第06讲 分式方程及其应用（讲练）（思维导图+5考点+5种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 分式方程及其应用 （思维导图+5个考点+5种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 1 知识导图 思维导航 2 考点突破 考法探究 2 重点考点一 解分式方程 2 重点考点二 分式方程的应用 4 题型精研 考向洞悉 5 第一部分：常考考点讲练 5 考点1：分式方程的解 5 考点2：解分式方程 5 考点3：分式方程的增根 6 考点4：由实际问题抽象出分式方程 7 考点5：分式方程的应用 9 第二部分：高频题型洞悉 10 题型1：根据分式方程解的情况求值 10 题型2：分式方程的行程问题 10 题型3：分式方程的销售盈利问题 11 题型4：分式方程的工程问题 13 题型5：分式方程的差倍分问题 14 分层训练 巩固提升 15 基础夯实训练 15 能力拔高训练 17 考点要求 新课标要求 命题预测 解分式方程 · 能解可化为一元一次方程的分式方程 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 分式方程的应用 · 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 重点考点一 解分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解. 由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零. 依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 重点考点二 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 第一部分：常考考点讲练 考点1：分式方程的解 【例1】（2023•苏州模拟）对于两个不相等的实数、，我们规定符号，表示、中较大的数，如：，．按照这个规定．方程，的解为　　 A． B． C．或 D．或 【变式1】（2024•宿城区一模）关于的方程的解是正数，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【变式2】（2024•南京模拟）方程的根是　　． 【变式3】（2024•泗阳县一模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 　 　． 考点2：解分式方程 【例2】（2024•宿豫区三模）解分式方程：． 【变式1】（2024•南通）（1）计算：； （2） 解方程． 【变式2】（2024•启东市二模）（1）解不等式组：； （3） 解方程：． 【变式3】（2024•沛县校级模拟）（1）解方程：． （2） 解不等式组：． 考点3：分式方程的增根 【例3】（2021•无锡）分式方程有增根，则的值是　　 A．3 B． C．6 D． 【变式1】（2020•南通模拟）如方程有增根，则的值是　　 A．2 B．2或6 C．2或 D．6 【变式2】（2024•宜兴市一模）若关于的分式方程有增根，则的值为 　　． 【变式3】（2023•鼓楼区校级模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为 　　． 考点4：由实际问题抽象出分式方程 【例4】（2023•姑苏区校级模拟）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•赣榆区校级三模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•姑苏区校级一模）如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有株，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•玄武区校级模拟）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，、分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【变式4】（2024•秦淮区校级模拟）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48稞．实际每天种多少棵树？ 本题所列的方程可以是：①；②． （1）表示的实际意义是 　 　，表示的实际意义是 　　． （2）选择其中一种方程解答此题． 考点5：分式方程的应用 【例5】（2024•高新区一模）题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件．根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 　 　． 【变式1】．（2024•秦淮区校级三模）初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 　　． 【变式2】（2024•连云区一模）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．求每辆型汽车进价是多少万元？ 【变式3】（2024•宿迁）某商店购进、两种纪念品，已知纪念品的单价比纪念品的单价高10元．用600元购进纪念品的数量和用400元购进纪念品的数量相同． （1）求纪念品、的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品、共400件，且纪念品的数量不少于纪念品数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【变式4】（2023•苏州模拟）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 第二部分：高频题型洞悉 题型1：根据分式方程解的情况求值 【例1】（2024·四川南充·三模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（2024·江苏宿迁·三模）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是 ． 【变式2】（2017·江苏·一模）已知关于的方程只有一个实数根，求实数的值． 题型2：分式方程的行程问题 【例2】（2024·江苏扬州·模拟预测）甲、乙两个工程队铺设一条公路，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设，甲工程队铺设所用的时间与乙工程队铺设所用的时间相同，求甲、乙两个工程队每天各铺设多少？ 【变式1】（2023·江苏苏州·模拟预测）甲，乙二人分别从相距千米的两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走千米，结果甲到达地后乙还需分钟才能到达地，求乙每小时走多少千米？（    ） A． B．或 C． D． 【变式2】（2024·江苏南京·二模）甲，乙两人分别从距目的地和的两地同时出发，甲，乙的速度比是，结果甲比乙提前到达同一目的地．求甲，乙的速度． 题型3：分式方程的销售盈利问题 【例3】（2024·江苏盐城·三模）某商店用800元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用1920元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元． (1)该商店第一次购进这种水果多少千克？ (2)假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的40千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于1240元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？ 【变式1】（2024·江苏宿迁·二模）某商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元．每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，用240元单独购进甲种服装的数量比单独购进乙种服装的数量少1件，现计划购进两种服装共10件，其中甲种服装不少于68件． (1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ (2)若购进这100件服装的费用不得超过7600元． ①求甲种服装最多购进多少件； ②该商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？ 【变式2】．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 题型4：分式方程的工程问题 【例4】（2024·江苏泰州·一模）某单位需要在规定时间内生产一批物资，通过调研，发现投标的工厂中有甲、乙两家资质合格，并获得如下信息： 信息1：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 信息2：乙厂单独完成这项任务比规定时间多用5天； 信息3：甲、乙两厂的生产速度之比为； 根据以上信息解决下列问题： (1)求规定时间； (2)若甲乙两厂合作一些天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．