专题10 幂、指数与对数函数的高级综合题目归类解析（10大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题10 幂、指数与对数函数的高级综合题目归类解析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：指数函数的值域求解 题型二：对数函数的值域确定 题型三：根据指数型函数值域求参数值 题型四：对数型函数最值与值域中的参数求解 题型五：指数型不等式恒成立条件下的参数求解 题型六：对数型不等式恒成立时的参数求解 题型七：双变量指数型不等式恒成立的参数求解 题型八：双变量对数型不等式的存在性与恒成立参数求解 题型九：复合型函数探析：指数函数的倍增效应 题型十：复合型函数研究：对数函数的倍增效应 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 求函数最值和值域的常用方法： （1）单调性分析法： 首先判断函数的单调性； 根据单调性确定函数在定义域内的增减趋势； 由此得出函数的最值． （2）图像观察法： 绘制函数的图像； 观察图像上的最高点或最低点； 通过这些点确定函数的最值． （3）基本不等式应用法： 对函数解析式进行变形处理； 确保变形后的表达式满足“一正（各项均为正）、二定（和或积为定值）、三相等（取等号条件）”的条件； 应用基本不等式求出函数的最值． （4）变量替换法（换元法）： 对于复杂的函数，通过换元将其转化为熟悉的函数形式； 应用相应的方法求出转化后的函数的最值； 将结果代回原变量，得出原函数的最值． 指数函数的值域求解 1．已知函数. (1)求的解析式； (2)求的值域. 2．已知函数满足，其中，且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 3．已知函数. (1)求的解析式； (2)求的值域. 4．已知函数的图象过点． (1)求实数a的值； (2)写出函数的定义域，判断的奇偶性，并证明. (3)求的值域． 对数函数的值域确定 1．设函数，且. (1)求的值； (2)若令，求实数的取值范围； (3)将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的的值. 2．已知函数的定义域为M. (1)求M； (2)当时，求函数的最大值. 3．已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)令，求在上的最小值. 4．已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 根据指数型函数值域求参数值 1．已知函数且 (1)求函数解析式； (2)求函数在上的值域； (3)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围． 2．已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 3．已知函数在上有定义，且关于中心对称，若． (1)求实数的值； (2)若存在，使的值域为，求实数的取值范围． 4．已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 对数型函数最值与值域中的参数求解 1．已知正数，满足，.设函数. (1)求，； (2)若实数，满足，且在区间上的最大值为2，求，. 2．是定义在上的偶函数，且，其中且． (1)求实数的值； (2)若函数，是否存在实数，使得函数的最小值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. (1)求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； (2)求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 4．已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 指数型不等式恒成立条件下的参数求解 1．已知函数. (1)判断奇偶性并证明； (2)利用定义证明在R上单调递增； (3)若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 2．已知是定义在上的奇函数，函数. (1)求a，b的值； (2)求的值域； (3)已知，且，若对于任意，存在，使得成立，求t的取值范围. 3．已知定义在上的函数，且有，. (1)求函数的解析式并判断其奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 4．已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． (1)求的表达式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 对数型不等式恒成立时的参数求解 1．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围． 2．已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)当时，若对任意的，恒成立，求正数的取值范围. 3．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 4．已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明: (2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 双变量指数型不等式恒成立的参数求解 1．已知函数为定义域内的奇函数. (1)求的值； (2)设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围. 2．已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)已知且，若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 3．已知函数是定义域为的奇函数，且 (1)求实数和的值；并判断在上单调性；（不用写出单调性证明过程） (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，存在，使成立，求实数的取值范围． 4．已知函数，设. (1)证明：若，则； (2)若，满足，求实数m的范围. 双变量对数型不等式的存在性与恒成立参数求解 1．