1.5二次函数的应用（1）（教学课件）数学湘教版九年级下册

1.5 二次函数的应用（1） 主讲： 湘教版数学九年级下册 第1章 二次函数 学习目标 目标 1 目标 2 1．会分析实际问题中的数量关系和变化规律，能建立二次函数模型（包括确定二次函数的表达式）来解决简单的实际问题.（重点）（难点） 2、经历函数建模的过程，体会函数建模的方法和思想，进一步提高应用意识. 自学指导 阅读教材P29-31。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、看P29的的动脑筋,结合几何图形（拱桥），怎样建立二次函数模型解决实际问题？并注意自变量的取值范围。 2、看P30的议一议， 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 探究新知 动脑筋 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，当水面宽是4米时，拱顶离水面2米，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化，你能建立函数模型解决这个问题吗？ 建立函数模型 你能解决上述问题吗？ 桥洞的拱形是什么函数的图象？ 桥洞的拱形是抛物线，是某个二次函数的图象． 要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的是什么? 建立平面直角坐标系． 如何方便简单地构建函数模型呢？我们有下面四种选择： （0，0） （4，0） （2，2） y o x o y x （0，0） （2，-2） （-2，-2） o y x （2，0） （2，0） （-2，0） （0，0） （-4，0） （-2，2） o y x 选择哪个更容易解决问题？ 由于第二种建立坐标系的顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式是y=ax2．这样建立的直角坐标系函数解析式最为简单． 探究新知 5 由于拱桥的纵截面是抛物线的一部分，而二次函数的图象是抛物线，因此可建立二次函数模型来刻画。 先建立直角坐标系。为简便起见，我们以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系如图。 再设函数的表达式。由于顶点坐标是(0，0)，因此设这条抛物线的表达式为： . 探究新知 然后根据条件求出表达式。已知水面宽4m，拱顶离水面高4m，因此点A(2，-2)在抛物线上，由此得出 解得 因此，这个函数的表达式是 探究新知 最后利用函数解决问题.在函数中，|x|是水面宽度的一半，是拱顶离水面高度的相反数。这样我们从水面宽度的变化情况可以了解到拱顶离水面高度的变化情况。 算一算：当水面宽为4.6m时，拱顶离水面多少米？ 解：当水面宽 4.6 m 时，把x=2.3代入函数的表达式 ，得 y=-2.645． 答：当水面宽 4.6 m 时，拱顶离水面2.645米． 探究新知 注意根据实际意义确定自变量的取值范围。 由于拱桥的宽度为4.9m，因此自变量x的取值范围是：-2.45≤x≤2.45. 在解决实际问题时，对求得的函数表达式，一般要写出自变量x的取值范围，并在自变量的范围内研究问题。 探究新知 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 实际问题的解 利用二次函数的图象和性质求解 探究新知 议一议 D 1. 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 2 m 时，这时水面宽度 AB 为(　　 ) A. -10 m B. m C. m D. m 基础检测 基础检测 2.隧道的截面呈抛物线形，且抛物线所对应的函数的表达式为 .一辆车高 、宽 ，该车____通过隧道．（填 “能”或“不能”） 能 提示：假设车行驶在隧道正中间.将 代入 ， 得 .因为 ，所以该车能通过隧道． 3.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( ) A 基础检测 1、如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图， 已知悬索桥两端主塔高150 m， 主塔之间的距离为900 m， 试建立适当的直角坐标系， 求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式. 解：如图，以悬索桥的中心点为原点，抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系，则可设二次函数表达式为 y = ax2，A（450,150） 解得 ∴ ，（-450≤x≤450） 一展身手 2.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 表示. （1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？ （1）卡车可以通过. 提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4. （2）卡车可以通过. 提示：当x=±2时，y =3, 3＋2>4. x y －1 －3 －1 －3 1 3 1 3 O 一展身手 3. 如图，一单杠高2.2米，两立柱 之间的距离为1.6米，将一根绳子的 两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子 自然下垂呈抛物线状.一身高0.7米 的小孩站在离立柱0.4米处，其头部 刚好触上绳子，求绳子最低点到地 面的距离. A B C D 0.7 1.6 2.2 0.4 E F O x y 一展身手 A B C D 0.7 1.6 2.2 0.4 E F 解 ：如图， 以CD所在的直线为x轴，CD的中垂线为y轴建立直角坐标系，则 B（0.8, 2.2），F（- 0.4, 0.7） 所以，绳子最低点到地面的距离为 0.2米. O x y 设 y = ax2 + k ,从而有 0.64a + k = 2.2 0.16a + k = 0.7 解得： k = 0.2 所以，y = x2 + 0.2 顶点 E（0, 0.2） 一展身手 挑战自我 （教材第29页“动脑筋”变式）如图，某河面上有 一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位 时，宽 为 ，若水位上升 ，水面就会到达警戒线 ， 这时水面宽为 ． （1）建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线所对应的函数的表达式. （2）某次洪水到来时，水位以每小时 的速度上升，从警戒线开始， 再持续多少小时水面到达拱桥的拱顶？ 解 如图，以抛物线的顶点为原点，抛物线的 对称轴为 轴建立平面直角坐标系. 设抛物线所对应的函数的表达式为 ，点 的 坐标为 ，则点 的坐标为 . 将点 ， 的坐标代入 ， 得 解得 因此抛物线所对应的函数的表达式为 . （1）建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线所对应的函数的表达式. 挑战自我 19 图3 （2）某次洪水到来时，水位以每小时 的速度上 升，从警戒线开始，再持续多少小时水面到达拱桥的 拱顶？ 由（1）得 ， 所以 到拱顶的距离为 . 所以水位到达拱顶的时间为 因此，从警戒线开始，再持续 水面到达拱桥的拱顶． 挑战自我 20 实际问题 数学模型 转化 回归 (二次函数的图象和性质) 拱桥问题 运动中的抛物线问题 (实物型抛物线问题) 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 课堂小结 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级下册 $$