6.1 空间向量及其运算（7个知识点+11类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

6．1 空间向量及其运算 课程标准 学习目标 （1）能类比平面向量的学习，经历平面向量推广到空间向量的过程，并初步建构空间向量及其运算的研究框架． （2）能类比平面向量，用自己的语言解释空间向量的概念，说明空间向量与平面向量的共性与差异． （3）能将平面向量的线性运算推广到空间，给出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及其几何意义． （4）能将平面向量线性运算的运算律推广到空间，并能借助图形解释其意义；会用空间向量的线性运算表示空间中的基本元素，体会空间向量的线性运算在解决立体几何问题中的作用． （5）能将平面向量数量积的运算推广到空间，给出空间向量数量积的概念，会计算两个向量的数量积；能将平面向量数量积的运算律推广到空间向量数量积的运算律，能用自己的语言解释空间向量运算律和实数运算律的联系与区别． （6）能借助图形解释空间向量投影的概念以及投影向量的意义． （7）能利用向量数量积解决几何度量问题，证明与垂直有关的简单问题；体会空间向量的数量积运算及其运算律在解决立体几何问题中的作用． （1）了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示. （2）掌握空间向量的线性运算 （3）掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题． （4）掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法. （5）理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行. （6）理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面． 知识点01 空间向量的有关概念 1、空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或． 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量． 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 相等 【即学即练1】（2024·山东日照·高二校考阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 知识点02 空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 减法 加法运算律 ①交换律： ②结合律： （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与向量方向相同； 当时，与向量方向相反； 当时，；的长度是的长度的倍． ②运算律 结合律：． 分配律：，． 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 【即学即练2】（2024·广东中山·高二中山市华侨中学校考阶段练习）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C. 知识点03 共线问题 共线向量 （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有． （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使． （4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线． 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【即学即练3】（2024·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 所以， 又点为两向量的公共端点，所以三点共线. 故选：D. 知识点04 向量共面问题 共面向量 （1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． （2）共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对，使或对空间任意一点O，有． （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）． 【即学即练4】（2024·全国·高二专题练习）八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ） A．不共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．共面 【答案】D 【解析】对于空间任意一点和不共线三点、、，若点满足：，且，则、、、四点共面. 而，其中，所以四点共面. 故选：D 知识点05 空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即． 规定：零向量与任何向量的数量积为． （2）常用结论（，为非零向量） ①． ②． ③． （3）数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 【即学即练5】（2024·北京房山·高二统考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 知识点06 夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则叫做向量与的夹角，记作，如下图． 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦． 知识点诠释： （1）规定： （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作． 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到． 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角． 【即学即练6】（2024·山东烟台·高二校联考）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C 知识点07 空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；． 2、利用向量求线段的长度． 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题．一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解． 【即学即练7】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，，，，为中点． (1)用空间的一组基表示，； (2)求，的值． 【解析】（1）由题意可得：， . （2）由题意可得：， 因为， . 题型一：空间向量的概念 【典例1-1】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【解析】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 【典例1-2】如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【解析】由向量的模的定义，根据平行六面体的性质可知，与向量模相等的向量分别为： ，共7个. 故选：C． 【方法技巧与总结】 （1）平面向量是一种特殊的空间向量． （2）两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． （3）向量不能比较大小． 【变式1-1】给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 【变式1-2】给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 【变式1-3】下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 【答案】C 【解析】对于A，空间中共线的向量不一定在同一条直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A错误， 对于B，两个向量不相等，有可能方向不同，模相等，如的方向不同，但模相等，所以B错误， 对于C，向量数乘运算中，既决定大小又决定方向，所以C正确， 对于D，在平行四边形ABCD中，才有，所以D错误. 故选：C 题型二：空间向量及其线性运算 【典例2-1】如图，在直三棱柱中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得 . 故选：B 【典例2-2】如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 【方法技巧与总结】 （1）向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 【变式2-1】在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则用，，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示根据题意知， 而, 将代入上式可求得. 