， ∴，， 根据折叠的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得，，， ∴，   ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，在矩形中，，，动点P、Q分别从C点、A点同时以每秒的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点Q运动到点B时，P、Q两点同时停止运动，连接，设点P运动的时间为ts． （1）如图1，在点P、Q运动过程中． ①点P与点D的最短距离为_________；②当时，t的值为_________； （2）作，与边相交于点E，连接，延长交边于点F． ①求的正切值（用含t的代数式表示）； ②如图2，当时，试探究线段、、三者之间的等量关系，并加以证明； ③如图3，连接，若平分，直接写出的值． 【思路点拨】 （1）①根据垂线段最短，得到当时，最短，根据勾股定理得到，利用直角三角形的面积公式解答即可； ②根据题意，得，则，结合，得到，列出比例式解答即可． （2）①过点Q作于点M，计算，，计算，，结合解答即可； ②连接，当时，根据题意，得，则， 得，证明，得，利用勾股定理解得即可； ③设与的交点为O，证明，结合， 解得，利用三角形相似的判定和性质解答即可． 【解题过程】 （1）①根据垂线段最短，得到当时，最短， ∵矩形， ∴，，, ∴， ∴， 故答案为：； ②根据题意，得，则，∵， ∴， ∴， 解得； 故答案为：． （2）①过点Q作于点M， ∵矩形， ∴，，, ∴， ∴，， 根据题意，得，则 ∴，， ∴， ∴； ②线段、、三者之间的等量关系为，理由如下： 连接，当时，根据题意，得，则， ∴， ∵矩形中， ∴，，, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； ③设与的交点为O， 根据题意，得，则， ∵平分，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故， ∵, ∴， ∴， ∴的值． 16．（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如图所示，等腰直角中，，点是延长线上一点，连接，点是上一点，连接，交于点． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，过点作于点，若，试猜想、、之间的关系并推理说明； （3）如图3，在（2）的条件下，若为射线上一动点，为等腰直角三角形，且，点为中点，若，，请直接写出的最小值． 【思路点拨】 （1）作交于，根据等腰直角三角形的性质，可推出，即知，通过三角函数求出、，从而求出，继而求出，则的值即可解出． （2）作交于，根据已知条件先证明，得出，，，根据角度关系推出，从而证明四边形是矩形，根据，可知，可证明，即有，则矩形是正方形，所以，则． （3）连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、、、，交于，根据是等腰直角三角形，是的中点，可知，同时，可知当点运动时，始终成立，即点在射线上运动，再根据关于直线对称，可知，且当点位于的连线上时，等号成立．根据求出，结合三角函数可逐步推出，再根据三角函数求出与的关系，从而求出和，，和，根据值，依次求出和，根据勾股定理求出，即可得到的最小值． 【解题过程】 （1）解：作交于，如图1： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 作交于，如图2， 在和中， ， ∴ ∴，，， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）解：连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、，交于，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，是的中点， ∴ ， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴当点运动时，始终成立，即点在射线上运动， ∵关于直线对称， ∴， ∴，且当点位于的连线上即与点重合时，等号成立． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ， ∵ ∴， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 17．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动，点从点出发，沿折线运动，在线段上以每秒个单位长度的速度运动，在线段上以为每秒个单位的速度运动，设运动时间为（）．    （1）_________． （2）当四边形是平行四边形时，求的值 （3）连接、、，当是直角三角形时，求的值． （4）作点、关于直线的对称点，，连接，，直接写出与平行或垂直时的值． 【思路点拨】 （1）过点作于，根据矩形的性质得出，进而根据正切的定义，即可求解； （2）在中，勾股定理求得，，得出，根据题意建立方程，解方程即可求解； （3）当点在上，且时，过点作交延长线于，过点作于，解，根据得出，即可求解．当点在上，且时，过点和点分别作、交延长线于、，则四边形、都是矩形，同理可得，即，解方程，即可求解．当点在上，且时，则此时四边形是矩形，根据得出，解方程，即可求解； （4）当点在线段上且时，得出，即，解方程即可求解；当时，设交、分别为、，则，得出，根据，即可求解，当在上方时，设交于点，延长、交于点，证明四边形是菱形，根据菱形的性质得出方程，解方程，即可求解． 