第07讲 一元二次方程及应用（讲练）（思维导图+9考点+6种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第07讲 一元二次方程及应用 （思维导图+9个考点+6种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 题型精研 考向洞悉 4 重点考点一 一元二次方程的相关概念 4 重点考点二 解一元二次方程 4 重点考点三 一元二次方程根与系数的关系 7 重点考点四 一元二次方程的应用 8 题型精研 考向洞悉 10 第一部分：常考考点讲练 10 考点1：一元二次方程的一般形式 10 考点2：解一元二次方程-直接开平方法 10 考点3：解一元二次方程-配方法 11 考点4：解一元二次方程-公式法 11 考点5：解一元二次方程-因式分解法 12 考点6：解一元二次方程-因式分解法 13 考点7：根与系数的关系 13 考点8：一元二次方程的应用 14 考点9：配方法的应用 15 第二部分：高频题型洞悉（一元二次方程的实际应用） 15 题型1：传播问题（一元二次方程的应用） 15 题型2：增长率问题（一元二次方程的应用） 15 题型3：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 16 题型4：营销问题（一元二次方程的应用） 18 题型5：动态几何问题（一元二次方程的应用） 19 题型6：其他问题（一元二次方程的应用） 22 分层训练 巩固提升 23 基础夯实训练 23 能力拔高训练 26 考点要求 新课标要求 命题预测 一元二次方程的相关概念 · 理解一元二次方程的相关概念. 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右. 预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 一元二次方程的解法 · 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； · 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； 一元二次方程的根与系数的关系 · 了解一元二次方程的根与系数的关系. 一元二次方程的应用 · 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 重点考点一 一元二次方程的相关概念 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 利用方程根的概念将方程的根代入原方程再解方程就可以求出参数的值，同时还要注意限制参数取值的其他隐含条件. 重点考点二 解一元二次方程 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 1. 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根. 2. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 3. 求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0. 4. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值. 5. 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, >0; 2）有两个相等的实数根时, =0; 3）没有实数根时, <0. 6. 一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 若一元二次方程中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两个不相等的实数根 重点考点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝. 2. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0. 3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值. 4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 求含有两根的代数式的值：将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果. 重点考点四 一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 第一部分：常考考点讲练 考点1：一元二次方程的一般形式 【例1】（2024•连云区二模）一元二次方程二次项的系数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2022•邳州市校级模拟）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　 A．2，， B．2，， C．2，，3 D．，，7 【变式2】（2022•常州模拟）将一元二次方程化成一般形式之后，一次项系数和常数项分别是　　 A．，1 B．1，1 C．， D．1， 考点2：解一元二次方程-直接开平方法 【例2】（2022•泗阳县一模）方程的解是　　 A．， B． C． D． 【变式1】（2022•锡山区校级二模）解方程（组 （1） ； （2）． 【变式2】（2022•惠山区校级二模）（1）解方程：； （2） 解不等式组：． 考点3：解一元二次方程-配方法 【例3】（2024•玄武区校级三模）一元二次方程配方为，则的值是 　　． 【变式1】（2024•徐州）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【变式2】（2024•新吴区二模）（1）解方程：； （3） 解不等式组． 考点4：解一元二次方程-公式法 【例4】（2024•常熟市模拟）我们规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，若，且，则的值为 　　． 【变式1】（2024•宝应县校级模拟）（1）解方程：； （2） 解不等式组：． 【变式2】（2024•新沂市校级模拟）（1）解方程：； （3） 解不等式组：． 考点5：解一元二次方程-因式分解法 【例5】（2024•海门区校级模拟）下列各数是一元二次方程的根的是　　 A． B．4 C． D．3 【变式1】（2024•亭湖区校级模拟）一元二次方程的解是 　，　． 【变式2】（2024•天宁区校级模拟）解下列方程： （1）； （2）． 考点6：解一元二次方程-因式分解法 【例6】（2024•宿迁）规定：对于任意实数、、，有【，】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★．若关于的方程【，】★有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　 A． B． C．且 D．且 【变式1】（2023•姑苏区校级二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（2024•宿城区校级二模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 考点7：根与系数的关系 【例7】（2024•海门区校级模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　个． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2024•鼓楼区校级模拟）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 考点8：一元二次方程的应用 【例8】（2024•邗江区校级三模）为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程3天，每天安排5场比赛，则应邀请 　　个球队参赛． 【变式1】（2024•泰兴市二模）随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有3.5万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到5.04万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？ 【变式2】（2024•姜堰区二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：亩）之间满足函数关系为：，乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： （1）若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； （2）如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 考点9：配方法的应用 【例9】（2024•南通模拟）已知，则的最小值是　　 A． B．0 C．2 D．4 【变式1】（2023•仪征市二模）设实数、、满足，则代数式的最大值是　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（2024•通州区二模）已知实数，满足，若，则的最小值为 　　． 【变式3】（2024•宝应县一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式、是常数）配成是常数）的形式，则的最小值是 　　． 第二部分：高频题型洞悉（一元二次方程的实际应用） 题型1：传播问题（一元二次方程的应用） 【例1】（21-22九年级上·广东云浮·期中）有人患了流感后，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式1】（16-17九年级上·山东济宁·期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2021·江苏盐城·一模）据美国约翰斯霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据实时统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万．已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了 人． 