故选：A 【变式2-2】在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 【变式2-3】如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为, 所以 . 故选：B. 题型三：共线向量（或平行向量） 【典例3-1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【典例3-2】设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【解析】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 【方法技巧与总结】 向量共线的判定及应用 （1）判断或证明两向量共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用穴间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． （2）判断或证明空间中的三点（如共线的方法：是否存在实数，使． 【变式3-1】如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【解析】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线． 【变式3-2】设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 【变式3-3】已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【解析】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 【变式3-4】若空间向量不共线，且，则xy＝（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】因为空间向量不共线， 要使， 则. 故选：D. 题型四：空间向量的夹角 【典例4-1】已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 【典例4-2】如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以. 故选：B. 【方法技巧与总结】 空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角． 【变式4-1】在空间四边形中，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴. 故选：D. 【变式4-2】已知单位向量满足，若与的夹角为，则实数 ． 【答案】 【解析】因为与的夹角为， 所以， 即，解得， 又，所以． 故答案为： 【变式4-3】已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得， 所以， 设向量和的夹角为，则， 又，所以. 故选：C. 题型五：空间向量的数量积 【典例5-1】如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【解析】（1）点为的中点，， ， ． （2），由（1）得 ． 【典例5-2】如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，. (1)用，，表示向量； (2)用，，表示向量； (3)若，，，求. 【解析】（1）. （2）. （3），，， . 【方法技巧与总结】 由向量数量积的定义知，要求与的数量积，需已知，和，与的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使计算准确． 【变式5-1】如图所示，在平行六面体中，，，，则 . 【答案】 【解析】在平行六面体中，，，， 由空间向量数量积定义可得， ，同理可得， 因为，， 所以，. 故答案为：. 【变式5-2】如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 . 【答案】 【解析】依题意可得，， 所以 . 故答案为： 【变式5-3】如图，已知在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，且､则 . 【答案】 【解析】平行六面体中，， . 故答案为：． 【变式5-4】在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则＝ . 【答案】8. 【解析】如图所示： ＝＝8. 故答案为：8. 【变式5-5】如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【答案】6 【解析】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 题型六：空间向量的投影向量 【典例6-1】如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ．    【答案】 【解析】在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 【典例6-2】已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，在方向上投影的模为 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键所在． 【变式6-1】如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由已知E为棱上的动点，设， 因为， 所以 ， 所以向量在向量方向上投影数量为， 又，， ， 所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为 故答案为： 题型七：共面向量 【典例7-1】为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】若四点共面，则， 解得. 故选：C. 【典例7-2】设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得， 故选：D. 【方法技巧与总结】 若与不共线且同在平面内，则与，共面的意义是在内或． 【变式7-1】已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 【变式7-2】为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 题型八：共面向量定理 【典例8-1】如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 【答案】/ 【解析】根据题意可得：， 又因为四点共面，故，解得. 故答案为：. 【典例8-2】如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．    【答案】 【解析】 ； 四点共面，故，即. 故答案为： 【方法技巧与总结】 如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组，使．在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量，不共线”的要求． 【变式8-1】图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【解析】（1）因为分别为的中点， 所以，． （2）因为， ， 所以，故四点共面． 【变式8-2】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【解析】（1）由题知， 则， 即， 所以，，共面． （2）由（1）知，，共面且基线过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 【变式8-3】如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面． 【解析】证明：因为从所在平面外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且满足，则有向量，，，， 而在中，有，所以 故E，F，G，H四点共面，证毕. 【变式8-4】如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 【解析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底， 则 . 联结DM，点，，，M共面，故存在实数， 满足，即， 因此， 由空间向量基本定理知， ， 故，为定值. 题型九：空间四点共面的条件 【典例9-1】下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于可得，，由空间共面向量定理知，M、A、B、C一定共面，故A正确， 对于可知，系数和不为1，故M、A、B、C不共面，故B错； 对于，系数和 ，故M、A、B、C不共面，故C错； 对于，可得，系数和不为1，根据空间向量共面的推论可知M、A、B、C不共面，故D错； 故选：A. 【典例9-2】对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 【方法技巧与总结】 （1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示． 【变式9-1】已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 【答案】A 【解析】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使， 因为， 所以， 所以共面， 所以四点共面， 因为，所以， 所以点唯一. 