【解题过程】 （1）解；如图所示，过点作于， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，； 故答案为：． （2）解：四边形是平行四边形， ，即此时点在上， 如图所示，在中，， ， ， 在线段上以每秒个单位长度的速度运动，在线段上以为每秒个单位的速度运动， ， ， 解得； （3）解：如图所示，当点在上，且时，过点作交延长线于，过点作于， ， ， ， ，， 在中，，， 在中，，， ， ， ， ， ，即， ， 解得（舍去）或； 如图所示，当点在上，且时，过点和点分别作、交延长线于、，则四边形、都是矩形， ，，， ， 同理可得，即， 解得或（舍去）； 如图所示，当点在上，且时，则此时四边形是矩形， ， ， 解得； 综上所述，当是直角三角形时，或或； （4）解：如图所示，当点在线段上且时， ， 由轴对称的性质可得， ， ， ， 解得； 当时如图所示，设交、分别为、，则，    ，，， ， 设，，则， ， ， ，则， ， ， ， 又 ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如图所示，当在上方时，设交于点，    ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 如图所示，延长、交于点    ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形， ，， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形， ， ， 即， 解得：， 综上所述，或时与平行，时与垂直． 18．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点P、Q分别是边、上的两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，作点关于直线的对称点，设． （1）当的面积为8时，求的值． （2）当时，求线段的长． （3）当点落在四边形的边上时，求的值． （4）直线与四边形的一条边交于点，若的面积是四边形面积的时，直接写出的值． 【思路点拨】 （1）根据题意得到，，，再根据“的面积为8”建立等式求解，即可解题； （2）记延长线交于点，由对称的性质可知，，，，推出，得到，进而可得，根据建立分式方程求解，即可求出，利用勾股定理得到，再利用，得到，即可求得，进而求得； （3）根据点落在四边形的边上，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合平行四边形性质，对称的性质，勾股定理以及三角函数求解，即可解题； （4）根据直线与四边形的一条边交于点，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合的面积是四边形面积的，理由平行四边形性质，得到的面积是面积的，得到为的中点或为的中点，结合（3）中①的情况，勾股定理，以及相似三角形的性质和判定，即可解题． 【解题过程】 （1）解： ， ， ， ， 的面积为8， ， 整理得， 解得或； （2）解：记延长线交于点， 由对称性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得，经检验是该方程的解， ，， ， ， ， 解得， ； （3）解：①当在上时， 四边形为平行四边形， ，， ， 由对称性质可知，，， ， ， ， ， 解得， ，， ； ②当在上时， 四边形为平行四边形， ， ∴， 由对称性质可知，，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，解得：， ，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，或； （4）解：或，理由如下： 的面积是四边形面积的， 四边形为平行四边形， 的面积是面积的， 直线与四边形的一条边交于点， ①当在上时，为的中点，为的中线， 四边形为平行四边形， ， ， 与（3）中①的情况一致， 故； ②当在上时，为的中点，为的中线， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 整理得，即或（舍去）， 综上所述，或． 第 1 页 共 48 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1 锐角三角函数与几何综合 · 典例分析 【典例1】如图，在四边形中，点P是线段上一点，，． （1）如图1，当时，猜想，，三条线段存在的数量关系并证明． （2）如图2，延长，交于点E，当时，时，求的值． （3）如图2，延长，交于点E，当时，时，用含的代数式表示的值． 【思路点拨】 本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，熟练掌握全等的判定，三角函数的应用是解题的关键． （1）根据证明即可得证． （2）过点A作于点M，过点D作于点N，根据证明，结合特殊角的三角函数计算证明即可． （3）过点A作于点M，过点D作于点N，根据证明，结合三角函数计算证明即可． 【解题过程】 解：（1）如图，三条线段存在的数量关系为，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2），理由如下： 过点A作于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴，， ，， ∵， ∴． （3），理由如下： 如前图，过点A作于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴，，， ∴，， ，， ∵， ∴． · 学霸必刷 1．