精品解析：上海市浦东新区进才中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年上海市浦东新区进才中学八年级（上） 月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 下列各组中，两个变量间成正比例关系的是（） A. 正方形的面积与边长 B. 从甲地到乙地，所用的时间和速度 C. 圆的周长和半径 D. 三角形面积一定时，它的一边长和这条边上的高 2. 若点（，），（，），（，），都是反比例函数图像上的点，并且，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（ ） A. 的角平分线 B. 的中线 C. 的高 D. 所在直线是的中垂线 4. 下列命题中，逆命题是假命题的是（） A. 两直线平行，同旁内角互补 B. 全等三角形对应角相等 C. 全等三角形对应边相等 D. 如果，那么 5. 如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（ ） A. ∠1=2∠2 B. 2∠1+∠2=180° C. ∠1+3∠2=180° D. 3∠1-∠2=180° 6. 如图，已知中，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交于点G，联结．交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 函数的定义域是________． 8. 已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为________． 9. 若、是同一个正比例函数图象上的两点，则______． 10. 在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2023．”乙同学说：“当时，y随着x的增大而减小．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是________． 11. 已知点是直线与双曲线图像的一个交点，那么这两个函数图像的另一个交点坐标为________． 12. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE=____cm． 13 如图，中，垂直平分交于点E，，则________． 14. 如果一个三角形的两边的垂直平分线交点在第三边上，则这个三角形的最大角的度数是________． 15. 点为反比例函数上一点，以为腰画等腰直角，若点在第三象限，则点的坐标为________． 16. 在中，垂直平分分别交于M、N．如果是等腰三角形，那么的大小是_____． 17. 如图，在ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，DE⊥AB于D，如果AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，那么EBD的周长为_____． 18. 如图，已知中的高恰好平分边，，点是延长线上一点，点是线段上一点，且，下面的结论：，，，是等边三角形．其中正确的为________．（填序号） 三、解答题（本大题共7题，共58分，★第20、21、23题推理过程中要在括号内写好依据） 19. 如图，A、B两地相距30千米，甲骑自行车在中午12点从A地出发前往B地，乙在甲出发1小时后骑电瓶车从A地前往B地．图中的线段和线段分别反映了甲和乙所行驶的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系，请根据图像所提供的信息回答问题： （1）乙行驶 小时后与甲相遇，两人的相遇地点距离B地 千米； （2）当甲乙两人相距5千米，此刻时间是下午 （写出所有可能的时间点）； （3）写出甲所行驶的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式 ； （4）乙的行驶速度比甲快 千米/时． 20. 如图，已知AB＝AC，∠BEF＝∠CFH，BE＝CF，M是EH的中点．求证：FM⊥EH． 21. 如图，已知是的中线，点E是上的一点，交于点F．，，，求的大小． 22. 如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿方向运动至点A处停止，设P点运动的路程为，的面积为，y关于x的函数图象如图2所示， （1）求长方形的面积； （2）当时，求关于的函数解析式； （3）当何值时，． 23. 如图，在中，平分，E、F分别是上的点． （1）当时，求证：； （2）若，求的面积． 24. 如图．已知直线与双曲线交于A、B两点．点C在x轴正半轴上，为等腰直角三角形，． （1）求k值； （2）若双曲线上一点D的纵坐标为8，求的面积； （3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为12．求点P的坐标（直接写出答案）． 25. 在中，，点D是直线上的一点（不与点B、C重合）．以为腰作等腰（在的右侧），且，，联结． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）设，求y关于x的函数解析式； （3）当时，直线与射线相交于点F，若为等腰三角形，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上海市浦东新区进才中学八年级（上） 月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 下列各组中，两个变量间成正比例关系的是（） A. 正方形的面积与边长 B. 从甲地到乙地，所用的时间和速度 C. 圆的周长和半径 D. 三角形面积一定时，它的一边长和这条边上的高 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数关系，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键．根据正比例函数的定义解决此题． 【详解】解：A．设正方形的边长为，面积为，则，那么与不成正比例关系，故A不符合题意； B．设时间为，速度为，则，那么与成反比例关系，故B不符合题意； C．设圆的周长为，圆的半径为，则，那么与是正比例关系，故C符合题意 D．设三角形的面积为，它的一条边长与这条边上的高分别为与，则，那么与是反比例关系，故D不符合题意． 故选：C． 2. 若点（，），（，），（，），都是反比例函数图像上的点，并且，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣1＜0， ∴此函数的图像在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵y1＜0＜y2＜y3， ∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x2，y2）两点均在第二象限， ∴x2＜x3＜x1． 故选D． 3. 已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（ ） A. 