专题08 对数函数的综合性质及其深度解读（10大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题08 对数函数的综合性质及其深度解读 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：对数运算实战练习 题型二：利用换底公式求最值问题 题型三：对数与一元二次方程结合求参数 题型四：值域子集法求恒成立参数 题型五：指对混合分段函数求参数 题型六：对数综合问题求参数 题型七：中心对称性质应用 题型八：指对混合函数的最值求解 题型九：幂指对性质在比大小中的应用 题型十：中间值放缩法比大小 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 对数函数是数学中的重要函数类型，其方法技巧主要体现在以下几个方面．首先，要熟练掌握对数函数的基本性质和运算法则，如对数函数的定义域、值域、单调性以及对数运算法则等，这是解决对数函数问题的基础． 其次，要学会利用对数函数的图像来辅助解题．对数函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化趋势，从而更容易找到问题的解决方案． 此外，换底公式是对数函数中非常重要的一个公式，它可以将不同底数的对数转化为同底数的对数，从而简化计算．在求解对数函数问题时，要灵活运用换底公式，将问题转化为更容易解决的形式． 总之，掌握对数函数的基本性质和运算法则，利用图像辅助解题，灵活运用换底公式，是解决对数函数问题的关键． 对数运算实战练习 1．设，则（    ） A．8 B．11 C．12 D．18 2．已知，，，则的值为（    ） A．或0 B．1 C． D．1或0 3．已知，则的值为（    ） A． B．1 C．或0 D．1或0 4．（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知，则等于（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 利用换底公式求最值问题 1．已知，，且，则ab的最小值为 ． 2．若，则的最小值为 . 3．已知实数、，正数、满足，且，则的最小值为 ． 4．已知，，则的最小值是 . 对数与一元二次方程结合求参数 1．已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．27 3．已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则        （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 值域子集法求恒成立参数 1．已知函数， ，若对任意的，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设函数，，若对于任意的，存在，使成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．设函数，，若对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．设函数，若对任意，都存在，使，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 指对混合分段函数求参数 1．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数若不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3． 已知函数，方程恰有3个不同实根，则实数的取值范 围是 A． B． C． D． 4．已知函数对于任意都有成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 对数综合问题求参数 1．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 2．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 3．若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 4．已知函数的值域是，当时，实数m的取值范围是 ． 中心对称性质应用 1．已知函数，若（且），则a的取值范围为 ． 2．定义在的函数的最大值为，最小值为，则的增区间为 ； . 3．已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是 . 4．已知函数，若存在，使得成立，则t的取值范围为 ． 指对混合函数的最值求解 1．函数，若，则的最小值为 . 2．已知函数，正数，满足，则的最小值为 ． 3．已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 4．已知是偶函数，的最小值为 . 幂指对性质在比大小中的应用 1．已知，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，其中，，，则判断a，b，c的大小是（    ）． A． B． C． D． 中间值放缩法比大小 1．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 1．已知，则的大小关系为（    ）. A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，则 ． 7．已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是 ． 8．已知，． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； 9．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，若对于恒成立，求的取值范围. 1．已知函数，有成立，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）定义“正对数”现有四个命题，其中是真命题的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，.则 D．若，，则 3．已知正数，满足，.设函数. (1)求，； (2)若实数，满足，且在区间上的最大值为2，求，. 4．已知，函数. (1)当时，解不等式； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 5．已知函数且的定义域为． (1)当时，求； (2)将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； (3)已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 6．若函数满足：对任意正数s、t，都有，则称函数为“H函数”． (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，求证：对任意，都有． 7．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心，并说明理由； (2)对于不同的函数与，若，的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和. （i）求证：当时，的图象仍有对称中心； （ii）问：当时，的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例. 8．