已知函数，其中且. （1）当时，求函数定义域； （2）设函数，试求函数的零点； （3）任取，若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围. 2．已知函数， . (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)任取，，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 3．已知函数，，． (1)求函数在区间上的最小值； (2)若对，，使得成立，求实数的取值范围． 4．已知函数为奇函数． (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 复合型函数探析：指数函数的倍增效应 1．设常数，函数. （1）若为奇函数，求的值，并说明理由； （2）若存在区间使得在上的值域为，求实数的取值范围. 2．设常数，函数 （1）当时，研究的奇偶性，并说明理由； （2）当时，若存在区间使得在上的值域为，求实数的取值范围． 3．已知函数是定义在上的奇函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 4．设，已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)若，判断并证明函数的单调性； (3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围. 复合型函数研究：对数函数的倍增效应 1．已知，． (1)若，求函数的值域； (2)若，求实数的取值范围； (3)时，，是否存在，使得在的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．已知函数且的定义域为． (1)当时，求； (2)将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； (3)已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 3．已知且. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)令，写出的单调区间（只需写出结论）； (3)在（2）的条件下，问：是否存在实数，且，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由. 4．已知函数. (1)若，且，求函数的零点； (2)若，函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，求实数t的取值范围. 1．已知函数的图象经过点，其中且． (1)若，求实数和的值； (2)设函数，请你在平面直角坐标系中作出的简图． ①根据图象写出该函数的单调递增区间： ②求的解集． 2．已知正数满足.设函数. (1)求； (2)若实数满足，且在区间上的最大值为2，求. 3．已知函数的表达式为的图像关于原点成中心对称． (1)求实数m的值： (2)已知函数是R上的严格增函数，当时，函数的值域为，求实数a，b的值． 4．已知，函数. (1)当时，解不等式； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 5．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．已知函数的定义域为D，其中a为常数 (1)若，讨论的奇偶性，并说明理由； (2)当时，求函数的零点. 7．已知函数（且）的图象过点. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. (3)判断函数的零点个数，并证明. 8．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，若对于恒成立，求的取值范围. 9．已知函数（，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)求关于的不等式的解集. 10．已知函数，， (1)解方程：； (2)设，求函数在区间上的最大值的表达式. 1．若函数满足：对任意正数s、t，都有，则称函数为“H函数”． (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，求证：对任意，都有． 2．已知，函数． (1)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 3．已知函数的定义域为，且仅有一个零点. (1)求； (2)若为奇函数，求的值； (3)设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 4．设，已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)若，判断并证明函数的单调性； (3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围． 5．设函数（且，为常数）. (1)若为奇函数，求不等式的解集； (2)若为偶函数，且，证明：在单调递增； (3)设函数，在第（2）问的条件下，若，，使成立，求实数的取值范围. 6．若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． (1)试问函数与是否互为“和幂函数”？说明你的理由． (2)已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 7．已知函数 (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求m的最小值. 8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心，并说明理由； (2)对于不同的函数与，若，的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和. （i）求证：当时，的图象仍有对称中心； （ii）问：当时，的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例. 1．记函数的定义域为,的定义域为. (1)求; (2)若,求实数的取值范围. 2．已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a，b的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围. 3．