（2024·江苏无锡·二模）在中，，，点D和点E分别是线段上的动点，且，在运动过程中，可取的最大整数值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，．有下列结论：①；②射线是的角平分线；③；④．其中正确结论的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④ 4．（2024·山西长治·二模）如图，已知点C为线段的中点，且，连接，点E是上的一点，且，于点F，分别交，于点G，H，则的长为 ． 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在平行四边形中，，E是边上的点，，，F是边上的一点，且，若M、N分别是线段、上的动点，则的最小值为 ．    7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，是的角平分线，过点D作的垂线交的延长线于点E，过点E作的平行线交的延长线于点F，若，，则线段的长 ． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形顶点坐标分别为，在线段和上各有一个动点，当的值最小时，点的坐标为 ．    9．（2024·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 10．（2024九年级下·浙江·专题练习）在中，分别是的中点，于点，于点，连接. （1）求证：四边形是平行四边形. （2）当，时，求的长. 11．（2024·安徽合肥·二模）如图1在中，，D是的中点，延长至E，连接、， （1）求证：； （2）在图1中，若，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作于点F，H是的中点，过点H作，交于点G，交于点M． ①求证：； ②若，，求的长． 12．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、． （1）求证：； （2）过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，求的长． 13．（2023·四川资阳·模拟预测）在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点在线段之间，连接，且与互相垂直，求的长； （3）连接，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长． 14．（2024·吉林长春·二模）在矩形纸片中，．点是的中点．    （1）操作一：如图1，将这张纸片进行折叠，使点的对应点落在边上，折痕为，点与点重合，此时发现四边形是正方形，请证明这个结论． （2）操作二：如图2，重新折叠纸片，使点与点重合，折痕为，则____________． （3）操作三：如图3，在操作二的基础上继续折叠纸片，使点与点重合，点落在处，折痕为，连接，则____________． 15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，在矩形中，，，动点P、Q分别从C点、A点同时以每秒的速度出发，且分别在边，上沿，的方向运动，当点Q运动到点B时，P、Q两点同时停止运动，连接，设点P运动的时间为ts． （1）如图1，在点P、Q运动过程中． ①点P与点D的最短距离为_________；②当时，t的值为_________； （2）作，与边相交于点E，连接，延长交边于点F． ①求的正切值（用含t的代数式表示）； ②如图2，当时，试探究线段、、三者之间的等量关系，并加以证明； ③如图3，连接，若平分，直接写出的值． 16．（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如图所示，等腰直角中，，点是延长线上一点，连接，点是上一点，连接，交于点． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，过点作于点，若，试猜想、、之间的关系并推理说明； （3）如图3，在（2）的条件下，若为射线上一动点，为等腰直角三角形，且，点为中点，若，，请直接写出的最小值． 17．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动，点从点出发，沿折线运动，在线段上以每秒个单位长度的速度运动，在线段上以为每秒个单位的速度运动，设运动时间为（）．    （1）_________． （2）当四边形是平行四边形时，求的值 （3）连接、、，当是直角三角形时，求的值． （4）作点、关于直线的对称点，，连接，，直接写出与平行或垂直时的值． 18．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，点P、Q分别是边、上的两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，作点关于直线的对称点，设． （1）当的面积为8时，求的值． （2）当时，求线段的长． （3）当点落在四边形的边上时，求的值． （4）直线与四边形的一条边交于点，若的面积是四边形面积的时，直接写出的值． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$