精品解析：辽宁省铁岭市昌图县名校协作2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025年中学生能力训练 数学阶段练习（四） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次函数的定义， 根据二次函数的定义∶形如(a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数进行判断即可． 【详解】解∶A、中未知数的次数是1，不是二次函数，不符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、中未知数的次数是1，不是二次函数．不符合题意； D、是二次函数，符合题意， 故选∶D． 2. 如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：从左面看，底层是2个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：C． 3. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，则△ABC是（　　） A. 直角（不等腰）三角形 B. 等边三角形 C. 等腰（不等边）三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠B，∠A的度数，再求出第三个角角度，进而得出答案． 【详解】解：∵| tanB﹣|+（2cosA-1）2=0， ∴tanB﹣=0，得tanB==0，则∠B=60°； 2cosA-1=0，得cosA=，则∠A=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=60° ∴∠C=∠A=∠B ∴△ABC是等边三角形． 故选B． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，得出三个内角的角度，再证明出三角形是等边三角，正确记忆相关数据是解题关键． 4. 如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若，的距离为8，，的距离为6，则正方形的对角线长为（ ） A. 10 B. C. 14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等及勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，建立一线三等角的全等模型．添加垂直辅助线，通过证明三角形全等将已知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理得解． 【详解】解：如图，过C作于点M，过A作于点N， 则，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形对角线的长． 故选：B． 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x， 则， 故选：C． 6. 如果关于x的一元二次方程的两根分别为和，那么的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解答此题的关键是明确．直接利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程两根分别是和，且，， ∴． 故选：A． 7. 如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心点，①号“”与②号“”的相似比为．点与为一组对应点，若点Q坐标为，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算，将点的横、纵坐标乘以，即可求解． 【详解】解：∵①号“”与②号“”的相似比为，点Q坐标为 ∴点的坐标为，即， 故选：D． 【点睛】此题考查了位似变换的性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行(或在一条直线上)，熟记性质是解题的关键． 8. 若点，，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像的增减性是解题关键． 先求出函数的对称轴，再根据三个点与对称轴的距离，结合开口方向确定三点纵坐标的大小． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∵，，在二次函数图像上， ∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：， ∴到对称轴距离最近的点是点，其次是点，最远的是点， ∴． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与平行四边形综合，利用反比例函数的几何意义或利用设元法解决是关键．设，可表示出点坐标，便得和的长，即可得平行四边形的面积． 【详解】解：设， ∵轴，点在双曲线上，点在双曲线上， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形的面积， 故选：D． 10. 新定义：若点满足，则称这个点为“6阶点”．若二次函数（为常数）的图象上始终存在“6阶点”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据“6阶点”找出二次函数与的关系，将其代入二次函数中，使其转化关于的二次函数，利用完全平方公式配方，观察式子即可求出答案. 【详解】解：二次函数（为常数）的图象上始终存在“6阶点”，且“6阶点”满足， 设二次函数上的“6阶点”为， ，， ， ， ， . 故答案为：A. 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，完全平方公式，解题的关键在于理解新定义，转化成关于的二次函数，利用二次函数顶点式求出取值范围. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是_____． 【答案】x1=3，x2=﹣1 【解析】 【详解】解：原方程可化为：（x﹣3）（x+1）=0， ∴x1=3，x2=﹣1 故答案为：x1=3，x2=﹣1 12. 将抛物线向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移规律．根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位，再向左平移2个单位， 所得的抛物线的解析式为． 故答案为：． 13. 