第10讲 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集（3个知识点+5大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版2024）

第10讲 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解不等式的概念；将自然语言转化为符号语言． 2.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同. 3.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式. 4.理解不等式的解与解集的意义. 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 特别说明： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 考点一：不等式的定义 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）式子：①；②；③ ；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点二：列不等式 例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于： ． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ． 考点三：不等式的基本性质 例题：（23-24七年级下·四川内江·期末）已知，那么下列各式中，不一定成立的是(　　) A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知，下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点四：利用不等式的基本性质解不等式 例题：（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 考点五：不等式的解与解集 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【变式训练】 1．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一、单选题 1．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）如图，表示A，B，C三人体重的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列数学表达式中，不等式有（     ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（22-23八年级下·江西抚州·阶段练习）已知，下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2022七年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（ ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．的解集是 D．的解集就是、、 二、填空题 6．（23-24六年级下·上海松江·期中）用不等式表示“的倒数与2的差是非负数”： ． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为 ． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）用“>”或“<”填空：若，则 ， ． 9．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则a b． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）完成下列填空：若，比较与的大小． 解： （依据： ） （依据： ） 12．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 13．（22-23八年级下·云南文山·阶段练习）根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 14．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 15．（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 16．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为① 所以② 故.③ 问： (1)上述解题过程中，从第 　 　步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 17．（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）已知代数式和． (1)比较与的大小（用等号或不等号填空）． ①当时，计算得：______； ②当时，计算得：______； ③当时，计算得：______； (2)根据（1）的计算结果猜想和的大小关系，并说明理由． 18．（23-24七年级下·广西河池·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解不等式的概念；将自然语言转化为符号语言． 2.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同. 3.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式. 4.理解不等式的解与解集的意义. 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 特别说明： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 考点一：不等式的定义 例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·期中）在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】由不等号，，，，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤； ∴共有4个． 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）式子：①；②；③ ；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：． 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：． 考点二：列不等式 例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键． 根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来. 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为：. 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于： ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了列不等式．读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．c的一半即，与d的差即，不小于用连接，然后可得不等式．． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可． 【详解】解：x与a的平方差不是正数可表示为： 故答案为： 考点三：不等式的基本性质 例题：（23-24七年级下·四川内江·期末）已知，那么下列各式中，不一定成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式性质2，可判断A，根据不等式性质3与不相似性质1可判断B，根据不等式性质1可判断C，根据m的符号分类讨论可判断D． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； B. ∵，∴，∴，故该选项正确，不符合题意； C. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意； D. 当，∴， 当，，∴， 当，，∴， 故选项D不一定成立， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知，下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； B、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； C、由，可得一定成立，符合题意； D、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 故选：C 考点四：利用不等式的基本性质解不等式 例题：（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到不等式的解集； （2）根据不等式的性质即可得到不等式的解集． 【详解】（1）解： 不等式两边同时乘， 解得：； （2）解： 不等式两边同时减，得， 不等式两边同时减3，得， 不等式两边同时除以，得． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质： （1）不等式两边同时减去6，即可求解； （2）不等式两边同时除以，即可求解； （3）不等式两边同时减去，即可求解； 熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：不等式两边同时减去6， 得：， 解得：． （2）不等式两边同时除以， 得：， 解得：． （3）不等式两边同时减去， 得：， 解得：． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质变形即可． （2）根据不等式的性质变形即可． （3）根据不等式的性质变形即可． （4）根据不等式的性质变形即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）∵， ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ （4）∵ ∴， ∴， ∴． 考点五：不等式的解与解集 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的定义、不等式的解集 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【变式训练】 1．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案． 【详解】①不等式的解集为：， ∴不是不等式的解，正确； ②不等式的解集是，正确； ③不等式的负数解有无限多个，正确； ④不等式的负数解有无限多个，正确． 