精品解析：辽宁省沈阳市皇姑区2024-2025学年 上学期九年级期末考试数学试卷

2024-2025学年度九年级（上）期末质量监测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列判断错误的是（ ） A. 有两组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一角为直角的平行四边形是矩形 C. 矩形的对角线互相平分且相等 D. 对角线互相垂直且相等平行四边形是正方形 5. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 平分 D. 8. 商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度，如图，将长度与旗杆高度相同的拉绳拉到如图的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断： ①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第二部分非 选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知：一元二次方程有一个根为2，则另一根为_______． 12. 辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是__________． 13. 如图，小明用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，矩形硬纸片的面积为，则矩形影子的面积为________． 14. 如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为BD的中点，则∠AMP的度数为_______ 15. 如图，在边长为2的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，线段是某公园的一圆形桌面的主视图，线段是在路灯下的影子，线段表示旁边一圆形凳子的主视图． （1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不写作法，保留画图痕迹）； （2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子的长为，求路灯O与地面的距离． 18. 如图，点E是矩形中边上一点，将沿着翻折，点C恰好落在上的点F处． （1）求证：； （2）若，，求长． 19. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为每件120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元． （1）每天可销售　　　　　件，每件盈利　　　　　元（用含x的代数式直接填空）； （2）当平均每天盈利1200元时，求x的值． （3）设平均每天可盈利y元，求y的最大值． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为. （1）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点在线段上，且，求点的坐标. 21. 图是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图的滑板车或图的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． （1）如图，当支撑点在水平线上时，直接写出的长； （2）如图，当与保持平行时，求前后两轴心的长度． （参考数据：，，） 22. 数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，正方形，连接，点E在边上，点F在边上，连接，过点B作于点G，分别交线段于点M，点N，且． 各学习小组探究过程中依次提出了以下问题，请你写出解答过程： （1）“智慧小组”提出问题： 三条线段的长度间存在某种等量关系，请你直接写出这种关系； （2）“善思小组”提出问题： 求证：； （3）“创新小组”在探究中受到启发，提出问题：如图②，若，求的值． 23. 已知是自变量x函数，当时，称函数为函数的“k倍函数”． 例如：函数，当时，则函数是函数的“3倍函数”． （1）函数的“5倍函数”是　　　　　（直接填空）； （2）求的“k倍函数”与x轴的交点坐标； （3）如图①是函数和它的“2倍函数”的图像，在的“2倍函数”图像上有一点A，作轴于点D，交函数图像于点E，作轴于点B，交函数图像于点C，连接，，求证：； （4）在平面直角坐标系中，函数的图像如图②所示，若函数的“k倍函数”的图像与函数的图像交于P，Q两点，与函数的“倍函数”的图像交于G，H两点，且Q，H两点恰好位于x轴上方，当时，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级（上）期末质量监测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： ， 故选A． 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查是锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义得出，代入即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， 故选：D． 3. 已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数的图象位于第二，四象限，可得，求出解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴， 解得． 故选：C． 4. 下列判断错误的是（ ） A. 有两组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一角为直角的平行四边形是矩形 C. 矩形的对角线互相平分且相等 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是特殊平行四边形的判定和性质，分别根据菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、有两组邻边相等，一组对边相等的四边形是菱形，原说法错误，符合题意； B、有一角为直角的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，原说法正确，不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 5. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，一已知概率求数量，解分式方程，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸出黑球的概率为，再由概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近， ∴摸出黑球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：B． 6. 将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据二次函数的图象的平移规律解答即可．对于二次函数可根据“上加，下减，左加，右减”平移． 【详解】将抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得关系式为． 故选：D． 7. 如图，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的性质对A选项、B选项、C选项进行判断；先利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质对D选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴，所以A选项不符合题意； ，所以B选项符合题意； ∵， ∴， ∴平分，所以C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴，所以D选项不符合题意． 