专题28.4 解直角三角形的应用（五大题型总结）-2024-2025学年九年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题28.4 解直角三角形的应用（五大题型总结） 【题型一：仰角俯角问题】 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 【思路点拨】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设过点A的水平线于交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【解题过程】 解：设过点A的水平线于交于点E，如图， 由题意知：四边形是矩形米，， 在中，， 在中，, ∴ ∴ ∴， 解得（米）， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    【思路点拨】 本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案． 【解题过程】 解：如图，过点E作于，于，      则四边形和四边形均为矩形， ， 由题意得：米，米，米，，， 在中，，即， 解得（米）， 米， 在中，，，， 米， （米）， 答：2号楼的高度是米． 故答案为：． 3．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． （1）求的长； （2）求塔的高度．（，结果保留整数） 【思路点拨】 本题主要考查解直角三角形的运用，掌握仰俯角解直角三角形的方法是解题的关键． （1） 在中，根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2） 根据勾股定理可得，设，由等腰三角形的性质可得，在中，根据解直角三角形的计算方法即可求解． 【解题过程】 （1）解：由题意得，在中，， ， ， 的长为． （2）解：由题意得， 在中，， ， ∴， 在中，设， ， ， ， 如解图，过点作，垂足为， 由题意得，， ， ， 在中， ， ， ， 解得， ， 塔的高度约为． 4．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： 【实地测量】 （1）利用镜子测量：如图，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． （2）利用标杆测量：如图，小英站在操场上的点处，她的眼睛，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． （3）利用侧角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为米．求旗杆的高度（参考数据：，）． 【思路点拨】 本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形．解决本题的关键是利用相似三角形对应边成比例找到边之间的关系． （1）首先根据、，可以证明，根据相似三角形对应边成比例可求旗杆的高度； （2）根据，，均垂直于地面，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，解方程可求的高度，加上小英的眼睛到地面的高度就是旗杆的高度； （3）利用、，可得，解方程求出的高度，用加上即可求出旗杆的高度． 【解题过程】 （1）解：，， ， ， ， ． 答：旗杆的高度为米； （2）解：，，均垂直于地面， ， ， ， ， ，，， ， 解得：， ， 答：旗杆的高度为米； （3）解：由题意可得，， 由题意得：，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：旗杆的高度为米． 5．（24-25九年级上·辽宁辽阳·阶段练习）图1是某学校教师办公楼的人脸识别考勤机（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）体育王老师的身高，头部高度为，若他正常站立，王老师能否在有效识别距离内被识别？请计算说明． （2）数学张老师身高，头部高度为，若张老师正常站立被识别，则张老师离摄像头水平距离的最小值是多少？请计算说明 （精确到，参考数据，，） 【思路点拨】 本题考查的是解直角三角形的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键； （1）假定王老师站在考勤机前E处，头顶正好在仰角线上，过点E作的垂线分别交仰角、俯角线于点C，D，交水平线于点P，再利用锐角三角函数求解，再进一步可得结论； （2）假定张老师站在考勤机前F处，头部下颌正好在俯角线上，过点F作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点Q，再利用锐角三角函数求解，再进一步可得结论． 【解题过程】 （1）解：王老师能在有效识别距离内被识别． 理由：假定王老师站在考勤机前E处，头顶正好在仰角线上，过点E作的垂线分别交仰角、俯角线于点C，D，交水平线于点P， 由题意，得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴王老师能在有效识别距离内被识别； （2）解：假定张老师站在考勤机前F处，头部下颌正好在俯角线上，过点F作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点Q， 由题意，得，， ， 同（1）， ∴，即整个头部在摄像头视角范围内， 在中，∵，， ∴， ∴， 答：张老师离摄像头水平距离的最小值约为． 【题型二：方位角问题】 6．（2024·山东济宁·一模）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为（     ）． A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题．过点作于点，依题意，得，，设，根据三角函数得，，再列方程求出的值即可． 【解题过程】 解：如图过点作于点， 由题意，得，，， ， ， ， ， 在中， 在中， ， ，设， ， ，， 解得：， ， 故选：A． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，则点到的距离为 ．（参考数据：， ，） 【思路点拨】 本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键． 作于M，于N，设，根据矩形的性质用x表示出、，根据正切的定义用x表示出，根据题意列式计算即可． 【解题过程】 解：作于M，于N， 则四边形为矩形， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 答：点O到的距离为． 故答案为：480． 8．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西方向前往小区居民活动中心C处：小强自南门B处出发，沿正西方向行走到达D处，再沿北偏西；方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，） 【思路点拨】 本题考查了解直角三角形：方位角的应用；过点C作于M，过D作于N，则可得四边形是矩形；设，则可表示出，利用两人所走的路程相同建立方程，求得x，即可求出小区北门A与南门B之间的距离． 【解题过程】 解：过点C作于M，过D作于N， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，； 设，则； ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∵两人所走的路程相同， ∴即， 解得：； ∵， ∴ 即小区北门A与南门B之间的距离为． 9．（24-25九年级上·重庆开州·期中）为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形循环步道，如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向米处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小西准备从点跑步到点去见小渝，小西决定选择一条较短线路，请计算说明小西应选择路线，还是路线？ 