的角平分线 B. 的中线 C. 的高 D. 所在直线是的中垂线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质作答． 【详解】解：∵点P是边上一点，且到的距离相等，， ∴线段一定是的平分线，即线段一定是的角平分线． 故选：A． 4. 下列命题中，逆命题是假命题的是（） A 两直线平行，同旁内角互补 B. 全等三角形对应角相等 C. 全等三角形对应边相等 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．交换原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：对应角相等三角形全等，错误，是假命题，符合题意； C、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意； D、逆命题为：如果，那么，正确，是真命题，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（ ） A. ∠1=2∠2 B. 2∠1+∠2=180° C. ∠1+3∠2=180° D. 3∠1-∠2=180° 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠B=180°－2∠1=∠C，根据三角形的外角性质可得∠C=∠1－∠2，进一步即得答案． 【详解】解：∵AB=AC=BD， ∴∠BAD=∠1，∠B=∠C， ∴∠B=180°－2∠1=∠C， ∵∠C=∠1－∠2， ∴180°－2∠1=∠1－∠2， ∴3∠1－∠2=180°． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 6. 如图，已知中，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交于点G，联结．交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，由是边上的高，，推导出，而是的平分线，，所以，可判断A不符合题意；假设一定成立，则，所以，推导出，显然与已知条件不符，所以不一定成立，可判断B符合题意；由，证明，得，可判断C不符合题意；再证明，则，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∵， ∴，故A不符合题意； 假设一定成立，则， ∴， ∴，显然与已知条件不符， ∴不一定成立，故B符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D不符合题意， 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围及二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件得，即可求解；理解有意义的条件为是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 8. 已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数定义和反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图象分布得出m的值． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， 解得：， ∵它的两个分支分别在第一、三象限， ∴，即， 则． 故答案为：3． 9. 若、是同一个正比例函数图象上的两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，设正比例函数解析式为，先把B点坐标代入得到正比例函数解析式为，然后把A点坐标代入求出a即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 所以正比例函数解析式为， 把代入得． 故答案为：． 10. 在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2023．”乙同学说：“当时，y随着x的增大而减小．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数的性质，根据甲同学的说法确定，再根据乙同学的说法确定，继而得到反比例函数的解析式即可． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式为：， 故答案为：． 11. 已知点是直线与双曲线图像的一个交点，那么这两个函数图像的另一个交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数交点问题及反比例函数与正比例函数图象的中心对称性，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：点是直线与双曲线图像的一个交点， ，解得：， 因为直线过原点，双曲线的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为，另一交点的坐标是． 故答案为：． 12. 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB＝20cm，AC＝8cm，则DE=____cm． 【答案】2 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，根据三角形的面积公式可得，然后代入数据计算即得答案． 【详解】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE=DF， ∵△ABC面积是28，AB＝20cm，AC＝8cm， ∴， 即，解得：DE=2cm． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题目，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 13. 如图，中，垂直平分交于点E，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，根据中垂直平分，可求出，再根据等腰三角形的性质求出，再由，，根据三角形内角和定理可求的度数，即可解答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如果一个三角形的两边的垂直平分线交点在第三边上，则这个三角形的最大角的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据垂直平分线的性质，AF=BF，BF=CF，再根据等边对等角的性质，得到，，然后利用三角形内角和定理，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，垂直平分，垂直平分，、交点在上， ，， ，， ， ， ， 这个三角形最大角度数是， 故答案为：． 15. 