故选：B． 8. 商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出形如即可． 【详解】根据题意，得． 故选：B． 9. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度，如图，将长度与旗杆高度相同的拉绳拉到如图的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，先证四边形是矩形，得出，设，则，利用三角函数解即可． 【详解】解：由题意知， 四边形是矩形， ， 设， ， 在中，， 解得， 旗杆的高度为， 故选A． 10. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断： ①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线的开口方向可得，与y轴的交点坐标得，对称轴在y轴的左侧可得，即可解答①；再根据抛物线与x轴交点的个数解答②；然后根据抛物线的对称性可得与时函数值相等解答③；再根据两个点的横坐标与对称轴的距离，结合抛物线的增减性判断④，即可得出答案． 【详解】∵抛物线的开口向上， ∴． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴． ∵抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴， ∴． 则①不正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴． 则②正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴与时函数值相等， 即， ∴当时，． 则③不正确； ∵抛物线的对称轴是，且开口向上， ∴函数有最小值，离对称轴越近函数值越小． ∵， ∴． 则④不正确． 所以正确的有1个． 故选：D． 第二部分非 选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知：一元二次方程有一个根为2，则另一根为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】先把x=2代入一元二次方程，即可求出c，然后根据一元二次方程求解即可． 【详解】把x=2代入得：， 解得：， ， ， 或， ，， 即方程的另一个根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是求出c的值． 12. 辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了树状图法以及概率公式，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图，共有种等可能的结果，符合条件的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：将引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳这五项分别记为、、、、，树状图如下： 共有种等可能的结果，其中某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的结果有种， 某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是：， 故答案为：． 13. 如图，小明用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，矩形硬纸片的面积为，则矩形影子的面积为________． 【答案】100 【解析】 【分析】此题主要考查了位似四边形．熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．根据矩形与矩形位似，证明，得到，得到，根据纸片的面积为，即得． 【详解】∵， ∴， ∴， 由题意，与位似， ∴， ∵， ∴． 故答案为：100． 14. 如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为BD的中点，则∠AMP的度数为_______ 【答案】75° 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=OP，从而得出∠MPO=∠PMO=30°，利用三角形外角性质∠AMP=∠MPO+∠MBP，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴∠ABD=45°，ABCD， ∴∠ABD=∠CDB， ∵OB=OD，∠BOM=∠DON， ∴△OBM≌△ODN， ∴OM=ON， 在Rt△PMN中，∠MPN=90°， ∵O为MN的中点， ∴OP=MN=OM， ∵∠PMN=30°， ∴∠MPO=∠PMN=30°， ∴∠AMP=∠MPO+∠MBP， =30°+45°， =75°， 故答案为：75°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，发现OP=OM是解题的关键． 15. 如图，在边长为2的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为______． 【答案】####1.6 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称在的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键． 如图：过点M作于F，推出的最小值为的长，证明四边形为菱形，然后利用相似三角形的判定和性质求得的长即可． 【详解】解：作点P关于的对称点， 由折叠的性质知是的平分线， ∴点在上， 过点M作于F，交于点G， ∵， ∴的最小值为的长， 连接， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，    ∵， ∴四边形菱形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，涉及绝对值、特殊角三角函数值、零次幂、二次根式的混合运算等知识点： （1）先化简绝对值，计算特殊角三角函数值，零次幂，化简二次根式，再进行乘法和加减运算； （2）先化成一般形式，再利用因式分解法求解． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， 或， 解得，． 17. 如图，线段是某公园的一圆形桌面的主视图，线段是在路灯下的影子，线段表示旁边一圆形凳子的主视图． （1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不写作法，保留画图痕迹）； （2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子的长为，求路灯O与地面的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．也考查了相似三角形的判定与性质． （1）延长、，它们的交点即为路灯O的位置，然后再连接、，并延长交地面于P、Q点，则为的影子； （2）作交于E，如图，，，，证明，利用相似比计算出即可得到路灯O与地面的距离． 【小问1详解】 解：如图，延长、，它们的交点为O点，再连接、，并延长交地面于P、Q点，则为的影子，所以即为所求；         【小问2详解】 解：作交于E，交于F，如图，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：路灯O与地面的距离为． 18. 如图，点E是矩形中边上一点，将沿着翻折，点C恰好落在上的点F处． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． （1）由矩形的性质可知，，由折叠的性质可知，，进而推出，即可证明相似； （2）由矩形和折叠的性质可知，，再由勾股定理，得出，进而得出，然后；利用相似三角形的性质，得到，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质，可知， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴，即， 解得：． 19. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为每件120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元． （1）每天可销售　　　　　件，每件盈利　　　　　元（用含x的代数式直接填空）； （2）当平均每天盈利1200元时，求x的值． （3）设平均每天可盈利y元，求y的最大值． 【答案】（1）， （2）元或元 （3）1250 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的数量”、“每件利润实际售价进价”列式即可； （2）根据“总利润每件利润销售数量”，列方程求解即可． （3）先得到关于的函数解析式，再进行配方即可求解． 【小问1详解】 解：当每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得： ， 解得：，， 答：每件童装降价元或元时，平均每天盈利元． 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵， ∴当时，取得最大值为1250元． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为. （1）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （2）求这两个函数的表达式； （3）点在线段上，且，求点的坐标. 【答案】（1）或；（2），；（3） 【解析】 【分析】(1) 观察图象得到当或时，直线y=k1x+b都在反比例函数的图象上方，由此即可得； (2)先把A(-1，4)代入y=可求得k2，再把B(4，n)代入y=可得n=-1，即B点坐标为(4，-1)，然后把点A、B坐标分别代入y=k1x+b得到关于k1、b的方程组，解方程组即可求得答案； (3)设与轴交于点，先求出点C坐标，继而求出，根据分别求出，，再根据确定出点在第一象限，求出，继而求出P点的横坐标，由点P在直线上继而可求出点P的纵坐标，即可求得答案. 【详解】(1)观察图象可知当或，k1x+b>； (2)把代入，得， ∴， ∵点在上，∴， ∴， 把，代入得 ，解得， ∴； (3)设与轴交于点， ∵点在直线上，∴， ， 又， ∴，， 又，∴点在第一象限， ∴， 又，∴，解得， 把代入，得， ∴. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用. 21. 图是某种多功能儿童车，根据需要可变形为图滑板车或图的三轮车示意图．已知前后车轮半径相同，车杆的长为，点是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的． （1）如图，当支撑点在水平线上时，直接写出的长； （2）如图，当与保持平行时，求前后两轴心的长度． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意可知，根据三角函数定义即可得到结论； （2）过点作于点，过点作于点，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意可知：，点是的中点，，， ， ， 在中，， ； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点， ， 由题意知， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， 在中，，， 在中，， 由勾股定理得：， ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数，等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 22. 数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，正方形，连接，点E在边上，点F在边上，连接，过点B作于点G，分别交线段于点M，点N，且． 各学习小组在探究过程中依次提出了以下问题，请你写出解答过程： （1）“智慧小组”提出问题： 三条线段的长度间存在某种等量关系，请你直接写出这种关系； （2）“善思小组”提出问题： 求证：； （3）“创新小组”在探究中受到启发，提出问题：如图②，若，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据两组对角相等，证明，可得； （2）作于点H，根据正方形的性质证明是等腰直角三角形，推出；再证，推出，，可证； （3）过点M作且，连接，设，，，结合（1）中结论推出，，进而可得，再证，根据得出，等量代换得出，代入计算求出即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， 又四边形是正方形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，作于点H， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ； ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，即， ； 【小问3详解】 解：如图，过点M作且，连接， ， 设，， 由（1）知，， 设， ， ， ， ； 四边形是正方形，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即， 化简得：， 解得（负值舍去）， ． 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，求角的正切值，等腰直角三角形的判定和性质，正确添加辅助线，熟练进行等量代换是解题的关键． 23. 已知是自变量x的函数，当时，称函数为函数的“k倍函数”． 例如：函数，当时，则函数是函数的“3倍函数”． （1）函数的“5倍函数”是　　　　　（直接填空）； （2）求的“k倍函数”与x轴的交点坐标； （3）如图①是函数和它的“2倍函数”的图像，在的“2倍函数”图像上有一点A，作轴于点D，交函数图像于点E，作轴于点B，交函数图像于点C，连接，，求证：； （4）在平面直角坐标系中，函数的图像如图②所示，若函数的“k倍函数”的图像与函数的图像交于P，Q两点，与函数的“倍函数”的图像交于G，H两点，且Q，H两点恰好位于x轴上方，当时，求k的值． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据“k倍函数”的定义进行解答即可； （2）先求出的“k倍函数”解析式，然后将代入函数解析式求出与x轴的交点坐标即可； （3）根据的“2倍函数”解析式为，设点A的坐标为：，得出，，求出，得出，从而求出，即可证明结论； （4）先求出的“k倍函数”解析式为：，求出，，再得出的“倍函数”解析式为：，求出，H点横坐标为，根据，得出点Q为的中点，根据中点坐标公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：函数的“5倍函数”是； 【小问2详解】 解：的“k倍函数”解析式为：， 把代入得：， ∵， ∴， ∴的“k倍函数”与x轴的交点坐标为； 【小问3详解】 解：∵函数的“2倍函数”解析式为， ∴设点A的坐标为：， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：的“k倍函数”解析式为：，当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴函数过定点， ， 由得： ， 即， ∴，， 把代入得：， ∴，， 又的“倍函数”解析式为： ， 由得：， 即， ∴，， ∴，H点横坐标为， ∴、G两个点重合，如图所示： 当时，， ∴点Q为的中点， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数和二次函数的交点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$