专题08 数轴（线段）上的动态问题（9大题型）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（北师大版2024）

专题08 数轴（线段）上的动态问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 数轴（线段）中的动态规律（左右跳跃）问题 题型二 数轴（线段）中的单（多）动点匀速问题 题型三 数轴（线段）中的单（多）动点变速问题 题型四 数轴（线段）中的动点往返运动问题 题型五 数轴（线段）中的动态中点与n等分点问题 题型六 数轴（线段）中的动态定值问题 题型七 线段中点、和差倍分关系中的动态问题 题型八 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题 题型九 数轴（线段）中的阅读理解型（新定义）问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 数轴（线段）中的动态规律（左右跳跃）问题 ⭐技巧积累与运用 （1）“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； （2）“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 1．（23-24·湖北孝感·七年级期末）点P从数轴上表示－3的点开始连续移动：第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；……按此规律继续移动，则第n次移动后点P在数轴上表示的数为______________． 2．（24-25·山东·七年级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 3．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 数轴（线段）中的单（多）动点匀速问题 ⭐技巧积累与运用 （1）动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 （2）动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．(1)求出点所对应的数；(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 2．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．(1)点表示的数是______；(2)当______秒时，点到达点处？ (3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）．    数轴（线段）中的单（多）动点变速问题⭐技巧积累与运用 变速问题其实和匀速运动解答原理类似，只是要特别注意速度变化的时间。 1．（23-24·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：(1)动点从点运动至点需要多少时间？(2)当，两点相遇时，求值；(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 数轴（线段）中的动点往返运动问题 ⭐技巧积累与运用 往返运动的核心是整体思想，运动总时间是从开始运动到结束运动为止，无需关注左右运动还是往返次数。 1．（23-24·重庆·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 2．（23-24·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 数轴（线段）中的动态中点与n等分点问题 ⭐技巧积累与运用 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是； ②点P到达点B时，；③时，；      ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是 ；若点是的和谐点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a， b， c， d， 且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q 表示的数是 ；（用含t的代数式表示）；②求使得点C是的和谐点的值；若不存在，请说明理由． 数轴（线段）中的动态定值问题 ⭐技巧积累与运用 先用时间t表示相关线段长度，再进行相关运算（主要是整式加减、有理数相关计算），最后得出定值结论。 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________；(2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 2．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）如图1，已知直线l上从左往右依次有A，B，C，D四点，其中，，且m，n满足． (1)填空：__________，__________； (2)如图2，M，N分别为线段的中点，线段以每秒4个单位长度向右运动． ①若线段以每秒l个单位长度也向右运动，当运动6秒后，，求运动前线段的长； ②若线段固定不动，且运动前．已知在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值，请求出这个定值，并直接写出为定值时所持续的时间长度． 3．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+（b﹣5）2＝0．（1）a＝　 　，b＝　 　；（2）点C在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点P，使得PA+PB＝PC，请求出点P对应的数；（3）点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AM+2OB﹣mOM为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 线段中点、和差倍分关系中的动态问题 ⭐技巧积累与运用 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）（1）如图，已知点在线段上，线段，，点，分别是，的中点，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，动点、分别从，同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（直接写出答案即可） 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题 ⭐技巧积累与运用 探究性问题和定值问题类似，唯一的区别是定值问题给出了要证明的相关结论，而探究问题大多是没出给出相关结论，是需要我们自己去探究，方法和定值问题类似。 1．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值； (3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 数轴（线段）中的阅读理解型（新定义）问题 ⭐技巧积累与运用 新定义问题的核心是：读懂相关概念与运算，结合相关知识点解决问题即可。 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________； 若，，则_________． (2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值； ②若，则当为何值时，； ③若时，，则___________． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是；②点到达点时，；③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 2．（24-25·浙江七年级课时练习）如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为_________． 3．（2023春·河北保定·七年级专题练习）如图，数轴上标出的所有点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到A点的距离与到点的距离之和为24，则这样的点有 ___________个． 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 ． 5．（23-24七年级上·广东·课后作业）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为 ． 6．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 7．