点为反比例函数上一点，以为腰画等腰直角，若点在第三象限，则点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质；①当时，过作轴交于，过作轴交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求解； ②当时，同理可求； 等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，能根据等腰直角三角形的直角顶点不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ①当时， 如图，过作轴交于，过作轴交于， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ； ②当时， 如图，过作轴交于，过作轴交于，交的延长线于， ，， 轴， ， 同理可证：， ， ， ， ， ； 综上所述：的坐标为或； 故答案：或． 16. 在中，垂直平分分别交于M、N．如果是等腰三角形，那么的大小是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，首先根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到．然后对中的边进行讨论，然后在中，利用三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴． ∴， ∵， ∴． 设，则． 1）当时，． 则在中，根据三角形内角和定理可得：， 解得：， 则； 2）当时，，而，故此时不成立； 3）当时， ． 在中，根据三角形内角和定理得到：， 解得：． 即的度数为或． 故答案为：或． 17. 如图，在ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，DE⊥AB于D，如果AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，那么EBD的周长为_____． 【答案】6cm 【解析】 【分析】首先根据角平分线的性质可得CE＝DE，再利用HL定理证明Rt△ADE≌Rt△ACE，进而可得AD长，从而可得DB长，然后再计算出DE+EB长即可得到△EBD的周长． 【详解】∵AE平分∠BAC，DE⊥AB于D，∠ACB＝90°， ∴CE＝DE， 在Rt△ADE和Rt△ACE中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ACE（HL）， ∴AC＝AD＝3cm， ∵AB＝5cm， ∴DB＝2cm， ∵BC＝4cm， ∴DE+EB＝4cm， ∴△EBD的周长为6cm， 故答案为：6cm． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 18. 如图，已知中的高恰好平分边，，点是延长线上一点，点是线段上一点，且，下面的结论：，，，是等边三角形．其中正确的为________．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质直接判断即可；由于，据此即可判断本结论；连接，利用可证得，于是可得，，由等边对等角可得，然后根据已知条件即可判断本结论；由三角形的内角和定理可得，，进而可得，结合，，于是可得，再结合已知条件即可判断本结论；综上，即可得出答案． 【详解】解：中的高恰好平分边， 是线段的垂直平分线， ，故结论正确； 由图易知， 不正确，故结论不正确； 如图，连接， 中的高恰好平分边， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，故结论正确； 在中，， 在中，， ， ，， ， 又， 是等边三角形，故结论正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，共58分，★第20、21、23题推理过程中要在括号内写好依据） 19. 如图，A、B两地相距30千米，甲骑自行车在中午12点从A地出发前往B地，乙在甲出发1小时后骑电瓶车从A地前往B地．图中的线段和线段分别反映了甲和乙所行驶的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系，请根据图像所提供的信息回答问题： （1）乙行驶 小时后与甲相遇，两人的相遇地点距离B地 千米； （2）当甲乙两人相距5千米，此刻的时间是下午 （写出所有可能的时间点）； （3）写出甲所行驶的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式 ； （4）乙的行驶速度比甲快 千米/时． 【答案】（1）1，10 （2）或 （3） （4）10 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，解题的关键是数形结合思想的应用，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由图象可得，乙行驶1小时后与甲相遇，两人的相遇地点距离B地（千米）； （2）由图可知，甲出发1.5小时或2.5小时，甲乙两人相距5千米，故此刻的时间是下午或； （3）甲所行驶的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式为； （4）求出甲的速度为（千米/时），乙的速度为（千米/时），即得乙的行驶速度比甲快（千米/时）． 【小问1详解】 解：由图象可得，乙行驶1小时后与甲相遇，两人的相遇地点距离B地（千米）， 故答案为：1，10； 【小问2详解】 解：由图可知，甲出发1.5小时或2.5小时，甲乙两人相距5千米， ∴当甲乙两人相距5千米，此刻的时间是下午或； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：甲所行驶的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式为； 故答案为：； 【小问4详解】 解：甲的速度为（千米/时），乙的速度为（千米/时）， ∴乙的行驶速度比甲快（千米/时）， 故答案为：10． 20. 如图，已知AB＝AC，∠BEF＝∠CFH，BE＝CF，M是EH的中点．求证：FM⊥EH． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可求∠B=∠C，根据ASA可证△BEF≌△CFH，根据全等三角形的性质可求EF=FH，再根据等腰三角形的性质可证FM⊥EH． 【详解】解：证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BEF与△CFH中， ， ∴△BEF≌△CFH（ASA）， ∴EF=FH， ∵M是EH的中点， ∴FM⊥EH． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是根据ASA证明△BEF≌△CFH． 21. 如图，已知是的中线，点E是上的一点，交于点F．，，，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，延长到点H，使，连接，由是的中线，得，而，即可根据“”证明，得，，则，求得，而，则． 【详解】解：延长到点H，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 22. 