已知函数. (1)若，求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 4．已知函数（且）在区间上的最大值是16， （1）求实数的值； （2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 幂、指数与对数函数的高级综合题目归类解析 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：指数函数的值域求解 题型二：对数函数的值域确定 题型三：根据指数型函数值域求参数值 题型四：对数型函数最值与值域中的参数求解 题型五：指数型不等式恒成立条件下的参数求解 题型六：对数型不等式恒成立时的参数求解 题型七：双变量指数型不等式恒成立的参数求解 题型八：双变量对数型不等式的存在性与恒成立参数求解 题型九：复合型函数探析：指数函数的倍增效应 题型十：复合型函数研究：对数函数的倍增效应 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 求函数最值和值域的常用方法： （1）单调性分析法： 首先判断函数的单调性； 根据单调性确定函数在定义域内的增减趋势； 由此得出函数的最值． （2）图像观察法： 绘制函数的图像； 观察图像上的最高点或最低点； 通过这些点确定函数的最值． （3）基本不等式应用法： 对函数解析式进行变形处理； 确保变形后的表达式满足“一正（各项均为正）、二定（和或积为定值）、三相等（取等号条件）”的条件； 应用基本不等式求出函数的最值． （4）变量替换法（换元法）： 对于复杂的函数，通过换元将其转化为熟悉的函数形式； 应用相应的方法求出转化后的函数的最值； 将结果代回原变量，得出原函数的最值． 指数函数的值域求解 1．已知函数. (1)求的解析式； (2)求的值域. 【解析】（1）由得， 令，则， 所以， 所以； （2）由（1）， 令，则， 可得， 其图象为开口向下，对称轴为在上的抛物线的部分图象， 所以当时，有最大值， 当时， 所以， 即的值域为. 2．已知函数满足，其中，且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 【解析】（1）由， ，（且）. （2）当时，，则， ，则，即， 解得， 所以函数的定义域为. （3），又， 当时，在R上单调递增，所以，故值域为； 当时，在R上单调递减，所以，故值域为. 综上，当时，的值域为；当时，的值域为. 3．已知函数. (1)求的解析式； (2)求的值域. 【解析】（1）令，得， 因为，所以，，                    则， 所以 （2）由（1）知，令，                         则，                                   所以，                         即，            当时，取得最大值，且最大值为，               又，                             所以的值域为，即的值域为. 4．已知函数的图象过点． (1)求实数a的值； (2)写出函数的定义域，判断的奇偶性，并证明. (3)求的值域． 【解析】（1）因为的图象过点， 所以，解得. （2）是奇函数，证明如下： 由（1）得，由，可得， 所以函数的定义域为， 又， 所以是奇函数. （3）因为， 当时，，则； 当时，，； 所以的值域为. 对数函数的值域确定 1．设函数，且. (1)求的值； (2)若令，求实数的取值范围； (3)将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的的值. 【解析】（1）由可得； （2）因为在定义域内为单调递增函数， 又，所以，解得； 所以实数的取值范围为. （3）由 ； 令， 当时，，此时，解得； 所以，此时； 当时，，此时，解得； 所以，此时. 2．已知函数的定义域为M. (1)求M； (2)当时，求函数的最大值. 【解析】（1）由题意知，解得， 故. （2）， 令，，可得，，其对称轴为直线， 当，即时，. 当，即时，. 综上可知， 3．已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)令，求在上的最小值. 【解析】（1）因为， 令，即，则或， 解得或， 所以的取值范围为； （2）因为 ， 令，因为，则， 此时有， 令，， 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得. 4．已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 【解析】（1）因为，所以， 所以在上为严格减函数， 因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即，解得． （2）因为，所以， 所以， 令，则，， 所以当，即时，取最小值为． 根据指数型函数值域求参数值 1．已知函数且 (1)求函数解析式； (2)求函数在上的值域； (3)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围． 【解析】（1）函数中，由，得，即， 而且，解得，所以. （2）令，当时，，则， 当时，；当时，，所以在上的值域为. （3）令，当时，， 方程在上有解等价于函数的图象与直线在时有交点， 由（2）得，在时的值域为， 因此，解得， 所以实数m的取值范围为. 2．已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 【解析】（1）因为的值域为，所以的值域为， 由条件可知，. （2）对称轴为且开口向上， 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，在上单调递增，所以， 所以. 3．已知函数在上有定义，且关于中心对称，若． (1)求实数的值； (2)若存在，使的值域为，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为关于中心对称，可知关于中心对称， 且的定义域为，则，解得， 此时， 且， 可知为奇函数，关于原点对称，即符合题意， 综上所述：. （2）令，可得， 可知函数在单调递增， ①当时，，则， 可得，可知，均为的实根， 即有两个不相等的正根，等价于有两个不相等的正根， 可得，解得； ②当时，，则 可得，即， 可得，则， 可得，此方程能成立，即； ③，则，，不合题意； 综上所述：或. 4．