题型2：增长率问题（一元二次方程的应用） 【例2】（19-20九年级上·山东济南·期中）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏常州·模拟预测）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； 题型3：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【例3】（2024·江苏徐州·一模）如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？ 【变式1】（2023·江苏南通·二模）我国明代数学著作《算学宝鉴》中记载一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺．两隅斜进，恰好方齐，请问三色，各该有几？”译文：现在有一座门（矩形），不知道高度和宽度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺；拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺；沿对角线斜着进，恰好通过．问门的高度、宽度及竹竿的长度各是多少尺？设竹竿的长度为x尺，可列方程为 ． 【变式2】（21-22九年级上·北京丰台·期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的左、中、右通道的宽度是多少m？    题型4：营销问题（一元二次方程的应用） 【例4】（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 【变式1】（2022·江苏扬州·一模）某书店以每本30元的价格购进一批图书进行销售，物价局根据市场行情规定这种图书的销售单价不低于42元且不高于62元．在销售中发现，该种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）之间存在某种函数关系，对应如表： 销售单价x（元） 43 45 47 49 … 销售数量y（本） 54 50 46 42 … (1)用你所学过的函数知识，求出y与x之间的函数关系式； (2)请问该种图书每天的销售利润w（元）的最大值是多少？ (3)如果该种图书每天的销售利润必须不少于600元，试确定该种图书销售单价x的范围． 【变式2】（2024·江苏常州·模拟预测）常州市著名旅游景区“中华恐龙园”应疫情防控要求，严格控制每日来访旅客人数．已知于2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，而在2021年春节长假期间，接待游客仅达16.2万人次． (1)则“中华恐龙园”2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均减少率为_____； (2)“中华恐龙园”景区内一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促前活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 题型5：动态几何问题（一元二次方程的应用） 【例5】（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动．    (1)经过后（），的面积等于，求t的值； (2)经过后，（），的长度为，求t的值； (3)的面积能否等于？ 【变式1】（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数交于点C，且，轴交反比例函数于点D．    (1)则__________， _________； (2)若点E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作，交反比例函数于点F．若，求m的值． 【变式2】（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 题型6：其他问题（一元二次方程的应用） 【例6】（2024·江苏苏州·二模）“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包． (1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时？ (2)由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？ 【变式1】（20-21八年级下·北京通州·期末）《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 【变式2】（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高” (1)正比例函数的“单位铅直高”______； (2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值； (3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值； (4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值． 基础夯实训练 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）甲，乙二人分别从相距千米的两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走千米，结果甲到达地后乙还需分钟才能到达地，求乙每小时走多少千米？（    ） A． B．或 C． D． 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）抛物线（是常数，）经过三点，且，下列四个结论，其中正确的有（    ） ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（21-22九年级上·重庆璧山·期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（    ） A．35 B．30 C．26 D．21 4．（2022·江苏苏州·一模）如图，将直线向下平移一个单位长度后交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线于点C，以线段AB为边向上方作平行四边形ABDE，点E恰好落在双曲线上，连接CE，CD，若轴，四边形BCED的面积为8，则k的值为（    ） A．－12 B． C． D．－4 5．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知 ，分别是方程的两个实数根，则 ． 7．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 8．（2023·江苏无锡·一模）如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为   ． 9．（2024·江苏无锡·模拟预测）解方程或不等式 (1)解不等式组： (2)解方程：． 10．（2024·江苏常州·模拟预测）为服务全民健身战略，学校体育馆周末面向社会开放．据统计，2月入馆128人次，入馆人次逐月增加，4月达到288人次．设入馆人次的月均增长率相同． (1)求入馆人次的月均增长率； (2)受条件限制，体育馆月接纳能力不能超过400人次．在入馆人次的月均增长率不变的前提下，体育馆能接纳5月的入馆人次吗？说明理由． 11．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点的坐标． 12．（2024·江苏南通·模拟预测）如图1，在矩形中，，M，N，P，Q分别从A，B，C，D出发，沿方向在矩形的边上同时运动，运动速度分别是，，当其中一个点到达所在运动边的另一个端点时，四个点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点M，Q重合； (2)当以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值或范围； (3)如题图2，连接，交于点E，交于点F，当t为何值时，． 能力拔高训练 13．（2022·广西桂林·一模）某厂1月份生产产品100台，计划2月、3月共生产250台．设2月、3月平均每月的增长率是，根据题意，列方程是(   ) A． B． C．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝250 D．100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝250 14．（21-22九年级下·四川成都·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 15．（2021·江苏泰州·一模）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　） A．x1+x2＞0 B．x1•x2＜0 C．x1≠x2 D．方程必有一正根 16．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（    ）    A． B． C． D．1 17．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为，则该方程的正数解，小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为55，则该方程的正数解为 ． 18．（23-24九年级上·山东东营·期中）如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于 ． 19．（23-24九年级上·广西河池·阶段练习）三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的第三条边长为 ． 20．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 21． （2024·江苏徐州·模拟预测）（1）解方程： （2） 解不等式组： 22．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； (2)设该函数图像的顶点为C，与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m 的值． 23．