如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿方向运动至点A处停止，设P点运动的路程为，的面积为，y关于x的函数图象如图2所示， （1）求长方形的面积； （2）当时，求关于的函数解析式； （3）当为何值时，． 【答案】（1）40 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． （1）先结合函数图象可得，再利用长方形的面积公式求解即可得； （2）当时，点在上运动，则，利用三角形的面积公式求解即可得； （3）分别求出、和时，关于的函数解析式，再根据函数解析式求出时，的值即可得． 【小问1详解】 解：∵当点在上运动（含端点和）时，的面积不变， ∴由函数图象可知，， ∴， 则长方形的面积为． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， 当时，点在上运动，则， ∴的面积． 【小问3详解】 解：∵动点从点出发，沿方向运动至点处所走的路程为， ∴， ①当时，， 若，则，解得，符合题设； ②当时，，则此时的面积不可能等于10； ③当时，， 则， 若，则，解得，符合题设； 综上，当为或时，． 23. 如图，在中，平分，E、F分别是上的点． （1）当时，求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2）22 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作出恰当辅助线是解题的关键． （1）过D作于M，于N，根据角平分线性质求出，根据四边形的内角和定理和平角定义求出，证明即可得解； （2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到，进而得出，过D作于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到的面积． 【小问1详解】 证明：如图，过D作于M，于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于G， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 24. 如图．已知直线与双曲线交于A、B两点．点C在x轴正半轴上，为等腰直角三角形，． （1）求k的值； （2）若双曲线上一点D的纵坐标为8，求的面积； （3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为12．求点P的坐标（直接写出答案）． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标是或 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．利用数形结合的思想，求得三角形的面积． （1）设，过A作于H，等腰直角三角形的性质得到，求得，把代入得即可得到结论； （2）根据双曲线上一点D的纵坐标为8，得到，如图，过D作轴于G，则，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么的面积就应该是四边形面积的四分之一即3．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出的面积，由于的面积为3，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标． 【小问1详解】 解：设， 过A作于H， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 把代入得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵双曲线上一点D的纵坐标为8， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作轴于G， 则， ∴的面积=四边形的面积； 【小问3详解】 解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点P的横坐标为且， 得， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图， ∵， ∴． ∴． ∴（舍去）， ∴； 若，如图， ∵， ∴． ∴， 解得（舍去）， ∴． ∴点P的坐标是或． 25. 在中，，点D是直线上的一点（不与点B、C重合）．以为腰作等腰（在的右侧），且，，联结． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）设，求y关于x的函数解析式； （3）当时，直线与射线相交于点F，若为等腰三角形，求的大小． 【答案】（1）见解析； （2）当点D在点B左侧，；当点D在点B右侧，； （3）的度数是或或 【解析】 【分析】（1）根据，进而可依据“”判定和全等； （2）依题意得分三种情况讨论如下：①当点D在线段的延长线上时，②当点D在线段上时，③当点D在线段的延长线上时，对于每一种情况，根据（1）的结论及三角形的内角和定理得出y关于x的函数解析式即可； （3）当时，，再分三种情况讨论如下：①当点D在线段的延长线上时，②当点D在线段上时，③当点D在的延长线上时，对于每一种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵点D是直线上的一点（不与点B、C重合）， ∴有以下三种情况： ①当点D在线段的延长线上时，如图1所示： 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y关于x的函数解析式为：； ②当点D在线段上时，如图2所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y关于x的函数解析式为：； ③当点D在线段延长线上时，如图3所示： 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y关于x的函数解析式为：， 综上所述：y关于x的函数解析式为：当点D在点B左侧，；当点D在点B右侧，； 【小问3详解】 解：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与射线相交于点F， ∴有以下三种情况： ①当点D在线段的延长线上时，如图4所示： ∵， ∴， ∴当是等腰三角形时，只有一种情况：， ∴， ∴， 在中，； ②当点D在线段上时，如图5所示： ∵， ∴， ∴， ∴不存在这种情况； 当时，则， 这与相矛盾， ∴不存在这种情况； 当时，则， ∴， 这与相矛盾， ∴不存在这种情况， 综上所述：当点D在线段上时，不存在为等腰三角形的情况； ③当点D在的延长线上时，如图6所示： ∵， ∴， ∴不存在这种情况； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的度数是或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用三角形内角和定理进行角度的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$