山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了利用列表或树状图求概率的方法：先通过列表或树状图展示所有等可能的结果数，再找出其中某事件所占有的结果数，然后根据概率的概念求出这个事件的概率．根据题意先画出树状图得出所有等情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：把晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子分别记作1，2，3，4， 列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由上表可知，共16种可能等可能的结果，其中甲、乙两个小组选择同一剧种有4种， 甲、乙两个小组选择同一剧种的概率． 故答案为： 14. 二次函数的图象如图所示．下列说法：①；②；③若，在函数图象上，当时，；④；⑤是一元二次方程的解，其中正确的有______．（填写正确的序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点， 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵函数图象与x轴交于点，， 函数图象的对称轴为直线， ∴， ，即，故①正确； ②抛物线与x轴有两个交点， ，故②错误； ③对称轴为，开口向上， ∴若，在函数图象上， 当时，； 当时， ，故③错误； ④∵当时，， ∴， 即，故④正确； ⑤当时，， ∴， 把代入一元二次方程，方程左边右边， ∴是方程的解，故⑤正确； 故答案为：． 15. 在矩形中，，，点是对角线上一点，连接，将沿折叠得到，点和点是对应点．当时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识．过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出，证明，得到，设，，则，由折叠可得：，，在中，根据勾股定理列方程求出，得到，进而求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， 在矩形中，，，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ， 又， ， ， 设，，则， 由折叠可得：，， 在中，，即， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算或化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算，绝对值，实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，计算即可得到结果． （2）括号中两项通分并同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 中国面食文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． （1）求与之间函数关系式及的值； （2）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长． 【答案】（1）， （2）面条的总长度至少为 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，求不等式的解集，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，求不等式的解集是解题的关键． （1）设y与x之间的函数表达式为：，将代入可得解析式，再把将代入解析式可得的值； （2）厨师做出的面条横截面面积不超过，可得列式得，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为：， 将代入可得：， ∴y与S之间的函数表达式为：； 将代入可得； 【小问2详解】 解：∵厨师做出的面条横截面面积不超过， ∴， 故面条的总长度至少为． 18. 某校为了了解七、八年级学生生物学知识掌握水平，对近期两次生物测试成绩进行收集分析，每次测试满分均为30分．学校从七、八年级各随机抽取12名学生的测试成绩，整理如下： 八年级12名学生两次生物阅试成绩统计表 两次平均成绩x（分） 人数 a 4 6 根据以上图表信息，回答下列问题： （1）图中圈出了七年级甲、乙两名学生两次竞赛成绩对应的点，在甲、乙两名学生中，第二次竞赛成绩较高的学生是 ； （2）在抽取的12名七年级学生中，第二次竞赛成绩高于第一次竞赛成绩的学生有 人； （3）请从统计学角度分析该校七、八年级学生的生物学成绩哪个年级更好？（从中位数、众数和平均数三个统计量中选择一个分析即可） 【答案】（1）甲 （2）7 （3）该校学生的生物学成绩八年级好于七年级，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是统计图认识，平均数与众数的含义，利用样本估计总体； （1）根据图形分别判断第一次与第二次的成绩范围，再分析即可； （2）分别确定每个人的两次成绩范围，从而可得答案； （3）先判断七年级12人两次平均成绩的范围，再利用众数的定义解答可得． 【小问1详解】 解：由图可得：甲第一次得分在之间，乙第一次得分在之间， 甲第二次得分在之间，乙第二次得分在之间， ∴在甲、乙两名学生中，第二次竞赛成绩较高学生是甲； 【小问2详解】 解：如图， 由图可得：在抽取的12名学生中，第二次竞赛成绩高于第一次竞赛成绩的学生有 ，甲，，，，，，共7人； 【小问3详解】 解：由图可得：的平均分在之间， 甲的平均分在之间， 乙的平均分在之间， 的平均分在之间， 的平均分为分， 的平均分在之间， 的平均分在之间， 的平均分在之间， 的平均分在之间， 的平均分在之间， 的平均分在之间， 的平均分在之间， ∴整理得： 两次平均成绩x（分） 人数（人） 6 5 1 则该校七年级学生的生物学成绩的众数数位于， （人）， 八年级12名学生两次生物阅试成绩统计表 两次平均成绩x（分） 人数 2 4 6 则该校八年级学生的生物学成绩的众数位于， ∴该校学生的生物学成绩八年级好于七年级． 19. 为了助力农村及中小企业发展，许多明星、网红甚至政府官员纷纷加入直播带货行列，推销本地产品．某乡镇中小企业在直播带货中销售泡菜，成本为每袋10元．销售大数据分析表明：当每袋泡菜售价为20元时，平均每月售出5000袋；若售价每下降1元，其月销售量就增加1000个． （1）为迎接“双十一”，该企业决定降价促销，在库存为7500袋泡菜的情况下，若预计月获利恰好为54000元，求每袋泡菜的售价． （2）月获利能否达到60000元，说明理由． 