（2024·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)请分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)把一次函数的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值． 24．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系中，设函数（是常数，）． (1)若点和在该函数的图象上，则函数图象的顶点坐标是______； (2)若点在该函数的图象上，且该函数图象与轴有两个不同的交点（在的左边），，则______； (3)已知，当（是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第07讲 一元二次方程及应用 （思维导图+9个考点+6种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 题型精研 考向洞悉 4 重点考点一 一元二次方程的相关概念 4 重点考点二 解一元二次方程 5 重点考点三 一元二次方程根与系数的关系 7 重点考点四 一元二次方程的应用 8 题型精研 考向洞悉 10 第一部分：常考考点讲练 10 考点1：一元二次方程的一般形式 10 考点2：解一元二次方程-直接开平方法 11 考点3：解一元二次方程-配方法 13 考点4：解一元二次方程-公式法 14 考点5：解一元二次方程-因式分解法 16 考点6：解一元二次方程-因式分解法 17 考点7：根与系数的关系 19 考点8：一元二次方程的应用 23 考点9：配方法的应用 24 第二部分：高频题型洞悉（一元二次方程的实际应用） 26 题型1：传播问题（一元二次方程的应用） 26 题型2：增长率问题（一元二次方程的应用） 27 题型3：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 29 题型4：营销问题（一元二次方程的应用） 30 题型5：动态几何问题（一元二次方程的应用） 34 题型6：其他问题（一元二次方程的应用） 41 分层训练 巩固提升 44 基础夯实训练 44 能力拔高训练 58 考点要求 新课标要求 命题预测 一元二次方程的相关概念 · 理解一元二次方程的相关概念. 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右. 预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 一元二次方程的解法 · 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； · 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； 一元二次方程的根与系数的关系 · 了解一元二次方程的根与系数的关系. 一元二次方程的应用 · 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 重点考点一 一元二次方程的相关概念 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 利用方程根的概念将方程的根代入原方程再解方程就可以求出参数的值，同时还要注意限制参数取值的其他隐含条件. 重点考点二 解一元二次方程 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 1. 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根. 2. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 3. 求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0. 4. 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c 的值. 5. 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, >0; 2）有两个相等的实数根时, =0; 3）没有实数根时, <0. 6. 一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 若一元二次方程中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两个不相等的实数根 重点考点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝. 2. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0. 3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值. 4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 求含有两根的代数式的值：将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果. 重点考点四 一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 第一部分：常考考点讲练 考点1：一元二次方程的一般形式 【例1】（2024•连云区二模）一元二次方程二次项的系数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】根据一元二次方程的一般形式，找出一元二次方程的一次项，即可得系数值． 【规范解答】解：一元二次方程二次项是， 一次项的系数是3． 故选：． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式为是关键． 【变式1】（2022•邳州市校级模拟）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是　　 A．2，， B．2，， C．2，，3 D．，，7 【思路点拨】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【规范解答】解：一元二次方程化为一般形式为：， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，，， 故选． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【变式2】（2022•常州模拟）将一元二次方程化成一般形式之后，一次项系数和常数项分别是　　 A．，1 B．1，1 C．， D．1， 【思路点拨】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【规范解答】解：将一元二次方程化成一般形式之后，变为， 故一次项系数和常数项分别是：1，． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 考点2：解一元二次方程-直接开平方法 【例2】（2022•泗阳县一模）方程的解是　　 A．， B． C． D． 【思路点拨】将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【规范解答】解：（1）， 变形得：， 开方得：，， 故选：． 【考点评析】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【变式1】（2022•锡山区校级二模）解方程（组 （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先移项，再开平方求解； （2）方程组利用代入消元法求出解即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， 解得：，； （2）， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：． 故方程组的解为． 【考点评析】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程及方程组的解法是解本题的关键． 【变式2】（2022•惠山区校级二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）先将一元二次方程配方成，直接开平方即可求出方程的解； （2）分别解不等式①和②，即可确定不等式组的解集． 【规范解答】解：（1）， ， ； （2）解不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为：． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，熟练掌握直接开平方的方法和解不等式组的方法是解题的关键． 考点3：解一元二次方程-配方法 【例3】（2024•玄武区校级三模）一元二次方程配方为，则的值是 　1　． 【思路点拨】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到的值． 【规范解答】解：， ， ， ， 一元二次方程配方为， ， 故答案为：1． 【考点评析】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形． 【变式1】（2024•徐州）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【思路点拨】（1）利用配方法解方程即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， ，； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键． 【变式2】（2024•新吴区二模）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【思路点拨】（1）利用配方法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【规范解答】解：（1）， ， 则，即， ， ，； （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为． 【考点评析】本题主要考查解一元二次方程的能力和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 考点4：解一元二次方程-公式法 【例4】（2024•常熟市模拟）我们规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，若，且，则的值为 　　． 