第02讲 解一元一次方程（3个知识点+8大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版2024）

第02讲 解一元一次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 掌握等式的性质及其应用． 2. 掌握一元一次方程移项、去括号、去分母的方法． 知识点01 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 知识点02 一元一次方程的解法 ◆合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. ◆移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. ◆去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. ◆去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 知识点03 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 考点一：等式的基本性质 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【知识点】等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断，即得． 【详解】解：A、， 等号两边都减y加3， 得， 故本选项正确， 符合题意； B、， 当时，， 故本选项错误， 不符合题意； C、， 当时， ， 故本选项错误， 不符合题意； D、， 两边都乘以2， 得， 故本选项错误， 不符合题意． 故选：A． 2.（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 考点二：解一元一次方程--合并同类型与移项 例题：（23-24七年级上·江西宜春·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等． （1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1； （2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1． 【详解】（1）移项得， 合并同类项得； （2）移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·四川凉山·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题概念． （1）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （4）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）（2）（3）先移项，合并同类项，再系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，移项，合并同类项，据此即可作答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （2）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （3）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （4）解： 去分母，得 移项，得， 合并同类项，得， 考点三：解一元一次方程--去括号 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （3）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1，根据步骤求解各题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可． 【详解】（1） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （2） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （3） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （4） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 3.（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （3）逐步去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； 掌握解方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ． 考点四：解一元一次方程--去分母（整数） 例题：（23-24七年级上·四川遂宁·期末）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 去分母， 去括号， 移项，合并同类项， 化系数为1，． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）解方程∶ 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 2.（23-24七年级上·天津·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 3.（23-24七年级下·重庆·开学考试）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】解：（1）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，． 考点五：解一元一次方程--去分母（小数） 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可解决． 【详解】解：， 原方程化为：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 【变式训练】 1.（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．先化整，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 方程整理得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 2.（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：； 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解含绝对值的方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可； 【详解】解：， 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：； 3.（24-25七年级上·重庆·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据比例的基本性质可得，即可求解； （2）先去分母，合并同类项，然后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 考点六：一元一次方程的错解复原问题 例题：（23-24七年级上·宁夏银川·期末）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ，（第四步） ．（第五步） (1)任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________． (2)任务二：请直接写出该方程的解． 【答案】(1)①等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）；②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案； ②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立， 故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立； ②第二步开始出现错误， 原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （2）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 【变式训练】 1.（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． (1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； (2)请尝试解方程． 【答案】(1)有错误，见解析 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）去分母的时候方程的右边没有乘上6，去括号后，两个括号的后一项漏乘，更正后再根据解一元一次方程的基本步骤进行解题，即可作答． （2）根据解一元一次方程的基本步骤可得答案． 本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 【详解】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得； （2）解：， ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 2.（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得    第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 【答案】(1)去分母 (2)三 (3)见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母， 故答案为：去分母； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号， 故答案为：三； （3）解： 两边同乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同除以2，得． 3.（2024·宁夏吴忠·一模）以下是小明解方程的解答过程． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 (1)以上过程中是从第______步开始出错的． (2)第一问中出现错误的原因____________． (3)写出这个方程的正确解答过程． 【答案】(1)一 (2)去分母的时候方程右边没有乘以6 (3)，过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6； （2）由（1）可得答案； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6； 故答案为：一； （2）解：由（1）得出现错误的原因为去分母的时候方程右边没有乘以6， 故答案为：去分母的时候方程右边没有乘以6； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 考点七：利用一元一次方程同解问题求解 例题：（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案． 【详解】解： 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为： 【变式训练】 1.（23-24六年级上·山东泰安·期末）若方程与的解相同，则a的值为 ． 【答案】8 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，将其代入中，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：8． 2.（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程和有相同的解，则 ． 