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动4个单位长度至点，第3次从点向右移动7个单位长度至点，第4次从点向左移动10个单位长度至点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 ．这样移动2023次后该点到原点的距离为 ． 8．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知线段，线段在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若(1)求线段的长．(2)若点M，N分别为线段的中点，且，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明． 9．（2023·河南信阳·七年级校考期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0 （1）则m＝　 　，n＝　 　；（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为　 　个单位长度：②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________；(2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 11．（23-24七年级·福建泉州·期中）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别、，且满足，O为原点；在A、B两点处各放一个档板，M、N两个小球同时从数轴上的C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴的负方向运动，N以每秒4个单位的速度向数轴的正方向运动，小球碰到档板后立即向反方向运动且速度不变，设小球的运动时间为秒钟（）    (1)填空：线段AB的长为 ．(2)若M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好也是第一次碰到B档板，试确定点C的位置．(3)当时，试判断的值是否随时间的变化而变化？若它的值不变，请求出该值；若它的值会变，请通过计算说明理由． 12．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示，点C表示24，点D表示，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2  ：动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1  动点P从点A运动至点B需要多少时间？ 探索2  动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； 探索3  动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 3．（2023·浙江杭州·七年级期中）如图，已知O为数轴原点，A，B，C是数轴上三点，它们表示的数分别是4，10， －20.动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为AP的中点，点N在BQ上，且，R为PQ的中点，设运动时间为t秒（t>0），当满足2MO＋2RO=NO时，t=________秒. 4．（23-24七年级上·四川南充·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位，记为．动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒．    (1)当时，两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当、两点相遇时，求运动时间的值．(3)若“折线数轴”上定点与两点相距的长度相等，当为何值时，、与点相距的长度之和等于6？ 5．（2024·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 6．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，当时， ；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 7．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【定义】：若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】：如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】：(1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 数轴（线段）上的动态问题 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 数轴（线段）中的动态规律（左右跳跃）问题 题型二 数轴（线段）中的单（多）动点匀速问题 题型三 数轴（线段）中的单（多）动点变速问题 题型四 数轴（线段）中的动点往返运动问题 题型五 数轴（线段）中的动态中点与n等分点问题 题型六 数轴（线段）中的动态定值问题 题型七 线段中点、和差倍分关系中的动态问题 题型八 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题 题型九 数轴（线段）中的阅读理解型（新定义）问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 数轴（线段）中的动态规律（左右跳跃）问题 ⭐技巧积累与运用 （1）“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； （2）“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 1．（23-24·湖北孝感·七年级期末）点P从数轴上表示－3的点开始连续移动：第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；……按此规律继续移动，则第n次移动后点P在数轴上表示的数为______________． 【答案】 【分析】分析题意不难得出，第一次移动，实际上是向右移动1个单位长度，据此可求第n次移动后点P表示的数． 【详解】解：∵第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度；则实际移动的长度为：-1+2=1， 第二次先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度；则实际移动的长度为：-2+3=1， 第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度；则实际移动的长度为：-3+4=1，… ∴第n次移动后点P在数轴上表示的数为：-3+n=n-3．故答案为：n-3． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键明确每一次移动后，实际移动的长度为1个单位长度． 2．（24-25·山东·七年级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值． 【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意； 由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m． ∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22， ∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意； ∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404， 故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数． 3．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由，可得，即为在数轴上表示的数． 【详解】解：∵表示的数为，表示的数为，表示的数为0，表示的数为，表示的数为，.....， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵，∴， ∴在数轴上表示的数为，故选：B． 数轴（线段）中的单（多）动点匀速问题 ⭐技巧积累与运用 （1）动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 （2）动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．