【思路点拨】利用题中的新定义得到关于的一元二次方程，然后解方程即可求出的值． 【规范解答】解：根据题意知：， ， △， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了解一元二次方程，理清新定义是解答本题的关键． 【变式1】（2024•宝应县校级模拟）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）利用公式法求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【规范解答】解：（1），，， △， ， ，； （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程，解不等式组等知识，解题的关键是：（1）利用公式法求解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【变式2】（2024•新沂市校级模拟）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案． （2）根据不等式组的解法即可求出答案． 【规范解答】解：（1），，， △， ， ，； （2）由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：． 【考点评析】此题考查了解一元二次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 考点5：解一元二次方程-因式分解法 【例5】（2024•海门区校级模拟）下列各数是一元二次方程的根的是　　 A． B．4 C． D．3 【思路点拨】先利用因式分解法解方程，然后对各选项进行判断． 【规范解答】解：， 或， 所以，， 故选：． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【变式1】（2024•亭湖区校级模拟）一元二次方程的解是 　，　． 【思路点拨】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【规范解答】解：， ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【变式2】（2024•天宁区校级模拟）解下列方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）用配方法解方程即可； （2）移项后用因式分解法解方程即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ，； （2）， ， 或， ，． 【考点评析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法． 考点6：解一元二次方程-因式分解法 【例6】（2024•宿迁）规定：对于任意实数、、，有【，】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★．若关于的方程【，】★有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　 A． B． C．且 D．且 【思路点拨】先根据新定义得到，再把方程化为一般式，根据题意得到△且，解不等式即可． 【规范解答】解：根据题意得， 整理得， 关于的方程【，】★有两个不相等的实数根， △且， 解得且． 故选：． 【考点评析】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 【变式1】（2023•姑苏区校级二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【思路点拨】根据方程有两个不相等的实数根得出△，解之可得答案． 【规范解答】解：根据题意，得：△， 解得， 故选：． 【考点评析】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 【变式2】（2024•宿城区校级二模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】关于的一元二次方程的判别式为△，若△，则方程有两个不相等的实数根；△，则方程有两个相等的实数根；△，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【规范解答】解：①当，，时，满足，，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②，， ， ， ， △，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当，，时，满足，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④，，， ，， △，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：． 【考点评析】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键． 考点7：根与系数的关系 【例7】（2024•海门区校级模拟）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　个． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若、满足，则关于的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到、之间的关系，而、之间的关系正好适合， ③当，满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， ④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【规范解答】解：①解方程得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③，则， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④共3个． 故选：． 【考点评析】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 【变式1】（2024•鼓楼区校级模拟）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据关于的方程的两根之和为，两根之积为，可以得到关于的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题． 【规范解答】解：设关于的方程的两根分别为，， 关于的方程的两根之和为，两根之积为， ，， ，， 化简，得：，， 整理可得，， 故选：． 【考点评析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 【变式2】（2023•建湖县校级模拟）对于任意实数，，我们定义新运算“”： ，例如．若，是方程的两根，则的值为 　　． 【思路点拨】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得，，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解． 【规范解答】解：由题意得即为， 化简得， ，是该方程的两根， ，， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元二次方程是解题的关键． 考点8：一元二次方程的应用 【例8】（2024•邗江区校级三模）为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划赛程3天，每天安排5场比赛，则应邀请 　6　个球队参赛． 【思路点拨】设应邀请个球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），个球队比赛总场数为，列出一元二次方程，解方程即可． 【规范解答】解：设应邀请个球队参赛， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 即应邀请6个球队参赛， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1】（2024•泰兴市二模）随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有3.5万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到5.04万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？ 【思路点拨】设该市充电桩数量的年平均增长率为，利用规划到2025年底，该市的充电桩数量到2023年底该市的充电桩数量该市充电桩数量的年平均增长率），列出一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：设该市充电桩数量的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市充电桩数量的年平均增长率为． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】（2024•姜堰区二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：亩）之间满足函数关系为：，乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： （1）若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； （2）如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 【思路点拨】（1）由一次函数关系式求出，则，即可解决问题； （2）甲种蔬菜种植面积为亩，则乙种蔬菜种植面积为亩，根据甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【规范解答】解：（1）由题意得：， 解得：，符合题意， ， （元， 答：乙种蔬菜总种植成本为3000元； （2）由题意可知，甲种蔬菜种植面积为亩，则乙种蔬菜种植面积为亩， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，，不符合题意，舍去； 答：甲种蔬菜种植面积为28亩，乙种蔬菜种植面积为72亩，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 考点9：配方法的应用 【例9】（2024•南通模拟）已知，则的最小值是　　 A． B．