已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 【解析】（1）因为的图象过坐标原点， 所以，解得. （2）若，则在上单调递减， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 若，则在上单调递增， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 综上，的值为或3. 对数型函数最值与值域中的参数求解 1．已知正数，满足，.设函数. (1)求，； (2)若实数，满足，且在区间上的最大值为2，求，. 【解析】（1）将代入，得， 即，因为，所以，故，所以. （2）由（1）知，作出的图象，如图. 观察可知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 由可得，则，所以.     若在上的最大值为， 因为，即，所以，所以， 所以，得，解得（负值已舍去），所以. 2．是定义在上的偶函数，且，其中且． (1)求实数的值； (2)若函数，是否存在实数，使得函数的最小值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）是定义在上的偶函数，故，即， 则，，， 则对任意的成立，故，解得. 此时，则， 所以函数是偶函数，故. （2）存在，理由如下： 对不等式，令，解得或； 若，则，故不等式解集为，； 若，则，故不等式解集为，； 令，则； 由（1）知，，又， 故； 设函数，则， 因为函数对应的二次函数的对称轴； ①当时，在单调递增，故， 令，解得，不满足，故舍去； ②当时，在单调递减，在单调递增，故， 令，解得，又，故满足题意； ③当时，在单调递减，故， 令，解得，不满足，故舍去； 综上所述：存在实数，使得在区间的最小值为， 即存在实数，使得的最小值为. 3．已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. (1)求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； (2)求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 【解析】（1）函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. （2）由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 4．已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为， 即在上恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围是； （2）函数的值域为， 则满足，解得或，即实数的取值范围； （3）因为且，可得在上单调递增， 所以，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，所以， 当，即时，，解得，所以无解； 当，即时，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 指数型不等式恒成立条件下的参数求解 1．已知函数. (1)判断奇偶性并证明； (2)利用定义证明在R上单调递增； (3)若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 【解析】（1）函数为奇函数，理由如下： 定义域为R，又， 所以为奇函数； （2）证明：由（1）知，， 任取，且， 则 因为，则 所以，即， 所以在R上单调递增. （3）为奇函数， 由，得， 因为函数在R上单调递增， 所以，即， 由题意，存在实数，使得成立，则只需， 令，则， ，当时，，即， 所以k的取值范围为 2．已知是定义在上的奇函数，函数. (1)求a，b的值； (2)求的值域； (3)已知，且，若对于任意，存在，使得成立，求t的取值范围. 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 则，即， 令，，得 解得，， 经检验知当，时，是定义在上的奇函数，故，. （2）由（1）可知， 因为，所以， 则，即的值域为. （3）， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增，则当时，. 由，得. 若，则，由对于任意， 存在，使得成立，得恒成立； 若，则，由对于任意， 存在，使得成立，得，解得. 综上所述，t的取值范围为. 3．已知定义在上的函数，且有，. (1)求函数的解析式并判断其奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为，所以，解得，所以； 为奇函数，证明如下： 定义域为且关于原点对称，因为， 所以为上的奇函数. （2）， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上单调递减； 因为，所以，所以， 所以，所以或，解得或， 所以不等式解集为. （3）因为，，使得，所以； 因为，，所以， 由指数函数性质可知，无最大值，但可以无限接近； 又因为，令， 所以，对称轴为且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时有，所以， 若，则， 综上所述，的取值范围是. 4．已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． (1)求的表达式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，函数的图象经过点, 则，解得， 所以函数. （2）不等式在上恒成立， 则， 令， 因为函数在上是减函数， 所以， 所以. 即实数的取值范围为. 对数型不等式恒成立时的参数求解 1．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 由对数函数单调性可知，当时，， 令，，函数，， 函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以可得当时，函数的值域为. （2）当时，，令，， 不等式，则在上有解， 即在上有解，函数在上单调递增，当时，. 所以的取值范围是. 2．已知函数. (1)当时，解不等式：； (2)当时，若对任意的，恒成立，求正数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为函数在上为增函数， 由可得，解得， 因此，当时，不等式的解集为. （2）当时，对任意的，，， 若对任意的，， 可得，可得， 所以，，整理可得对任意的恒成立， 令，由题意可得，解得， 又因为，所以，， 因此，正实数的取值范围是. 3．