求甲乙两厂合作的时间． 【变式1】（2024七年级下·浙江·专题练习）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【变式2】（2023·山西忻州·模拟预测）为响应“绿水青山就是金山银山”的生态文明建设号召，我省对一面积为1800亩的某废弃煤矿进行复垦复绿施工，重构绿水青山自然生态环境．因受某些因素影响延期24天开工，为保证如期完成任务增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了，并按期完成了施工任务．求实际平均每天施工多少亩．    题型5：分式方程的差倍分问题 【例5】（2024·江苏苏州·一模）3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆． (1)求树苗基地每捆种树苗的价格． (2)树苗基地每捆种树苗的价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【变式1】（2024·山东青岛·一模）随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？ 【变式2】（2024·山东临沂·二模）骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． (1)求甲、乙两种型号头盔的单价； (2)某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 【变式3】（2024·江苏盐城·二模）绿色发展，生态建设，打造最靓“绿心”．某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了1800元，购买乙种树苗花了1440元，甲种树苗的单价是乙种树苗的1.5倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少20棵． (1)求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？ (2)为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100棵，若总金额不超过1527元，问最少购进多少棵乙种树苗？ 基础夯实训练 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·江苏苏州·一模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ． 5．（2022·北京海淀·模拟预测）初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 ． 6．（2024·江苏宿迁·二模）若关于的分式方程无解，则的取值是 ． 7．（2024·江苏扬州·三模）（1）计算：； （3） 解方程：． 8． （2024·江苏徐州·模拟预测）2024年“五一”假期，徐州接待游客创历史新高．某商铺向游客销售某款“徐州文创”产品，该商铺第一次购进该产品的总价为3000元，很快售完；该商铺第二次购进该产品的总价为9000元．已知第二次购进该产品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次进货的单价比第一次的进货的单价提高20％．求第一次购进该产品的单价是多少元？ 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若零售价是批发价的1.2倍，求这个学校九年级学生有多少人？ 9． （2024·江苏扬州·一模）2024年扬州鉴真半程马拉松比赛于4月1日举行，本届赛事设置半程马拉松、健康跑、欢乐跑项目．小明参与了“半程马拉松”（约）项目，小明前按计划的速度跑，之后为了提高成绩，平均速度提高到之前的倍，最终比原计划提前到达目的地．求小明前的平均速度． 能力拔高训练 11．（2023·江苏镇江·一模）某校组织七年级378名学生去青少年综合实践基地参加“三天两晚”的社会实践活动，工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住x名学生，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（19-20九年级·重庆北碚·阶段练习）已知关于x的不等式组的整数解个数不少于3个，但不多于5个，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为（　　） A．﹣24 B．﹣19 C．﹣16 D．﹣10 13．（2018·重庆江北·一模）若关于x的不等式组无解，且关于y的方程的解为正分数，则符合题意的整数a有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024·江苏扬州·二模）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 15．（2020·江苏宿迁·二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程 ． 16．（2019·江苏南通·模拟预测）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做5个，甲做60个所用的时间与乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 ． 17．（20-21八年级上·河南驻马店·期末）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是 ． 18．（2023·江苏徐州·模拟预测）解方程和不等式组： (1)； (2)． 19．（2024·福建龙岩·模拟预测）实施乡村振兴战略，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村计划集中采购两种树苗，已知种树苗单价（每棵树苗的价格）比种树苗多3元，用360元购买种树苗和用540元购买种树苗的棵数相同． (1)求两种树苗的单价分别是多少？ (2)红旗村决定购买这两种树苗共1000棵，若预算总费用不超过7000元，问至多可以购买种树苗多少棵？ 20．（2024·江苏常州·一模）班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．    (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5000元和7600元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用) 21．（2024·浙江宁波·二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价； (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； (3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值． 22．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计． 兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度． (1)请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________； (2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出） ①请直接写出：a＝_______； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标； (3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 分式方程及其应用 （思维导图+5个考点+5种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 1 知识导图 思维导航 2 考点突破 考法探究 2 重点考点一 解分式方程 2 重点考点二 分式方程的应用 4 题型精研 考向洞悉 5 第一部分：常考考点讲练 5 考点1：分式方程的解 5 考点2：解分式方程 7 考点3：分式方程的增根 9 考点4：由实际问题抽象出分式方程 11 考点5：分式方程的应用 14 第二部分：高频题型洞悉 18 题型1：根据分式方程解的情况求值 18 题型2：分式方程的行程问题 20 题型3：分式方程的销售盈利问题 21 题型4：分式方程的工程问题 24 题型5：分式方程的差倍分问题 27 分层训练 巩固提升 31 基础夯实训练 31 能力拔高训练 35 考点要求 新课标要求 命题预测 解分式方程 · 能解可化为一元一次方程的分式方程 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 分式方程的应用 · 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 重点考点一 解分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解. 由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零. 