【思路点拨】 本题考查的是解直角三角形的应用－方向角问题，度所对的直角边为斜边的一半，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作交于点，根据余弦的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出； （2）根据度所对的直角边为斜边的一半得出，正切的定义求出，根据余弦的定义求出，分别求出路线和的距离，判断即可； 【解题过程】 （1）解：过点作交于点，如图， 由题意，得，， 在中，， ∴， 在中，，且， ∴，； 又∵， ∴的长度为米； （2）解：由（1）得：，， ∴， ∴， 在中，，且， ∴，， ∴路线长为：， 路线长为：， ∵， ∴小西应选择路线． 10．（2024·四川眉山·二模）我国一艘巡航船在南海海域处巡逻，岛上的海军发现点在点的正西方向，岛上的海军发现点在点的南偏东的方向上，已知点在点的北偏西方向上，且、两地相距120海里，如图所示． （1）求此时点到岛的距离； （2）上的处有一只渔船发出求救信号，希望处的巡航船沿方向在个小时赶到处进行救援，若巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达吗？已知在岛测得点在的南偏东的方向上．（不计水流速度，结果保留根号） 【思路点拨】 本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键时添加辅助线，构造直角三角形： （1）过点作，分别解，求出的长即可； （2）过点作，设，分别解，求出的值，比较巡航船2小时行驶的路程与的大小，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：过点作，则：， 由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴点到岛的距离为海里； （2）过点作，设，则：， 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达． 【题型三：坡度坡比问题】 11．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查勾股定义解应用题，涉及坡度定义，根据坡度定义得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【解题过程】 解：在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道， ， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得，解得， ， 故选：B． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，坡角的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为4米，则大树的高为 米． 【思路点拨】 本题考查了与坡角有关的解直角三角形的应用；过点C作，交的延长线于点D；在中，由三角函数求得，再在中，求得，即可求得结果． 【解题过程】 解：如图，过点C作，交的延长线于点D， 则． 在中，米， 米，（米）． 在中，， 则， 米， 米． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）周末爬大蜀山是合肥市民的一项娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从大蜀山西坡沿坡角为的山坡爬了300米到达处，紧接着又爬了坡角为的山坡148米到达山顶，请计算大蜀山的高度约为多少米．（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 【思路点拨】 本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题．过点作于，过点作于，于，根据正弦的定义可以分别求出和的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案． 【解题过程】 解：过点作于，过点作于，于，则四边形为矩形， ， 在中，， 则（米）， 在中，， 则（米）， （米）， 答：大蜀山的高度约为284米． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期中）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为2米，支架的长为4米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是多少米？（精确到米；参考数据：，，，，） 【思路点拨】 本题考查了解直角三角形和锐角三角函数，等腰三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 根据题意可得，即，在由平角可得，即可求得，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，即可求出的值，从而求出的长，再根据，可得的长，即可根据，求得吊车的吊臂顶端点距地面的高度的米数． 【解题过程】 解：如图，由题可知，，，米，米，，， ∵的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴点到地面的距离为米． 15．（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米． （1）请求出的长？ （2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【思路点拨】 本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【解题过程】 （1）解：如图，由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米， ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为米． 【题型四：综合性问题】 16．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，若斜坡的坡度为，则斜坡的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【思路点拨】 此题主要考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题以及坡度坡角问题．过点作于点，根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，求得，解直角三角形即可得到结论． 【解题过程】 解：如图所示：过点作于点， 斜面坡度为， ， 在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为， ， ， ， ， ， 解得：， 故米， 故选：B． 17．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 【思路点拨】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题．延长交于F，则，作于H，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义用表示出，根据题意列式求出，结合图形计算，得到答案． 【解题过程】 解：延长交于F，则，作于H， ∵坡度为的斜坡， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，， 则， 在中，， ∴， 由题意得，， 解得，， 则， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为37°，量得测角仪的高为1.5米．、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．求旗杆的高度（精确到0.1）．（参考数据：，，，．） 【思路点拨】 本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 延长交射线于点H，过点E作于点F，根据坡度比得出，，再根据求出的长即可求解． 