故选：A. 【变式9-2】对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 【答案】B 【解析】由，得， 即，故共面. 又因为三个向量有同一公共点，所以共面. 故选：B. 【变式9-3】已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【解析】设且， 则，， 则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面. 对于A选项，，，、、、四点不共面； 对于B选项，，，、、、四点共面； 对于C选项，，，、、、四点不共面. 故选：B. 【变式9-4】已知非零向量，不共线，若，则A，B，C，D四点（    ） A．一定共圆 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 【答案】C 【解析】因为非零向量不共线，，，， 所以，所以， 由共面向量定理可知，A，B，C，D四点共面，故A 正确，B、D错误； 不妨设是该平面内向量的单位正交基底，易知A、B、C、D四点构成一个凹四边形，此时四点不共圆，故A错误． 故选：C． 题型十：利用空间向量的数量积求线段的长度 【典例10-1】已知A，B，C，P为空间内不共面的四点，为的重心. (1)若，求k的值. (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求. 【解析】（1）证明：因为G是的重心，所以， 则， 即. 所以 （2）由（1）得， 所以， ，即． 【典例10-2】如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 【解析】（1）． （2）因为， 所以． 【方法技巧与总结】 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用．向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解． 【变式10-1】如图所示，已知是平行六面体，，求的长． 【解析】由已知可得不共面，而且 ， 而且 ， ， ， 又因为 ， 所以 ， 因此，即所求长为． 【变式10-2】在如图所示的斜三棱柱中，． (1)设，，，用表示； (2)若，，求的长． 【解析】（1）在三棱柱中，侧面为平行四边形， 所以， 则． （2）依题意可得， 则 ， 所以的长为． 【变式10-3】如图，在四面体中，，，，设.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【解析】（1）由，，可得 , 所以 （2）由于是线段中点，点满足， 所以, 故, 所以, 所以 题型十一：利用空间向量的数量积证垂直 【典例11-1】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【解析】证明：由题意可知，，且向量，，两两的夹角均为，连接AN，则， ∴ ， ∴，即． 【典例11-2】如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）证明：由题意，因为，， 所以， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 【方法技巧与总结】 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零． 【变式11-1】如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【解析】（1）设，，，则，，，， ． 因为 ， 所以 （2）证明：因为 ， 所以． 【变式11-2】已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 【解析】设， 由题意得，，， 因为，所以， 又， 所以， 所以. 【变式11-3】如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【解析】（1）连接，则 （2）， 所以 ， 所以. 1．在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C 2．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 【答案】D 【解析】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，， 由于，，所以，选项A正确. 对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是. ，则 .所以，选项B正确. 对于C，， ， 因为，所以，选项C正确. 对于D，，设向量与的夹角为 ， ， 所以，选项D错误. 故选：D. 3．已知三点不共线，点不在平面内，，若四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为四点共面，所以，则，又， 所以，当且仅当时取等号． 故选：B 4．如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】D 【解析】以为基底，则，，，，. 因为，所以， 则 ， 所以. 故选：D 5．如图，已知平行六面体中，点是侧面的中心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点是侧面的中心， 所以点是的中点， 则 . 故选：C. 6．棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 又，，，， 所以． 故选：A． 7．在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 因为共面，所以，解得. 故选：D. 8．已知平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图： ， ， . 故选：B. 9．（多选题）已知四面体的所有棱长都等于分别是棱的中点.则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题意得：四面体为正四面体， 故， 故，A错误； 因为分别是的中点， 所以，，且，， 故，B正确； ，C正确； 取的中点，连接， 因为均为等边三角形， 所以⊥，且⊥， 因为，且平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，⊥， 故，所以 ，D错误. 故选：BC 10．（多选题）如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（ ） A．直线直线 B．若，则平面 C． D．若，则A1A与AC夹角的余弦值为 【答案】CD 【解析】对于A，因为，， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以，所以，A正确， 对于B，连接， 由选项A知， 因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以，由于， 所以， 所以为直角三角形，即，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 所以B正确， 对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点， 所以，所以，所以C错误， 对于D，设，，因为在菱形中，， 所以， 因为， 所以 ， 所以，所以D错误， 故选：CD. 11．（多选题）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点.则以下四个结论正确的是（   ） A．向量，，共面 B．平面 C．若四面体各棱长均为4，则 D．若是和的交点，则对空间任意一点，有. 【答案】ABD 【解析】由，，，分别是，，，的中点. 所以， 又在平面内，在平面外， 所以平面，故B正确； 易得：为平行四边形，， 所以，故向量，，共面，A正确； 对于C：若四面体各棱长均为4，结合A，可得为边长2的菱形， 又 ， 所以，也即，所以为边长2的正方形， ，故C错误； 对于D: ，，四边形为平行四边形． 又是和的交点，，被点平分． ．故D正确. 故选：ABD 12．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【解析】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 13．如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是 . 【答案】 【解析】由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，， 由空间向量的平行六面体法则可得， 则 ， 因此，. 故答案为：. 14．已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 【答案】 【解析】由题知， 即 又，，，四点共面， 所以，解得. 故答案为：. 15．如图．在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，点G为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段AG的长及直线AG与所成角的余弦值． 【解析】（1）因为是的中点，所以. （2），，， 由（1）可知：，两边平方得：， 所以， 而，两边平方得：， 所以， 因为 ， 设直线与的夹角为，则. 16．如图，已知平行六面体，，，，分别是棱，，和的中点，求证：，，，四点共面． 