依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 重点考点二 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 第一部分：常考考点讲练 考点1：分式方程的解 【例1】（2023•苏州模拟）对于两个不相等的实数、，我们规定符号，表示、中较大的数，如：，．按照这个规定．方程，的解为　　 A． B． C．或 D．或 【思路点拨】分和两种情况将所求方程变形，求出解即可． 【规范解答】解：当，即时，所求方程变形为， 去分母得：，即， 解得：， 经检验是分式方程的解； 当，即时，所求方程变形为， 去分母得：， 代入公式得：， 解得：，（舍去）， 经检验是分式方程的解， 综上，所求方程的解为或． 故选：． 【考点评析】此题考查了分式方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式1】（2024•宿城区一模）关于的方程的解是正数，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【思路点拨】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案． 【规范解答】解：， 去分母，得， 解得， 关于的方程的解是正数， 且， 且． 故选：． 【考点评析】本题考查了分式方程，掌握解方程和分母不能为0是关键． 【变式2】（2024•南京模拟）方程的根是　　． 【思路点拨】先去分母把分式方程化为整式方程得到，然后进行检验确定分式方程的解． 【规范解答】解：去分母得， 解得， 检验：当时，，是原方程的解． 所以原方程的解为． 故答案为 【考点评析】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【变式3】（2024•泗阳县一模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 　且　． 【思路点拨】先求分式方程的解，再根据分式方程的解为正数以及分式方程有解即可确定的取值范围． 【规范解答】解：， 方程两边都乘以得，， 解得， 关于的分式方程的解为正数， 且 且， 故答案为：且． 【考点评析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，熟练掌握分式的方程的解的情况是解题的关键． 考点2：解分式方程 【例2】（2024•宿豫区三模）解分式方程：． 【思路点拨】先去分母，把分式方程化为整式方程，求出的值，再把的值代入分式方程的分母进行检验即可． 【规范解答】解：原方程可化为：，解得， 把代入得，， 故是原分式方程的增根，原方程无解． 【考点评析】本题考查的是解分式方程，解答此类方程时一定要进行验根． 【变式1】（2024•南通）（1）计算：； （2）解方程． 【思路点拨】（1）根据单项式乘多项式的法则进行计算； （2）根据解分式方程的步骤进行计算． 【规范解答】解：（1） ； （2）， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 【考点评析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】（2024•启东市二模）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 【思路点拨】（1）分别解出不等式①②后再得到不等式组的解集即可； （2）根据解分式方程的步骤解出方程的解，再进行检验即可得到结果． 【规范解答】解：（1）， 解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为：． （2）， 方程两边同乘得：， 整理得：， 检验：将代入，是增根， 原分式方程无解． 【考点评析】本题考查了解分式方程，分式方程的检验是关键． 【变式3】（2024•沛县校级模拟）（1）解方程：． （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤先解方程，然后检验即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【规范解答】解：（1） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， 是原方程的增根， 原方程无解； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【考点评析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 考点3：分式方程的增根 【例3】（2021•无锡）分式方程有增根，则的值是　　 A．3 B． C．6 D． 【思路点拨】根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答． 【规范解答】解：， ， ， 解得：， 分式方程有增根， ， 把代入中， ， 解得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 【变式1】（2020•南通模拟）如方程有增根，则的值是　　 A．2 B．2或6 C．2或 D．6 【思路点拨】由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出的值，代入整式方程求出的值即可； 【规范解答】解：分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即或， 把代入整式方程得：，即； 把代入整式方程得：，即， 综上，的值为2或6； 故选：． 【考点评析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式2】（2024•宜兴市一模）若关于的分式方程有增根，则的值为 　　． 【思路点拨】根据增根的定义求解即可． 【规范解答】解：， ， ， 关于的分式方程有增根， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【变式3】（2023•鼓楼区校级模拟）若关于的分式方程有增根，则的值为 　17　． 【思路点拨】根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算，即可解答． 【规范解答】解：， ， 解得：， 分式方程有增根， ， 把代入中可得： ， 解得：， 故答案为：17． 【考点评析】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 考点4：由实际问题抽象出分式方程 【例4】（2023•姑苏区校级模拟）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据原计划的天数实际的天数提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决． 【规范解答】解：由题意可得， ， 故选：． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程． 【变式1】（2024•赣榆区校级三模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设正方形小城的边长为步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论． 【规范解答】解：设小城的边长为步，根据题意， 得， 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确地理解题意，列出方程是解题的关键． 【变式2】（2023•姑苏区校级一模）如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有株，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用单价总价数量，可求出一株椽的价钱为文，结合“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【规范解答】解：这批椽的价钱为6210文，这批椽有株， 一株椽的价钱为文， 又每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式3】（2024•玄武区校级模拟）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，、分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设燃气汽车每千米所需费用为元，则燃油汽车每千米所需费用为元，根据行驶路程所需费用每千米所需费用，结合行驶路程相等，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【规范解答】解：设燃气汽车每千米所需费用为元，则燃油汽车每千米所需费用为元， 依题意得：． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式4】（2024•秦淮区校级模拟）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48稞．实际每天种多少棵树？ 本题所列的方程可以是：①；②． （1）表示的实际意义是 　原计划每天种树的棵数　，表示的实际意义是 　　． （2）选择其中一种方程解答此题． 【思路点拨】（1）由实际与原计划每天种树棵数间的关系及所列方程①，可得出表示的实际意义是原计划每天种树的棵数；由实际与原计划种树时间间的关系及所列方程②，可得出表示的实际意义是实际种树的天数； （2）选择方程①，解之经检验后即可得出结论；选择方案②，解之经检验后可得出值，再将其代入中即可得出结论． 