【解题过程】 解：延长交射线于点H，过点E作于点F， 由题意得， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴旗杆的高度为7.7米． 19．（24-25九年级上·重庆·期中）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， （1）求楼梯的长度； （2）小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 【思路点拨】 本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数的意义，勾股定理是解题的关键． （1）取点，过作于，于，设，根据三角函数的定义得到，求得，再利用勾股定理求解即可； （2）根据“时间路程速度”列式计算． 【解题过程】 （1）解：如图：取点，过作于，于，连接，， 由题意得：，，，， ，四边形为矩形， ， 设， ， ，， ， 解得：， ，， ， 答：楼梯的长度为； （2）解：选择路线①能赶在表演前到达点处． 理由：按照路线①需要：， 选择路线①不能赶在表演前到达点处， 按照路线②需要：， 选择路线①能赶在表演前到达点处． 20．（24-25九年级上·重庆万州·期中）“天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） （1）求点到点的距离：（结果保留根号） （2）已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 【思路点拨】 （1）过点作，交于点，设水平线为，根据坡度比求出，进而易得的长度，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解； （2）过点作于点，过点作于点，利用（1）求出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出和的长度，进而求得，再分别求出小明和小华所走的总路程，然后比较它们的大小来求解． 【解题过程】 （1）解：过点作，交于点，设水平线为， 如下图． ，的坡度为， 则, ． 点在的正北方向， ， ， ． ， ， ， ，， ． 地在地北偏东方向上， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，过点作于点，如下图 地在地北偏东方向上， ． 由（1）可知，， ． ，， ， ， ． ， ， ． 地在地北偏西方向上， ， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟， 小明到终点所用的时间为（分钟）， 小华到终点所用的时间为（分钟）． ， 小华先到达终点处． 【题型五：其它问题】 21．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面的夹角，视线PE与地面的夹角，点为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（参考数据：，，，）（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查解直角三角形的应用，首先证明四边形是矩形，利用的正弦值可求出的长，即可得的长，利用的正切值即可得答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中,， ∴， ∴， 在中,， ， ， 故选: B． 22．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：） 【思路点拨】 本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键． 在图1中，过点A作于，设每节拉杆的长度为，由，得，在图2中，过点A作于点， 由，得，得，解得． 【解题过程】 解：如图1，过点A作于， 在中，， ， ， 如图2，过点A作于点，设每节拉杆的长度为， 在中，， ， ， 由题意得，， 解得， 答：每节拉杆的长度约为． 23．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）一款安装在家门口的摄像头，该设备能检测到一定范围的户外情况．如图，BF为水平地面，摄像头安装在门上的点A处，设置被检测人或物的高度． CD为监测范围，为了达到良好的效果，要求检测范围不低于．已知， ，，请计算摄像头的最低安装高度．（结果精确到，参考数据： ） 【思路点拨】 本题考查的是解直角三角形的应用，先表示，，结合，从而可得答案． 【解题过程】 解：由题意可知，四边形、四边形是矩形，是直角三角形． 米，米． 在中， ， ． 在中， ， ． ， ． （米）． （米）． 摄像头的最低安装高度是米． 24．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）． （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度： （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【思路点拨】 本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【解题过程】 （1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 25．（24-25九年级上·上海·阶段练习）图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米． （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 【思路点拨】 本题主要考查了解直角三角形应用．熟练掌握锐角三角函数定义，矩形判定和性质，解直角三角形相关计算，是解题的关键． （1）根据，，得．根据，得．根据，，得． （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为G．则，证明四边形是矩形，，得．得．得，根据，得． 【解题过程】 （1）解：由题意得，，， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∵ ∴． 答：该支架的边的长7米． （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为G． 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 答：支架的边的顶端到地面的距离为6.5米． 26．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） （1）当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） （2）当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点烧点随之旋转至上的点处，则______． 【思路点拨】 （1）作于P，于Q，于K，于J，解直角三角形求出即可求出的长； （2）在（1）所作辅助线的基础上，借助三角函数解、、、，求出即可． 【解题过程】 （1）解：如图，作于P，于Q，于K，于J， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴（分米）， ∵，即， ∴， ∴（分米）， ∴（分米）； 即点A离地面的距离约为13.7分米； （2）∵， ∴， ∴在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）． 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题28.4 解直角三角形的应用（五大题型总结） 【题型一：仰角俯角问题】 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    3．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，前有一座高为的观景台，已知， ，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为 ，在观景台处测得塔顶部的仰角为 ． （1）求的长； （2）求塔的高度．