第12讲 解一元一次不等式组（4个知识点+8大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版2024）

第12讲 解一元一次不等式组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握一元一次不等式组的定义； 2.掌握解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示； 3.会运用一元一次不等式组解决简单的实际问题。 知识点01 一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点02 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点03 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点04 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 考点一：一元一次不等式组的定义 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 考点二：求一元一次不等式组的解集 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______． (2)解不等式②，得______． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）求出不等式的解集即可； （2）求出不等式的解集即可； （3）在数轴上表示出不等式组的解集即可； （4）根据数轴写出不等式组的解集． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：不等式组的解集在数轴上表示如下： （4）解：不等式组的解集为：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）解下列不等式组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、不等式的性质 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式的性质，根据不等式的性质进行变形是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 考点三：求一元一次不等式组的整数解 例题：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的整数解有 个． 【答案】4 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握求一元一次不等式组的整数解的一般步骤是解题的关键：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 按照求一元一次不等式组的整数解的一般步骤进行计算即可，即：先求出不等式组的解集，再从解集中找出所有整数解． 【详解】解：， 由解得：， 由解得：， 不等式组的解集为：， 它的整数解有：，，，，共个， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的整数解是 ． 【答案】，，， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的整数解，掌握“解一元一次不等式组的方法与步骤”是解本题的关键．先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，再确定整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，，． 故答案为：，，，． 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组的正整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查不等式组的正整数解，熟练掌握解不等式的运算法则是解题的关键．根据题意求出不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， 故不等式的解集为， 故不等式组的正整数解是． 故答案为：． 考点四：解一元一次不等式组中错解复原问题 例题：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组，的部分过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①，得． 去分母，得． 第一步 移项、合并同类项，得． 第二步 系数化为1，得． 第三步 …… 任务一： 上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______； 任务二：请你写出解此不等式组的正确过程． 【答案】任务一：三；不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变；任务二：． 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤成为解题的关键． 任务一：根据解一元一次不等式的步骤以及等式的基本性质即可解答； 任务二：先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可 【详解】任务一： 解：第三步出现了错误，不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变； 故答案为：三；不等式的两边同时除以时不等号的方向未改变 任务二： 解：由①得，， ， ， ； 由②得：即； 所以原不等式组的解集为． 【变式训练】 1．（2024·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得．………………第一步 去括号，得．…………………………第二步 移项，得．………………………… 第三步 合并同类项，得．…………………………………第四步 系数化为1，得．…………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________； （2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （1）解不等式②得___________________； （2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________． 【答案】任务一：（1）不等式的性质；（2）三，移项没变号； 任务二：（1）；（2），在数轴上表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 任务一：（1）根据不等式的性质作答即可； （2）根据移项可判断第三步错误； 任务二：（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解①，从而得解． 【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质； （2）第三步开始出现错误，错误的原因是移项没变号， 故答案为：三，移项没变号； 任务二：解不等式②：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：； （2）由①去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，如图： 故不等式组的解集为：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 【答案】任务一：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；任务二：，1；任务三：不唯一，如不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；去分母时不要漏乘；移项要变号 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解．熟练掌握不等式的性质，解一元一次不等式组是解题的关键． 根据不等式的性质以及解一元一次不等式（组）的步骤，判断、求解、作答即可． 【详解】任务一：解：小明的解答过程中，第2步是依据乘法分配律进行变形的；第5步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 任务二：解：， ， ， 解得， 解不等式①得，， ∴不等式组的解集为， ∴这个不等式组的整数解是1， 故答案为：，1； 任务三：解：由题意知，①不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；②去分母时不要漏乘；移项要变号． 考点五：由一元一次不等式组的解集求参数 例题：（23-24九年级上·浙江·期末）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式组有且仅有个整数解，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，由关于的不等式组有且仅有个整数解，得出关于的不等式组，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 关于的不等式组有且仅有个整数解， 整数解为，，， ， ． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了根据不等式组无解的求参数，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．分别解不等式组的两个不等式，结合该不等式组无解，可得关于的不等式，，然后求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 解不等式②，可得 ， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 考点六：一元一次不等式组和方程组结合的问题 例题：（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可； 【详解】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，且，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】先解方程组得出，然后根据得出，解关于k的不等式组即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是根据方程组求出，得出关于k的不等式组． 2．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】3 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、由不等式组解集的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是， ∴， 由方程可得， ∵关于y的方程有正整数解， ∴或或， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键． 