【答案】/ 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 解方程，把方程的解代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值． 【详解】解：解方程得：， 把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 3.（23-24七年级下·福建泉州·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号， 移项合并得， 解得得， 解， 移项合并得：， 解得， 由题意得：， 解得． 故答案为：． 考点八：一元一次方程整数解问题 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【答案】2或3或4或7 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南洛阳·期末）若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 【答案】，0和1 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 要为的倍数， 或或． 故答案为：，0和1． 2.（23-24七年级下·重庆·期中）关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可． 【详解】解： 解为整数， 或或或， 则所有整数的和为， 故答案为：． 3.（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 方程的解是非负整数， ∴为1或2或5或10， 的值为或或或4， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查解一元一次方程，将方程系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 系数化为1，得． 故选：A 2．（24-25七年级上·广西柳州·阶段练习）把方程去分母后，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1．方程两边同乘以8去分母得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程去分母，得， 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、如果，那么，因此选项不符合题意； 、如果，那么，因此选项符合题意； 、如果，，那么，因此选项不符合题意； 、如果，那么，因此选项不符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列方程变形中，正确的是（   ） A．方程，移项得 B．方程，系数化为1得 C．方程，去括号得 D．方程，去分母得 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．注意移项要变号，即可判断A选项，系数化1的时候，方程两边同时除以，即可判断B选项，注意去括号时，括号前是负号，则括号内各项要变号，即可判断C选项，去分母的时候，方程两边同时乘上6，即可判断D选项． 【详解】解：A、方程，移项得，故该选项不符合题意； B、方程，系数化为1得，故该选项不符合题意； C、方程，去括号得，故该选项符合题意； D、方程，去分母得，故该选项不符合题意； 故选：C 5．（2017·吉林长春·一模）新定义对于实数、，规定，若，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】此题考查了一元一次方程，掌握新定义的计算公式和解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据新定义原式得出，再进行求解即可． 【详解】解：∵新定义， ∴可化为： ， ， 解得：． 故选：D． 二、填空题 6．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）有下列变形：若，则；若，则；若，则；若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 【答案】 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，解决本题的关键是根据等式的两边同时乘以同一个数或除以同一个不为的数等式仍成立进行判断． 【详解】解：若，根据等式的基本性质可得：，故正确； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若，当时，成立，当时不成立，故错误； 若，则，根据等式的基本性质成立，故正确． 故答案为： ． 7．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）若单项式与的和仍是单项式，则方程的解是 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了同类项，解一元一次方程，根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同，求出m，n的值，然后代入方程进行计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴ ∴方程为 解得： 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）已知方程的解与关于x的方程的解相同， ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题，先求出方程的解，再代入，即可求出的值，进行作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得； ∵方程的解与关于x的方程的解相同， ∴把代入， 得， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）定义一种新的运算“”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，，比如：，则方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解新运算，正确建立方程是解题关键．根据新运算的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）关于的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键； 利用解一元一次方程的一般步骤解出方程，根据题意求出的值，计算即可． 【详解】解： ， 为正整数， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数的和是； 故答案为： 三、解答题 11．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质． （1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】（1） 两边加5，得， 解得． （2）， 两边除以，得， 解得． （3） 两边减2，得， ， 两边除以，得， 得． （4）， 两边加2，得， ， 两边除以4，， 解得． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 13．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 14．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程． （1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：移项得：， 合并得：， 解得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 15．（24-25七年级上·广西柳州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，化系数为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，然后合并同类项，化系数为1即可． 【详解】（1）解：移项合并得：， 解得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并，得：， 解得：． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、等式的性质2 【分析】（1）按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去括号、移项、合并同类项、系数化为； （2）按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程（三）——去分母，解一元一次方程（二）——去括号， 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，等式的性质等知识点，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 17．（24-25七年级上·青海西宁·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤“去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得： 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 18．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． 【详解】（1）； 解： ； （2） 解： ； （3） 解： ； （4） 解： ． 20．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤是解题关键． （1）先移项，再合并同类项计算即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项计算即可； （3）先等式两边乘以6去分母，然后去括号，移项、合并同类项计算即可； （4）先等式两边乘以21去分母，然后去括号，移项、合并同类项计算即可； （5）先去括号得到，然后等式两边乘以60去分母，再移项、合并同类项计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 21．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知方程与关于x的方程的解相同．求a的值； 【答案】6 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握解一元一次方程的步骤成为解题的关键． 先分别求出两方程的解，然后根据两方程解相同列出关于a的方程求解即可． 【详解】解：解方程可得：； 解方程可得：； 所以，解得：． 22．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘，因而求得方程的解为， (1)求a的值 (2)求出方程正确的解 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先根据错误的方法解得的值； （2）将的值代入原方程得，再根据解一元一次方程的一般步骤即可求解， 【详解】（1）解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：； （2）由（1）可知：，则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 23．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得，…………………第一步 去括号，得，……………………………第二步 移项，得，…………………………………第三步 合并同类项，得．…………………………………………第四步 (1)步骤①去分母的依据是 ； (2)这位同学从第 步开始出现错误，具体的错误是 ； (3)求解此方程． 