（，结果保留整数） 4．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： 【实地测量】 （1）利用镜子测量：如图，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． （2）利用标杆测量：如图，小英站在操场上的点处，她的眼睛，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． （3）利用侧角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为米．求旗杆的高度（参考数据：，）． 5．（24-25九年级上·辽宁辽阳·阶段练习）图1是某学校教师办公楼的人脸识别考勤机（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）体育王老师的身高，头部高度为，若他正常站立，王老师能否在有效识别距离内被识别？请计算说明． （2）数学张老师身高，头部高度为，若张老师正常站立被识别，则张老师离摄像头水平距离的最小值是多少？请计算说明 （精确到，参考数据，，） 【题型二：方位角问题】 6．（2024·山东济宁·一模）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为（     ）． A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，则点到的距离为 ．（参考数据：， ，） 8．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西方向前往小区居民活动中心C处：小强自南门B处出发，沿正西方向行走到达D处，再沿北偏西；方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，） 9．（24-25九年级上·重庆开州·期中）为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形循环步道，如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向米处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小西准备从点跑步到点去见小渝，小西决定选择一条较短线路，请计算说明小西应选择路线，还是路线？ 10．（2024·四川眉山·二模）我国一艘巡航船在南海海域处巡逻，岛上的海军发现点在点的正西方向，岛上的海军发现点在点的南偏东的方向上，已知点在点的北偏西方向上，且、两地相距120海里，如图所示． （1）求此时点到岛的距离； （2）上的处有一只渔船发出求救信号，希望处的巡航船沿方向在个小时赶到处进行救援，若巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达吗？已知在岛测得点在的南偏东的方向上．（不计水流速度，结果保留根号） 【题型三：坡度坡比问题】 11．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，坡角的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为4米，则大树的高为 米． 13．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）周末爬大蜀山是合肥市民的一项娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从大蜀山西坡沿坡角为的山坡爬了300米到达处，紧接着又爬了坡角为的山坡148米到达山顶，请计算大蜀山的高度约为多少米．（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 14．（24-25九年级上·山东烟台·期中）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为2米，支架的长为4米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是多少米？（精确到米；参考数据：，，，，） 15．（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米． （1）请求出的长？ （2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【题型四：综合性问题】 16．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，若斜坡的坡度为，则斜坡的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 17．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 18．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为37°，量得测角仪的高为1.5米．、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．求旗杆的高度（精确到0.1）．（参考数据：，，，．） 19．（24-25九年级上·重庆·期中）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， （1）求楼梯的长度； （2）小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 20．（24-25九年级上·重庆万州·期中）“天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） （1）求点到点的距离：（结果保留根号） （2）已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 【题型五：其它问题】 21．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面的夹角，视线PE与地面的夹角，点为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（参考数据：，，，）（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：） 23．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）一款安装在家门口的摄像头，该设备能检测到一定范围的户外情况．如图，BF为水平地面，摄像头安装在门上的点A处，设置被检测人或物的高度． CD为监测范围，为了达到良好的效果，要求检测范围不低于．已知， ，，请计算摄像头的最低安装高度．（结果精确到，参考数据： ） 24．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）． （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度： （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 25．（24-25九年级上·上海·阶段练习）图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米． （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 26．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） （1）当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） （2）当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点烧点随之旋转至上的点处，则______． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$