考点七：列一元一次不等式组 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过3600元，可列， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列， 即可列不等式组为． 故选C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 考点八：用一元一次不等组解决实际问题 例题：（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答． （2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 (2)有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进甲型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程或不等式是解答的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为元，根据“买5套甲型号和10套乙型号共用1100元”列方程求解即可； （2）设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝”套，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为a元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为元， 根据题意，得， 解得， ， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元； （2）解：设购进甲型号“文房四宝”x套，则购进乙型号“文房四宝”套， 根据题意，得， 解得，又x为正整数， ∴x可取31或32， ∴有两种购买方案，方案一：购进甲型号“文房四宝”31套，乙型号“文房四宝”89套；方案二：购进甲型号“文房四宝”32套，则购进乙型号“文房四宝”88套． 2．（24-25八年级上·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 【答案】(1)A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个 (2)该商店第二次有3种批发方案 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A,B两种头盔共120个，用去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据“批发A种头盔不高于76个，第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，求出m的值再判断即可． 【详解】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得： ， 解得：， 答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个； （2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得， ， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为72，74，76， ∴该商店第二次有3种批发方案． 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）不等式组的最大整数解是（   ） A．5 B．4 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，此题考查了一元一次不等式组的整数解，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴最大整数解是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由不等式组， 解不等式，可得， 解不等式，可得， ∴不等式组的解集为， ∴在数轴上表示为：． 故选：C． 3．（2023·四川达州·模拟预测）若关于的不等式组仅有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】此题考查一元一次不等式组的解法．解题关键在于注意分析不等式组的解集的确定．此题需要首先解不等式，根据整数解的情况确定a的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵此不等式组仅有3个整数解， ∴这3个整数解为0，1，2， ∴a的取值范围是． 故选：A． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】一元一次方程解的关系、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，学会根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数的值以及是自然数的条件即可解答． 【详解】解：由，解得， 方程的解为自然数， ， 解得：， 把整理得：， 不等式组无解， ， ，即整数， 是自然数， 或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：C． 二、填空题 6．（2025·河南·模拟预测）不等式组的解集是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，首先分别求出两个不等式的解集，把它们的解集表示在数轴上，从数轴上找到它们的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 把它们的解集表示在数轴上，如下图所示： 不等式组的解集是． 故答案为： ． 7．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先求出不等式的解集为，结合题意得出整数解为3、4、5，从而即可得出a的取值范围． 【详解】解：解得：， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组恰好有3个整数解， ∴整数解为3、4、5， ∴， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组和不等式的解法是解题关键．将方程组内两个方程相加，整理得，再代入不等式组求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 得：， ， ∵， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解以及解一元一次不等式组，解不等式组得，结合原不等式组的所有整数解的和是，即可得出a的取值范围． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴． 因为当时，能取到的负整数为，且不等组所有整数解的和是， 所以不等式组的整数解为或和0， 所以， 解得． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次不等组和二元一次方程组，及其整数解，熟练掌握解一元一次不等组和二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】由不等式组 可得， ∵关于x的不等式组有且只有四个整数解， ∴这四个整数解为： ， 解得：， 由 可得， ∵关于x、y的二元一次方程组有整数解， ∴或， ∴符合条件的所有m的和是 故答案为： 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）解不等式组： 【答案】． 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组．分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则求出其公共解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为． 12．（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组和利用数轴表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先求不等式的解集，再表示在数轴上； （2）先求不等式组的解集，再表示在数轴上． 【详解】（1）解： ， 不等式的解集在数轴上表示如下： （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）解不等式组并将解集在数轴上表示出来． （2）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】（1）；数轴见解析；（2） 【知识点】求不等式组的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先求出每一个不等式的解集，然后确定其公共部分，最后在数轴上表示即可； （2）先求出二元一次方程组的解集，代入，求解即可． 【详解】解：（1）， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为： 在数轴上表示解集如下所示： （2）由关于x，y的方程组得： 得：， ∵， ∴， 解得：． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法． 解不等式组得出其解集为，根据不等式组有且只有三个整数解得出，解之可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有三个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 15．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．            第一步 解，得．                               第二步 由不等式②，得．                   第三步 移项，得．                        第四步 解，得                                  第五步 所以，原不等式组的解集是．            第六步 任务一： (1)小明的解答过程中，第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (2)第三步的依据是____________； 任务二： (3)直接写出这个不等式组正确的解集是____________． 