(1)求出点所对应的数；(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【答案】(1)；(2)或； (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1），故点所对应的数是； （2），点在点的左边，， 点在点的右边，，故点所对应的数是或； （3）点在点的左边，（秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边，（秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 2．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．(1)点表示的数是______；(2)当______秒时，点到达点处？ (3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）．    【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（）根据数轴两点间的距离即可求解；（）根据数轴两点间的距离即可求解； （）根据数轴上点的运动特征即可求解；此题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的特点． 【详解】（1）设表示的数为， ∵点到点、点的距离相等，∴，解得：， ∴点表示的数为，故答案为：； （2）∵数轴上的点表示的数为，点表示的数为， ∴，∴运动时间，故答案为：； （3）∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动过程中点表示的数是，故答案为：． 数轴（线段）中的单（多）动点变速问题⭐技巧积累与运用 变速问题其实和匀速运动解答原理类似，只是要特别注意速度变化的时间。 1．（23-24·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒 【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b；（2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关， ∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3） ＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15， ∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，解得b＝﹣20，a＝12； （2）设运动时间为t秒．由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t， 故答案为：12﹣6t，﹣20+2t； （3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒，相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝； 相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒），相遇点为﹣20+2×4＝﹣12， 点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝； 由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t， 点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t． 当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝； 当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝． 答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒 【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：(1)动点从点运动至点需要多少时间？(2)当，两点相遇时，求值；(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点距离． （1）由点表示，点表示，点表示，得，，，即可得动点从点运动至点需要；（2）从到需要，从到需要，可知在上运动时，表示的数为，表示的数为，有，即可解得当，两点相遇时，的值为；（3）①当时，，②当时，，③当时，，④当时，，⑤当时，，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解：点表示，点表示，点表示， ，，， ，动点从点运动至点需要； （2）从到需要，从到需要， 在上运动时，表示的数为，表示的数为， ，解得，当，两点相遇时，的值为； （3）①当时，在上，在上，表示的数为表示的数为 ，解得， ②当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为 ，解得； ③当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，解得； ④当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，方程无解； ⑤当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，解得； 综上所述，的值为或或或．故答案为：或或或． 数轴（线段）中的动点往返运动问题 ⭐技巧积累与运用 往返运动的核心是整体思想，运动总时间是从开始运动到结束运动为止，无需关注左右运动还是往返次数。 1．（23-24·重庆·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】设C点在数轴上对应的数为，根据题意可得，求得；根据题意分时间段讨论两小球的位置，分别求解即可． 【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则， 当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则 解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确； 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点， 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为 当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时， 点表示数的为，②正确； 当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为 当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动 则，，，③错误； 当时，，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，， 由题意得，，解得，不符题意； 当时，，当时，， 由题意得，，解得，此时三点重合，成立； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； ④正确 故选：D 【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可． 2．（23-24·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1 【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t； ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； （3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1． (1)∵A表示的数为−2，点B表示的数为13， ∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；． (2)①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t． ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． (3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−）， 根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9， 第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1， 答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 【点睛】本题考查一元一次方程应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数． 