专题12 三角函数图像与性质的深度剖析与综合应用（11大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题12 三角函数图像与性质的深度剖析与综合应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（11大题型） 题型一：三角函数解析式的求解探索 题型二：复合型三角函数的图像与解析式解析 题型三：探究复合型三角函数的单调性质 题型四：三角函数值域的求解方法 题型五：正余弦互化型一元二次方程的值域分析 题型六：通过单调性求解三角函数中的w值 题型七：正切函数的单调性在求解w中的应用 题型八：非单调条件下求解w的策略 题型九：根据对称轴数量求解w的问题 题型十：利用对称中心求解w的方法 题型十一：零点的数量求解w ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 2、与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若为偶函数，则；若为奇函数，则. (2)若为偶函数，则；若为奇函数，则. (3)若为奇函数，则. 3、在区间内没有零点 同理，在区间内没有零点 4、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 5、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 5、已知单调区间，则. 三角函数解析式的求解探索 1．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（   ） A． B． C． D． 2．函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 3．已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数的解析式可以为 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称 复合型三角函数的图像与解析式解析 1．函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（    ） A． B． C． D． 4．函数在区间上的图像大致为（     ） A． B． C． D． 探究复合型三角函数的单调性质 1．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知函数，结论正确的有（    ） A．是周期函数 B．的图象关于原点对称 C．的值域为 D．在区间上单调递增 三角函数值域的求解方法 1．函数，的值域为 2．已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为 . 3．函数在上的最大值是 ． 4．函数，的值域是 ． 正余弦互化型一元二次方程的值域分析 1．函数，，当 时，最小且最小值为 ． 2．函数的最小值为 ． 3．函数，的值域为 ． 4．函数的值域为 . 通过单调性求解三角函数中的w值 1．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4．已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 正切函数的单调性在求解w中的应用 1．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ． 2．函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为 . 3．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 . 4．已知函数在内是减函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 非单调条件下求解w的策略 1．已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．已知函数 （ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知函数的图象的一条对称轴为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 根据对称轴数量求解w的问题 1．已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 2．设函数（）在区间上恰好有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设函数在区间上恰好有条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 利用对称中心求解w的方法 1．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，点和是函数图象上相邻的两个对称中心，则 . 4．已知函数，其图像最低点的纵坐标是，相邻的两个对称中心是和，则图像的对称轴方程为 . 零点的数量求解w 1．已知函数，其中，若在区间(，)上恰有2个零点，则的取值范围是 . 2．已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 3．若函数的图象在上与直线只有两个公共点，则的取值范围是 . 4．已知函数()在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 . 1．已知函数，若，，且的最小正周期大于等于，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象如图所示，若、，且，则（   ） A． B． C． D． 5．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）已知函数，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 7．不等式在上有解，则实数m的取值范围是 . 8．函数的单调递增区间为 ． 9．已知. (1)求函数在上的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式在上的解集. 10．已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 1．设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 2．当时，函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知函数且），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的最大值为 C．在上单调递增 D．方程在上最多有4个解 5．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若函数为偶函数，则 B．若时，且在上单调，则 C．若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则 D．若函数在上至少有两个最大值点，则 6．已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 7．在平面直角坐标系中，我们把函数上满足（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”. (1)写出当时，函数图象上的正格点坐标； (2)若函数与函数的图象有正格点交点，求的值. (3)对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 8．