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，可得，解得， 因此，不等式的解集为. （2）因为，令， 由可得，可得， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数， 由题意可得， 因此，实数的取值范围是. 4．已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明: (2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 【解析】（1）对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 故函数为偶函数. （2）当时，， 由得，解得， 由可得，解得， 所以，实数的取值范围是. （3）因为，则， 因为存在使得不等式成立， 则，解得， 因此，实数的最大值为. 双变量指数型不等式恒成立的参数求解 1．已知函数为定义域内的奇函数. (1)求的值； (2)设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，是奇函数，所以，解得， 此时，是奇函数. 故. （2）当时，，故，则，又因为恒成立； 故当时，恒成立，符合条件. 当时， 当时，根据复合函数单调性可得在上单调递增，， 所以， 令，因为都在上单调递增， 故在单调递增，又，所以； 当时，根据复合函数单调性可得在单调递增，在单调递减， 故，所以令， 都是上的单调递增函数，故也是上的单调增函数， 又当时，，故在上恒成立， 故在无解，即不满足条件； 综上所述，. 2．已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)已知且，若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 则，解得，此时， 对任意的，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数，合乎题意， 所以，. （2）任取且，则， 所以，， 所以，， 所以，函数在上单调递增，函数在上为增函数， 对于任意的，都有，则， 所以，， 因为，则. 当时，则有，解得； 当时，则有，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 3．已知函数是定义域为的奇函数，且 (1)求实数和的值；并判断在上单调性；（不用写出单调性证明过程） (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，存在，使成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意 在中，函数是定义域为的奇函数， ∴解得，此时满足题意， ∴ 设, 在中，函数单调递增， ∴ ∴ ∴在上单调递增 （2）由题意及（1）得 在中，函数是奇函数， 恒成立 ∴恒成立 ∵函数单调递增 ∴即恒成立 当即时， ，解得：， 不恒成立，舍去. 当即时，恒成立 在中，若则需开口向上， ∴ 解得 综上，实数的取值范围为 （3）由题意及（1）（2）得 在中，函数单调递增， 对于任意的，存在，使成立， ∴函数在单调递增 ∴ 则存在，使成立， 当时，在定义域内单调递减， ∴，满足题意； 当时，在定义域内单调递增 且 解得：； 综上，实数的取值范围为. 4．已知函数，设. (1)证明：若，则； (2)若，满足，求实数m的范围. 【解析】（1）证明：因为， 所以函数为偶函数. 任取，不妨设，则 当时，， 所以，即， 由单调性定义知，函数在单调递增， 所以，当时，， 即， 即 （2）由整理得， 由（1）知，在上单调递增，且为偶函数， 易证在上单调递减， 因为，所以， 故，即， 由题意知，， 即 令，因为，由单调性可知，， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立. 即， 故. 双变量对数型不等式的存在性与恒成立参数求解 1．已知函数，其中且. （1）当时，求函数定义域； （2）设函数，试求函数的零点； （3）任取，若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）时，， 所以函数定义域为 （2）由题知 令，即 ∴ 解得，即，故函数零点为0 （3）问题转化为 在对任意恒成立 当时，可知单调递增 故在恒成立 即在恒成立 即在恒成立 ∴在[0，2]恒成立， 即， 解得 当，可知单调递减 故在在恒成立 在在恒成立 化为在在恒成立 ∴，解得 综上，. 2．已知函数， . (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)任取，，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 要使函数有意义，则需，即，解得， 故函数的定义域为； （2）若函数有且仅有一个零点， 则有且仅有一个根，即, 即，即有且仅有一个根， 令，则有且仅有一个正根， 当时，，则，即，符合题意； 当时,若，即时，，此时，符合题意， 若，需，即， 综上所述，的取值范围为. （3）若任取，，不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为在定义域上是单调减函数， 所以，， 即， 即，则， 所以，即， 又有意义，需，即， 所以，又，所以， 所以的取值范围为. 3．已知函数，，． (1)求函数在区间上的最小值； (2)若对，，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）令，因为，所以， 则可化为，， 因为，当且仅当，即，时，等号成立， 所以时，取最小值6. （2）由（1），， 因为，，使得成立， 所以，使得成立， 即，使得成立， 令，因为，， 所以，使得成立， 因为当，， 当，即时，取最大值2， 所以. 4．已知函数为奇函数． (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数中，， 因为为奇函数，所以，即， 整理得，所以，即， 其定义域为， 由复合函数的单调性可知，在和上单调递减； 因为，在和上单调递增， 所以在在和上单调递减， 所以在和上单调递减； （2）因为在和上单调递减，并且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 画出函数图像 由图像可知： 当时，，解得； 当，，无解； 当，，此时解得； 综上所述，的取值范围为； （3）， 当时，，故， 所以在上值域为， 又 ，， 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 复合型函数探析：指数函数的倍增效应 1．