【解析】证明取，，， 则 ， 所以与，共面,即与共面， 即，，，四点共面． 17．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【解析】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 18．在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【解析】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．1 空间向量及其运算 课程标准 学习目标 （1）能类比平面向量的学习，经历平面向量推广到空间向量的过程，并初步建构空间向量及其运算的研究框架． （2）能类比平面向量，用自己的语言解释空间向量的概念，说明空间向量与平面向量的共性与差异． （3）能将平面向量的线性运算推广到空间，给出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及其几何意义． （4）能将平面向量线性运算的运算律推广到空间，并能借助图形解释其意义；会用空间向量的线性运算表示空间中的基本元素，体会空间向量的线性运算在解决立体几何问题中的作用． （5）能将平面向量数量积的运算推广到空间，给出空间向量数量积的概念，会计算两个向量的数量积；能将平面向量数量积的运算律推广到空间向量数量积的运算律，能用自己的语言解释空间向量运算律和实数运算律的联系与区别． （6）能借助图形解释空间向量投影的概念以及投影向量的意义． （7）能利用向量数量积解决几何度量问题，证明与垂直有关的简单问题；体会空间向量的数量积运算及其运算律在解决立体几何问题中的作用． （1）了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示. （2）掌握空间向量的线性运算 （3）掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题． （4）掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法. （5）理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行. （6）理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面． 知识点01 空间向量的有关概念 1、空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或． 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量． 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 相等 【即学即练1】（2024·山东日照·高二校考阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 知识点02 空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 减法 加法运算律 ①交换律： ②结合律： （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与向量方向相同； 当时，与向量方向相反； 当时，；的长度是的长度的倍． ②运算律 结合律：． 分配律：，． 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 【即学即练2】（2024·广东中山·高二中山市华侨中学校考阶段练习）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点03 共线问题 共线向量 （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有． （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使． （4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线． 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【即学即练3】（2024·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 知识点04 向量共面问题 共面向量 （1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． （2）共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对，使或对空间任意一点O，有． （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）． 【即学即练4】（2024·全国·高二专题练习）八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ） A．不共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．共面 知识点05 空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即． 规定：零向量与任何向量的数量积为． （2）常用结论（，为非零向量） ①． ②． ③． （3）数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 【即学即练5】（2024·北京房山·高二统考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 知识点06 夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则叫做向量与的夹角，记作，如下图． 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦． 知识点诠释： （1）规定： （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作． 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到． 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角． 【即学即练6】（2024·山东烟台·高二校联考）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 知识点07 空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；． 2、利用向量求线段的长度． 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题．一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解． 【即学即练7】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，，，，为中点． (1)用空间的一组基表示，； (2)求，的值． 题型一：空间向量的概念 【典例1-1】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【典例1-2】如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【方法技巧与总结】 （1）平面向量是一种特殊的空间向量． （2）两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． （3）向量不能比较大小． 【变式1-1】给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】下列说法中正确的是（    ） A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．数乘运算中，既决定大小又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有 题型二：空间向量及其线性运算 【典例2-1】如图，在直三棱柱中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 【变式2-1】在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则用，，表示（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2-3】如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（    ） A． B． C． D． 题型三：共线向量（或平行向量） 【典例3-1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【方法技巧与总结】 向量共线的判定及应用 （1）判断或证明两向量共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用穴间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． （2）判断或证明空间中的三点（如共线的方法：是否存在实数，使． 