专题07 指数函数的综合性质及其深度解读（10大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题07 指数函数的综合性质及其深度解读 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：指数函数值域可构成三角形中的应用探索 题型二：指数幂与对数函数的图像综合解析 题型三：指数形复合函数的单调性分析 题型四：利用指数函数性质解不等式 题型五：指数函数的奇偶性与单调性求参数问题 题型六：指数型复合一元二次方程的参数求解 题型七：指数函数对称中心形式的参数确定 题型八：指数形双变量恒成立条件下的参数求解 题型九：双变量值域子集形式下的参数求解策略 题型十：指数型函数中心对称求和技巧 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 指数函数是数学中一类重要的函数，形如（其中且）．在解决指数函数相关问题时，可以遵循以下解题方法： 1、明确函数形式与性质： 首先确定指数函数的具体形式，明确底数a的值． 回顾指数函数的基本性质，如单调性（时单调递增，时单调递减）、过定点（0，1）等． 2、利用性质进行转化： 根据题目的具体要求，利用指数函数的性质进行转化．例如，比较函数值大小时可以利用单调性；求解方程或不等式时可以利用过定点的性质． 3、灵活运用运算法则： 熟练掌握指数函数的运算法则，如乘法法则、除法法则等． 在解题过程中，灵活运用这些运算法则可以简化计算过程． 4、结合图像辅助解题： 画出指数函数的图像，可以帮助我们更直观地理解函数的性质和解题过程． 图像可以辅助我们解决比较大小、求交点、判断单调性等问题． 综上所述，解决指数函数相关问题时，需要明确函数形式与性质、利用性质进行转化、灵活运用运算法则以及结合图像辅助解题．通过掌握这些解题方法，我们可以更有效地解决指数函数相关的问题． 指数函数值域在可构成三角形中的应用探索 1．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．且满足，.如果以，，作为三角形的三边，那么所得的结果是 A．不能构成三角形 B．可构成锐角三角形 C．可构成钝角三角形 D．可构成锐角或钝角三角形 指数幂与对数函数的图像综合解析 1．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 指数形复合函数的单调性分析 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 利用指数函数性质解不等式 1．已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．若函数满足且，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 指数函数的奇偶性与单调性求参数问题 1．已知函数，若不等式（e是自然对数的底数），对任意的恒成立，则整数k的最小值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知函数，若不等式（是自然对数的底数），对任意的恒成立，则整数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知函数是定义在上的奇函数，若不等式在上恒成立，则整数m的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 4．已知为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为（    ） A． B． C．1 D．-1 指数型复合一元二次方程的参数求解 1．已知函数关于点对称，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 2．要使函数在上，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 4．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 指数函数对称中心形式的参数确定 1．若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为 ． 2．已知函数在上的最大值､最小值分别为，，则 . 3．函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是 . 4．曲线的对称中心为 . 指数形双变量恒成立条件下的参数求解 1．函数，，若对，都存在，使成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，命题：若对任意，都存在，使得，则命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 双变量值域子集形式下的参数求解策略 1．已知函数，对，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围是（    ） A．[2，5] B． C．[2，3] D． 4．已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 指数型函数中心对称求和技巧 1．已知函数，则的值为 . 2．已知函数，则 . 3．已知，．函数的图像是一个中心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为，，…，（为正整数），则 ．注：． 4．已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为 ；函数的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整数），则 . 1． 的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   6．（多选题）已知函数，则（    ） A．是R上的减函数 B．不等式的解集为 C．若是奇函数，则 D．的图象关于点对称 7．已知，当时，的单调减区间为 ；若存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 8．