6.2 空间向量的坐标表示（5个知识点+9类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

6．2 空间向量的坐标表示 课程标准 学习目标 （1）能利用单位正交基的概念，从向量的角度理解平面直角坐标系，会利用空间向量基本定理和空间单位正交基底建立空间直角坐标系． （2）能借助空间直角坐标系和空间向量基本定理建立空间中点、向量与三维有序实数组之间的一一对应关系，能建立空间向量坐标与点的坐标的联系，并能用坐标表示空间中的点和向量． （3）能用坐标表示空间向量的线性运算（加法、减法、数乘）和数量积运算；会用向量的坐标运算表示两个向量的平行、垂直的位置关系，会表示空间向量的模长公式、两个向量的夹角公式，推导空间两点间的距离公式． （4）能利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直的位置关系问题，以及简单的距离、夹角相关的度量问题；体会空间向量坐标运算在解决立体几何问题中的作用，建立几何问题代数化的基本思想． （1）理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． （2）借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示． （3）会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算． （4）会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题． 知识点01 空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得．其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底．此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式． 【即学即练1】（2024·安徽六安·高二六安一中校考）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 知识点02 空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示． 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【即学即练2】（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是 ． 知识点03 空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面． 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 【即学即练3】（2024·海南儋州·高二校考）向量，则的坐标是 . 知识点04 空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标． 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为． 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是． 【即学即练4】（2024·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    知识点05 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出． （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为． （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①； ②； ③； （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和． （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）． （2）． 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②． ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直． 【即学即练5】（2024·山东日照·高二校考阶段练习）已知点，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为 ． 题型一：空间向量基本定理及其推论 【典例1-1】已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【变式1-1】若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知为空间不共面的四点，且向量，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（　　） A． B． C． D．或 【变式1-3】已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 题型二：用基底表示向量 【典例2-1】如图，在四面体中，.点分别为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【方法技巧与总结】 用基底表示向量时 （1）若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律． （2）若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 【变式2-1】在正三棱锥中，为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 题型三：空间向量基本定理的应用 【典例3-1】如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【典例3-2】如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【方法技巧与总结】 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底．然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算． 【变式3-1】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【变式3-2】在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【变式3-3】在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示 【典例4-1】已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【典例4-2】已知点，，求向量的坐标． 【变式4-1】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【方法技巧与总结】 （1）建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上． （2）对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键． 【变式4-2】已知四点共面，则 . 【变式4-3】如图所示，正四面体的棱长为1，是的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为 ，的坐标为 ． 题型五：空间向量的坐标表示及运算 【典例5-1】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_____. 【典例5-2】如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【方法技巧与总结】 （1）向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标． （2）进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则． 【变式5-1】已知正方体的棱长为1，为的中点，点在平面内.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为 . 【变式5-2】已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为 . 