设常数，函数. （1）若为奇函数，求的值，并说明理由； （2）若存在区间使得在上的值域为，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数． 函数是奇函数，， ，化为：． 解得．经过验证：都满足题意． （2）时，． 则函数在，单调递增， ，， 由，化为：， 由，化为， 方程有不相等的正实数根． △，，， 联立解得：． 当时，函数在和上单调递减 依题意可得，相减得 即，即，解得， 此时，且或 当时，有解； 当 时，有 解． 实数的取值范围是． 2．设常数，函数 （1）当时，研究的奇偶性，并说明理由； （2）当时，若存在区间使得在上的值域为，求实数的取值范围． 【解析】（1）①当时，，∵，∴为偶函数； ②当时，，，则， 当且时，的定义域为，定义域不关于原点对称， ∴为非奇非偶函数； 当时，，的定义域为，定义域关于原点对称， 且，∴为奇函数． （2）①当时，定义域为R，， ∵单调递增，∴单调递减 ，∴在R上单调递增， 由题意得： ∴， ∴，是一元二次方程：的两个不等的正根， ∴， ②当时，定义域为， 因为在和上都是单调递减函数， 所以函数在上单调递减， ∵当时，的值域为， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 综上所述：的取值范围是． 3．已知函数是定义在上的奇函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1），所以 是上的增函数，证明如下： 设，， ，∴，，，， ∴是上的单调增函数． （2）假设存在实数，使之满足题意． 由（1）可得函数在上单调递增， ∴，∴ ∴，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根． 令，即方程有两个不等的正根． ，∴ 故存在，实数的取值范围为： 4．设，已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)若，判断并证明函数的单调性； (3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围. 【解析】（1）由函数为奇函数，有，有， 有， 有，有，得. ①当时，，定义域为，，符合题意； ②当时，，定义域为， ，符合题意. 由上知或1； （2）当时，有，即定义域为，结论为：在上单调递增. 设上任意两个实数，，且. ， 而，，， ∴，即得证，则在上单调递增； （3）由知，由知，所以， 由（2）知在上单调递增，结合题意有 得，即m，n是的两个不同实根， 令，则在上有两个不同实根， 有可得， 故实数的取值范围为. 复合型函数研究：对数函数的倍增效应 1．已知，． (1)若，求函数的值域； (2)若，求实数的取值范围； (3)时，，是否存在，使得在的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意，易知， ， 则 令， 的值域为； （2）由，即， 当时，，； 当时，，， 综上：或 ； （3）， 任意， ， 又，， ， ， ， ， ， 在上单调递减， 在上有两个不等实根， 在上有两个不等实根，且， ，在上有两个不等实根，且， 令， ，得， 故存在这样的，使得在的值域为，此时． 2．已知函数且的定义域为． (1)当时，求； (2)将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； (3)已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 【解析】（1）当时，，即， 当时，，得，解得； 当时，，得，解得， 故当时，的定义域为； 当时，的定义域为． （2）由题可知函数的定义域为，则恒成立，故可得． 根据“类线性函数”的概念可知，，总有， 即， 则， 所以， 即， 所以对于恒成立， 又不恒为0，所以． （3）存在． 易知当时，的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在其定义域上为增函数． 由题意可知，，即， 所以是方程的两个不同的实数根， 即是方程的两个不同的实数根． 设，则方程有两个不同的实数根． 设，其对称轴为， 则，解得， 故的取值范围为． 3．已知且. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)令，写出的单调区间（只需写出结论）； (3)在（2）的条件下，问：是否存在实数，且，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由. 【解析】（1）为奇函数.证明如下： 由，得或， 即函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （2）由题意知，由，解得或， 即的定义域为， 又函数在上单调递增， 当时，在上单调递减， 此时的减区间为，无增区间； 当时，在上单调递增， 此时的增区间为，无减区间. （3）由，，得， 又，得，所以. 所以在上单调递减，则在上的值域为， 得，即， 所以是方程即在的两个不同的根， 则，解得. 所以存在满足题意的，此时a的取值范围为. 4．已知函数. (1)若，且，求函数的零点； (2)若，函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，求实数t的取值范围. 【解析】（1）若，且，则， 令，则，解得， 即函数的零点为0. （2）因为，所以函数在定义域内单调递增， 函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增. 因为函数的定义域为I，存在， 使得在上的值域为， 故， 所以关于x的方程有两个不同的根， 所以，即有两个不同的根. 令，当时，则， 则关于λ的方程有两个不同的正实数根，， 所以，解得，舍去； 当时，方程在上有两个不同的正实数根， 则，所以； 故实数t的取值范围为. 1．已知函数的图象经过点，其中且． (1)若，求实数和的值； (2)设函数，请你在平面直角坐标系中作出的简图． ①根据图象写出该函数的单调递增区间： ②求的解集． 【解析】（1）由函数的图象经过点可得， 解得，即； 又，因此，可得， 解得； （2）易知， 在平面直角坐标系中作出的简图如下： ①根据图象可得该函数的单调递增区间为和； ②由可得或或； 结合图象可得的解集为. 2．已知正数满足.设函数. (1)求； (2)若实数满足，且在区间上的最大值为2，求. 