已知且，若函数在上有最小值，则的取值范围为 9．已知函数的表达式为的图像关于原点成中心对称． (1)求实数m的值： (2)已知函数是R上的严格增函数，当时，函数的值域为，求实数a，b的值． 10．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1．已知幂函数在上单调递增，函数，总存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（   ） A．是奇函数 B．在R上是增函数 C．是偶函数 D．的值域是 5．（多选题）已知函数，则下列结论 ①函数在R上为增函数；②函数过定点； ③函数为偶函数；④当时，函数的最小值是0． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 6．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在，使得，则的取值范围为 ． 7．我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数的值为 ；若则实数的取值范围是 ． 8．已知函数，， (1)解方程：； (2)设，求函数在区间上的最大值的表达式. 1．（2024年天津高考数学真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 指数函数的综合性质及其深度解读 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一：指数函数值域可构成三角形中的应用探索 题型二：指数幂与对数函数的图像综合解析 题型三：指数形复合函数的单调性分析 题型四：利用指数函数性质解不等式 题型五：指数函数的奇偶性与单调性求参数问题 题型六：指数型复合一元二次方程的参数求解 题型七：指数函数对称中心形式的参数确定 题型八：指数形双变量恒成立条件下的参数求解 题型九：双变量值域子集形式下的参数求解策略 题型十：指数型函数中心对称求和技巧 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 指数函数是数学中一类重要的函数，形如（其中且）．在解决指数函数相关问题时，可以遵循以下解题方法： 1、明确函数形式与性质： 首先确定指数函数的具体形式，明确底数a的值． 回顾指数函数的基本性质，如单调性（时单调递增，时单调递减）、过定点（0，1）等． 2、利用性质进行转化： 根据题目的具体要求，利用指数函数的性质进行转化．例如，比较函数值大小时可以利用单调性；求解方程或不等式时可以利用过定点的性质． 3、灵活运用运算法则： 熟练掌握指数函数的运算法则，如乘法法则、除法法则等． 在解题过程中，灵活运用这些运算法则可以简化计算过程． 4、结合图像辅助解题： 画出指数函数的图像，可以帮助我们更直观地理解函数的性质和解题过程． 图像可以辅助我们解决比较大小、求交点、判断单调性等问题． 综上所述，解决指数函数相关问题时，需要明确函数形式与性质、利用性质进行转化、灵活运用运算法则以及结合图像辅助解题．通过掌握这些解题方法，我们可以更有效地解决指数函数相关的问题． 指数函数值域在可构成三角形中的应用探索 1．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，为某一个三角形的三条边长， 所以，对任意，，，恒成立， 函数， 当时，，满足，符合题意； 当时，在上递减， 所以函数的值域为， 所以且， 所以，又，所以， 当时，在上递增， 函数的值域为， 所以且， 所以，解得，所以， 综上的取值范围是． 故选：D． 2．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据，分和两种情况求得函数的值域，然后再由对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，转化为，对任意、、恒成立求解.因为、、为某一个三角形的边长， 所以，对任意、、恒成立， 函数 当时， 在R上递减， 函数的值域为， 所以 且， 所以，又，所以； 当时， 在R上递增， 函数的值域为， 所以 且， 所以，解得，所以； 综上的取值范围是 故选：C 3．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，对任意的、、恒成立， . 当时，函数是上的减函数，该函数的值域为， 故，，，此时，. 当时，，则对任意的、、恒成立； 当时，函数是上的增函数，该函数的值域为， 故，，，则.，此时，； 综上所述，实数的取值范围是. 故选D. 4．且满足，.如果以，，作为三角形的三边，那么所得的结果是 A．不能构成三角形 B．可构成锐角三角形 C．可构成钝角三角形 D．可构成锐角或钝角三角形 【答案】C 【解析】由题意有，.∵，∴，.同理，.∴.故，，可构成三角形.又∵，∴，.同理，.则.故此三角形为钝角三角形. 选C. 指数幂与对数函数的图像综合解析 1．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由解析式知，函数定义域为R，且，为奇函数，排除A、C； 时，，排除D. 故选：B 2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为R，，故为偶函数，排除B，D；当时，，排除C. 故选：A. 3．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于，，得，又， 函数的定义域为，排除D； 又，则为偶函数，排除C； 而，排除B； 故选：A. 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于的定义域为，关于原点对称， 且，为偶函数，故图象关于轴对称，排除选项C和D， 又当或时，，可排除选项B. 故选：A. 指数形复合函数的单调性分析 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由解得， 所以的定义域是.又在上单调递减，在定义域上单调递增， ，的开口向下，对称轴为， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故选：D 2．