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； (3)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 9．已知函数． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意的，都有，求实数k的取值范围． 1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 对数函数的综合性质及其深度解读 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：对数运算实战练习 题型二：利用换底公式求最值问题 题型三：对数与一元二次方程结合求参数 题型四：值域子集法求恒成立参数 题型五：指对混合分段函数求参数 题型六：对数综合问题求参数 题型七：中心对称性质应用 题型八：指对混合函数的最值求解 题型九：幂指对性质在比大小中的应用 题型十：中间值放缩法比大小 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 对数函数是数学中的重要函数类型，其方法技巧主要体现在以下几个方面．首先，要熟练掌握对数函数的基本性质和运算法则，如对数函数的定义域、值域、单调性以及对数运算法则等，这是解决对数函数问题的基础． 其次，要学会利用对数函数的图像来辅助解题．对数函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化趋势，从而更容易找到问题的解决方案． 此外，换底公式是对数函数中非常重要的一个公式，它可以将不同底数的对数转化为同底数的对数，从而简化计算．在求解对数函数问题时，要灵活运用换底公式，将问题转化为更容易解决的形式． 总之，掌握对数函数的基本性质和运算法则，利用图像辅助解题，灵活运用换底公式，是解决对数函数问题的关键． 对数运算实战练习 1．设，则（    ） A．8 B．11 C．12 D．18 【答案】D 【解析】因为， 所以. 故选：D. 2．已知，，，则的值为（    ） A．或0 B．1 C． D．1或0 【答案】A 【解析】因为 ， 所以由， 得，化简得， 即，解得或. 又， 故当时，； 当时，； 综上，的值为或0. 故选：A. 3．已知，则的值为（    ） A． B．1 C．或0 D．1或0 【答案】C 【解析】因为， 所以由，得， 化简得，即，解得或. 又， 故当时，； 当时，. 故选：C. 4．（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】． 故选：B. 5．已知，则等于（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】A 【解析】由，可得，， . 故选：A. 利用换底公式求最值问题 1．已知，，且，则ab的最小值为 ． 【答案】16 【解析】因为，，则，由，得， 则有，当且仅当，即时取等号， 于是，， 所以当时，ab取得最小值16. 故答案为：16 2．若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，所以，，则，， 所以，， 因为， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 3．已知实数、，正数、满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】利用指数与对数的互化，换底公式以及对数的运算得出，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.已知实数、，正数、满足，则，， 由换底公式可得，可得，则， 因为，则， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为. 故答案为：. 4．已知，，则的最小值是 . 【答案】8 【解析】利用换底公式可得，再利用基本不等式可得答案.因为，，所以， 因为， 所以，， 当时取“=”. 故答案为：8. 对数与一元二次方程结合求参数 1．已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，a不等于0时，, 当得， 二次函数没有最大值，有最小值， 没有最大值，有最小值，不合题意. 当得，，二次函数没有最大值，有最小值， ,没有最大值，没有最小值， 当得，二次函数有最大值，没有最小值， ,有最大值，没有最小值，不合题意. 当无解. 当,既没有最大值，也没有最小值，没有最大值，没有最小值，. 故选：D. 2．已知函数的值域为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【解析】因为函数的值域为，所以的最小值为，所以； 故选：C 3．已知实数a的取值能使函数的值域为，实数b的取值能使函数的值域为，则        （    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】依题意知：的值域为，则若函数的值域为，则的最小值为2，令解得： ∴5． 故选：B 4．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，根据题意， ∴，解得， ∴实数的取值范围为． 故选：B． 值域子集法求恒成立参数 1．已知函数， ，若对任意的，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，当时，是减函数，，， 当时，是增函数，，，于是得的值域是， “对任意的，总存在实数，使得成立”等价于“函数的值域是函数在区间上值域的子集”， ①当时，，此时在区间上值域为，有，则， ②当时，图象对称轴，在时，当时，，即的值域为， 显然不可能包含于，无解， ③当时，函数在单调递增，在上的值域为，则， 于是得，解得，即， 综上，实数的取值范围是. 故选：A 2．设函数，，若对于任意的，存在，使成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】, , 因为存在，使成立， 所以的值域为， 当时，，显然成立， 当时，值域为R，则有实根且， ， 解得 综上可得 故选：A 3．设函数，，若对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的值域为A，而的值域为，由已知有， 所以是值域的子集， 当时，开口向下且对称轴，又，显然是值域上的子集，符合题设； 当时，，显然是值域上的子集，符合题设； 当时，开口向上且对称轴，此时只需，即时，是值域上的子集. 综上，. 故选：A. 4．设函数，若对任意，都存在，使，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ． 存在 ，使 ，分三种情况：（1）当时，的值域为，满足题意；（2）当时，时，∴符合题意 ；（3）当时，由.综上，.故选A. 指对混合分段函数求参数 1．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，单调递减，则， 当时，单调递减，则， 所以当时，，所以， 因为在上单调递增， 所以， 因为对任意的，总存在使得成立， 所以， 所以，解得， 故选：C 2．已知函数若不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，则； 同理，当时，则； 是偶函数，不等式等价于 在单调递增，在上有解 即，化简得在上有解 又在上单调递减，在上单调递增 故选：C 3． 已知函数，方程恰有3个不同实根，则实数的取值范 围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程根的个数等价于图象与直线的交点个数， 当直线与曲线相切时，设切点为，切线斜率为， 则切线方程为，切线过点， ，此时； 当直线过点时，． 