数轴（线段）中的动态中点与n等分点问题 ⭐技巧积累与运用 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是； ②点P到达点B时，；③时，；      ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ，，点对应的数是，故①正确； 由题意得：（秒），点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时，，，，（秒）， 当点在点左边时，，，，（秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点，，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确；所以，上列结论中正确的有个，故选：D． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是 ；若点是的和谐点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a， b， c， d， 且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q 表示的数是 ；（用含t的代数式表示）；②求使得点C是的和谐点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)①；②存在，2或16 【分析】本题主要考查了有理数与数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用等知识点，理解 “和谐点”的定义，熟练掌握解一元一次方程，准确地用代数式表示出数轴上的点，根据“和谐点”以及分类讨论思想是解题的关键．（1）根据“和谐点”的定义求解即可； （2）先由非负数的性质得，进而得点A所表示的数为，点B所表示的数为，点C所表示的数为4．①依题意得点P从点A运动到点B所用的时间为3秒，点P从点B运动到点C所用的时间为1秒，进而可得点P表示的数；再由点Q从点D运动到点C所用的时间为4秒，点Q从点C运动到点B所用的时间为8秒，进而可得点Q表示的数；②根据点C是的和谐点，得，且点C在点P，Q之间，因此有以下三种情况：a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为，此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为，则，进而得，据此求出t即可；b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为,则，，进而得，据此求出t即可；c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为，则，进而得，据此求出t即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点M，N表示的数分别为，点P是的和谐点，∴， 设点P所表示的数为p,则, ∴，解得：，∴点P所表示的数为3； ∵点Q是的和谐点，∴， 设点Q所表示的数为q,则， ∴，解得，∴点Q所表示的数为．故答案为：3；． （2）解：∵，∴解得：， ∴点A所表示的数为，点B所表示的数为， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，∴点C所表示的数为4， 又∵点D所表示的数为12，∴点A，B，C，D在数轴上为位置如下图所示： ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数，点B，C之间的距离， ①∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒）， 又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：，其中； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：,其中． 故答案为：． ②存在；∵点C是的和谐点，∴，且点C在点P，Q之间， ∴有以下三种情况：a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为， 此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为：， ∴,∴，解得：； b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴，∴，解得：， 当时，点Q正好到达点C，即点Q于点C重合，不合题意，舍去； c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴，∴，解得：． 综上所述：t的值为2或16秒． 数轴（线段）中的动态定值问题 ⭐技巧积累与运用 先用时间t表示相关线段长度，再进行相关运算（主要是整式加减、有理数相关计算），最后得出定值结论。 1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________；(2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【答案】(1)4；3(2)或(3)，定值为5 【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系 （1）根据可求出的长以及的长，再由是线段的中点，即可求得； （2）分情况讨论，当时，存在；当时，存在，考虑两种情况即可； （3）根据点和点的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段，即可求得． 【详解】（1）解：∵，点以的速度运动，∴时，，， ∵是线段的中点，∴故答案为： （2）解：∵是线段的中点，∴， ∵，∴，∴，， 当点从时， 当点从时，∵点沿的路线需要故 综上所述，当为或时，． （3）解：如图，由题意得：点的速度是，点速度为 ∵，∴点在点右侧，由题意可知∴ ∵是线段的中点∴即 ∵线段的长度始终是一个定值∴故解得，定值为5 2．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）如图1，已知直线l上从左往右依次有A，B，C，D四点，其中，，且m，n满足． (1)填空：__________，__________； (2)如图2，M，N分别为线段的中点，线段以每秒4个单位长度向右运动． ①若线段以每秒l个单位长度也向右运动，当运动6秒后，，求运动前线段的长； ②若线段固定不动，且运动前．已知在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值，请求出这个定值，并直接写出为定值时所持续的时间长度． 【答案】(1)4，8 (2)①或8；②定值为6，当时，为定值 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）①若6秒后，在点左边时，若6秒后，在点右边时，根据题意列方程即可得到结论； ②根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：，，，，，故答案为4，8； （2）解：由（1）可知：，，∵M，N分别为线段的中点， ∴，∴若6秒后，在点左边时，由， 即，解得：， 若6秒后，在点右边时，则，即，解得：， ②运动秒后，， 当时，，当时，，当时，， 当时，为定值． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，此题难度不大． 3．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+（b﹣5）2＝0．（1）a＝　 　，b＝　 　；（2）点C在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点P，使得PA+PB＝PC，请求出点P对应的数；（3）点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AM+2OB﹣mOM为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）−10，5；（2）−15或−5；（3）3，40 【分析】（1）根据两个非负数的和为零则它们均为零的性质即可求得a与b的值； （2）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧和点P在线段AB之间两种情况考虑，利用数轴上两点间的距离即可列方程解决；（3）求出三个点运动t秒后在数轴上的位置，由数轴上两点间的距离可得3AM+2OB﹣mOM关于t的式子，根据此式即可求得m的值及定值． 