已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，函数在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递增，函数值集合为， 在平面直角坐标系内作出函数的图象，当时，或， 由，且，得，则， 因此. 故选：D 3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，令， 函数在上单调递增，由，得， 而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增. 故选：A 4．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知函数是由指数函数和二次函数复合而成的； 再由复合函数单调性可得，使二次函数在区间上单调递减即可； 因此，可得. 故选：D 利用指数函数性质解不等式 1．已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意：当时，， 因为，当时，，所以. 所以， 所以. 故选：B 2．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，单调递增，当时，单调递增，且在分界点处， 所以函数在定义域上单调递增， 所以，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 3．若函数满足且，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得 即故函数为单调递增函数， 又，故时，解得， 因此， 的解集是， 故选：D 4．已知函数，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数定义域为R，且在R上单调递增，值域为， ， 所以函数图象关于对称， 设函数，则函数图象关于原点对称 所以函数为R上的奇函数，且单调递增， 由，得， 即，得， 所以，解得，即原不等式的解集为. 故选：A． 指数函数的奇偶性与单调性求参数问题 1．已知函数，若不等式（e是自然对数的底数），对任意的恒成立，则整数k的最小值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】先由函数的解析式，判断函数的奇偶性和单调性，然后利用其奇偶性和单调性将对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立求解.因为函数的定义域为R，关于原点对称， 又 所以是奇函数， 又在R上是增函数， 所以对任意的恒成立，等价于： 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，因为，所以， 所以 解得， 所以整数k的最小值是4 故选：B 2．已知函数，若不等式（是自然对数的底数），对任意的恒成立，则整数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】先判断函数的单调性和奇偶性，再结合性质解不等式得到，只需要求二次函数的最大值，即解得的范围，再利用对数式比大小即得到整数的最小值.由指数函数性质知和在R上是递增函数，故在R上是递增函数.又，故是奇函数. 故不等式即转化为： ，即，故，所以，而对称轴为，根据二次函数对称性可知对任意的上，当时，，故，故，而，即，故整数的最小值是4. 故选：C. 3．已知函数是定义在上的奇函数，若不等式在上恒成立，则整数m的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】首先根据是定义在上的奇函数，可得，即可求出的值，再利用的单调性脱掉可得可得在上恒成立，分离可得 ，求得最大值即可求解.因为函数是定义在上的奇函数， 所以对于恒成立， 即，整理可得：， 因为，所以， 所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以不等式即不等式， 可得在上恒成立， 所以， 令，则 令，， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，即得， 所以整数m的最大值为， 故选：B 4．已知为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【解析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可.为偶函数，为奇函数，且① ② ①②两式联立可得，. 由得， ∵在为增函数， ∴， 故选：A. 指数型复合一元二次方程的参数求解 1．已知函数关于点对称，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称， 函数关于点对称，可得， 对任意的，，恒成立，即在，恒成立， 所以，令，由，，可得，， 设， 当时，取得最大值11， 则的取值范围是， 故选：． 2．要使函数在上，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 令，，则， 二次函数在区间上单调递减，则，. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 3．如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【解析】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 4．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对任意恒成立 ，令 所以对任意恒成立等价于对任意恒成立， ， ∴． 故选B． 指数函数对称中心形式的参数确定 1．若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为 ． 【答案】 【解析】推导出，可得出函数的图象关于点对称，因为，所以， 所以，. 故答案为：. 2．已知函数在上的最大值､最小值分别为，，则 . 【答案】 【解析】 因为在单调递增， 在单调递减，在单调递增， 所以时， 时， 所以，， 可得， 故答案为：. 3．