设函数（A，，为常数，且，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 9．已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 1．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 三角函数图像与性质的深度剖析与综合应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（11大题型） 题型一：三角函数解析式的求解探索 题型二：复合型三角函数的图像与解析式解析 题型三：探究复合型三角函数的单调性质 题型四：三角函数值域的求解方法 题型五：正余弦互化型一元二次方程的值域分析 题型六：通过单调性求解三角函数中的w值 题型七：正切函数的单调性在求解w中的应用 题型八：非单调条件下求解w的策略 题型九：根据对称轴数量求解w的问题 题型十：利用对称中心求解w的方法 题型十一：零点的数量求解w ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 2、与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若为偶函数，则；若为奇函数，则. (2)若为偶函数，则；若为奇函数，则. (3)若为奇函数，则. 3、在区间内没有零点 同理，在区间内没有零点 4、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 5、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 5、已知单调区间，则. 三角函数解析式的求解探索 1．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察图象可得函数的最小正周期为， 所以，故或，排除B； 观察图象可得当时，函数取最小值， 当时，可得，， 所以，，排除C； 当时，可得，， 所以，， 取可得，， 故函数的解析式可能为，A正确； ，D错误 故选：A. 2．函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合题意以及各选项可知A可为2， 结合图象可知， 则对于B，，由此可判断B中解析式不可能； 对于C，，由此可判断C中解析式不可能； 对于D，，由此可判断D中解析式不可能； 对于 A，由于，即可取2； 由，则，由于，可取， 此时，A可能， 故选：A 3．已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数图象可知，，即， 由，得， 故，由于，故， 则， 故选：B 4．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数的解析式可以为 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称 【答案】C 【解析】由题意得，，，所以，故， 因为，， 因为，所以，，A正确； 因为，此时取得最小值，B正确； 当时，，此时不单调，C错误； 因为，D正确． 故选：C． 复合型三角函数的图像与解析式解析 1．函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 此时函数为减函数，且，可排除CD； 当时，， 此时函数为增函数，且，可排除A. 故选：B. 2．若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象可知函数为奇函数，且当时，. 对于A选项，，该函数为偶函数，A选项不符； 对于C选项，函数为偶函数，C选项不符； 对于B选项，，该函数为奇函数，且当时，，，此时，合乎题意； 对于D选项，函数为奇函数，当时，，D选项不符. 故选：B. 3．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据特殊值及函数的单调性判断即可；当时，，无意义，故排除A； 又，则，故排除D； 对于C，当时，，所以不单调，故排除C； 故选：B 4．函数在区间上的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合选项对和函数分类讨论去绝对值，即可求解. . 故选:B 探究复合型三角函数的单调性质 1．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可确定函数的单调递减区间.函数的单调递减区间满足： ， 则：， 据此可得：， 故函数的单调递减区间为. 故选D. 2．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据复合函数单调性的规则得出需求的单调增区间，再由定义域可得，则可令，解出即可的结果.令， ，则， 又要求函数的单调递减区间，且在定义域内单调递增， 则需求的单调减区间， 则需求的单调增区间 令， 解得， 函数的单调递减区间是. 故选：C. 3．函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据复合函数单调性的判断规律，的单调递增区间即为的单调增区间并且，列不等式求解即可.根据复合函数单调性的判断规律，在其定义域内是单调增函数，且在其定义域内也只有单调递增区间，故转化为求的单调增区间并且， 故，解得：， 所以函数的单调递增区间是， 故选：D. 4．（多选题）已知函数，结论正确的有（    ） A．是周期函数 B．的图象关于原点对称 C．的值域为 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】对于A，因为， 所以是周期函数，所以A正确， 对于B，因为， 所以不是奇函数，所以的图象不关于原点对称，所以B错误， 对于C，因为，所以，即，所以函数的值域为，所以C错误， 对于D，令，则，因为在上单调递，在上递增，所以在区间上单调递增，所以D正确， 故选：AD 三角函数值域的求解方法 1．函数，的值域为 【答案】 【解析】因在上单调递减，在上单调递增， 且 故函数，的值域为. 故答案为：. 2．已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由题意，函数的图象关于点对称， 所以，，即，， 又，所以，即， 当时，， 所以当，即时，. 故答案为：. 3．函数在上的最大值是 ． 【答案】 【解析】画出函数在上的大致图象如图． 当时，， 所以， 则， 所以函数在上的最大值是． 故答案为： 4．函数，的值域是 ． 【答案】 【解析】当时，，所以， 当时，，所以， 所以值域为， 综上所以． 图象为： 故答案为： 正余弦互化型一元二次方程的值域分析 1．函数，，当 时，最小且最小值为 ． 【答案】 【解析】令， ∴， ． ∵ 在上是减函数， ∴当，即时， ． 故答案为：，. 2．函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以当时，，故函数的最小值为． 故答案为： 3．函数，的值域为 ． 【答案】 【解析】由， 当时，， 易知，故时，取得最小值， 时，，时，， 又，故的最大值为. 故答案为： 4．函数的值域为 . 【答案】 【解析】， 令， 因为，所以， 所以. 根据二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，有最大值. 又，， 所以的最小值为，函数的值域为. 故答案为：. 通过单调性求解三角函数中的w值 1．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 因为在单调， 所以， ∴， 故选：D. 2．