【详解】（1）∵|a+10|≥0，（b﹣5）2≥0，且|a+10|+（b﹣5）2＝0 ∴a+10=0，b－5=0即a=−10，b=5故答案为：−10，5 （2）设点P对应的数为x当点P在点A的左侧时，则，， 由题意得： 解得： 当点P在线段AB之间时，    则，， 由题意得：解得： 综上所述，点P对应的数为−15或−5 （3）存在，理由如下：当点A、B、M运动t秒时的距离分别为2t、3t、5t，此时点A、B、M在数轴上的位置分别为−10+2t、5+3t、5t 则，， 所以 由题意，当，即m=3时，3AM+2OB﹣mOM为定值40． 【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的解法，多项式的定值问题等知识，关键与难点是数轴上表示两个数的两个点间的距离．注意方程思想的运用． 线段中点、和差倍分关系中的动态问题 ⭐技巧积累与运用 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）（1）如图，已知点在线段上，线段，，点，分别是，的中点，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，动点、分别从，同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（直接写出答案即可） 【答案】（1）（2）当或或时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点 【分析】本题考查了线段中点的有关计算、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题等知识点，构造数轴是解决第二问较为巧妙的方法．（1）根据、即可求解；（2）以点为原点，射线方向为正方向，构造数轴，可得点表示的数为：；点表示的数为：；点表示的数为：；分类讨论若点为线段的中点若点为线段的中点若点为线段的中点，三种情况即可求解． 【详解】解：（1）∵，，点，分别是，的中点， ∴∴ （2）以点为原点，射线方向为正方向，构造数轴，如图所示： 则点表示的数为：；点表示的数为：；点表示的数为：； 若点为线段的中点：，解得：； 若点为线段的中点：，解得：； 若点为线段的中点：，解得：； 综上所述：当或或时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 【答案】(1)1，2(2)3(3) 【分析】本题考查了线段的和差倍分，一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．（1）根据同类项的定义列方程即可得到结论；（2）设，则，根据题意列方程即可得到结论；（3）设，由（2）知，，根据题意得到，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式， ∴单项式与是同类项，∴，故答案为：1，2； （2）设运动了t秒，则设，则，     故答案为：3； （3）设，由（2）知，， ①当点在线段上时，，解得：， ②当点在线段的延长线上时，，解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 【答案】(1)24；12(2)或(3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和两点之间的距离，（1）根据，点O是线段上的一点，．即可得出答案；（2）设的长是，当点在线段上，线段上，线段的延长线上时，分别列出方程，解之即可得到答案；（3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为，当点P与点Q重合时，即，得到t的值，然后分情况讨论，即可得到答案； 正确理解题意，弄清题中量的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵，∵， 解得，，故答案为：24；12； （2）设的长是，依题意有： ①当点在线段上时，，解得，； ②当点在线段上时，，解得，（舍去）； ③当点在线段的延长线上时，，解得，， 故的长为或； （3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为， 当时，， ，， 当时，有，解得，； 当时，有，解得， 故当为或时，． 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题 ⭐技巧积累与运用 探究性问题和定值问题类似，唯一的区别是定值问题给出了要证明的相关结论，而探究问题大多是没出给出相关结论，是需要我们自己去探究，方法和定值问题类似。 1．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值； (3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，4(2)t的值为3或5(3)，理由见详解 【分析】（1）根据点的的运动列式即可求解； （2）分别表示点M表示的数为，点N表示的数为，分点M在点N左侧和点M在点N右侧两种情况分类列出方程，解方程即可求解；（3）当点M在点N的左侧时，，，即可求出，，根据中点定义得到，，，进而得到，即可得到，整理得到． 【详解】（1）解：当时，点M表示的数是，点N表示的数是． 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为， 当点M在点N左侧时，，解得； 当点M在点N右侧时，，解得．所以当时，求t的值为3或5； （3）解：．证明：如图，当点M在点N的左侧时，，， 所以，所以， 因为点C为的中点，点D为的中点，所以，， 所以，所以， 所以，所以． 【点睛】本题考查了数轴上点的运动，一元一次方程的应用，与中点有关的线段的计算等知识，根据题意用含t的式子表示点表示的数和线段的长度是解题关键． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)3(2)当时，点的运动时间的值为或20(3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰地分类讨论是解本题的关键．（1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案；（2）当点在线段上，，当点在线段的延长线上，，再建立方程求解即可；（3）先证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，， ∴，∴， ∵线段，∴，∴．故答案为：3． （2）当点在线段上，，如图， 为的中点，∴，解得， 当点在线段的延长线上，，如图， 同理：解得， 综上所述，当时，点的运动时间的值为或20； （3）当点在线段的反向延长线上时，，理由如下：如图， 为的中点，为的中点， 数轴（线段）中的阅读理解型（新定义）问题 ⭐技巧积累与运用 新定义问题的核心是：读懂相关概念与运算，结合相关知识点解决问题即可。 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴，∴点是线段的的“巧点”，故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点，∴则最长时，满足， 即，∴，故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点∴或，或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________； 若，，则_________． (2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值； ②若，则当为何值时，； ③若时，，则___________． 【答案】(1)；18(2)①；②；③或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的数量关系，解题关键在于理解新定义，根据新定义列出方程即可．（1）根据新定义，列出式子即可．（2）①设，，表示出，列式子求解． ②根据定义，，表示出，即可求解．③分两种情况进行讨论，一个是当在的左侧时，一个当在的右侧时，根据新定义列出式子，进行求解． 【详解】（1）解：若，，则， 若，，则， ∵，∴． ∵∴．故答案为：；18； （2）①，．∵，∴． ∴．∴； ②∵，，∴，则． ∴，， ∵，∴，故； ③∵．∴，．分两种情况： 当在的左侧时， ∵，∴．∴． 可知，，则； 当在的右侧时， ．， 则；综上所述，或；故答案为：或． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①5，；②M点为，N点为 (2)为，为(3)存在，n为5，为 【分析】（1）①由题意可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②根据，可得，即可． （2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和也关于中点1对称，且k值不变即可求解．