【答案】（1）每袋泡菜的售价为19元 （2）月获利不能达到60000元，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． （1）设每袋泡菜的售价为x元，根据获利54000袋列方程求解； （2）设每袋泡菜的售价为a元，根据获利60000元列方程，结合根的判别式解答即可． 【小问1详解】 解：设每袋泡菜的售价为x元， 由题意得：， ∴， ∴，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，， 答：每袋泡菜的售价为19元； 【小问2详解】 解：月获利不能达到60000元， 理由如下：设每袋泡菜的售价为a元， 由题意得：， 整理得： ∵， ∴方程无实数根， ∴月获利不能达到60000元． 20. 如图，某地冬季正午时太阳光与水平地面的夹角为，现要在建筑物的正前方安装太阳能板，此时太阳光线照射建筑物形成的影子，一部分落在水平地面上，另一部分落在太阳能板上．已知米，米，太阳能板与水平地面的夹角． （1）求建筑物的高为多少米； （2）为了不遮挡太阳能板接受太阳光光照，至少需要将太阳能板向后移动多少米？参考数据：，，结果保留1位小数． 【答案】（1）建筑物的高约为米 （2）至少需要将太阳能板向后移动约米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，掌握正弦，余弦，正切值的计算方法，图形结合分析是解题的关键． （1）如图，过点D作于点G，于点H，则四边形为矩形，得出，，在中，根据直角三角形的性质得出米，再算出，，即可求出，由题意可知，太阳光与水平地面的夹角为， ，得出，再根据解直角三角形得出，即可求解． （2）延长交于点M，在中，根据，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点G，于点H， 则四边形为矩形， ∴，， 在中，，米， 则（米），（米）， ∴米， 由题意可知，太阳光与水平地面的夹角为， ， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：建筑物的高约为米． 【小问2详解】 解：延长交于点M， ∵米，由（1）知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：至少需要将太阳能板向后移动约米． 21. 如图，在正方形中，对角线，相交于点O，点M在线段上（不与点O，B重合），点N在线段上（不与点O，D重合），，连接，，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，时，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质和已知得，，证出四边形是平行四边形，再由即可证出四边形是菱形； （2）由（1）得和得，然后由直角三角形的性质和勾股定理可得，过点M作于点H，由勾股定理得，最后利用菱形的面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 证明：在正方形中， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点M作于点H， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点晴】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，准确添加辅助线是解决此题的关键． 22. 中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题． 如图1，中，为的中点，于点，．求证：． 分析：由为的中点联想到构造三角形的中位线．如图，取的中点，连接，则是的中位线，则且，从而可得．要证，只需证即可． （1）请你根据上边分析，完成证明过程． （2）如图，在凸五边形中，，连接，，，点为的中点，连接，求证：． （3）如图，在等腰直角三角形中，，点为平面内任意一点，且，连接，点为中点，连接，当线段时，直接写出的面积． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）或． 【解析】 【分析】取的中点，连接，，利用中位线定理可证，根据直角三角形的性质可知，再根据三角形外角的性质可证结论成立； 延长到点，使，连接，，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质可知，从而可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，利用三角形中位线定理可证结论成立； 延长到点，使，连接、，构造等腰直角三角形，本题要分当点在线段上和点在线段的延长线上两种情况求解． 【小问1详解】 证明：如下图所示，取的中点，连接，， 点为的中点， 是的中位线， 且， 于点， ， ， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如下图所示，延长到点，使，连接，， ，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ； 【小问3详解】 解：如下图所示，当点在上时，延长到点，使，连接、， 是等腰直角三角形， ， 又，， ，， ， ， 在中，， 点为中点，点为的中点， ， ， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ； 如下图所示，当点在延长线上时，延长到点，使，连接、， 由可得：， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述的面积为或． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质找到边之间的关系． 23. 材料阅读 材料一： 将函数的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？解决途径： 材料二： 直线可以看出由直线向上平移t个单位长度，再向右平移m个单位长度得到．由于直线始终经过，所以直线必过点． 材料三： 二次函数G：的图象与x轴的两个交点，，将二次函数向上平移n个单位后，A，B两点的对应点为，，经过，的二次函数表示为，则称二次函数为二次函数G的一个“n族二次函数”． 根据材料回答问题： （1）直接写出直线经过的定点坐标为 ； （2）若二次函数的一个“8族二次函数”经过，两点，试求该二次函数的解析式． （3）若一次函数与（2）中的二次函数始终有交点，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，模仿材料二的解题过程，即可得出直线必过点． 进行作答， （2）根据 “8族二次函数”的定义，设，把，分别代入进行计算，即可作答． （3）先得出一次函数经过定点，再结合一次函数与二次函数始终有交点，列式化简得，再得，解出k取值范围，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 得出直线可以看出由直线向上平移8个单位长度，再向左平移个单位长度得到的． ∵直线始终经过， ∴直线必过点． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设二次函数的一个“8族二次函数”为， ∵这个“8族二次函数”经过，两点， ∴把，分别代入， ∴得， 解得； ∴该二次函数的解析式是：． 【小问3详解】 解：∵一次函数，与二次函数始终有交点， ∴方程组一定有解， ∴即一定有解， ∴，且， ∴或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年中学生能力训练 数学阶段练习（四） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A B. C. D. 2. 如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，则△ABC（　　） A. 直角（不等腰）三角形 B. 等边三角形 C. 等腰（不等边）三角形 D. 等腰直角三角形 4. 如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若，的距离为8，，的距离为6，则正方形的对角线长为（ ） A. 10 B. C. 14 D. 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于x的一元二次方程的两根分别为和，那么的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 1 D. 7. 如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心点，①号“”与②号“”的相似比为．点与为一组对应点，若点Q坐标为，则点的坐标为( ) A B. C. D. 8. 若点，，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 新定义：若点满足，则称这个点为“6阶点”．若二次函数（为常数）的图象上始终存在“6阶点”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是_____． 12. 将抛物线向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线的解析式为_________． 13. 山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为______． 14. 二次函数的图象如图所示．下列说法：①；②；③若，在函数图象上，当时，；④；⑤是一元二次方程的解，其中正确的有______．（填写正确的序号） 15. 在矩形中，，，点是对角线上一点，连接，将沿折叠得到，点和点是对应点．当时，长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算或化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 中国面食文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． （1）求与之间的函数关系式及的值； （2）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长． 18. 某校为了了解七、八年级学生生物学知识掌握水平，对近期两次生物测试成绩进行收集分析，每次测试满分均为30分．学校从七、八年级各随机抽取12名学生测试成绩，整理如下： 八年级12名学生两次生物阅试成绩统计表 两次平均成绩x（分） 人数 a 4 6 根据以上图表信息，回答下列问题： （1）图中圈出了七年级甲、乙两名学生两次竞赛成绩对应的点，在甲、乙两名学生中，第二次竞赛成绩较高的学生是 ； （2）在抽取的12名七年级学生中，第二次竞赛成绩高于第一次竞赛成绩的学生有 人； （3）请从统计学角度分析该校七、八年级学生的生物学成绩哪个年级更好？（从中位数、众数和平均数三个统计量中选择一个分析即可） 19. 为了助力农村及中小企业发展，许多明星、网红甚至政府官员纷纷加入直播带货行列，推销本地产品．某乡镇中小企业在直播带货中销售泡菜，成本为每袋10元．销售大数据分析表明：当每袋泡菜售价为20元时，平均每月售出5000袋；若售价每下降1元，其月销售量就增加1000个． （1）为迎接“双十一”，该企业决定降价促销，在库存为7500袋泡菜的情况下，若预计月获利恰好为54000元，求每袋泡菜的售价． （2）月获利能否达到60000元，说明理由． 20. 如图，某地冬季正午时太阳光与水平地面的夹角为，现要在建筑物的正前方安装太阳能板，此时太阳光线照射建筑物形成的影子，一部分落在水平地面上，另一部分落在太阳能板上．已知米，米，太阳能板与水平地面的夹角． （1）求建筑物的高为多少米； （2）为了不遮挡太阳能板接受太阳光光照，至少需要将太阳能板向后移动多少米？参考数据：，，结果保留1位小数． 21. 如图，在正方形中，对角线，相交于点O，点M在线段上（不与点O，B重合），点N在线段上（不与点O，D重合），，连接，，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，时，求菱形的面积． 22. 中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题． 如图1，中，为的中点，于点，．求证：． 分析：由为的中点联想到构造三角形的中位线．如图，取的中点，连接，则是的中位线，则且，从而可得．要证，只需证即可． （1）请你根据上边分析，完成证明过程． （2）如图，在凸五边形中，，连接，，，点为的中点，连接，求证：． （3）如图，在等腰直角三角形中，，点为平面内任意一点，且，连接，点为中点，连接，当线段时，直接写出的面积． 23. 材料阅读 材料一： 将函数的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？解决途径： 材料二： 直线可以看出由直线向上平移t个单位长度，再向右平移m个单位长度得到的．由于直线始终经过，所以直线必过点． 材料三： 二次函数G：的图象与x轴的两个交点，，将二次函数向上平移n个单位后，A，B两点的对应点为，，经过，的二次函数表示为，则称二次函数为二次函数G的一个“n族二次函数”． 根据材料回答问题： （1）直接写出直线经过的定点坐标为 ； （2）若二次函数的一个“8族二次函数”经过，两点，试求该二次函数的解析式． （3）若一次函数与（2）中的二次函数始终有交点，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$