若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，则在上递增， 所以，又，故. 故选：B 3．若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调，所以，即,则， 由此可得． 因为当，即时，函数取得最值， 欲满足在上存在极最点， 因为周期，故在上有且只有一个最值， 故第一个最值点，得， 又第二个最值点， 要使在上单调，必须，得． 综上可得，的取值范围是． 故选：B． 4．已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 又因为函数是区间上的增函数， 解得 因为为正实数，所以，从而， 又， 所以正实数的取值范围是为. 故选：C 正切函数的单调性在求解w中的应用 1．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，， 因为在上单调递增， 所以，解得：． 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 2．函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为正切函数的单调递增区间为，， 又函数在区间上为增函数， 所以. 故答案为：（答案不唯一） 3．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则 . 【答案】/-0.25 【解析】因为函数在上单调递减， 所以，，则， 又因为函数在上的最大值为， 所以，即， 所以. 故答案为： 4．已知函数在内是减函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设有为减函数，且，恒成立，所以，解得，选B. 非单调条件下求解w的策略 1．已知函数，对任意，都有，并且在区间上不单调，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【解析】由题意，是函数的最大值，，即． ，． 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，，符合题意. 的最小值为7. 故选：D． 2．已知函数 （ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】对任意，都有， 为函数的最大值，则，， 得，， 在区间，上不单调， ， 即，即，得， 则当时，最小. 故选：B. 3．已知函数的图象的一条对称轴为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由函数的一条对称轴为， 可得， 所以，，，， ， 由在区间上不单调， 所以在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以， 所以，， 又，所以，所以， 当时，，此时的最小正整数为5． 故选：B 4．已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由函数的一个对称中心为， 可得， 所以，， ，， ， 由在区间上不单调， 所以在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以， 所以，， 又，所以， 所以， 当时，， 此时的最小正整数为. 故选：B 根据对称轴数量求解w的问题 1．已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 【答案】A 【解析】因为， 令，，则，， 函数在区间上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合， 又在区间上恰好有两条对称轴， 由，得， 若，则，∴； 若，则，∴. 故选：A. 2．设函数（）在区间上恰好有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数（）， 令，即， 因为（）在区间上恰好有3条对称轴， 显然当时，为内最左侧的对称轴， 故，解得， 即的取值范围是， 故选：C 3．设函数在区间上恰好有条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， 因为函数在区间上恰好有条对称轴，所以，解得. 故选：B. 4．已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 画出的图象， 要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则， 解得. 故选：A 利用对称中心求解w的方法 1．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，画出函数图象，如图： 故必满足，解得. 故选：A 2．已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数． 当时，令，则， 若在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则，解得. 故选：A． 3．已知函数，点和是函数图象上相邻的两个对称中心，则 . 【答案】2 【解析】根据正弦函数两相邻对称中心横坐标间隔为半个最小正周期可求得最小正周期，由此可求得.和是两个相邻的对称中心， ，即，. 故答案为：. 4．已知函数，其图像最低点的纵坐标是，相邻的两个对称中心是和，则图像的对称轴方程为 . 【答案】 【解析】由题意，得， . . 又点在的图像上， ， . 又， . 令， 解得. 图像的对称轴方程是. 零点的数量求解w 1．已知函数，其中，若在区间(，)上恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】或. 【解析】令，则，故， 故， 因为在区间(，)上恰有2个零点， 所以存在整数，使得： ， 若为偶数，则， 整理得到：①，因为，故， 当时，，故①无解， 当时，有即. 若为奇数，则， 整理得到：②，因为，故， 当时，，故②无解， 当时，有，无解. 当时，有，故. 综上，或. 故答案为：或. 2．已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，可得， 因为函数，，恰有2个零点，由正弦函数图像性质可得 ，从而解得. 故答案为： 3．若函数的图象在上与直线只有两个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以， 令，由已知得在上有两个解， 可知在上有两个解， 由题意得，解得 当时，，不等式组无解. 当时，，得. 当时，，得. 当时，，不等式组无解. 综上，的取值范围是. 故答案为： 4．已知函数()在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，函数（），可得函数的周期为， 因为，可得 又由函数()在区间上有且仅有一个零点， 且满足，且，可得， 即，且， 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以； 当时，，解得，此时解集为空集， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 1．已知函数，若，，且的最小正周期大于等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 由题意，又， 可知直线为函数的一条对称轴，点为函数的一个对称中心， 又最小正周期大于等于，即， 又，故，所以， 则， 故，又， 则有，解得， 又，则． 故选：B. 2．函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，， 故选：C. 3．