（3）根据题意可得，根据，可得点，到的中点的距离相等，从而表达出对应和的值，从特殊取值过程中，研究n和点以及点的关系，总结出一般规律进行解题． 【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴， 又∵，， ∴M点为5，N点为，故答案为：5，． ②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴，且中点所对应的数为1， 又∵，∴中点所对应的数也为1， ∵，， ∴M点为，即，N点为，即； （2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称， ∴．∴， ∴．∴为，为． （3）解：存在，理由：∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”， ∴， ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴的中点所表示的数为1， ∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴，∴点，到的中点的距离相等， 当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为， 当n为2时，为，为， 当n为3时，为，为， 当n为4时，为，为， 以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是， 令，∴， ∴，∴． ． 当表示的数为65时，，解得：． 又∵和关于1对称，∴为． 答：存在次数n使得为65，此时n为5，为． 【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键． 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是；②点到达点时，；③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，根据两点间距离进行计算即可判断；利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断；根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【详解】解：∵已知(在的左侧)是数轴上的两点，点对应的数为，且， ∴对应的数为，故正确；∵，∴点到达点时，，故是正确的； 当点在点右边时，∵，∴，∴； 当点在点左边时，∵，∴，∴， ∴时，或，故错误； 在点的运动过程中，当点在点右边时，； 在点的运动过程中，当点在点左边时，； ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故错误；∴正确结论有，故选：． 2．（24-25·浙江七年级课时练习）如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为_________． 【答案】5或3.5 【分析】随着点B的运动，分别讨论点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况． 【详解】解：设运动时间为t秒， ①当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC， ∵，∴BD=AP+3PC，即4=2+2PC，∴PC=1，∴PD=PC+BD=5； ②当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2， 当点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC， ∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +2PC，∴PC=1，∴PD=PC+CD=5； 当点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC， ∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5； ③当t=时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC， ∵，∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5； ④当＜t＜时，0＜PC≤6，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC， ∵，∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5； 综上，线段的长为5或3.5，故答案为：5或3.5 【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意进行分情况讨论，不要漏解． 3．（2023春·河北保定·七年级专题练习）如图，数轴上标出的所有点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到A点的距离与到点的距离之和为24，则这样的点有 ___________个． 【答案】25 【分析】由题意可计算出点A到点G的长度为24，即得出点在线段上，再根据点表示的数是整数，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴点在线段上，即点P所表示的数的取值范围为是， ∵点表示的数是整数，∴或或或…或7或8，共25个．故答案为：25． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题．判断出点在线段上是解题关键． 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 ． 【答案】或33 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，由点，之间的关系，可得出点对应的数为，当运动时间为秒时，动点对应的数为，动点对应的数为，分点是线段的中点及点是线段的中点两种情况考虑（由点在点，的右边，可得出只有这两种情况），根据中点到另外两点的距离相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵点对应的数为3，点在点的左侧，且，∴点对应的数为． 当运动时间为秒时，动点对应的数为，动点N对应的数为． 当点是线段的中点，即时，，解得：； 当点是线段的中点，即时，，解得：． 综上所述，的值为或33．故答案为：或33． 5．（23-24七年级上·广东·课后作业）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】设运动的时间为t秒，点A表示的数为a，点b表示的数为b，点M表示的数为m，则，然后表示出，再由得到，再讨论点M在数轴上的位置，结合已知条件进行求解即可． 【详解】解；设运动的时间为t秒，点A表示的数为a，点b表示的数为b，点M表示的数为m，则，∴点C在数轴上表示的数为，点D在数轴上表示的数为，∴，∵，∴，即：， ①若点M在点B的右侧时，如图1所示： 由得，，即：；∴， ②若点M在线段上时，如图2所示： 由得， ，即：；∴； ③若点M在线段上时，如图3所示： 由得，，即：， ∵此时，∴此种情况不符合题意舍去； ④若点M在点A的左侧时，如图4所示： 由得，，即：；而，因此，不符合题意舍去，综上所述，的值为1或，故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了数轴表示数的意义，整式的加减计算，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用． 6．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置； （2）由题意知，；（3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵，∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵，∴点在边上，故答案为：； （2）解：由题意知，，故答案为：； （3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2． 【点睛】本题考查动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．（23-24七年级上·福建泉州·期中）如图，点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动4个单位长度至点，第3次从点向右移动7个单位长度至点，第4次从点向左移动10个单位长度至点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 ．