专题11 同角三角函数关系及诱导公式的深度探索（11大题型）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（苏教版2019）

专题11 同角三角函数关系及诱导公式的深度探索 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（11大题型） 题型一：诱导公式的运用技巧 题型二：利用诱导公式进行广义余角拆分 题型三：诱导公式在广义补角拆分中的应用 题型四：函数奇偶性与诱导公式的融合 题型五：利用诱导公式求函数和 题型六：含参数的正余弦平方和求解 题型七：正余弦平方关系的化简与数值求解 题型八：一元二次方程的正余弦型根探讨 题型九：正余弦对偶式子的求解方法 题型十：正切齐次型的求解策略 题型十一：平方构造型齐次式的求解思路 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、“”方程思想知一求二． 诱导公式的运用技巧 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，则， . 故选：C. 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以. 故选：B. 3．在平面直角坐标系中，在在角终边上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 所以. 故选：B 4．已知 ，且为第二象限角,，则的值为（    ） A．－ B．－ C． D．－ 【答案】C 【解析】因为，且为第二象限角，所以， 则 故选:C. 利用诱导公式进行广义余角拆分 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则. 故选：D. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 所以， 故选：D. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得. 故选：D 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A. 诱导公式在广义补角拆分中的应用 1．已知，且，则 ． 【答案】/ 【解析】. ，， ，则， ． 故答案为：. 2．已知，则 ， ． 【答案】 【解析】由题意，因为， 所以， . 故答案为：①，②. 3．已知，则 ． 【答案】－m 【解析】由 ． 故答案为：． 4．已知，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 函数奇偶性与诱导公式的融合 1．已知函数，其中a，b，c为常数，若，则c＝（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴， 又， ∴，即，解得． 故选：C 2．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β为非零常数.若f(2006)＝－1，则f(2007)等于（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】 . 故选：. 3．已知函数，函数，若函数与图象的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以，所以，所以，即，即关于对称，因为，所以，所以，即关于对称，则函数与图象的交点关于对称，不妨设关于点对称的点的坐标为，，，， 则， 则，， 同理可得，，， ，， 所以． 故选：． 4．已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得的图象关于对称， 同时函数也关于对称， 则函数与图象的交点关于对称， 则不妨设关于点对称的坐标为，，则，， 则，， 同理可得：，，，， 即， 故选：． 利用诱导公式求函数和 1．计算 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ， ……， 设，则 ， 所以 所以 所以， 故选. 2．若，则 . 【答案】 【解析】，， 因此，. 故答案为：. 3．已知，则 ． 【答案】 【解析】， 的周期为， ， 则 . 故答案为：. 含参数的正余弦平方和求解 1．已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】由可得或， 由于为第二象限角，所以， 故当时，不符合要求， 则符合要求， 故选：D 2．若，且的终边不落在坐标轴上，则的值为（    ） A． B．或0 C．0 D．以上答案都不对 【答案】A 【解析】，， 由， 解得或； 因为的终边不落在坐标轴上，所以，解得：且， 所以； ，，. 故选：A. 3．已知且α为第二象限角，则m的允许值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】或 因为α为第二象限角，所以，因此 故选：C 4．已知，， 其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 解得或， 当时，，，不满足， 当时，，，满足， . 故选：D. 正余弦平方关系的化简与数值求解 1．已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，，可得或（舍）， 又，则. 故选：C 2．方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得：， 解得：，所以. 故选：B. 3．方程的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， 或， 或. 综上所述，方程的解集为. 故选：D 4．设为定义在上的函数，满足，则函数的解析式为 ． 【答案】（也可） 【解析】由得， 由得， 又， 即，又， 故，即 故答案为: 一元二次方程的正余弦型根探讨 1．若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用一元二次方程的根与系数的关系和三角函数的基本关系式，即可求得实数的值.因为，是方程的两根， 可得，所以， 解得， 又方程有实根，则，解得或， 综上可得，实数的值为. 故选：B. 2．若是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，得或. 由韦达定理得且， 所以，所以，即， 可得，又或，所以. 故选：A 3．已知，是关于x的方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：，是关于x的方程的两个根 ∴，解得或 ∵， ∴ 即，解得：，(舍去) 故选：A 4．已知，是关于的方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，解得或． 又，， ∴，解得， 又或．∴． 故选：C． 正余弦对偶式子的求解方法 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：，整理得， 且，可得， 即，可得， 因为，可得， 所以. 故选：D. 2．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 即，所以， 所以，得， 解得或， 因为，且， 所以，所以，所以. 故选：. 3．已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，解得， 对于A，，则，，A正确； 对于D，，D正确； 对于B，由，，得，B错误； 对于C，，C正确. 故选：B 4．已知，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由， ，即， ，为钝角， ，， ， ， 则， ，， 则. 故选：B. 正切齐次型的求解策略 1．已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】因为， 所以. 故选：C. 2．已知，且为第三象限角，则（    ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 【答案】A 【解析】易知， 整理可得，解得或， 又为第三象限角，可得，即，（舍去）； 故选：A 3．已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 【答案】C 【解析】 故选：C. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故. 故选：D 平方构造型齐次式的求解思路 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， ∴，即， ∴，解得， ∴， 故选：B． 2．已知为象限角，且满足，则（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【解析】为象限角，则 . 由两边平方得：. 即，所以. 所以. 故选：A 3．已知，求的值． 【解析】由题意，设，则， 若时，，则，显然不成立，故， 则，与联立可得，， 当时，，即，不满足题意； 当时，则，， 则， 整理得． 解得：， 故． 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故， 则，则， 又， 又， 故原式． 故选：D. 3．（多选题）已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，则，对于A，， 可得，A正确； 对于B，由A可知，，则， 所以，则，B正确； 对于C，可得则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 4．已知为锐角，且，，则 . 【答案】/ 【解析】由， 可得，即①． 由， 可得②． ①②得， ∴，即． ∵，∴， 又为锐角，∴． 故答案为：． 5．若，，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，即， 且， 整理可得，解得或， 且，则，可得，， 所以. 