【解析】（1）因为正数满足，所以，所以， 又，所以，两边取常用对数得，即，所以， 根据函数在定义域上单调递增，所以； （2），作出函数的图像如图所示， 由实数满足，结合函数图像可知可知， 则，又，所以，所以，所以， 因为在区间上的最大值为2，所以，解得， 从而. 3．已知函数的表达式为的图像关于原点成中心对称． (1)求实数m的值： (2)已知函数是R上的严格增函数，当时，函数的值域为，求实数a，b的值． 【解析】（1）的定义域为R，∵的图像关于原点成中心对称， ∴，， 即，解得:，经检验符合题意， ∴； （2）∵是R上的严格增函数， ∴，解得：，． 4．已知，函数. (1)当时，解不等式； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 即，所以，等价于， 解得或. 故的解集为：. （2）当时，， 则，所以在上单调递减， 所以对任意，在区间上单调递减， 所以，， 所以， 即对任意恒成立， 因为，所以在单调递增， 所以时，，解得， 所以的取值范围为： 5．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）∵是R上的奇函数，∴，∴， ∴，又，∴， 解得，∴．经验证可得为奇函数， ∴，． （2）由（1）知，∴在上为减函数． ∵,∴， 又是奇函数，∴， 又为减函数， ∴对任意的恒成立． ∴对任意的恒成立． 令， 则, 解得. ∴实数的取值范围为． 6．已知函数的定义域为D，其中a为常数 (1)若，讨论的奇偶性，并说明理由； (2)当时，求函数的零点. 【解析】（1）由已知可得， 当时，即， 当时，为奇函数； 当时，为非奇非偶函数. （2）当时，， 令，得，即. 当时，，即， 解得(舍)，或，； 当时，，即，解得，； 则函数的零点为和0. 7．已知函数（且）的图象过点. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. (3)判断函数的零点个数，并证明. 【解析】（1）因为函数（且）的图象过点. 所以，解得； （2）由复合函数的单调性知：在上单调递增， 又， 所以，即，即， 解得，所以不等式的解集为； （3）由（1）得函数， 令，得， 在同一坐标系中作出函数与的图象，如图所示： 则函数的零点个数即为两个函数图象交点的个数， 由图象知：函数的零点个数为1. 8．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，若对于恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）不等式， 令，则，即， 即，即， 当时，，解得，所以，解得且； 当时，，的解为或， 所以或，解得或； 当时，，的解为或， 所以或，解得或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 9．已知函数（，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)求关于的不等式的解集. 【解析】（1）由题意可知，， 解得，或，， 因为，，所以，， 所以. （2）因为，， 所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形. （3）由（1）可知，， 易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减. 由（2）可知，， 由，得， 即， 根据在上单调递减，得， 整理得，，即. 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得.     综上可知， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 10．已知函数，， (1)解方程：； (2)设，求函数在区间上的最大值的表达式. 【解析】（1）所给的方程即， 可得或（舍去），所以. （2）由于，， 令，则， ①当时，，则； ②当时，令， 若，则， 若，当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 1．若函数满足：对任意正数s、t，都有，则称函数为“H函数”． (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，求证：对任意，都有． 【解析】（1）对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数”. （2）因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为. （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，且， 所以. 2．已知，函数． (1)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【解析】（1）关于的方程的解集中恰有一个元素， 将代入可得，即， 由对数运算性质可得，化简可得， 即方程的解集中恰有一个元素， 当时，代入可得，解得，满足题意， 当时，则，解得， 再代入方程可解得，代入经检验可知，合乎题意. 满足关于的方程的解集中恰有一个元素， 综上可知，或． （2）若，对任意，函数在区间上单调递减， 由题意可知， 化简可得，即，所以， 令， ， 当时，， 当时，， 设，， 设，则 ， ，则，， ，， 所以在是增函数，， ，， 所以的取值范围为. 3．已知函数的定义域为，且仅有一个零点. (1)求； (2)若为奇函数，求的值； (3)设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 令，得，即， 因为，所以， 令，得，所以， 因为，所以； （2）若函数为奇函数，则可得， 因为仅有一个零点，由（1）可知，所以， 当时，， 所以，即为奇函数. 故为奇函数，的值为； （3）由（2）知，所以， 所以，则在和上均单调递增， 若存在实数，使得在区间上的值域为， 则，所以是方程的两个实根， 所以方程在上有两个不相等的实根， 设，则，解得， 故实数的取值范围为. 4．设，已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)若，判断并证明函数的单调性； (3)在（2）的条件下，函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【解析】（1）由函数为奇函数，得，即， 有，整理得，解得， 当时，，定义域为，，符合题意； 当时，，定义域为，，符合题意， 所以或. （2）当时，，函数定义域为，在上单调递增. 