0 C．2 D．4 【思路点拨】利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果． 【规范解答】解： 因为，， ， 所以当，时， 原式有最小值4， 故选：． 【考点评析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用配方法对原式进行变形． 【变式1】（2023•仪征市二模）设实数、、满足，则代数式的最大值是　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【思路点拨】根据已知条件可得，配方法得到原式，依此可得的最大值． 【规范解答】解： ． 故的最大值是8． 故选：． 【考点评析】考查了配方法的应用，关键是配方法得到原式． 【变式2】（2024•通州区二模）已知实数，满足，若，则的最小值为 　　． 【思路点拨】根据完全平方公式求解． 【规范解答】解：， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式3】（2024•宝应县一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式、是常数）配成是常数）的形式，则的最小值是 　　． 【思路点拨】先根据配方法对进行变形；再与对比，得到和的值；最后进行相加，计算出最小值． 【规范解答】解：， ，， ， 当时，有最小值， 即， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用配方法和非负数的性质来解答． 第二部分：高频题型洞悉（一元二次方程的实际应用） 题型1：传播问题（一元二次方程的应用） 【例1】（21-22九年级上·广东云浮·期中）有人患了流感后，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【规范解答】设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程, 故选：A． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1】（16-17九年级上·山东济宁·期中）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程． 【规范解答】解：由题意得：； 故选B． 【考点评析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【变式2】（2021·江苏盐城·一模）据美国约翰斯霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据实时统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万．已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了 人． 【答案】11 【思路点拨】设每轮传染中平均每人传染了人，再根据“经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎”建立方程，解方程即可得． 【规范解答】解：设每轮传染中平均每人传染了人， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 即每轮传染中平均每人传染了11人， 故答案为：11． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键． 题型2：增长率问题（一元二次方程的应用） 【例2】（19-20九年级上·山东济南·期中）电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【规范解答】解：把增长率记作x，由题意，得： ； 故选D． 【变式1】．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【规范解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 【变式2】（2024·江苏常州·模拟预测）某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； (2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】(1)从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为 (2)2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆 【思路点拨】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，根据题意，销售量从2021年20万辆增加到2023年51.2万辆，增加了31.2万辆，列出方程求解即可． （2）根据（1）中计算得出的增长率，列出算式求解即可． 【规范解答】（1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为． 得：， 解得：，（舍去）． ∴从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为． （2）由题意得：（万辆）． ∴2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆． 题型3：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【例3】（2024·江苏徐州·一模）如图，有一块矩形纸板，长为，宽为，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周沿虚线折起就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么在矩形纸板四角切去的正方形边长是多少？ 【答案】在矩形纸板四角切去的正方形边长是 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，设在矩形纸板四角切去的正方形边长是，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】解：设在矩形纸板四角切去的正方形边长是，根据题意得， 解得：（舍去） 答：在矩形纸板四角切去的正方形边长是． 【变式1】（2023·江苏南通·二模）我国明代数学著作《算学宝鉴》中记载一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺．两隅斜进，恰好方齐，请问三色，各该有几？”译文：现在有一座门（矩形），不知道高度和宽度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺；拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺；沿对角线斜着进，恰好通过．问门的高度、宽度及竹竿的长度各是多少尺？设竹竿的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程． 【规范解答】设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺， 依题意得：， 故答案为：． 【变式2】（21-22九年级上·北京丰台·期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的左、中、右通道的宽度是多少m？    【答案】预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米． 【思路点拨】设矩形冰场的长与宽分别为米、米，根据冰场的面积是原空地面积的列出方程，解方程后再求通道的宽度即可． 【规范解答】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得， ， 解得，，（舍去）， 则上、下通道的宽度为（米）， 左、中、右通道的宽度（米）， 答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解． 题型4：营销问题（一元二次方程的应用） 【例4】（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 【答案】(1) (2)将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元． (3)为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元 【思路点拨】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点， （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【规范解答】（1）根据题意，得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得． ，又对称轴直线，且， 当时，有最大值，最大值为2640， 将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元； （3）依题意可得剩余利润为元． 捐款后每天剩余利润等于2200元， ，即， 解得或（舍去）， 为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元． 【变式1】（2022·江苏扬州·一模）某书店以每本30元的价格购进一批图书进行销售，物价局根据市场行情规定这种图书的销售单价不低于42元且不高于62元．在销售中发现，该种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）之间存在某种函数关系，对应如表： 销售单价x（元） 43 45 47 49 … 销售数量y（本） 54 50 46 42 … (1)用你所学过的函数知识，求出y与x之间的函数关系式； (2)请问该种图书每天的销售利润w（元）的最大值是多少？ (3)如果该种图书每天的销售利润必须不少于600元，试确定该种图书销售单价x的范围． 