故答案为：. 6．已知角的终边经过点. (1)求，的值； (2)求的值. 【解析】（1）由题意，角的终边经过点，设， 所以，. （2）由（1）可得， 由诱导公式可知，， 将上式分子分母同时除以可得. 7．（1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 【解析】（1）由角的终边经过点，可知， 则. （2）由，化简得， 因此， 所以. 8．（1）已知，求的值； （2）若、是方程的两个根，求的值. 【解析】（1）因为，则 ； （2）因为、是方程的两个根， 则，可得， 由韦达定理可得，， 因为， 所以，，解得，合乎题意，故. 9．已知． (1)若角的终边过点求； (2)若，求的值． 【解析】（1）， 若角终边过点，则，所以； （2）若，则， 所以． 1．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）因为 ，所以 . 又因为 且 ， 所以 ， 所以 . （2）. 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，又，，则， 所以. 故选：A 3．（多选题）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，将两边同时平方可得， 因为，所以，该选项正确； 对于B，因为，，所以， 则，所以，该选项错误； 对于C，因为，，联立可求得， 则，该选项正确； 对于D，根据立方和公式可得，该选项正确； 故选：ACD. 4．已知关于的方程的两个根分别为和，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值. 【解析】（1）因为和是方程的两个根，所以， 原式. （2）因为，所以， 所以，解得. （3）由（2）可知，，所以方程为，其两根为， 所以或，又因为，所以或. 5．已知，求． 【解析】由题意得， ∴， 化简得，解得． 6．已知. (1)求的值； (2)若是方程的两个根，求的值. 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 解得； （2）因为是方程的两个根， 所以， ， 又， . 7．在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求出的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 【解析】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，则， 所以，且为锐角，可得； （2） ； （3）由（1）可知， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以. 所以 . 8．在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点.将角的终边按逆时针方向旋转得到角. (1)求； (2)求的值. 【解析】（1）由条件可知，，且，则， 所以，， ； （2），， 原式. 1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 2．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则 ． 【答案】 【解析】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 4．（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则 ， ． 【答案】 【解析】直接用同角三角函数关系式解方程 ∵，∴，即， 又，将代入得，解得， 则. 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 同角三角函数关系及诱导公式的深度探索 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（11大题型） 题型一：诱导公式的运用技巧 题型二：利用诱导公式进行广义余角拆分 题型三：诱导公式在广义补角拆分中的应用 题型四：函数奇偶性与诱导公式的融合 题型五：利用诱导公式求函数和 题型六：含参数的正余弦平方和求解 题型七：正余弦平方关系的化简与数值求解 题型八：一元二次方程的正余弦型根探讨 题型九：正余弦对偶式子的求解方法 题型十：正切齐次型的求解策略 题型十一：平方构造型齐次式的求解思路 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、“”方程思想知一求二． 诱导公式的运用技巧 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，在在角终边上，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知 ，且为第二象限角,，则的值为（    ） A．－ B．－ C． D．－ 利用诱导公式进行广义余角拆分 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 诱导公式在广义补角拆分中的应用 1．已知，且，则 ． 2．已知，则 ， ． 3．已知，则 ． 4．已知，则 ． 函数奇偶性与诱导公式的融合 1．已知函数，其中a，b，c为常数，若，则c＝（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 2．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β为非零常数.若f(2006)＝－1，则f(2007)等于（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．已知函数，函数，若函数与图象的交点为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 利用诱导公式求函数和 1．计算 A． B． C． D． 2．若，则 . 3．已知，则 ． 含参数的正余弦平方和求解 1．已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 2．若，且的终边不落在坐标轴上，则的值为（    ） A． B．或0 C．0 D．以上答案都不对 3．已知且α为第二象限角，则m的允许值为（    ） A． B． C． D．或 4．已知，， 其中，则（    ） A． B． C． D． 正余弦平方关系的化简与数值求解 1．已知，则cos θ的值是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解集为（    ） A． B． C． D． 3．方程的解集是（    ）． A． B． C． D． 4．设为定义在上的函数，满足，则函数的解析式为 ． 一元二次方程的正余弦型根探讨 1．若，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，是关于x的方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．已知，是关于的方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 正余弦对偶式子的求解方法 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D．或 正切齐次型的求解策略 1．已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 2．已知，且为第三象限角，则（    ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 3．已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 平方构造型齐次式的求解思路 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知为象限角，且满足，则（    ） A． B．6 C． D． 3．已知，求的值． 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知，，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知为锐角，且，，则 . 5．若，，则 ． 6．已知角的终边经过点. (1)求，的值； (2)求的值. 7．（1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 8．（1）已知，求的值； （2）若、是方程的两个根，求的值. 9．已知． (1)若角的终边过点求； (2)若，求的值． 1．已知． (1)求的值； (2)求的值． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于的方程的两个根分别为和，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值. 5．已知，求． 6．已知. (1)求的值； (2)若是方程的两个根，求的值. 7．在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求出的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 8．在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点.将角的终边按逆时针方向旋转得到角. (1)求； (2)求的值. 1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则 ． 4．（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则 ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$