结合图象知， 故选：A． 4．已知函数对于任意都有成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对于任意都有, 所以函数在上单调递减. 即 故选：D. 对数综合问题求参数 1．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】因为不等式对于任意恒成立， 即不等式对于任意恒成立， 因为，所以， 所以不等式对于任意恒成立， 令，， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 即， 所以， 所以或， 解得或，即； 故答案为： 2．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， ， ，即对于任意恒成立， 对于任意恒成立， ∴， ∵函数在上单调递减， ，即， 所以，实数的取值范围是 故答案为：． 3．若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】关于的不等式对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，，由于是递减函数，递减， 故，是递减函数， 故， 故 ， 故答案为： 4．已知函数的值域是，当时，实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，函数为增函数，此时 因为，当时， 当时，关于对称，且在单调递增，在单调递减， 当时， 当时， 由得，则或， 由得，则（舍）或， 因为的值域为，所以m的取值范围是 故答案为： 中心对称性质应用 1．已知函数，若（且），则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由且定义域为R， 所以为偶函数， 当时为增函数，故在上为减函数， 综上，由，即或， 当时，则；当时，则， 所以a的取值范围为. 故答案为： 2．定义在的函数的最大值为，最小值为，则的增区间为 ； . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 且， 所以的图象关于对称， 因为 又当时、、、均为增函数， 所以与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又为连续函数，所以的单调递增区间为， 因为的最大值为，最小值为，所以. 故答案为：； 3．已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是 . 【答案】 【解析】 ， 即，所以， 令，， 则为上奇函数， 在上的最大值为最小值的和为0， ∴，， 是奇函数，图象的对称中心是， 向左平移个单位得到，对称中心为， 再横坐标缩小为原来的一半得到，对称中心为， 再向下平移个单位得到，对称中心为， 所以的对称中心是. 故答案为： 4．已知函数，若存在，使得成立，则t的取值范围为 ． 【答案】 【解析】，且定义域为，为奇函数 易知单调递增 令，显然为增函数， ，， 存在，使得成立 ，即. 故答案为： 指对混合函数的最值求解 1．函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又， 则，因为， 所以， 所以，当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 2．已知函数，正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】函数，定义域为， 由，， 所以函数为奇函数， 且，所以，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 3．已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】是减函数，在时最小值是， 若，则是减函数，时，，没有最小值，不合题意， 时，是增函数，因此要使得取得最小值，则，解得， 故答案为：． 4．已知是偶函数，的最小值为 . 【答案】 【解析】因为函数为偶函数，则， 即， 所以， 由的任意性可得，故， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 幂指对性质在比大小中的应用 1．已知，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， ， 则. 故选：C. 2．已知，，，则三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 而， 所以. 故选：C. 3．设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，又， ，即. 故选：D. 4．已知函数，其中，，，则判断a，b，c的大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】； ，，，， 则 又在R上单调递增，则，即 故选：B 中间值放缩法比大小 1．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得，， 同理， 则， 故选：C． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则， 由，，则， 由，则. 则. 故选：C 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 由，有，可得． 又由，有，有， 可得． 故选：D． 4．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，由基本不等式可得，， 故，即. 故选：A. 1．已知，则的大小关系为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于， 故. 故选：C 2．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对数函数的性质知，解得， 因为函数的图象的对称轴为，开口向下， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，则函数为减函数， 由复合函数单调性知，函数的单调递增区间为. 故答案为：A. 3．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选：D. 4．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】∵，∴， 则分别为函数与图象交点的横坐标， 而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 在同一坐标系中画出与的图象，如图， 由图可知，点与关于直线对称， 直线与的交点坐标为， 于是得， ∴，A正确； ∵，∴，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 5．（多选题）若，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由条件：，即，A正确； ，即，B正确， ， C错误； 由，则， D正确； 故选：ABD. 6．已知函数，则 ． 【答案】1 【解析】函数，所以. 故答案为：1 7．已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 故函数为偶函数，， 当时，， 因为函数在上均为减函数， 故函数在上为减函数， 由得， 则，即， 即，解得且， 故使不等式成立的实数的取值范围是. 故答案为：． 8．已知，． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； 【解析】（1）当时，， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）由得， 所以，整理得， 当时，由得， 此时只有一个解，满足题意； 当时，令，得，解得， 此时只有一个解，满足题意； 综上所述，或. 9．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，若对于恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）不等式， 令，则，即， 即，即， 当时，，解得，所以，解得且； 当时，，的解为或， 所以或，解得或； 当时，，的解为或， 所以或，解得或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 1．已知函数，有成立，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则该函数在上单调递减， 又在定义域上单调递增，所以函数在上单调递减， 所以，即函数在上的值域为， 令，则，令，， 因为，，有成立， 所以值域为值域的子集，即为函数值域的子集， 当时，，显然不满足题意； 当时，的对称轴，且开口向上， 所以在上单调递增，且， 所以，，即，所以，所以， 所以或（与矛盾舍去），所以， 所以，即实数的取值集合为. 故选：B 2．（多选题）定义“正对数”现有四个命题，其中是真命题的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，.则 D．若，，则 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，， 从而，； 当时，，从而，. 故当时，，A正确. 对于B，当时，满足， 而， ，B错误. 对于C，由“正对数”的定义知，且. 当时，，而； 当时，有，而， 当时，， 而 当时，，则. 故当时，，C正确. 对于D，由“正对数”的定义知，当时，. 当时，， 从而. 当时，， 从而 . 当时，， 从而 . 当时，， ， 从而，D正确. 故选：ACD 3．已知正数，满足，.设函数. (1)求，； (2)若实数，满足，且在区间上的最大值为2，求，. 【解析】（1）将代入，得， 即，因为，所以，故，所以. （2）由（1）知，作出的图象，如图. 观察可知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 由可得，则，所以.     若在上的最大值为， 因为，即，所以，所以， 所以，得，解得（负值已舍去），所以. 4．已知，函数. (1)当时，解不等式； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 即，所以，等价于， 解得或. 故的解集为：. （2）当时，， 则，所以在上单调递减， 所以对任意，在区间上单调递减， 所以，， 所以， 即对任意恒成立， 因为，所以在单调递增， 所以时，，解得， 所以的取值范围为： 5．已知函数且的定义域为． (1)当时，求； (2)将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； (3)已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 【解析】（1）当时，，即， 当时，，得，解得； 当时，，得，解得， 故当时，的定义域为； 当时，的定义域为． （2）由题可知函数的定义域为，则恒成立，故可得． 根据“类线性函数”的概念可知，，总有， 即， 则， 所以， 即， 所以对于恒成立， 又不恒为0，所以． （3）存在． 易知当时，的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在其定义域上为增函数． 由题意可知，，即， 所以是方程的两个不同的实数根， 即是方程的两个不同的实数根． 设，则方程有两个不同的实数根． 设，其对称轴为， 则，解得， 故的取值范围为． 6．若函数满足：对任意正数s、t，都有，则称函数为“H函数”． (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，求证：对任意，都有． 【解析】（1）对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数”. （2）因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为. （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，且， 所以. 7．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心，并说明理由； (2)对于不同的函数与，若，的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和. （i）求证：当时，的图象仍有对称中心； （ii）问：当时，的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例. 【解析】（1）为奇函数，证明如下： 由可得，所以函数定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数， 由，可得， 令，则由可得或， 所以函数定义域为或，关于原点对称， 又， 所以为奇函数，即为奇函数， 所以由题意知图象的对称中心是. （2）（i）证明：由题意为奇函数， 所以， 为奇函数， 所以， 则当时有 令，则， 所以是奇函数， 所以的图象关于点对称， 即当时，的图象仍然有对称中心为. （ii）当时，不一定有对称中心． 设，易知函数的图象关于对称，得，， 设，易知函数的图象关于对称．得，， 此时，，令， 若函数图象关于点对称， 则为奇函数， 而函数要有意义则且， 若函数为奇函数，则，即， 此时，， 所以当时，，时，， 则由解得， 此时当时，， 所以不是奇函数， 故函数图象不关于点对称，即没有对称中心， 所以当，函数图象不一定有对称中心. 8．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； (3)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 即，所以，解得， 经检验不符题意， 所以； （2）由（1）得， 由，解得， 所以函数的定义域为， 令，函数在上单调递减， 而函数是增函数， 所以函数上单调递减， 由，得， 则，即， 所以，解得， 即不等式的解集为； （3）由题意，函数和在上的值域的交集不为空集， 由（2）可知：时，为减函数， 又，所以的值域为， 若，则在上单调递减，则的值域为， 此时只需，即，所以； 若，则在上单调递增，则的值域为， 此时与的交集显然为空集，不满足题意；   综上所述，实数的范围是. 9．已知函数． (1)证明：是奇函数； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意的，都有，求实数k的取值范围． 【解析】（1）证明：由题意得，， 所以，即， 又， 所以为奇函数. （2）在上单调递增，证明如下： 由题意，，所以， 因为，令， 取且， 则， 所以，则， 即， 故在上单调递增. （3）由（1）得，， 若对任意的，都有， 则， 由（2）得在上单调递增， 所以， 则，即， 因为，当且仅当时取等号，所以， 又当时，所以， 故的取值范围为. 1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．（2024年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$