【规范解答】解：（1）青年志愿者的支援，每天比原计划多种， 方程①中的表示的实际意义是原计划每天种树的棵数，表示的实际意义是实际每天种树的棵数； 青年志愿者的支援，提前1天完成任务， 方程②中的表示的实际意义是实际种树的天数，表示的实际意义是原计划种树的天数． 故答案为：原计划每天种树的棵数，实际种树的天数； （2）选择方程①， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 实际每天种40棵树； 选择方程②， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （棵， 实际每天种40棵树． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据各数量之间的关系及所列方程，找出，表示的实际意义是解题的关键． 考点5：分式方程的应用 【例5】（2024•高新区一模）题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件．根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 　乙每小时比甲多做6个　． 【思路点拨】设甲每小时做个，乙每小时做个，根据甲乙的工作时间，可列方程． 【规范解答】解：被墨迹弄污的条件应是乙每小时比甲多做6个， 故答案为：乙每小时比甲多做6个． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式1】．（2024•秦淮区校级三模）初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 　　． 【思路点拨】设一件甲纪念品的成本为元，一件乙纪念品的成本为元，由“销售量的比为时，总获利为”及利润率公式，可求得与的关系，则可求得销售量的比为时的总获利． 【规范解答】解：设一件甲纪念品的成本为元，一件乙纪念品的成本为元， 则， 解得， 当销售量的比为时，总获利为：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用、利润、成本及利润率的关系，解答本题的关键是明确题意，求出甲乙两种纪念品成本之间的关系． 【变式2】（2024•连云区一模）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．求每辆型汽车进价是多少万元？ 【思路点拨】设每辆型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元，利用数量总价单价，结合用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【规范解答】解：设每辆型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每辆型汽车进价是10万元． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式3】（2024•宿迁）某商店购进、两种纪念品，已知纪念品的单价比纪念品的单价高10元．用600元购进纪念品的数量和用400元购进纪念品的数量相同． （1）求纪念品、的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品、共400件，且纪念品的数量不少于纪念品数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【思路点拨】（1）设纪念品的单价为元，则纪念品的单价为元，根据题意列出方程求解即可； （2）设总费用为元，计划购买纪念品件，则纪念品件，根据题意得到一次函数关系式，然后根据纪念品的数量不少于纪念品数量的2倍，列出不等式，再根据一次函数的性质确定的值，进而可以解决问题． 【规范解答】解：（1）设纪念品的单价为元，则纪念品的单价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根， ， 答：纪念品的单价为30元，纪念品的单价为20元； （2）设总费用为元，计划购买纪念品件，则纪念品件， 根据题意，， 与的函数关系式为； 纪念品的数量不少于纪念品数量的2倍， ， 解得， 为整数， 最小值取267； 在中，随的增大而增大， 当时，取最小值，最小值为（元， ，符合题意， 此时， 购买纪念品267件，纪念品133件，才能使总费用最少，最少费用为10670元． 【考点评析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系． 【变式4】（2023•苏州模拟）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天； 方案：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 【思路点拨】设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天．根据方案，可列方程得，解方程即可解决问题； 【规范解答】解：设甲单独完成这一工程需天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案，可列方程得， 解这个方程得， 经检验：是所列方程的根． 即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天． 所以方案的工程款为（万元）， 方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选． 方案的工程款为（万元）， 所以选择方案． 【考点评析】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．解题的关键是熟练掌握路程速度时间的关系，正确寻找等量关系构建方程解决问题 第二部分：高频题型洞悉 题型1：根据分式方程解的情况求值 【例1】（2024·四川南充·三模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 先解含有的分式方程，再根据已知条件列出关于的不等式，解不等式，从而求出答案即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 关于的分式方程的解是非负数， ， ∴， ， ， 解得：， 的取值范围是：且， 故选：C． 【变式1】（2024·江苏宿迁·三模）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范图是 ． 【答案】且 【思路点拨】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数，解题的关键是掌握分式方程的解法，并且注意分式方程增根的问题． 根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可． 【规范解答】， 去分母得：， 解得：， 方程的解为正数，且方程的增根为， ，且， 解得：，且， 故答案为：且． 【变式2】（2017·江苏·一模）已知关于的方程只有一个实数根，求实数的值． 【答案】或或 【思路点拨】先将分式方程化简为，再根据分式方程有一个实数根及一元二次方程的判别式解答即可． 【规范解答】解：， 去分母得：， 即， ①∵关于x的方程只有一个实数根， ∴， 解得：， 当时，经检验，方程的解是， ②当，即时，解方程得：， ∵， ∴，，它是原方程的解， ∴只需或时，为增根，此时原方程只有一个实数根， ∴当时，即， 得：； 当时，方程 的解是0和 1， 当时，即， 得：， 当时，方程的解是和， 综上，当或或时原方程只有一个实数根． 【考点评析】本题考查了分式方程的解与一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 题型2：分式方程的行程问题 【例2】（2024·江苏扬州·模拟预测）甲、乙两个工程队铺设一条公路，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设，甲工程队铺设所用的时间与乙工程队铺设所用的时间相同，求甲、乙两个工程队每天各铺设多少？ 【答案】甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设 【思路点拨】本题考查了列分式方程，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．设甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设，根据题意列方程求解即可． 【规范解答】解∶ 设甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设， 由题意得：， 解得， 经检验∶ 是原方程的解， ∴， 答：甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设． 【变式1】（2023·江苏苏州·模拟预测）甲，乙二人分别从相距千米的两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走千米，结果甲到达地后乙还需分钟才能到达地，求乙每小时走多少千米？（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查分式方程解实际应用题及解一元二次方程，设甲，乙相遇前甲每小时走x千米，相遇后甲每小时走千米，则乙每小时走x千米，根据甲乙相遇前的速度一样，可知甲乙相遇时，都是走了总路程的一半即10千米，甲到达地后乙还需分钟才能到达地，列出方程，求解即可，注意检验． 