【答案】(1) (2)800元 (3) 【思路点拨】（1）由表格可知y与x之间存在一次函数的关系，再用待定系数法求解即可； （2）先根据利润=（销售单价-进价）×销售数量得出w和x之间的关系式，再利用二次函数求最值得方法求解即可； （3）先根据（2）中函数关系式，求得当w=600时的x值，再根据二次函数和一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：由表格可知：当销售单价每提高2元，则销售数量减少4件，故y与x之间存在一次函数的关系，设其解析式为： ， 将x=43，y=54；x=45，y=50代入解析式得： ， 解得： ， ， 由题意得：， （）； （2）根据题意得∶ ， 整理得： ， ， ∴当x=50时，w有最大值为800元， ∴该种图书每天的销售利润的最大值是800元； （3）当w=600时，可得： ， 解得：（舍） ， 由二次函数的图象可得： 当 时，该种图书每天的销售利润不少于600元． 【考点评析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的相关性质和应用是解题的关键． 【变式2】（2024·江苏常州·模拟预测）常州市著名旅游景区“中华恐龙园”应疫情防控要求，严格控制每日来访旅客人数．已知于2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，而在2021年春节长假期间，接待游客仅达16.2万人次． (1)则“中华恐龙园”2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均减少率为_____； (2)“中华恐龙园”景区内一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促前活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】(1) (2)每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设年平均减少率为x，根据2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，而在2021年春节长假期间，接待游客仅达16.2万人次，列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，根据题意得出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）设年平均减少率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故答案为：； （2）设每杯售价定为a元，由题意得： ， 解得：，， ∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20， 答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 题型5：动态几何问题（一元二次方程的应用） 【例5】（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动．    (1)经过后（），的面积等于，求t的值； (2)经过后，（），的长度为，求t的值； (3)的面积能否等于？ 【答案】(1)1 (2)2 (3)不能，理由见详解 【思路点拨】（1）先求出点P到达点B及点Q到达点C所需时间，比较后可得出，当运动时间为时，， ，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； (2)利用勾股定理，可得出关于t的一元二次方程解之取其符合题意的值即可得出结论； (3) 的面积不能等于，假设的面积能等于8cm，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，假设不成立，即的面积不能等于． 【规范解答】（1）解：∵（），（），， ∴， 当运动时间为时， ，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：t的值为1； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：t的值为2； （3）的面积不能等于，理由如下： 假设的面积能等于，根据题意得： ， 即， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴假设不成立，即的面积不能等于． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1】（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数交于点C，且，轴交反比例函数于点D．    (1)则__________， _________； (2)若点E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作，交反比例函数于点F．若，求m的值． 【答案】(1)3，18 (2)1或 【思路点拨】（1）将点代入一次函数求出的值，然后根据求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）将点横坐标代入，求出纵坐标，根据即可知道的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出的横坐标，即可表示出的长度，同理将点纵坐标代入反比例函数求出点横坐标，从而表示出的长，根据列方程即可求解的值． 【规范解答】（1）解：作轴于，如图所示：    轴 ∴，， ， 直线经过点， ， 解得， 直线解析式为：， ， ， ，， 点坐标为， 将点坐标代入， 得． 故答案为：3，18； （2）轴， 点的纵坐标为3，代入， 得， 点坐标为， 将点横坐标代入， 得， ， 点纵坐标为， 代入， 得， 点坐标为，， ， ， 当时， 解方程得或， 当时， 解方程得， 点为射线上一点， 或． 【考点评析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键． 【变式2】（2024·江苏徐州·二模）已知是等腰直角三角形，．    (1)当时， ①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形； ②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长． (2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值． 【答案】(1)①见解析；②2或 (2) 【思路点拨】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，， 由“”可证，可得，即可求解； ②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解； （2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解． 【规范解答】（1）① 如图， 过点D作于G，于 H， 连接．   是等腰直角三角形，，点是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形； ② 如图， 过点 F作于 N．    ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴． 设， 则． ， ， 或 ∴或 ， （2）设等腰的直角顶点为 D， 若 D 在上， 如图3．    取的中点Q， 连接， 则 ∵是直角边长为1的等腰直角三角形()． ∴当C、Q、D共线时， 最长， 则 ∴在等腰中， 当时，的长最大． 最大为2． 若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．    由知 设． 则 解得 当s取最大值时，    ∴的最大值为 ． 综上，的最大值为 ． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型6：其他问题（一元二次方程的应用） 【例6】（2024·江苏苏州·二模）“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包． (1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时？ (2)由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？ 【答案】(1)甲、乙两商户每天分别生产小时和小时 (2)甲商户增加的生产时间为3小时 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键： （1）设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时，根据甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包，列出方程组进行求解即可； （2）设甲商户增加的生产时间为小时，根据两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时， 则：，解得：； 答：甲、乙两商户每天分别生产小时和小时； （2）设甲商户增加的生产时间为小时，则：乙商户增加的生产时间为小时，由题意，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：甲商户增加的生产时间为3小时． 【变式1】（20-21八年级下·北京通州·期末）《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可． 【规范解答】解：依题得：门的宽为尺，高为尺， 门为矩形， 有， 即． 故答案为：． 【变式2】（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高” (1)正比例函数的“单位铅直高”______； (2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值； (3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值； (4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)当时，有最大值；当时，t没有最大值 【思路点拨】依据题意，仿照例子代入计算即可得解； 依据题意，可以列方程，进而可以得解； 由题意，列出关于t的方程，再由，从而可以得解； 依据题意列出关系式，通过法变化即可得解． 【规范解答】（1）解：由题意，当时，；当时，， 正比例函数的“单位铅直高” 故答案为： （2）解：由题意得，， 或 经检验，或是方程的解． 或 （3）解：由题意得， ， 又，， 的最小值为 （4）解：由题意，， ，且对于关于m的一元二次方程有解， 或 当时，有最大值；当时，t没有最大值． 