【变式5-3】已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 题型六：空间向量平行的坐标表示及应用 【典例6-1】已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【典例6-2】已知空间向量，若，则实数 . 【方法技巧与总结】 判断空间向量平行的步骤 （1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行． （2）向量关系代数化：写出向量的坐标． （3）对于，，根据或（都不为0）判断两向量是否平行． 【变式6-1】已知向量，，若，则 . 【变式6-2】已知向量，，若，则 . 【变式6-3】已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为 . 题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 【典例7-1】已知向量，. (1)求; (2)求; (3)若，求的值. 【典例7-2】已知点，设． (1)求在方向上的投影向量（用坐标表示）； (2)求． 【方法技巧与总结】 关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． （2）由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标． 【变式7-1】已知空间向量， ，，，. (1)求向量，，的坐标; (2)求与夹角的余弦值. 【变式7-2】在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 【变式7-3】已知，，，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 【变式7-4】已知空间三点，，. (1)设，，求的坐标； (2)求的面积. 【变式7-5】已知，，. (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求的模. 题型八：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 【典例8-1】已知，，若点共线，则（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】设空间向量则（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【方法技巧与总结】 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 【变式8-1】已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【变式8-3】若，，则（    ） A．10 B．3 C． D． 【变式8-4】如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-5】已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（    ） A． B．8 C．3 D．2 题型九：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 【典例9-1】若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【典例9-2】已知空间向量. (1)求； (2)若向量与垂直，求实数的值. 【方法技巧与总结】 （1）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解． （2）利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 【变式9-1】已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 【变式9-2】已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 【变式9-3】已知空间三点，，. (1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积； (2)若向量分别与，垂直，且，求的坐标． 【变式9-4】已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量、共面，求实数的值. 【变式9-5】已知空间四点. (1)求和的值; (2)若点在平面ABC内，请直接写出的值. 1．已知向量，，若与平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．2 2．如图.空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，若，，，四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 4．在四面体中，为棱的中点，点为线段上一点，且，设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．已知点在基底下的坐标是，其中，则点在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，，，若，，共面，则z等于（    ） A． B．9 C． D．5 8．已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B．7 C． D． 9．（多选题）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．与的夹角为 10．（多选题）已知空间向量，，则下列说法正确的是（   ） A．与，共面 B．在上的投影向量的模是 C． D．与夹角的余弦值是 11．（多选题）如图，在直四棱柱中，为与的交点.若，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．设，则 D．以为球心，为半径的球在四边形内的交线长为 12．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数 . 13．已知向量，，若，则实数等于 . 14．已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为 ． 15．如图所示，平行六面体中，，，，.    (1)用向量、、表示向量，并求； (2)求. 16．已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值; (2)若向量与互相垂直，求的值. 17．在空间直角坐标系中，已知点，，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6．2 空间向量的坐标表示 课程标准 学习目标 （1）能利用单位正交基的概念，从向量的角度理解平面直角坐标系，会利用空间向量基本定理和空间单位正交基底建立空间直角坐标系． （2）能借助空间直角坐标系和空间向量基本定理建立空间中点、向量与三维有序实数组之间的一一对应关系，能建立空间向量坐标与点的坐标的联系，并能用坐标表示空间中的点和向量． （3）能用坐标表示空间向量的线性运算（加法、减法、数乘）和数量积运算；会用向量的坐标运算表示两个向量的平行、垂直的位置关系，会表示空间向量的模长公式、两个向量的夹角公式，推导空间两点间的距离公式． （4）能利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直的位置关系问题，以及简单的距离、夹角相关的度量问题；体会空间向量坐标运算在解决立体几何问题中的作用，建立几何问题代数化的基本思想． （1）理解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． （2）借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示． （3）会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算． （4）会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题． 知识点01 空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得．其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底．