【规范解答】解：设甲，乙相遇前甲每小时走x千米，相遇后甲每小时走千米，则乙每小时走x千米，根据题意得：甲乙相遇前的速度一样，可知甲乙相遇时，都是走了总路程的一半即10千米， 则，即， 整理得：， 解得：或（舍去）， 当时，， 是原分式方程的解， 则乙每小时走4千米， 故选：C． 【变式2】（2024·江苏南京·二模）甲，乙两人分别从距目的地和的两地同时出发，甲，乙的速度比是，结果甲比乙提前到达同一目的地．求甲，乙的速度． 【答案】甲的速度为，则乙的速度为． 【思路点拨】本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系列出方程是解题关键．根据甲乙速度的比例关系分别设他们的速度为，，根据题意列出分式方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：设甲的速度为，则乙的速度为． 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴，． 答：甲的速度为，则乙的速度为． 题型3：分式方程的销售盈利问题 【例3】（2024·江苏盐城·三模）某商店用800元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用1920元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元． (1)该商店第一次购进这种水果多少千克？ (2)假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的40千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于1240元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？ 【答案】(1)该商店第一次购进这种水果80千克 (2)每千克这种水果的标价至少是18元 【思路点拨】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用． （1）设该商店第一次购进这种水果x千克，则第二次购进这种水果2x千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可； （2）设每千克水果的标价是y元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于1240元列出不等式，然后求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设该商店第一次购进这种水果x千克，则第二次购进这种水果2x千克． 由题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解． 答：该商店第一次购进这种水果80千克； （2）解：设每千克这种水果的标价是y元，则 ， 解得． 答：每千克这种水果的标价至少是18元． 【变式1】（2024·江苏宿迁·二模）某商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元．每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，用240元单独购进甲种服装的数量比单独购进乙种服装的数量少1件，现计划购进两种服装共10件，其中甲种服装不少于68件． (1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ (2)若购进这100件服装的费用不得超过7600元． ①求甲种服装最多购进多少件； ②该商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1)80元；60元 (2)①80件；②见解析 【思路点拨】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，读懂题意，正确列式是解题的关键． （1）设甲种服装每件的进价m元，则乙种服装每件的进价元，根据用240元单独购进甲种服装的数量比单独购进乙种服装的数量少1件列出方程，解方程并检验即可； （2）①设甲种服装购进x件，根据甲种服装不少于68件，购进这100件服装的费用不得超过7600元，列出不等式组，解不等式组即可； ②设获得利润为y元，根据题意列出一次函数，根据一次函数的性质分类讨论即可． 【规范解答】（1）解：设甲种服装每件的进价m元，则乙种服装每件的进价元， 根据题意得：， 解得，， 经检验是原方程的解且符合题意， ∴， ∴甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元； （2）①设甲种服装购进x件， ∵甲种服装不少于68件，购进这100件服装的费用不得超过7600元， ∴， 解得； ∴甲种服装最多购进80件； ②设获得利润为y元， 根据题意得：， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装20件利润最大； 当时，所有进货方案利润都是4000元； 当时，y随x增大而减小， ∴当时，y取最大值，此时购进甲种服装68件，乙种服装32件利润最大. 综上所述，当时，购进甲种服装80件，乙种服装20件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4000元；时，购进甲种服装68件，乙种服装32件利润最大 【变式2】．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【规范解答】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 题型4：分式方程的工程问题 【例4】（2024·江苏泰州·一模）某单位需要在规定时间内生产一批物资，通过调研，发现投标的工厂中有甲、乙两家资质合格，并获得如下信息： 信息1：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 信息2：乙厂单独完成这项任务比规定时间多用5天； 信息3：甲、乙两厂的生产速度之比为； 根据以上信息解决下列问题： (1)求规定时间； (2)若甲乙两厂合作一些天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．求甲乙两厂合作的时间． 【答案】(1)规定时间是20天； (2)甲、乙两厂合作的时间是4天． 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设规定时间是天，则甲厂单独完成这项任务需要天，乙厂单独完成这项任务需要天，根据甲、乙两厂的生产速度之比为，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设甲、乙两厂合作的时间为天，利用甲厂完成的任务量乙厂完成的任务量总任务量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设规定时间是天，则甲厂单独完成这项任务需要天，乙厂单独完成这项任务需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：规定时间是20天； （2）解：设甲、乙两厂合作的时间为天， 根据题意得：， 解得：． 答：甲、乙两厂合作的时间是4天． 【变式1】（2024七年级下·浙江·专题练习）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 【思路点拨】本题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据数量关系列方程，注意得到方程的解需要检验．设B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料．根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，”列方程求解即可． 【规范解答】解：设B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 依题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 则（）． 答：B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 【变式2】（2023·山西忻州·模拟预测）为响应“绿水青山就是金山银山”的生态文明建设号召，我省对一面积为1800亩的某废弃煤矿进行复垦复绿施工，重构绿水青山自然生态环境．因受某些因素影响延期24天开工，为保证如期完成任务增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了，并按期完成了施工任务．求实际平均每天施工多少亩．    【答案】实际平均每天施工亩 【思路点拨】设原计划每天施工亩，则实际每天施工亩，根据延期24天开工，可列分式方程，即可解答． 【规范解答】解：设原计划每天施工亩，则实际每天施工亩， 由题可得， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：实际平均每天施工亩． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，正确找到题中等量关系是解题的关键． 