这样移动2023次后该点到原点的距离为 ． 【答案】 7 3034 【分析】本题考查数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 依次求出每次移动后点所对应的数，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，移动1次后该点对应的数为1；移动2次后该点对应的数为； 移动3次后该点对应的数为；移动4次后该点对应的数为； 移动5次后该点对应的数为；…， 所以移动n次后该点对应的数为（n为奇数）； 又因为 当时，原式， 即移动2023次后该点对应的数为3034，所以该点到原点的距离为3034．故答案为：7，3034． 8．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知线段，线段在直线上运动（A在B左侧，C在D左侧），若(1)求线段的长．(2)若点M，N分别为线段的中点，且，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，则是一个定值，请加以说明． 【答案】(1)(2)(3)见解析． 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可得到答案；（2）分点C在点B左侧和右侧两种情况讨论求解即可；（3）先根据线段和差关系证明，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴，∴ （2）解：分两种情况讨论：①当点C在点B右侧时，如图所示： ∵点M，N分别为线段的中点， ∴，． ∴； ②当点C在点B左侧时，如图所示： ∵点M，N分别为线段的中点，∴，， ∴；综上所述，； （3）解：定值为2，说明如下： 点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示： ∴，∵，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和差关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，． 9．（2023·河南信阳·七年级校考期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：|m﹣12|+（n+3）2＝0 （1）则m＝　 　，n＝　 　；（2）①情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为　 　个单位长度：②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？（3）在（2）①的条件下，当火车AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB运动后对应的位置为A′B′．是否存在常数k使得3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m＝12，n＝﹣3；（2）①5；②应64岁；（3）k＝6，15 【分析】（1）由非负性可求m，n的值； （2）①由题意可得3AB＝m﹣n，即可求解；②由题意列出方程组，即可求解； （3）用参数t分别表示出PQ，B'A的长度，进而用参数t表示出3PQ﹣kB′A，即可求解． 【详解】解：（1）∵|m﹣12|+（n+3）2＝0，∴m﹣12＝0，n+3＝0，∴m＝12，n＝﹣3；故答案为12，﹣3； （2）①由题意得：3AB＝m﹣n，∴AB＝＝5，∴玩具火车的长为：5个单位长度，故答案为5； ②能帮小明求出来，设小明今年x岁，奶奶今年y岁， 根据题意可得方程组为： ，解得： ，答：奶奶今年64岁； （3）由题意可得PQ＝（12+3t）﹣（﹣3﹣t）＝15+4t，B'A＝5+2t， ∵3PQ﹣kB′A＝3（15+4t）﹣k（5+2t）＝45﹣5k+（12﹣2k）t，且3PQ﹣kB′A的值与它们的运动时间无关， ∴12﹣2k＝0，∴k＝6∴3PQ﹣kB′A＝45﹣30＝15 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想. 10．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧）， (1)________，________；(2)①当点与点重合时，________； ②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系； (3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)6，3；(2)①3；②；(3)线段的长度是定值， ． 【分析】此题主要考查非负数的性质，数轴上两点间的距离，线段的中点，理解非负数的性质，线段中点的定义，熟练掌握数轴上两点间的距离，线段的计算是解决问题的关键． （1）根据非负数的性质得，据此可得a，b的值； （2）①依题意得点A所对应的数是6，，得点C所对应的数为3，可求；②当点与点重合时，点B所对应的数为3，设在数轴上点P所对应的数为，得，进而可得；（3）由(2)可知点A所对应的数是6，，设点B所对应的数为t，则点C所对应的数为，再根据点为线段的中点，为线段的中点，得点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ，据此可的长． 【详解】（1）解：，， ，，故答案为：6，3； （2）解：①，点所对应的数是，，点所对应的数是6， 点在点的左侧，点C所对应的数为3，，故答案为：3； ②当点与点重合时，，点B所对应的数为3， 点是线段延长线上的点，设在数轴上点P所对应的数为，， ，即，、、之间的数量关系满足； （3）解：线段的长度是定值，；理由如下：由(2)可知∶点A所对应的数为6， 设在数轴上点B所对应的数为t， 点B在点C的左侧，，点C所对应的数为， 为线段的中点，为线段的中点，点所对应的数为， 点N所对应的数为∶ ， 11．（23-24七年级·福建泉州·期中）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别、，且满足，O为原点；在A、B两点处各放一个档板，M、N两个小球同时从数轴上的C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴的负方向运动，N以每秒4个单位的速度向数轴的正方向运动，小球碰到档板后立即向反方向运动且速度不变，设小球的运动时间为秒钟（）    (1)填空：线段AB的长为 ．(2)若M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好也是第一次碰到B档板，试确定点C的位置．(3)当时，试判断的值是否随时间的变化而变化？若它的值不变，请求出该值；若它的值会变，请通过计算说明理由． 【答案】(1)(2)点C在原点位置(3)不变， 【分析】（1）根据绝对值和偶次幂的非负性，列方程组求解即可；（2）根据题意列关于t的方程，解方程进而即可求解；（3）表示出当时，的值就可得的关系式，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，∴．故答案为：． （2）根据题意得，解得：，，∴点C在原点位置． （3）当时，， ∴， ∴的值不会随时间的变化而变化．∴． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 12．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示，点C表示24，点D表示，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2  ：动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1  动点P从点A运动至点B需要多少时间？ 探索2  动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； 探索3  动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】探索1：P从点A运动至点B的时间为秒；探索2：P表示的数为；探索3：动点P运动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，根据时间等于路程除以速度结合数轴上两点间距离列式求解即可得到答案； 【详解】解：探索1：∵点A表示，点B表示，∴，， ∵P在段初始速度为2个单位长度/秒，P在段速度为初始速度的一半， ∴P在段速度为1个单位长度/秒，∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 探索2  ∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在段速度为初始速度的两倍， ∴P在段速度为4个单位长度/秒， 由探索1可得：P在段运动时间为：秒，∴， ∵点B表示，∴P表示的数为：， 探索3：设t秒后，①当P在上时，∵，∴， ∵，∴，∴，∴（秒）； ②当P在上时∵，∴， ∵，∴，∴（秒）．