1.5二次函数的应用3：利润最值问题 课件2024-2025学年湘教版数学九年级下册

二次函数的应用 利润最值问题 湘教版九年级上册 旧知回顾 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一般步骤是怎样的? 1、应当求出函数解析式和自变量的取值范围. 3、确定所求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内. 2、通过配方变形,或利用公式求它的最大值或最小值. 旧知回顾 一.几个量之间的关系. 2.利润、售价、进价的关系: 利润= 售价-进价 1.总价、单价、数量的关系: 总价= 单价 数量 3.总利润、单件利润、数量的关系: 总利润= 单件利润 数量 新知讲授 利润最值问题 例1: 某网络玩具店引进一批进价为 20 元 / 件的玩具, 如果以单价 30 元销售, 那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验, 提高销售单价会导致销售量的下降, 即销售单价每上涨 1 元, 月销售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时, 该店能在一个月内获得最大利润? 等量关系:总利润=单件利润 数量 新知讲授 利润最值问题 例1 某网络玩具店引进一批进价为 20 元 / 件的玩具, 如果以单价 30 元销售, 那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验, 提高销售单价会导致销售量的下降, 即销售单价每上涨 1 元, 月销售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时, 该店能在一个月内获得最大利润? 解:设每件商品的销售单价上涨 x 元, 一个月内获取的商品总利润为 y 元. y = ( 10 + x ) ( 180 - 10x ) , 即 y = - 10x2 + 80x + 1 800 ( x ≤ 18 ) . = - 10 ( x - 4 )2 + 1960. 当x=4时,即销售单价为34元时,y最大值为1960元. 答:当销售单价定为34元时,该店一个月内最大利润为1960元. 新知讲授 利润最值问题 例1 某网络玩具店引进一批进价为 20 元 / 件的玩具, 如果以单价 30 元销售, 那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验, 提高销售单价会导致销售量的下降, 即销售单价每上涨 1 元, 月销售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时, 该店能在一个月内获得最大利润? 你还有什么方法能求出当销售单价为多少元时, 该店能在一个月内获得最大利润? 解:当 时,y有最大值 . 答:当销售单价定为34元时,该店一个月内最大利润为1960元. . 新知讲授 利润最值问题 例1 某网络玩具店引进一批进价为 20 元 / 件的玩具, 如果以单价 30 元销售, 那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验, 提高销售单价会导致销售量的下降, 即销售单价每上涨 1 元, 月销售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时, 该店能在一个月内获得最大利润? 解:设每件商品的销售单价上涨 x 元, 一个月内获取的商品总利润为 y 元. y = ( 10 + x ) ( 180 - 10x ) , 即 y = - 10x2 + 80x + 1 800 ( x ≤ 18 ) . = - 10 ( x - 4 )2 + 1960. 若要求至少每件盈利15元,则最大利润为多少? 变式1:某电商在购物平台上销售一款小电器,其进价为45元件,每销售一件需缴纳平台推广费5元,该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系:y=-2x+180.为保证市场稳定,供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件. (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式; 解:由题意得 w=(x-50)(-2x+180) 即 w=-2x +280x-9000. (2)每件小电器的销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润 最大,最大是多少元? 解:把 w=(x-50)(-2x+180)化为顶点式得 w=-2(x-70) +800 ∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件 ∴75≤x≤90 ∵70<75<90 ∴在取值范围内y随x的增大而减小 ∴当x=75时,有最大利润,y最大利润=-2(75-70) +800=750元. 求解最大利润问题的一般步骤: (1)建立利润与价格之间的函数关系式: 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 销售量” (2)结合实际意义,确定自变量的取值范围; (3)在自变量的取值范围内确定最大利润:可以利用配方法或公式求出最大利润;也可以画出函数的简图,利用简图和性质求出. 新知讲授 利润最值问题 例2:某商店试销一种新商品,新商品的进价为30元/件,经过一段时间的试销发现,每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件,售价为x元/件,每月的总利润为Q元. (1)当售价在40~50元时,每月销售量都为60件,则此时每月的总利润最多是多少元? 解:由题意得Q=60(x-30)=60x-1800 (40≤x≤50) ∵在取值范围内Q随x的增大而增大 ∴当x=50时,Q最大值=60 50-1800=1200 答:此时每月的总利润最多是1200元. (2)当售价在50~70元时,每月销售量与售价的关系如图所示,则此时当该商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元? 解:设y与x函数关系式为 y=kx+b. ∵线段过(50,60)和(70,20) ∴函数解析式为 y=-2x+160(50≤x≤70) ∴Q=(x-30)y=(x-30)(-2x+160) =-2x +220x-4800=-2(x-55) +1250(50≤x≤70) ∴Q=-2(x-55)2+1250 (50≤x≤70) ∵a=-2<0,图象开口向下,且50≤55≤70 ∴当x=55时,Q最大值=1250 ∴当售价在50~70元时,售价x是55元时,获利最大,最大利 润是1250元. (3)若4月份该商品销售后的总利润为1218元,则该商品售价与当月 的销售量各是多少? 新知讲授 利润最值问题 例3:某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75.其图象如图. (1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元? (2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元? 1.某种商品每件的进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售,可卖出(600-20x)件,使利润最大,则每件售价应定为 元,最大利润是 元. 25 500 2.进价为80元的某件商品定价100元时,每月可卖出2000件,价格每上涨1元,销售量便减少5件,那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 . 每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简) y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) $$