题型5：分式方程的差倍分问题 【例5】（2024·江苏苏州·一模）3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆． (1)求树苗基地每捆种树苗的价格． (2)树苗基地每捆种树苗的价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元，先求得，根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【规范解答】（1）（1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，依题意，得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆； （2）解：设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元， ∵ 解得： ∵，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为 【变式1】（2024·山东青岛·一模）随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？ 【答案】(1)甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元； (2)购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少． 【思路点拨】（）设乙型充电桩的单价是元，根据题意，列出分式方程即可求解； （）设购买甲型充电桩的数量为个，根据题意，列出不等式求出得取值范围，又设所需费用为元，求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元； （2）解：设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得，， 解得， 设所需费用为元，由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 此时，， 答：购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少． 【变式2】（2024·山东临沂·二模）骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同． (1)求甲、乙两种型号头盔的单价； (2)某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元 (2)购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元 【思路点拨】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，关键是正确列出方程、不等式与函数关系式． （1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，根据等量关系开出分式方程即可求解； （2）设购买m个甲种头盔，根据不等关系列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围；设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，根据总价、单价与数量的关系列出函数关系式，利用一次函数的性质即可求解最值． 【规范解答】（1）解：设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元； （2）解：设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔， 由题意得：， 解得：； 设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元， 则， ，， 随m的增大而增大， 当时，w取得最小值，最小值为（元），此时（个）． 答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元． 【变式3】（2024·江苏盐城·二模）绿色发展，生态建设，打造最靓“绿心”．某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花了1800元，购买乙种树苗花了1440元，甲种树苗的单价是乙种树苗的1.5倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少20棵． (1)求甲、乙两种树苗单价分别是多少元？ (2)为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100棵，若总金额不超过1527元，问最少购进多少棵乙种树苗？ 【答案】(1)甲种树苗单价是18元，乙种树苗单价是12元； (2)最少购进46棵乙种树苗． 【思路点拨】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种树苗单价是x元，则甲种树苗单价是1.5x元，根据购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的数量少20棵，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进乙种树苗m棵，则购进甲种树苗棵，根据总金额不超过1527元，列出不等式进行求解即可． 【规范解答】（1）设乙种树苗单价是x元，则甲种树苗单价是1.5x元，           依题意得：，                                 解得：，                                                     经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种树苗单价是18元，乙种树苗单价是12元； （2）设购进乙种树苗m棵，则购进甲种树苗棵， 依题意得：， 解得：，         又∵m为整数， ∴m的最小值为46，                         答：最少购进46棵乙种树苗． 基础夯实训练 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查列分式方程解决实际问题．设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【规范解答】解：设原计划每天植树x万棵，由题意得 ． 故选：A 2．（2024·江苏无锡·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【规范解答】解：， ， ， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解， 故选：A． 3．（2021·江苏苏州·一模）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的应用，设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据实际提前2天完成任务，列出方程即可． 【规范解答】解：设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，由题意可得， ， 故选：A． 4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程有一个正数解，则m的取值范围 ． 【答案】且 【思路点拨】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式．熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键． 解分式方程得，由关于x的方程有一个正数解，可得，且，计算求解，然后作答即可． 【规范解答】解：， ， 解得，， ∵关于x的方程有一个正数解， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 5．（2022·北京海淀·模拟预测）初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式方程，利润、成本及利润率的关系，设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元，由“销售量的比为时，总获利为”及利润率公式，可求得a与b的关系，则可求得销售量的比为时的总获利． 【规范解答】解：设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元， 则， 解得， 当销售量的比为时，总获利为：， 故答案为：． 6．（2024·江苏宿迁·二模）若关于的分式方程无解，则的取值是 ． 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的无解问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，解出整式方程，再根据分式方程无解，可得到关于a的方程，即可求解． 【规范解答】解：去分母，得， 解得， ∵分式方程无解， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 7．（2024·江苏扬州·三模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解． 