函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是 . 【答案】（1，＋∞） 【解析】设F（x）＝f（x）－2，则F（x）＝，易知F（x）是奇函数，F（x）＝＝＝1－在R上是增函数， 由f（a）＋f（a－2）＞4得F（a）＋F（a－2）＞0， 于是可得F（a）＞F（2－a），即a＞2－a，解得a＞1. 答案：（1，＋∞） 4．曲线的对称中心为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为R，设曲线的对称中心为， 则 ，要为常数，当且仅当， 即，解得，此时，， 所以曲线的对称中心为. 故答案为： 指数形双变量恒成立条件下的参数求解 1．函数，，若对，都存在，使成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若对，都存在，使成立，则需， 又，，所以， 令，因为，所以，所以， 所以，解得，则m的取值范围是， 故选：B. 2．已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定义，，值域为A； 令，，则可化为在上单增，所以，，即集合. 定义，，值域为B； 因为对称轴，所以在上单调递减，所以，即集合 因为对于任意，总存在，使得成立， 所以. 只需解得：，即. 故选：D 3．已知，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，， 所以， 对任意的，要使成立，即要，存在上成立， 所以存在，使得成立， 即. 故选：A. 4．已知，命题：若对任意，都存在，使得，则命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为若对任意，都存在，使得， 所以，，， 因为， 当时，， ， 当时，， 所以当时，， 解得当. 所以只有D选项才是命题的一个必要不充分条件， 故选：D. 双变量值域子集形式下的参数求解策略 1．已知函数，对，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出函数的图象如图： 则当，，的最大值为，最小值， 若，，此时满足，，，，使成立， 若，则直线过定点， 若，要使对，，，，使成立， 则满足，且， 即且， 即且， 此时满足， 若，要使对，，，，使成立， 则满足，且， 即且， 即且， 此时满足， 综上， 故选：A 2．已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 所以时，，时，， 综上. 当时，，， 由题意，，即，解得； 当时，，符合题意； 当时，，， 由题意，，即，解得； 综上可得. 故选：D. 3．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围是（    ） A．[2，5] B． C．[2，3] D． 【答案】A 【解析】利用的奇偶性及指数函数的单调性求出当时的值域A，由二次函数的单调性求出在上的值域B，由题意知，列出不等式组求解即可.当时，， 因为是定义在上的奇函数， 所以，当时，，记， ，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 即当时，，记， 对于任意，存在，使得等价于， 所以，解得. 故选：A 4．已知函数,若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出的图象，如图所示： 由，可得， 则， 令， 则， 故． 故选：D． 指数型函数中心对称求和技巧 1．已知函数，则的值为 . 【答案】/5.25 【解析】因为, 所以 , 故答案为:. 2．已知函数，则 . 【答案】505 【解析】，∴， 故. 故答案为：505． 3．已知，．函数的图像是一个中心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为，，…，（为正整数），则 ．注：． 【答案】 【解析】 由已知，则， 则， 即函数关于点对称， 且，函数在上单调递增， 又， 则，， 即函数关于点， 且在，，，上分别单调递减， 作出函数与的图像如图所示， 可知函数与有个交点， 分别为，，，， 且与，与分别关于点对称， 即， 故答案为：. 4．已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为 ；函数的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整数），则 . 【答案】 18 【解析】因为，所以， 设，则函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，即函数的图象关于原点对称，所以函数的图象关于对称， 因为，所以， 所以， 所以函数为奇函数，故函数的图象关于对称， 且的定义域为， 且在上均单调递减，且 ， ，且单调递增， 所以函数的图象与函数图象的交点共有四个交点，且关于点两两对称， 所以，， . 古答案为：；18. 1． 的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 由图知函数单调递减，故，排除A，B项； 由图知，当时，， 因时，函数为减函数，故得. 故选：D. 2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在为减函数，所以函数在上具有单调性则为减函数， 所以，解得. 故的取值范围是. 故选：A. 3．已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，因为且，则内层函数在上单调递减， 且，可得， 因为函数且在区间上单调递增， 则外层函数为减函数，所以，， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 4．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若对任意，总存在， 使得成立，即， 又在上单调递减， 所以． 且在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以，所以，解得， 即的取值范围是． 故选：C 5．