此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式． 【即学即练1】（2024·安徽六安·高二六安一中校考）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意， ， 又因为， 所以， 所以. 故选：A. 知识点02 空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示． 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【即学即练2】（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是 ． 【答案】 【解析】因为向量在基底下的坐标是， 所以， 所以向量在基底下的坐标是. 故答案为： 知识点03 空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面． 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 【即学即练3】（2024·海南儋州·高二校考）向量，则的坐标是 . 【答案】 【解析】向量，则. 故答案为： 知识点04 空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标． 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为． 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是． 【即学即练4】（2024·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【解析】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 知识点05 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出． （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为． （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①； ②； ③； （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和． （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）． （2）． 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②． ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直． 【即学即练5】（2024·山东日照·高二校考阶段练习）已知点，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为 ． 【答案】 【解析】设， 则， 由题意得，则，解得， 所以 故答案为： 题型一：空间向量基本定理及其推论 【典例1-1】已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可作为空间的一组基底， 则，，不共面， 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，A选项错误； 当时，由A分析同理可知不存在使，即，，不共面成立，B选项错误； 当时，，即，，共面，不可作为基底，C选项正确； 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，D选项错误； 故选：C. 【典例1-2】已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得， 即． 因为，，不共面，所以，，， 解得，，，即当时，， 此时不能作为基底，所以若能作为基底， 则实数满足的条件是． 故选：B. 【方法技巧与总结】 基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【变式1-1】若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成基底，故A错误； 对于B，因为为空间的一个基底，所以这三个向量不共面，若不构成一个基底， 则有，即，所以向量，，是共面向量， 这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一个基底，故B正确； 对于C，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故C错误； 对于D，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故D错误. 故选：B. 【变式1-2】已知为空间不共面的四点，且向量，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为，， 两式相减得 所以与共面， 所以,不能构成空间的一个基底； 假设,不能构成空间的一个基底，则， 即， 整理得， 所以，该不等式无解，所以不存在使得， 故,能构成空间的一个基底； 同理，假设假设,不能构成空间的一个基底，则， 即， 整理得， 所以，该不等式无解，所以不存在使得， 故,能构成空间的一个基底； 故选：C. 【变式1-3】已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若向量构成空间另一个基底，则向量不共面， 对于A，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故A不符题意； 对于B，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，无解， 所以向量不共面，故B符合题意； 对于C，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故C不符题意； 对于D，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故C不符题意. 故选：B. 题型二：用基底表示向量 【典例2-1】如图，在四面体中，.点分别为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为在四面体中，， 点分别为棱的中点， 所以， . 故选：D. 【典例2-2】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选:A. 【方法技巧与总结】 用基底表示向量时 （1）若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律． （2）若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 【变式2-1】在正三棱锥中，为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，在正三棱锥中，取中点，连接， 则点为底面中心，且在上， 则 . 故选：D. 【变式2-2】在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，因为为的重心，则，如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 所以， . 故选：D. 【变式2-3】在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，如下图所示： 因为为的中点，则， 因为点在上，且，则， 因为， 故选：B. 题型三：空间向量基本定理的应用 【典例3-1】如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【解析】（1）由向量的线性运算法则可得， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 【典例3-2】如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【解析】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 【方法技巧与总结】 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底．然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算． 