【思路点拨】本题主要考查了实数的混合计算，解分式方程，注意分式方程最后一定要检验． （1）先计算零指数幂，乘方和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可； （2）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得；， 经经验，是增根， ∴原方程无解． 8．（2024·江苏徐州·模拟预测）2024年“五一”假期，徐州接待游客创历史新高．某商铺向游客销售某款“徐州文创”产品，该商铺第一次购进该产品的总价为3000元，很快售完；该商铺第二次购进该产品的总价为9000元．已知第二次购进该产品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次进货的单价比第一次的进货的单价提高20％．求第一次购进该产品的单价是多少元？ 【答案】5元 【思路点拨】本题主要考查的是分式方程的实际应用，理解题意是解题的关键．设第一次购进该纪念品的进价是x元，列出分式方程即可． 【规范解答】解：设第一次购进该产品的单价是x元，则第二次购进该产品的单价是元． 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：第一次购进该产品的单价5元． 9．（2024·江苏徐州·模拟预测）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若零售价是批发价的1.2倍，求这个学校九年级学生有多少人？ 【答案】300人 【思路点拨】本题考查分式方程的应用，设批发价为x元，根据“费用相同，”列方程求解即可． 【规范解答】解：设批发价为x元， 根据题意可得：， 解得：x＝10， 经检验x＝10是原方程的解， 则学校九年级学生人． 答：这个学校九年级学生有300人． 10．（2024·江苏扬州·一模）2024年扬州鉴真半程马拉松比赛于4月1日举行，本届赛事设置半程马拉松、健康跑、欢乐跑项目．小明参与了“半程马拉松”（约）项目，小明前按计划的速度跑，之后为了提高成绩，平均速度提高到之前的倍，最终比原计划提前到达目的地．求小明前的平均速度． 【答案】小明前的平均速度为 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的应用，设小明前的平均速度为，根据最终小明比原计划提前到达目的地，列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设小明前的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解，也符合实际意义． 答：小明前的平均速度为． 能力拔高训练 11．（2023·江苏镇江·一模）某校组织七年级378名学生去青少年综合实践基地参加“三天两晚”的社会实践活动，工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住x名学生，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键； 根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”即可得出关于x的分式方程列方程即可． 【规范解答】解：设原计划每间宿舍住x名学生，则实际每间宿舍住了（x+1）名学生， 则：． 故选：B． 12．（19-20九年级·重庆北碚·阶段练习）已知关于x的不等式组的整数解个数不少于3个，但不多于5个，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为（　　） A．﹣24 B．﹣19 C．﹣16 D．﹣10 【答案】B 【思路点拨】先解不等式组，该不等式组的整数解个数不少于3个，但不多于5个得到﹣3≤＜0，解得m的范围；再解分式方程，根据其解为整数，求得m的值，求和即可． 【规范解答】解：由 解得：＜x≤2 ∵该不等式组的整数解个数不少于3个，但不多于5个 ∴﹣3≤＜0 ∴﹣9≤m＜3 由得 y﹣（5﹣y）＝﹣m ∴y＝ ∵分式方程的解为整数且﹣9≤m＜3 当m＝﹣5时，y＝5，分式方程的分母为0，故m＝﹣5为增根 ∴符合条件的所有整数m为：﹣9，﹣7，﹣3，﹣1，1 ﹣9+（﹣7）+（﹣3）+（﹣1）+1＝﹣19 故选：B． 【考点评析】本题考查了不等式组的整数解和解分式方程的问题，掌握解不等式组的整数解的方法和解分式方程的方法是解题的关键． 13．（2018·重庆江北·一模）若关于x的不等式组无解，且关于y的方程的解为正分数，则符合题意的整数a有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【规范解答】分析：由不等式组无解确定a的取值范围，由方程的解是正数确定a的范围，结合这两个范围及方程的解是正分数确定a的值 详解：解不等式组，得， 因为不等式组无解，所以a＋3＞1，则a＞－2， 解方程，得y＝， 所以4－a＞0，则a＜4. 所以－2＜a＜4， 因为y＝是分数，所以a取－2和4之间的奇数， 所以a的可以取的值为－1，1，3. 故选C 点睛：本题主要考查了解一元一次方程和解一次一次不等式组，一元一次不等式组无解时一般都是其中的两个不等式的解集分别取大于和小于，且大于的那个数比小于的那个数要大，即这两个不等式的解集没有公共部分 14．（2024·江苏扬州·二模）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】0或2/2或0 【思路点拨】本题考查了分式方程的解，解题关键是掌握分式方程解法，理解分式方程解的定义．将分式方程化为整式方程，分式方程无解，也就是分式方程有增根或整式方程无解两种情况，分别进行计算即可． 【规范解答】解：关于的分式方程化为整式方程得： ， 即， 由于分式方程无解， 所以或者分式方程有增根， 当时，， 解得， 综上所述，的值为0或2， 故答案为：0或2． 15．（2020·江苏宿迁·二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程 ． 【答案】 【思路点拨】设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（1+60%）x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合走路线B的全程能比走路线A少用15分钟（即小时），即可得出关于x的分式方程，此题得解. 【规范解答】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（1+60%）x千米/小时， 依题意，得：． 故答案为：. 【考点评析】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 16．（2019·江苏南通·模拟预测）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做5个，甲做60个所用的时间与乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 ． 【答案】10 【思路点拨】设乙每小时做x个，则甲每小时做（x＋5）个，甲做60个所用的时间为小时，乙做40个所用的时间为小时；根据甲做60个所用的时间与乙做40个所用的时间相等，列方程求解． 【规范解答】解：设乙每小时做x个，则甲每小时做（x＋5）个， 由题意可得：， 解得：x=10， 经检验，x=10是原方程的解， 故答案为：10． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 17．（20-21八年级上·河南驻马店·期末）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是 ． 【答案】且. 【思路点拨】去分母，化成整式，计算分母为零时，a的值，计算方程的解，根据解是正数，转化为不等式，确定a的范围，最后将分母为零时的a值除去即可. 【规范解答】解：∵，去分母，得 -1+a-1=2（1-x）, 当x=1时，解得a=2； 当x≠1时，解得x=， ∵方程的解为正数， ∴＞0， ∴a＜4， ∴a＜4且a≠2， 故答案为a＜4且a≠2. 【考点评析】本题考查了分式方程的解，探解时，熟练把解转化为相应的不等式，同时，把分母为零对应的值扣除是解题的关键. 18．（2023·江苏徐州·模拟预测）解方程和不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解分式方程，求一元一次不等式组，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）两边都乘以化为整式方程求解，再检验即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【规范解答】（1）方程两边都乘以得：， 解得：， 检验：把，代入得：， 所以原方程的解， 即原方程的解是： ； （2）． 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是：． 19．（2024·福建龙岩·模拟预测）实施乡村振兴战略，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村计划集中采购两种树苗，已知种树苗单价（每棵树苗的价格）比种树苗多3元，用360元购买种树苗和用540元购买种树苗的棵数相同． (1)求两种树苗的单价分别是多少？ (2)红旗村决定购买这两种树苗共1000棵，若预算总费用不超过7000元，问至多可以购买种树苗多少棵？ 