【答案】(1)等式的基本性质2 (2)一，去分母时右边的1没有乘以6 (3) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、等式的性质2 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）变形利用了等式的性质； （2）第一步开始出错，常熟项漏乘最小公倍数； （3）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，解方程即可． 【详解】（1）解：步骤①去分母的依据是等式的基本性质2； （2）这位同学从第一步开始出错，具体的错误是去分母时右边的1没有乘以6； （3）解： ． 24．（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）对于有理数a、b定义一种新运算，规定 (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算，如果有括号，要先做括号内的运算； （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，由，列出一元一次方程，然后根据解一元一次方程方法，求出的值是多少即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴， 解得． 25．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）对于整数a、b、c、d，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1)26 (2) 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查新定义下的有理数混合运算，一元一次方程的知识； （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：原式= （2）原式     整理： 26．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：1． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、整式的加减运算、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查有理数及整式的混合运算，熟练掌握运算方法是解决问题的关键． （1）根据新运算展开，再求出即可； （2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可； （3）先根据新运算求出m、n，然后用作差法比较即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 解得； （3）解：根据题意，得，， 则， 所以． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 解一元一次方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 掌握等式的性质及其应用． 2. 掌握一元一次方程移项、去括号、去分母的方法． 知识点01 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 知识点02 一元一次方程的解法 ◆合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. ◆移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. ◆去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. ◆去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 知识点03 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 考点一：等式的基本性质 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2.（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点二：解一元一次方程--合并同类型与移项 例题：（23-24七年级上·江西宜春·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·四川凉山·期中）解下列方程： (1)； (2)． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点三：解一元一次方程--去括号 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）解方程 (1)； (2)； (3) 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 3.（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1) (2) (3) 考点四：解一元一次方程--去分母（整数） 例题：（23-24七年级上·四川遂宁·期末）解方程： 【变式训练】 1.（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）解方程∶ 2.（23-24七年级上·天津·期末）解方程： (1)； (2)． 3.（23-24七年级下·重庆·开学考试）（1）解方程：； （2）解方程：． 考点五：解一元一次方程--去分母（小数） 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： 【变式训练】 1.（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 2.（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：； 3.（24-25七年级上·重庆·阶段练习）解方程 (1) (2) 考点六：一元一次方程的错解复原问题 例题：（23-24七年级上·宁夏银川·期末）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ，（第四步） ．（第五步） (1)任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________． (2)任务二：请直接写出该方程的解． 【变式训练】 1.（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． (1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； (2)请尝试解方程． 2.（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得    第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 3.（2024·宁夏吴忠·一模）以下是小明解方程的解答过程． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 (1)以上过程中是从第______步开始出错的． (2)第一问中出现错误的原因____________． (3)写出这个方程的正确解答过程． 考点七：利用一元一次方程同解问题求解 例题：（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24六年级上·山东泰安·期末）若方程与的解相同，则a的值为 ． 2.（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程和有相同的解，则 ． 3.（23-24七年级下·福建泉州·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 考点八：一元一次方程整数解问题 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南洛阳·期末）若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 2.（23-24七年级下·重庆·期中）关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 3.（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广西柳州·阶段练习）把方程去分母后，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列方程变形中，正确的是（   ） A．方程，移项得 B．方程，系数化为1得 C．方程，去括号得 D．方程，去分母得 5．（2017·吉林长春·一模）新定义对于实数、，规定，若，则的值为（   ） A． B． C． D．4 二、填空题 6．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）有下列变形：若，则；若，则；若，则；若，则．其中变形正确的是 ．（请填写序号） 7．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）若单项式与的和仍是单项式，则方程的解是 ． 8．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）已知方程的解与关于x的方程的解相同， ． 9．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）定义一种新的运算“”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，，比如：，则方程的解为 ． 10．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）关于的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的和是 ． 三、解答题 11．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 12．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）解方程： (1) (2)． 14．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 15．（24-25七年级上·广西柳州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 16．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 17．（24-25七年级上·青海西宁·期中）解方程 (1)； (2)． 18．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) 21．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知方程与关于x的方程的解相同．求a的值； 22．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘，因而求得方程的解为， (1)求a的值 (2)求出方程正确的解 23．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得，…………………第一步 去括号，得，……………………………第二步 移项，得，…………………………………第三步 合并同类项，得．…………………………………………第四步 (1)步骤①去分母的依据是 ； (2)这位同学从第 步开始出现错误，具体的错误是 ； (3)求解此方程． 24．（24-25七年级上·江西抚州·阶段练习）对于有理数a、b定义一种新运算，规定 (1)求的值； (2)若，求x的值． 25．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）对于整数a、b、c、d，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求x的值． 26．（2024七年级上·全国·专题练习）新定义 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：1． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$