【答案】(1)一，去括号时括号内的1没有与3相乘 (2)不等式的性质 (3) 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法及一般步骤，利用找不等式组的解集的规律得出解集是解题的关键． （1）根据解不等式组的方法及一般步骤即可判断上述解题过程． （2）根据解不等式组的方法及一般步骤即可求解． （3）分别解出不等式①和②的解集，再利用找不等式组的解集的规律即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 小明的解答过程中，第一步开始出现错误，则错误的原因是：去括号时括号内的1没有与3相乘， 故答案为：一，去括号时括号内的1没有与3相乘． （2）第三步的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质． （3）由不等式①，得， 解，得， 由不等式②，得，解得， ∴原不等式组的解集为：． 16．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）为迎接培圣校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． (1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ (2)现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案． 【答案】(1)甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元 (2)一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元，根据3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，购买1套甲模型和2套乙模型共需80元列出方程组求解即可； （2）设购买甲种模型m套，则购买乙种模型套，根据总费用不超过1220元且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元； （2）解：设购买甲种模型m套，则购买乙种模型套， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为28或29或30， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套． 17．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）求出、满足方程组的解，再代入即可求出的值； （2）先求出的解，根据方程的解满足的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出的范围； （3）由题意可得，再由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：关于、的方程组的解也是方程的解， 、满足方程组， 解得， 把代入得， ， 解得； （2）， ①②得， 所以，， ①②得， 所以，， 故方程组的解为， ， ， 解得； （3），， ， ， ， ． 18．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 解一元一次不等式组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握一元一次不等式组的定义； 2.掌握解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示； 3.会运用一元一次不等式组解决简单的实际问题。 知识点01 一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 知识点02 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 知识点03 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点04 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 考点一：一元一次不等式组的定义 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　) ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：求一元一次不等式组的解集 例题：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______． (2)解不等式②，得______． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是______． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川成都·期中）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来 (1)； (2)． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）解下列不等式组． (1) (2) 考点三：求一元一次不等式组的整数解 例题：（2025九年级下·全国·专题练习）不等式组的整数解有 个． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的整数解是 ． 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组的正整数解是 ． 考点四：解一元一次不等式组中错解复原问题 例题：（2024九年级下·山西·专题练习）下面是小李解不等式组，的部分过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①，得． 去分母，得． 第一步 移项、合并同类项，得． 第二步 系数化为1，得． 第三步 …… 任务一： 上述解不等式①的过程第______步出现了错误，其原因是______； 任务二：请你写出解此不等式组的正确过程． 【变式训练】 1．（2024·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得．………………第一步 去括号，得．…………………………第二步 移项，得．………………………… 第三步 合并同类项，得．…………………………………第四步 系数化为1，得．…………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________； （2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （1）解不等式②得___________________； （2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________． 2．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 考点五：由一元一次不等式组的解集求参数 例题：（23-24九年级上·浙江·期末）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川成都·期中）若关于x的不等式组有且仅有个整数解，则实数的取值范围为 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 考点六：一元一次不等式组和方程组结合的问题 例题：（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，且，则k的取值范围是 ． 2．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 考点七：列一元一次不等式组 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 考点八：用一元一次不等组解决实际问题 例题：（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问哪有几种购买方案？ 2．（24-25八年级上·广东江门·开学考试）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）不等式组的最大整数解是（   ） A．5 B．4 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·全国·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·四川达州·模拟预测）若关于的不等式组仅有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 二、填空题 6．（2025·河南·模拟预测）不等式组的解集是 ． 7．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）若整数m使得关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于x、y的二元一次方程组有整数解，则符合条件的所有m的和是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）解不等式组： 12．（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1) (2) 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）解不等式组并将解集在数轴上表示出来． （2）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 15．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．            第一步 解，得．                               第二步 由不等式②，得．                   第三步 移项，得．                        第四步 解，得                                  第五步 所以，原不等式组的解集是．            第六步 任务一： (1)小明的解答过程中，第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (2)第三步的依据是____________； 任务二： (3)直接写出这个不等式组正确的解集是____________． 16．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）为迎接培圣校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． (1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ (2)现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案． 17．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 18．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$