综上：动点P运动的时间为秒或秒． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 【答案】11或40 【分析】设运动时间为秒，分，，和，四种情况分类讨论，求解即可。 【详解】解：由题意，得：，，， 点从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 点从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 设运动时间为秒时，P、Q两点到点C的距离相等， ①当时，依题意，得：，解得（舍去）； ②当时，依题意，得： ，解得； ③当时，依题意，得：，解得（舍去）； ④当时，依题意，得：，解得． 故运动时间为11或40秒时，P、Q两点到点C的距离相等．故答案为：11或40． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，正确的列出方程，是解题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵，即与重合，∴与C之间的距离为．故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 3．（2023·浙江杭州·七年级期中）如图，已知O为数轴原点，A，B，C是数轴上三点，它们表示的数分别是4，10， －20.动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为AP的中点，点N在BQ上，且，R为PQ的中点，设运动时间为t秒（t>0），当满足2MO＋2RO=NO时，t=________秒. 【答案】t=1s或s． 【分析】根据题意可得点P在数轴上表示的数为-20+6t，点Q在数轴上表示的数为10+3t，点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为10+ 3t×（1-）=10+t，根据2MO＋2RO=NO把问题转化为绝对值方程解决即可. 【详解】由题意可得：点P在数轴上表示的数为-20+6t，点Q在数轴上表示的数为10+3t，点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为10+ 3t×（1-）=10+t， ∴，，， ∵2MO＋2RO=NO，∴，即， ①当0＜t≤时，，解得t=1， ②当＜t≤时，，解得t=2， ③当t＞时，，解得t=(舍)； 综上所述，t=1s或s． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴、绝对值、两点间距离等知识，解题的关键是理解题意，学会构建绝对值方程解决问题． 4．（23-24七年级上·四川南充·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位，记为．动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒．    (1)当时，两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当、两点相遇时，求运动时间的值．(3)若“折线数轴”上定点与两点相距的长度相等，当为何值时，、与点相距的长度之和等于6？ 【答案】(1)当时，，两点在数轴上相距16个单位长度； (2)当，两点相遇时，运动时间的值为秒； (3)当秒或秒或秒时，、与点相距的长度之和等于6． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找到相等关系是解题的关键． （1）由点，，，表示的数，可求出，及的值，利用时间路程速度，可求出点到达点及点到达点所需时间，结合，的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，可找出当时，点，表示的数，进而可求出的长； （2）当时，点表示，点表示，由点，相遇时两点表示的数相同，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出结论； （3）由定点与，两点相距的长度相等，可得出点表示6，利用时间路程速度，结合（1）可求出点到达点及点到达点所需时间，分情况讨论，可得出关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：点表示，点表示0，点表示12，点表示20， ，，．（秒，（秒， 当时，点表示，点表示，． 答：当时，，两点在数轴上相距16个单位长度； （2）解：由题可知，M从至的时间为秒，从到为秒， ∴M、N两点相遇在线段上于P处， 当时，点表示，点表示， 根据题意得：，解得：． 答：当，两点相遇时，运动时间的值为秒； （3）解：“折线数轴”上定点与，两点相距的长度相等，点表示． （秒），（秒），（秒），（秒）， 当时，即点在上，点表示，点表示， ，．根据题意得：，解得：； 当时，即相遇前，点表示，点表示， ，．根据题意得：，解得：； 当时，即相遇后且点在上，点表示，点表示， ，．根据题意得：，解得：； 当时，即点在上，点在上，点表示，点表示， ，．根据题意得：，解得：(舍去)； 答：当秒或秒或秒时，、与点相距的长度之和等于6． 5．（2024·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)(2)8或24(3)，见解析 【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解； （2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解； （3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系． （1）解：∵ M为AP的中点，，∴ ， ∵线段，N为BP的中点，∴．故答案是：2； （2）解：①当点P在线段AB上，时，如图， ∵，，∴，解得：． ②当点P在线段AB的延长线上，时，如图， ∵，，∴，解得：． 综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24． （3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键． 6．（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒． (1)若点在线段上运动，当时， ；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)3；(2)或20；(3)，理由见解析． 【分析】（1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案；（2）①当点P在线段上，， ②当点P在线段的延长线上，，再建立方程求解即可；（3）先证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，， ∴，，∴， ∵线段，∴，∴． （2）①当点P在线段上，，如图， ∵，为的中点，∴，解得 ②当点P在线段的延长线上，，如图， 同理：，解得 综上所述，当时，点P的运动时间t的值为或20． （3）当点P在线段的反向延长线上时，，理由如下：如图， ∵，为的中点，为的中点，∴，， ，． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键． 7．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【定义】：若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】：如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】：(1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①和，见解析，②2或 【分析】本题查了新定义下线段和差倍数关系和一元一次方程的应用， 根据新定义即可求得；结合，可得，即可求得； ①根据题意可得和，结合新定义即可求得和，即有结论成立；②分两种情况点Q到达点A前，且点P未到达点B；点P到达点B前，且点Q从点A未到达点B前用，分别求得和，进一步列出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴；故答案为：，； （2）①∵点P，Q的运动速度均为，∴，， ∵，∴，，； ②∵点P到达点B时，P，Q都停止运动，∴点Q到达点A前，且点P未到达点B用时；点P到达点B时，且点Q从点A未到达点B前用时，用时， 当时，，，则，解得； 当时，，，则，解得； 综上所述，或时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$