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，当时，， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以其中，解得， 所以，解得， 又因为，则， 当时，；当时，；当时，． 又因为，所以的取值范围是. 故选：C. 4．函数的部分图象如图所示，若、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，且函数在附近单调递减， 所以，，解得， 又因为，所以，，则， 因为，可得， 所以，， 因为、，则，， 因为，则，所以，， 故. 故选：C. 5．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得，均能满足有意义， 故函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为偶函数，故排除B； 又，所以在上单调递增， 当时，，所以时，， 所以当时，，所以排除A，D； 故选：C. 6．（多选题）已知函数，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】令，可得或； 可得或； 所以， 当时，可得， 当时，可得， 当时，可得； 故选：ACD 7．不等式在上有解，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 其中， 故在上有解， 令，则， 其中在上单调递增， 故当时，取得最小值， 最小值为， 故，实数m的取值范围是. 故答案为： 8．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】， 要求的单调递增区间，即求的单调递减区间， 令，解得， 令，又，故函数的单调递增区间为． 故答案为：. 9．已知. (1)求函数在上的单调递减区间； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式在上的解集. 【解析】（1）由，结合正弦函数的单调性， 则且，可得，， 所以函数的单调递减区间为，； （2）由题设，则，所以； （3）由题设，且， 所以，可得. 所以不等式解集为. 10．已知函数的图象经过点，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意可得的最小正周期，则． 又，所以． 因为的图象经过点，所以． 所以，即 又，所以． 故. （2）令，即， 解得或． 因为，所以， 所以． 因为在上有3个零点，所以方程在上有2个不同的实根， 在上有1个实根或在上有1个实根， ，在上有2个不同的实根， 则 解得或． 故的取值范围为． 1．设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】由题得函数在处取得最小值，在处取得最大值， 则的最小值为相邻两条对称轴间的距离， 又最小正周期， 故的最小值为． 故选：B 2．当时，函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，得， 作出，在的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 3．已知函数且），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】关于原点对称的函数为， 所以与的图象交点个数至少有3对， 若，画出与的图象，如下： 显然只有1个交点，不合要求， 若，画出与的图象，如下： 需满足，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A 4．（多选题）已知函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的最大值为 C．在上单调递增 D．方程在上最多有4个解 【答案】BD 【解析】当时，； 当时，，画出函数的大致图象，如图． 由图象可知，函数的图象不关于直线对称，故A错误； 的最大值为，故B正确； 在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 当时，方程在上有4个解，故D正确． 故选：BD． 5．（多选题）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若函数为偶函数，则 B．若时，且在上单调，则 C．若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则 D．若函数在上至少有两个最大值点，则 【答案】BD 【解析】对于A项，要使函数为偶函数，则， 则，故A项错误； 对于B项，时，， 因为，所以， 因为在上单调，所以有，解得，故B项正确； 对于C项，由题意，则或， 则或， 所以相邻交点最小的距离为，最大距离为. 由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于，相邻五个交点之间的最小距离不小于， 所以，且， 所以，故C项错误； 对于D项，， 故，所以，所以. 因为，所以. 由于，所以， 则，解得； ②，解得； ③，解得； ④当时，，满足在上至少有两个最大值点； 综上所述，. 故选：BD. 6．已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 【答案】/1.8 【解析】设的最小正周期为，且， 因为在上单调，则，可得， 又因为，且，可知为的对称中心， 不妨设，如图所示： 依次讨论对应为点，A，，种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多， 若对应为点，则为的对称轴， 且，则，，满足， 且此时为最小值，所以取值的最大值为． 故答案为：. 7．在平面直角坐标系中，我们把函数上满足（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”. (1)写出当时，函数图象上的正格点坐标； (2)若函数与函数的图象有正格点交点，求的值. (3)对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，所以，， 所以函数的正格点为，，. （2）根据题设，可得两个函数大致图象如下， 函数，，与函数的图象只有一个“正格点”交点. ∴，则，又，可得. （3）由（2）知，，则， 所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，如下图知， 由，解得， 综上，实数的取值范围为. 8．设函数（A，，为常数，且，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由图得，， 所以，故， 所以， 将代入得， 所以， 又，所以，所以. （2）因为，所以，所以， 所以，令， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，又， 所以函数在上单调递增， 所以当时，有， 所以，即. 9．已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或. （2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. （3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 1．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 2．（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 5．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$