【变式3-1】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【解析】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【变式3-2】在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【解析】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 【变式3-3】在平行六面体中，设，，，分别是的中点. (1)用向量表示； (2)若，求实数x，y，z的值. 【解析】（1）在平行六面体中， ， 由分别是的中点， 得. . （2）， 而，且不共面， 所以. 题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示 【典例4-1】已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【解析】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 【典例4-2】已知点，，求向量的坐标． 【解析】 【变式4-1】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【解析】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． 则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 【方法技巧与总结】 （1）建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上． （2）对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键． 【变式4-2】已知四点共面，则 . 【答案】 【解析】因为四点共面， 所以设， ，，， 所以，所以， 故答案为： 【变式4-3】如图所示，正四面体的棱长为1，是的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【解析】设为所建空间直角坐标系的一个单位正交基底，由题意可知， , 所以， 所以， 所以，． 故答案为: ;. 题型五：空间向量的坐标表示及运算 【典例5-1】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为_____. 【答案】 【解析】因为的坐标为， 所以 所以,, 故答案为：. 【典例5-2】如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【解析】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】 （1）向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标． （2）进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则． 【变式5-1】已知正方体的棱长为1，为的中点，点在平面内.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】由题意得，，则，，， 因为点共面， 所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 【变式5-2】已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为 . 【答案】 【解析】因为点P在线段AB上，且， 所以，所以， 得， 因为，， 所以， 所以， 故答案为： 【变式5-3】已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 【答案】 【解析】设，∵， 则由点在直线OP上可得存在实数λ使得 ， 所以，则， 所以，， 所以， 根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时点的坐标为：. 故答案为： 题型六：空间向量平行的坐标表示及应用 【典例6-1】已知，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，，且与的夹角为锐角， 则，解得，且与不共线， 若与共线，则，解得，故当与不共线时，， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【典例6-2】已知空间向量，若，则实数 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 因为，所以，即 所以 故答案为：. 【方法技巧与总结】 判断空间向量平行的步骤 （1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行． （2）向量关系代数化：写出向量的坐标． （3）对于，，根据或（都不为0）判断两向量是否平行． 【变式6-1】已知向量，，若，则 . 【答案】 【解析】因为，， 所以，， 由得，解得. 故答案为：. 【变式6-2】已知向量，，若，则 . 【答案】 【解析】∵，，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式6-3】已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为 . 【答案】 【解析】因，，则， 因与同向，则设，因此，， 于是得，解得，则， 所以向量的坐标为. 故答案为： 题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 【典例7-1】已知向量，. (1)求; (2)求; (3)若，求的值. 【解析】（1）由题意，. （2）由，，得， 则. （3）由，得，则，即，解得. 【典例7-2】已知点，设． (1)求在方向上的投影向量（用坐标表示）； (2)求． 【解析】（1）由， 得， 故， 则在方向上的投影向量为； （2）， 故，， 故. 【方法技巧与总结】 关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． （2）由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标． 【变式7-1】已知空间向量， ，，，. (1)求向量，，的坐标; (2)求与夹角的余弦值. 【解析】（1）因为，，， 所以，所以，， 所以，， 因为，， 所以， 所以，所以； （2），， 所以，，， 设与夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 【变式7-2】在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 【解析】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知，， 则，，，，，； （2）由题意知，， 故； （3）， 所以. 【变式7-3】已知，，，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 【解析】（1）， ， ； （2） 因为，所以设， 即，故，解得. 【变式7-4】已知空间三点，，. (1)设，，求的坐标； (2)求的面积. 【解析】（1）由已知得， 因为，设，所以， 解得， 所以或. （2）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积. 【变式7-5】已知，，. (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求的模. 【解析】（1），则， ， 所以. （2）由，得， 设，则， 所以，解得，则， 所以. 题型八：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 【典例8-1】已知，，若点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点共线，所以与共线， 所以，解得，， 故，， ． 故选：C． 【典例8-2】设空间向量则（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【解析】由可得， 故． 故选：D． 【方法技巧与总结】 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 【变式8-1】已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，， 则，， ， 即， 所以以、为邻边的平行四边形的面积为． 