【变式3-1】如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【变式3-2】设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【变式3-3】已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式3-4】若空间向量不共线，且，则xy＝（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 题型四：空间向量的夹角 【典例4-1】已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角． 【变式4-1】在空间四边形中，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知单位向量满足，若与的夹角为，则实数 ． 【变式4-3】已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型五：空间向量的数量积 【典例5-1】如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【典例5-2】如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，. (1)用，，表示向量； (2)用，，表示向量； (3)若，，，求. 【方法技巧与总结】 由向量数量积的定义知，要求与的数量积，需已知，和，与的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使计算准确． 【变式5-1】如图所示，在平行六面体中，，，，则 . 【变式5-2】如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 . 【变式5-3】如图，已知在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，且､则 . 【变式5-4】在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则＝ . 【变式5-5】如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 题型六：空间向量的投影向量 【典例6-1】如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ．    【典例6-2】已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ． 【方法技巧与总结】 利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键所在． 【变式6-1】如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 题型七：共面向量 【典例7-1】为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【典例7-2】设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若与不共线且同在平面内，则与，共面的意义是在内或． 【变式7-1】已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【变式7-2】为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 题型八：共面向量定理 【典例8-1】如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 【典例8-2】如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．    【方法技巧与总结】 如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组，使．在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量，不共线”的要求． 【变式8-1】图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【变式8-2】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【变式8-3】如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面． 【变式8-4】如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 题型九：空间四点共面的条件 【典例9-1】下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【方法技巧与总结】 （1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示． 【变式9-1】已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 【变式9-2】对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 【变式9-3】已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式9-4】已知非零向量，不共线，若，则A，B，C，D四点（    ） A．一定共圆 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 题型十：利用空间向量的数量积求线段的长度 【典例10-1】已知A，B，C，P为空间内不共面的四点，为的重心. (1)若，求k的值. (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求. 【典例10-2】如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 【方法技巧与总结】 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用．向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解． 【变式10-1】如图所示，已知是平行六面体，，求的长． 【变式10-2】在如图所示的斜三棱柱中，． (1)设，，，用表示； (2)若，，求的长． 【变式10-3】如图，在四面体中，，，，设.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 题型十一：利用空间向量的数量积证垂直 【典例11-1】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【典例11-2】如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【方法技巧与总结】 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零． 【变式11-1】如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【变式11-2】已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 【变式11-3】如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 1．在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 3．已知三点不共线，点不在平面内，，若四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（    ）    A． B． C．6 D． 5．如图，已知平行六面体中，点是侧面的中心，且，则（    ） A． B． C． D． 6．棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 8．已知平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知四面体的所有棱长都等于分别是棱的中点.则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（ ） A．直线直线 B．若，则平面 C． D．若，则A1A与AC夹角的余弦值为 11．（多选题）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点.则以下四个结论正确的是（   ） A．向量，，共面 B．平面 C．若四面体各棱长均为4，则 D．若是和的交点，则对空间任意一点，有. 12．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 13．如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是 . 14．已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 15．如图．在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，点G为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段AG的长及直线AG与所成角的余弦值． 16．如图，已知平行六面体，，，，分别是棱，，和的中点，求证：，，，四点共面． 17．已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 18．在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$