【考点评析】本题主要考查了新定义问题的应用，解题时要能读懂题意，学会转化． 基础夯实训练 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）甲，乙二人分别从相距千米的两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走千米，结果甲到达地后乙还需分钟才能到达地，求乙每小时走多少千米？（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查分式方程解实际应用题及解一元二次方程，设甲，乙相遇前甲每小时走x千米，相遇后甲每小时走千米，则乙每小时走x千米，根据甲乙相遇前的速度一样，可知甲乙相遇时，都是走了总路程的一半即10千米，甲到达地后乙还需分钟才能到达地，列出方程，求解即可，注意检验． 【规范解答】解：设甲，乙相遇前甲每小时走x千米，相遇后甲每小时走千米，则乙每小时走x千米，根据题意得：甲乙相遇前的速度一样，可知甲乙相遇时，都是走了总路程的一半即10千米， 则，即， 整理得：， 解得：或（舍去）， 当时，， 是原分式方程的解， 则乙每小时走4千米， 故选：C． 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）抛物线（是常数，）经过三点，且，下列四个结论，其中正确的有（    ） ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据图象经过，，且抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧判断出抛物线的开口向下，即，再把代入得：即可判断①；先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出，即可判断②；先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可判断③；根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出的取值范围，即可判断④，从而得出答案． 【规范解答】解：①、图象经过，，即抛物线与轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与轴的交点都在的左侧， 中， 抛物线与轴的一个交点一定在的右侧， 抛物线的开口一定向下，即， 把代入得：，即， ，， ，故①错误，不符合题意； ②、，，，， 方程的两个根的积大于0，即， ， ， ，即抛物线的对称轴在直线的右侧， 抛物线的顶点在点的右侧， ， ， ，故②正确，符合题意； ③、， 当时，， 抛物线对称轴在直线的右侧， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ，抛物线开口向下， 距离抛物线越近的函数值越大， ，故③正确，符合题意； ④、方程可变为， 方程有两个相等的实数解， ， 把代入得，即， ，即， ， ，即， ，在抛物线上， 为方程的两个根， ， ， ， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有：②③④，共3个． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质与二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 3．（21-22九年级上·重庆璧山·期中）使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为（    ） A．35 B．30 C．26 D．21 【答案】B 【思路点拨】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可． 【规范解答】解：整理不等式组得： 由①得：， 由②得：x<4 ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0， ∴， 解得：， ∵有实数根， ∴ 解得：a≤9， ∵方程是一元二次方程， ∴a≠5 ∴，且a≠5， 满足条件的整数有：6、7、8、9； ∴6+7+8+9=30， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元二次方程根的判别式，熟练掌握解不等式的性质和不等式解集的写法是解题发关键． 4．（2022·江苏苏州·一模）如图，将直线向下平移一个单位长度后交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线于点C，以线段AB为边向上方作平行四边形ABDE，点E恰好落在双曲线上，连接CE，CD，若轴，四边形BCED的面积为8，则k的值为（    ） A．－12 B． C． D．－4 【答案】A 【思路点拨】如图，延长交轴于，过点作，根据题意，求得的坐标，设，则，，进而求得点的坐标，根据四边形BCED的面积为8，列出方程，根据点在直线上列出方程，联立方程解方程组即可求解． 【规范解答】解：如图，延长交轴于，过点作， 将直线向下平移一个单位长度后得到的直线为， 令，得，令，得 ， ， 四边形ABDE是平行四边形， ，   ，， ， ∵ED∥AB，CD∥AO， ， ， ， ，， 设，则，， 的纵坐标为， 在上，则， ， 在直线上，则① 四边形BCED的面积为8， 即， ， ② 联立①②得， 故选A 【考点评析】本题考查了反比例函数与几何图形，一次函数的平移，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，设点的坐标建立方程求解是解题的关键． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【规范解答】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知 ，分别是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据根与系数的关系：，，来解题即可． 【规范解答】解：∵，分别是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 7．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】2或3 【思路点拨】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 8．（2023·江苏无锡·一模）如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为   ． 【答案】/ 【思路点拨】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，可证得，得出，，同理：，，得出，再证得四边形是矩形，得出，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【规范解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点， 则， 由旋转得：，，， ，， ，， ，， 正方形的边长为2，点是边上的动点， 设，则， ，， 在和中， ， ， ，， 同理：，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， 即， ， 线段的取值范围为． 故答案为：． 9．（2024·江苏无锡·模拟预测）解方程或不等式 (1)解不等式组： (2)解方程：． 【答案】(1) (2)，． 【思路点拨】本题考查的是解一元二次方程和一元一次不等式组． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）利用因式分解法求解即可． 【规范解答】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得． 原不等式组的解集为； （2）解：， ， ， 或， 解得，． 10．（2024·江苏常州·模拟预测）为服务全民健身战略，学校体育馆周末面向社会开放．据统计，2月入馆128人次，入馆人次逐月增加，4月达到288人次．设入馆人次的月均增长率相同． (1)求入馆人次的月均增长率； (2)受条件限制，体育馆月接纳能力不能超过400人次．在入馆人次的月均增长率不变的前提下，体育馆能接纳5月的入馆人次吗？说明理由． 【答案】(1)入馆人次的月平均增长率 (2)体育馆不能接纳5月的入馆人次，见解析 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的实际应用： （1）设入馆人次的月增长率为，根据题意，列出方程求解即可； （2）根据增长率计算5月的入馆人次，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：设入馆人次的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：入馆人次的月平均增长率； （2）解：体育馆不能接纳5月的入馆人次，理由如下： 入馆人次的月平均增长率为， 月的入馆人次为（人次）． ， 体育馆不能接纳5月的入馆人次． 11．（2024·江苏苏州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)或 【思路点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据题意可得，，结合，可得关于的一元二次方程并求解，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴， 将点，代入一次函数， 可得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）设，则， ∵轴， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴， 整理可得 解得或， ∴点的坐标为或． 12．（2024·江苏南通·模拟预测）如图1，在矩形中，，M，N，P，Q分别从A，B，C，D出发，沿方向在矩形的边上同时运动，运动速度分别是，，当其中一个点到达所在运动边的另一个端点时，四个点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点M，Q重合； (2)当以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值或范围； (3)如题图2，连接，交于点E，交于点F，当t为何值时，． 