故选：D． 【变式8-2】已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】因为，，，所以，， 则，，，所以， 又因为，所以， 则以，为邻边的平行四边形的面积． 故选：D 【变式8-3】若，，则（    ） A．10 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】， 所以 故选：D 【变式8-4】如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图， 由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为． 故选：B 【变式8-5】已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（    ） A． B．8 C．3 D．2 【答案】C 【解析】由题意得，所以，所以． 故选：C． 题型九：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 【典例9-1】若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【解析】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 【典例9-2】已知空间向量. (1)求； (2)若向量与垂直，求实数的值. 【解析】（1）因为空间向量， 所以， 所以； （2）由题得， 由向量与垂直，则， 则，解得：. 【方法技巧与总结】 （1）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程（组）求解． （2）利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 【变式9-1】已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）由题可得，则. （2），， ，， 即，则. （3），，，， ， 向量与夹角的余弦值为. 【变式9-2】已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 【解析】（1）由，得，解得， 向量，，则， 由向量与垂直，得，则， 当时，有，矛盾；当时，有，解得， 所以实数和的值分别为和. （2）由向量与向量，共面，设， 则，即，解得， 所以实数的值为. 【变式9-3】已知空间三点，，. (1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积； (2)若向量分别与，垂直，且，求的坐标． 【解析】（1）因为，，， 所以，， 所以， 则，所以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为： . （2）设，因为向量分别与，垂直，且， 所以，即， 解得或， 所以或. 【变式9-4】已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量、共面，求实数的值. 【解析】（1）因为，所以，解得，即. 由，且， 得，解得. （2）因为向量与向量、共面，所以设， 因此， 即，解得，故的值为. 【变式9-5】已知空间四点. (1)求和的值; (2)若点在平面ABC内，请直接写出的值. 【解析】（1） 且， ， ， .. 即； （2）由（1）知，又， 因为点在平面ABC内，共面， 所以根据向量共面的充要条件可知，存在，使， 所以，解得. 1．已知向量，，若与平行，则实数k的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为， 所以， ， 因为与平行，所以存在唯一实数，使， 所以，则，解得， 故选：B. 2．如图.空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为的中点，则， 因为，则， 因此，. 故选：B. 3．已知，，，若，，，四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】C 【解析】因为，，，四点共面， 所以，，共面，设， 因为，，， 所以， 则，解得． 故选：C. 4．在四面体中，为棱的中点，点为线段上一点，且，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为E为棱的中点，所以， 因为，所以， 又， 所以 . 故选：B 5．已知平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，， 所以 ， 即线段的长为. 故选：C 6．已知点在基底下的坐标是，其中，则点在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在基底下的坐标为， 在基底下的坐标为． 故选：A． 7．已知向量，，，若，，共面，则z等于（    ） A． B．9 C． D．5 【答案】B 【解析】向量，，， 由于共面，所以存在，使得， 即， 所以，解得：，所以. 故选：B. 8．已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【解析】因为点,,， 所以， ， ，则， 所以， 所以以,为邻边的平行四边形的面积为， 故选：D 9．（多选题）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．与的夹角为 【答案】BC 【解析】已知空间中三个向量，， 对于A选项，因为，故、不共线，A错； 对于B选项，与同向的单位向量是，B对； 对于C选项，在方向上的投影向量是， 所以在方向上的投影向量是，C对； 对于D选项，因为， 则、不垂直，D错. 故选：BC. 10．（多选题）已知空间向量，，则下列说法正确的是（   ） A．与，共面 B．在上的投影向量的模是 C． D．与夹角的余弦值是 【答案】ABD 【解析】对于A，因为空间向量，，， 所以，因此与，共面，即A正确； 对于B，在上的投影向量的模是，即B正确； 对于C，易知，易知，因此不成立，即C错误； 对于D，与夹角的余弦值，即D正确. 故选：ABD 11．（多选题）如图，在直四棱柱中，为与的交点.若，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．设，则 D．以为球心，为半径的球在四边形内的交线长为 【答案】ACD 【解析】对于选项A：连接， 由题得，，故A正确. 对于选项B：因为， ，， 所以 ， 所以，故B错误. 对于选项C：因为， 所以 ， 所以，即，故C正确. 对于选项D：取的中点为，连接， 由为等边三角形可得，且 面. 由球的半径为，知球面与平面的交线是以为圆心，为半径的圆. 如图，在正方形内，以为圆心，2为半径作圆，所得的圆弧即为所求交线. 由题意可知，所以弧的长为，故D正确. 故选：ACD. 12．在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数 . 【答案】2 【解析】因为 ， 又， 所以，，，所以. 故答案为：2 13．已知向量，，若，则实数等于 . 【答案】 【解析】由题意， ∵，∴，． 故答案为：． 14．已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为 ． 【答案】（答案不唯一，且不全相等均可）． 【解析】由点，可得， 又向量在上的投影向量为， ， 则，即， 又向量与向量不共线，则不成立， 则可令，即， 故答案为：．（答案不唯一，且不全相等均可）． 15．如图所示，平行六面体中，，，，.    (1)用向量、、表示向量，并求； (2)求. 【解析】（1）根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为，且，， 所以 . 16．已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值; (2)若向量与互相垂直，求的值. 【解析】（1）由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 （2）由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 17．在空间直角坐标系中，已知点，，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【解析】（1）由题意可得，， 因为， 整理得：，解得或. （2）由空间两点间的距离公式， 得 ， 当时，有最小值. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$