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】定义域为关于原点对称，， 所以函数为奇函数，关于原点对称，故A、C错误； 当时，，所以，故B错误， 故选：D. 6．（多选题）已知函数，则（    ） A．是R上的减函数 B．不等式的解集为 C．若是奇函数，则 D．的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】A选项，在R上单调递增，且恒成立， 故是R上的减函数，A正确； B选项，， 故，所以， 由A知，是R上的减函数，故，解得， 故等式的解集为，B正确； C选项，若是奇函数，则， 由B选项知，，故，解得，C正确； D选项，由B选项知，，故的图象关于点对称， 由于与不一定是同一个点，D错误. 故选：ABC 7．已知，当时，的单调减区间为 ；若存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时函数单调递增， 当时函数， 所以函数在上单调递减，在单调递增，所以函数的单调减区间为； 因为函数， 当并且，所以函数在上单调递增，没有最小值； 当，要想函数有最小值则满足即. 故答案为：；. 8．已知且，若函数在上有最小值，则的取值范围为 【答案】 【解析】因函数在上有最小值，则在上有最小值， 则在上单调递减，得，又注意到此时， 则当时，有最小值. 故答案为： 9．已知函数的表达式为的图像关于原点成中心对称． (1)求实数m的值： (2)已知函数是R上的严格增函数，当时，函数的值域为，求实数a，b的值． 【解析】（1）的定义域为R，∵的图像关于原点成中心对称， ∴，， 即，解得:，经检验符合题意， ∴； （2）∵是R上的严格增函数， ∴，解得：，． 10．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）∵是R上的奇函数，∴，∴， ∴，又，∴， 解得，∴．经验证可得为奇函数， ∴，． （2）由（1）知，∴在上为减函数． ∵,∴， 又是奇函数，∴， 又为减函数， ∴对任意的恒成立． ∴对任意的恒成立． 令， 则, 解得. ∴实数的取值范围为． 1．已知幂函数在上单调递增，函数，总存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，得或. 当时，，当时，. 又在上单调递增，当时，. 当时，. 由，总存在，使得， 可知是的子集，，，即. 故选：B. 2．已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，且定义域为， 所以为奇函数， 因为函数在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 因为， 所以原不等式可转化为， 即， 由单调性可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 3．已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称， 由任意的x，总有成立，即恒成立， 于是得函数的周期是4，又当时，， 而是奇函数，当时，， 又，，从而行， 即时，，而函数的周期是4， 于是得函数在R上的值域是， 因为对任意，存在，使得成立， 从而得不等式在R上有解，当时，显然成立， 当时，在R上有解，必有，解得， 则有. 综上得. 故选：B． 4．（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（   ） A．是奇函数 B．在R上是增函数 C．是偶函数 D．的值域是 【答案】ABD 【解析】由得，由定义域为得是奇函数，故A正确. ， 因为在上是增函数，且，所以在上是减函数，故在上是增函数，B正确. 由于，故， ∴，∴， 当时，， 当时，， ∴不是偶函数，的值域是，故C不正确，D正确． 故选：ABD． 5．（多选题）已知函数，则下列结论 ①函数在R上为增函数；②函数过定点； ③函数为偶函数；④当时，函数的最小值是0． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【解析】对于A，当时，函数单调递增，函数单调递减，所以在R上为增函数， 当时，函数单调递减，函数单调递增，所以在R上为减函数， 错误； 对于②，当时，，即函数过定点，正确； 对于③，由函数可得：，解得：， 故函数的定义域是，关于原点对称， 因为， ， 所以 ，即原函数为偶函数，正确； 对于④，当时， 故在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，取得最小值0，正确. 故选：D. 6．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由幂函数在上单调递减，得， 解得，，因此在上的值域为， 当时，令，由函数在上单调递减，在上单调递增， 得，于是函数在上的值域， 而对任意，总存在，使得， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 于是，即，所以. 故答案为： 7．我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数的值为 ；若则实数的取值范围是 ． 【答案】 2 【解析】由函数的图象关于点成中心对称， 得，即， 整理得，解得，故函数， 所以函数在上都单调递减，因此函数在上单调递减， 令， 由函数的图象关于点成中心对称， 得的图象关于对称，即函数为奇函数，则， 且在上单调递减， 所以由，得， 于是，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：2；. 8．已知函数，， (1)解方程：； (2)设，求函数在区间上的最大值的表达式. 【解析】（1）所给的方程即， 可得或（舍去），所以. （2）由于，， 令，则， ①当时，，则； ②当时，令， 若，则， 若，当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 1．（2024年天津高考数学真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 3．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$