【答案】(1)种树苗的单价每棵6元，种树苗的单价每棵株9元 (2)333棵 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用， （1）设A种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用360元购买A种树苗和用540元购买B种树苗的棵数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A种树苗的单价），再将其代入中，即可求出B种树苗的单价； （2）设购买m棵B种树苗，则购买棵A种树苗，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过7000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【规范解答】（1）设种树苗的单价每棵元，则种树苗的单价每棵元． 则依题意可得：， 解得， 经检验：是原方程的解． 答：种树苗的单价每棵6元，种树苗的单价每棵9元． （2）设红旗村决定购买种树苗棵，则购买种树苗棵． 依题意可得：， 解得： ∵是整数， ∴ 答：红旗村最多可以购买种树苗333棵． 20．（2024·江苏常州·一模）班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．    (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5000元和7600元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用) 【答案】(1) (2)①燃油车的每千米行驶费用为 0.64元，新能源车每千米的行驶费用为 0.12 元；②每年行驶超过5000千米，买新能源车的年费用更低． 【思路点拨】本题考查分式方程的应用，不等式的应用． （1）根据题意，用总电费除以续航里程即可； （2）①根据题意可列分式方程，解求结果即可计算这两款车的每千米行驶费用；②设每年行驶千米，买新能源车的年费用更低，根据题意得，解不等式即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，新能源车的每千米行驶费用为； （2）①由题意得： 解得 经检验：是原方程的解 ， 答∶燃油车的每千米行驶费用为 0.64元，新能源车每千米的行驶费用为 0.12 元； ②设每年行驶千米，买新能源车的年费用更低，根据题意得 解得． 答∶每年行驶超过5000千米，买新能源车的年费用更低． 21．（2024·浙江宁波·二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． (1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价； (2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； (3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值． 【答案】(1)甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元 (2)总利润的最大值为元 (3)或 【思路点拨】本题考查一次函数，分式方程以及一元一次不等式等的实际应用，理解题意，准确建立一次函数、不等式或方程进行求解是解题关键． （1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进甲坚果的数量为盒，总利润为，根据题意，列出不等式和一次函数的解析式，利用一次函数的性质，进行求解，即可； （3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意，列出一元一次不等式和二元二次方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：， 解得：（舍去）或， 经检验：是原方程的根； ∴； 答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元； （2）设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒， 由题意，得：， 解得：， ∴的最大整数解为：35， 设总利润为，则：， ∴当时，有最大值：； 故总利润的最大值为元． （3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和， 由题意，得：， 解得：， ∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元， ∴， 整理，得：， ∵均为正整数， ∴或， ∴或． 22．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计． 兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度． (1)请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________； (2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出） ①请直接写出：a＝_______； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标； (3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）． 【答案】(1)60，80 (2)①；②，补全函数图像见解析，标出N（50，50） (3)0＜x≤8或32≤x≤48 【思路点拨】（1）①根据题意可得相遇点与点B之间的距离为80个单位长度，设甲的速度为v，乙的速度为b，由所用时间相等得出，求出甲从相遇点到B所用的时间为，乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为，根据题意列出方程求解即可得； ②解法与①方法类似，求解即可； （2）①当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意得出方程求解可得； ②当时，点在线段OM上，设直线的解析式为，将点M代入可确定此段的函数解析式；当时，，即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时，设设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意列出相应方程化简即可确定第二段函数解析式，然后描出特殊点，作出图象即可； （3）甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况，结合图象进行分析，然后列出方程得出z与x的函数解析式，然后代入不等式求解即可得． 【规范解答】（1）解：①∵相遇点与点A相距20个单位长度， ∴相遇点与点B之间的距离为：个单位长度， 设甲的速度为v，乙的速度为b， 则， ∴， ∴甲从相遇点到B所用的时间为：， 乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：， ∵， ∴甲与乙第二次相遇时，乙从第一次相遇点到点A，返回到点B，再返回向A时与甲第二次相遇，此时相遇点距离点A为y个单位长度， 根据题意可得： ， 解得：； ②∵相遇点与点A相距40个单位长度， ∴相遇点与点B之间的距离为：个单位长度， 设甲的速度为v，乙的速度为b， 则， ∴， ∴甲从相遇点到B所用的时间为：， 乙从相遇点到点A所用的时间为：， 乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：， ∵， ∴甲从相遇点到A，然后返回，乙从相遇点到B，然后返回途中，第二次迎面相遇，设相遇点距离点A为y个单位长度， 根据题意可得： ， 解得：； 故答案为：60；80； （2）解：①结合图象可得：当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v， 则乙的速度为：， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴， 故答案为：； ②当时，点在线段OM上， 设直线的解析式为，将点M代入可得： ， 解得：， ∴当时，； 当时，， 即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时， 设设甲的速度为v，则乙的速度为：， 根据题意可得：， 化简得：， 当时，， ∴经过点，描点，连接即可得出函数图象， 综上可得：， 函数图象如图所示： （3）解：甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况： ①如图所示： 由题意可得： ， 化简得：， ∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离不超过40个单位长度， 且， 解得：； ②如图所示： 根据题意可得：， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， ③如图所示： 根据题意可得：， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， 综合①②③可得：相遇点与A点之间的距离x的取值范围为：或， 故答案为：或． 【考点评析】题目主要考查一次函数、分式方程及不等式的应用，求解一次函数解析式，作函数图象等，理解题意，作出相应图形，列出方程及不等式是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$