设上任意两个实数，且， ， 而，，，， 因此，所以在上单调递增. （3）由，得，由，得，即， 由（2）知在上单调递增，依题意，，即， 则m，n是方程的两个不同实根，令，则有两个不等正实根， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 5．设函数（且，为常数）. (1)若为奇函数，求不等式的解集； (2)若为偶函数，且，证明：在单调递增； (3)设函数，在第（2）问的条件下，若，，使成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由于有意义，奇函数满足， 此时，满足，符合题意， 由得，当时，得，即， 即不等式的解集为； 当时，得，即， 即不等式的解集为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为； （2）因为为偶函数，则，得， 移项可得，所以，即， 由得，解得或， 所以， 任取，且， 则 ， 因为，则，，所以， 所以，所以在单调递增； （3）由（2）可知在上单调递增， 时，的最小值为； 由题意得，使， 即在有解， 令，由（2）知在单调递增， ，则， 则转化为在有解， 只需， 在单调递减，且在单调递减， 当时，取最大值为， ，即的取值范围为. 6．若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． (1)试问函数与是否互为“和幂函数”？说明你的理由． (2)已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 【解析】（1）与互为“和幂函数”，理由如下：     因为， 所以与的定义域均为 因为， 且为幂函数，所以与互为“和幂函数” （2）①证明：，                    则，即                          设，则为增函数. 因为，所以         令，得                     设函数. 因为，         易知的图象是连续不断的曲线，所以在上存在零点， 即存在负零点. 因为为减函数，所以的零点唯一，即存在负零点，且负零点唯一    ②当时，，   则，    因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减， 所以根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以        令，得. 因为，         且在上有两个零点，所以的取值范围为 7．已知函数 (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求m的最小值. 【解析】（1）因为， 令，由，可知， 函数转化为． 因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，为． 由，可知当时，取到最大值， 故当时，函数的值域为． （2）由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或. （3）由于对于恒成立， 令，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以当时，函数取得最大值，为， 故当时，对于恒成立． 所以的最小值为. 8．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心，并说明理由； (2)对于不同的函数与，若，的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和. （i）求证：当时，的图象仍有对称中心； （ii）问：当时，的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例. 【解析】（1）为奇函数，证明如下： 由可得，所以函数定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数， 由，可得， 令，则由可得或， 所以函数定义域为或，关于原点对称， 又， 所以为奇函数，即为奇函数， 所以由题意知图象的对称中心是. （2）（i）证明：由题意为奇函数， 所以， 为奇函数， 所以， 则当时有 令，则， 所以是奇函数， 所以的图象关于点对称， 即当时，的图象仍然有对称中心为. （ii）当时，不一定有对称中心． 设，易知函数的图象关于对称，得，， 设，易知函数的图象关于对称．得，， 此时，，令， 若函数图象关于点对称， 则为奇函数， 而函数要有意义则且， 若函数为奇函数，则，即， 此时，， 所以当时，，时，， 则由解得， 此时当时，， 所以不是奇函数， 故函数图象不关于点对称，即没有对称中心， 所以当，函数图象不一定有对称中心. 1．记函数的定义域为,的定义域为. (1)求; (2)若,求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意得,解得或, 即或. （2）根据题意, 因为，所以, 则, 即, 因为, 所以或, 解得或, 又, 所以或, 即实数的取值范围是. 2．已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求a，b的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围. 【解析】（1）因为是R上的奇函数， 所以，即，解得， 从而有， 又由，知，解得， 经检验，当时，，满足题意； （2）由（1）知， 任取，且，则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上为减函数，又因为为上为奇函数， 所以由得， 所以，得恒成立， 所以， 所以， 所以k的取值范围为. 3．已知函数. (1)若，求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，舍去； 当时，，即， 令，则，解得：或（舍）， 所以，可得：. （2）当时，，即， 即. 当时，，所以对于恒成立， 所以， 当，，，所以 故的取值范围是. 4．已知函数（且）在区间上的最大值是16， （1）求实数的值； （2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围． 【解析】（1）当时，函数在区间上是减函数， 因此当时，函数取得最大值16，即， 因此． 当时，函数在区间上是增函数， 当时，函数取得最大值16，即， 因此． （2）因为的定义域是， 即恒成立． 则方程的判别式，即， 解得， 又因为或，因此． 代入不等式得，即， 解得， 因此实数的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$