【答案】(1) (2)且； (3) 【思路点拨】（1），两点重合，即，联立方程解答即可； （2）分别表示出，利用平行四边形的性质即可求解； （3）根据（2）的结论，以及矩形的性质证明，根据相似三角形的性质，列出比例式，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵点M，Q在上相向运动， ∴M，Q重合即． 由题意得 解得，．（不合题意，舍去） 当时，M，Q重合； （2）解：∵当点到达A点时，， 解得：或（舍去）； ∴ ①当相遇前，依题意当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， ， 即恒成立， ②当相遇后，即 此时恒成立， ∴且； （3）解：当时，由（2）得． ∴， ∴，， ∴，， 即，． ∴ 由，得，．（不合题意，舍去） 当时， 同理可得（不合题意，舍去），．（不合题意，舍去）． 综上，当时， 【考点评析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并分类讨论是解题的关键． 能力拔高训练 13．（2022·广西桂林·一模）某厂1月份生产产品100台，计划2月、3月共生产250台．设2月、3月平均每月的增长率是，根据题意，列方程是(   ) A． B． C．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝250 D．100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝250 【答案】C 【思路点拨】本题属于增长率问题，一股形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量,设2、3月份每月的平均增长率为x，根据“计划2月、3月共生产250台”，即可列出方程求解． 【规范解答】解：设2、3月份每月的平均增长率为x， 则2月份生产机器为：100（1+x），3月份生产机器为：； 又知2、3月份共生产250台； 所以，可列方程：． 故选：C． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程是解题的关键． 14．（21-22九年级下·四川成都·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【思路点拨】根据方程的定义以及一元二次方程根的判别式大于0列出不等式，解不等式求解即可． 【规范解答】解：当时，关于x的方程是一元二次方程， ∵有实数根， ∴ 解得且 当时，方程为一元一次方程，有实数根， 综上，当关于x的方程有实数根 故选B 【考点评析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 15．（2021·江苏泰州·一模）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　） A．x1+x2＞0 B．x1•x2＜0 C．x1≠x2 D．方程必有一正根 【答案】B 【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1＋x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意． 【规范解答】解：A、根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意； B、根据根与系数的关系可得出x1x2＝−m2≤0，结论B不一定正确，符合题意； C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意； D、由x1•x2＝−m2≤0，结合两根之和大于0可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意． 故选：B． 【考点评析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 16．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【思路点拨】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：        根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形， ， 直线与轴交于点， 当时，，即， 与双曲线分别相交于点， 联立，即，则，由，解得， ，即，解得， 故选：A． 【考点评析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键． 17．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，则图中大正方形的面积为，则该方程的正数解，小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为55，则该方程的正数解为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解 【规范解答】如图2所示： 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为． 故答案为： 18．（23-24九年级上·山东东营·期中）如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键． 【规范解答】解：如图，延长交轴于， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 19．（23-24九年级上·广西河池·阶段练习）三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的第三条边长为 ． 【答案】2 【思路点拨】先求出方程的解，得出两种情况，结合三角形三边关系分类讨论即可． 【规范解答】解：， ， ∴或， ∴，． 当时，则三角形的三边长分别为2，4，5， ∵， ∴此时三角形成立； 当时，则三角形的三边长分别为10，4，5时， ∵， ∴此时三角形不存在． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出符合条件的三角形的边是解此题的关键． 20．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【规范解答】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 21．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】此题考查了解一元二次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键； （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）求出每个不等式的解集，取公共部分即可． 【规范解答】（1）解： 由题意可得， ∵ ∴ 即 （2） 解不等式①得， 解不等式①得， ∴不等式组的解集是 22．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； (2)设该函数图像的顶点为C，与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m 的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【思路点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）令，则，根据，作答即可； （2）令，则，即，由，可得，由的面积与的面积相等，可得，即或，计算求解即可． 【规范解答】（1）证明：令，则， ∴， ∴该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）解：令，则，即， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，即或， 解得或， ∴或． 23．（2024·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)请分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)把一次函数的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知可得只有一个解，化为一元二次方程，用根的判别式解答即可． 【规范解答】（1）解：∵反比例函数的图象过， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴点， 把A、B的坐标代入得， 解得， 故一次函数表达式为：； （2）把一次函数的图象向下平移t个单位得直线， 根据题意可得只有一组解， 即只有一个解， ∴有两个相等实数根， ∴，即， 解得或（因反比例函数在第一象限，舍去）， ∴t的值为1． 【考点评析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握待定系数法，函数图象交点坐标与方程组的解的关系等知识． 24．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系中，设函数（是常数，）． (1)若点和在该函数的图象上，则函数图象的顶点坐标是______； (2)若点在该函数的图象上，且该函数图象与轴有两个不同的交点（在的左边），，则______； (3)已知，当（是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析． 【思路点拨】（）利用待定系数法即可求解； （）由题意可得，可得抛物线的表达式为，对称轴为直线，设点，再分点在轴左侧点在轴右侧两种情况，根据及二次函数的对称轴解答即可求解； （）时，得，由，，可得，，即得，，进而得到，据此即可求证； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何问题，配方法的应用，运用分类讨论思想解答 是解题的关键. 【规范解答】（1）解：由题意得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：将代入抛物线表达式得，， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当点在轴左侧时，设点，则点， ∴抛物线的表达式为， ∵ ∴， 又∵， ∴， 解得； 当点在轴右侧时， 设点，则点， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）证明：时，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$