综上分析可知，此题正确的说法有4个． 故选：D． 一、单选题 1．（22-23七年级下·四川宜宾·期中）如图，表示A，B，C三人体重的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的传递性，是解题的关键．根据不等式的传递性：，，可推得，可得答案． 【详解】解：A、由图示，得，故错误； B、由图示，得，故错误； C、由图示，得，，由不等式的传递性，得，故C错误； D、由图示，得，，由不等式的传递性，得，故正确． 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质解答． 【详解】解：A、在不等式的两边同时加3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意； B、在不等式的两边同时加，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意； C、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，再两边同时加3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意； D、在不等式的两边同时乘以3，不等式仍成立，即，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列数学表达式中，不等式有（     ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式．根据不等式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：不等式有①②⑤⑥，共4个． 故选：C 4．（22-23八年级下·江西抚州·阶段练习）已知，下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，原式错误，故此选项不符合题意； B．不等式的两边同时除以一个正数（），不等号的方向不变，即，原式正确，故此选项符合题意； C．不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，原式错误，故此选项不符合题意； D．不等式，例如，，则不一定成立，原式错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．（2022七年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（ ） A．是不等式的解 B．是不等式的解 C．的解集是 D．的解集就是、、 【答案】D 【知识点】不等式的解集 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确； C选项，的解集是，解不等式得，故正确； D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键． 二、填空题 6．（23-24六年级下·上海松江·期中）用不等式表示“的倒数与2的差是非负数”： ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了列不等式，倒数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义， 根据倒数的定义，和非负数的性质即可解答； 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为 ． 【答案】答案不唯一 【知识点】不等式的解集 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意可知，车速限制为，取其中任意数即可求解． 【详解】解：设车速为， 小童爸爸开货车走右侧车道，车速应该在， 建议车速为． 故答案为：答案不唯一． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）用“>”或“<”填空：若，则 ， ． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；根据不等式的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； 故答案为：<，>． 9．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则a b． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要是考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决此类题的关键．由不等式的性质可得，即可求解． 【详解】解：，且， ， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·全国·课后作业）给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解的定义去判定即可． 【详解】①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误； ②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误； ③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确； ④不等式的解集是，故说法正确． 综上所述：正确的有③④ 故答案为：③④． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）完成下列填空：若，比较与的大小． 解： （依据： ） （依据： ） 【答案】，，不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析即可求解． 【详解】解： （依据：不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．） （依据：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变）， 故答案为：，，不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 12．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质、求一元一次不等式的解集．结合不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：两边同时加上，得， 即； （2）解：两边同时加上，得， 两边都除以，得． 13．（22-23八年级下·云南文山·阶段练习）根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟记不等式的性质． （1）根据不等式的性质，两边都除以，可得答案； （2）根据不等式的性质，两边都减，整理后再两边都除以，可得答案． 【详解】（1）解：将两边都除以， 得； （2）解：将两边都减， 得， 即， 两边都除以， 得． 14．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【答案】(1)既不是等式也不是不等式 (2)是不等式 (3)是等式 (4)是不等式 (5)是等式 (6)既不是等式也不是不等式 (7)是不等式 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式； （2）解：是不等式； （3）解：是等式； （4）解：是不等式； （5）解：是等式； （6）解：52既不是等式也不是不等式 （7）解：是不等式． 15．（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 (4)用P表示明天下雨的可能性，则有 (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 【知识点】不等式的定义 【分析】（1）非正数用“”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有； （5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 16．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为① 所以② 故.③ 问： (1)上述解题过程中，从第 　 　步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)不等式的两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变，正确的应该是 (3)见解析 【知识点】不等式的性质 【分析】（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误； （2）错误的原因是：不等式的两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变； （3）根据，应用不等式的基本性质，判断出与的大小关系，进而判断出与的大小关系即可． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误； 故答案为：②． （2）解：错误的原因是：不等式的两边同时乘同一个负数，不等号的方向改变，正确的应该是； （3）解：因为， 所以， 故． 17．（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）已知代数式和． (1)比较与的大小（用等号或不等号填空）． ①当时，计算得：______； ②当时，计算得：______； ③当时，计算得：______； (2)根据（1）的计算结果猜想和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数大小比较、不等式的性质、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查不等式的性质和完全平方公式， （1）把的值分别代入和，求出结果后比较即可； （2）求出，再根据平方的非负性质及不等式的性质即可得出结论； 能求出是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，得： ，， ∴； ②当时，得： ，， ∴； ③当时，得： ，， ∴， 故答案为：；；； （2）猜想：． 理由：， ∵不论为何值，， ∴， ∴． 18．（23-24七年级下·广西河池·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数 【知识点】整式的加减运算、不等式的性质、不等式的解集 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小，以及解不等式．整式的混合运算. （1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论． （2）把式子代入，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． （2）， ， ， ， 解得． 所以a为任意实数． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$