第07讲 解题技巧专题：二元一次方程组的特殊解法（2个知识点+5大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版2024）

第07讲 解题技巧专题：二元一次方程组的特殊解法 知识点01 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 知识点02 加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 考点一：解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 例题：（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，掌握消元法是解题关键． （1）①+②解得；把代入①即可求解； （2）原方程组可化为，①+②解得，把代入①即可求解； 【详解】（1）解： ①+②，得，解得 把代入①，得，解得， 所以原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为 ①+②得，解得 把代入①得 则原方程组的解为 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）整理后用加减消元法求解即可； （2）整理后用加减消元法求解即可 【详解】（1）解：整理方程组，得 ，得，解得． 把代入①，得 则方程组的解为 （2）解：整理方程组，得 ，得． 把代入①，得， 则方程组的解为 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】加减消元法 【分析】（）利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； （）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得，， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （3）解：方程组整理得， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （4）解：方程组整理得， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 考点二：不解二元一次方程组求代数式的值 例题：（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 【答案】5 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解题关键．两个二元一次方程相加可得，两边同时除以4即可得到结果． 【详解】解：， 两式相加可得，即， ， 故答案为：5． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知方程组，那么的值 ． 【答案】5 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，将①②得：，变形即可得出答案． 【详解】解： 由①②得：， ∴， 故答案为：5． 2．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）已知x，y满足二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查解二元一次方程组．把两个方程相减后，即可得出结果． 【详解】解：， ，得：； 故答案为：． 考点三：整体代入法解二元一次方程组 例题：（23-24七年级下·河南周口·期中）阅读以下材料，解方程组：． 王林在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②，…… (1)请你替王林补全完整的解题过程． (2)请你用“整体代入法”解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可； （2）整理方程组后，由③得代入④得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】（1）解：由①得③，将③代入②，得， 解得：， 把代入①，得，解得， 故原方程组的解是． （2）解：，整理得， 把③代入④，得， 解得：， 把代入③，得， 解得：， 故原方程组的解是． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握消元的方法：代入消元法与加减消元法是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得， 解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】将①变形为，再整体代入②中，即可求出y的值．再将y的值代入，即可求出x的值，方程组得解． 【详解】解： 由①得，， 代入②得， 解得， 把代入③得，， 解得． 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，掌握“整体代入法”的步骤是解题关键． 2．（23-24七年级下·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题干提供的方法． （1）先求出，然后再把代入，求出y的值，再求出x的值即可； （2）求出，得出，用求出，得出，求出，即可得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 得：， ∴得：， 得：， 得：， 得：， ∴方程组的解为：． 考点四：换元法解二元一次方程组 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）设，则原方程组变形为，然后解方程组求出A、B的值进而建立方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得出，解关于m、n的方程组即可． 【详解】（1）解：设， ∴原方程组变形得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴， 解得：． （2）解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组中， 解方程组得：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、代入消元法 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 2．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组： （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，则可化为，且解为则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， ， 解得：， ∴原方程组的解为 ； （2）解：在中，令，， 则可化为， ∵方程组解为， ∴， ， 故答案为：． 考点五：新定义型二元一次方程组 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意列出方程组求解是解题的关键．根据新定义运算的公式，列出x，y的方程组计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 两式相加得：， ∴． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】根据新运算法则可得关于m、n的方程组，再两式相减可得答案. 【详解】解：因为， 所以，两式相减可得， 即； 故选：B. 【点睛】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是关键. 2．（2023七年级下·江苏·专题练习）对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2)m (3) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得： 方程组的解为， ∴由方程组得方程组， ∴方程组的解满足， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 3．（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、代入消元法、新定义下的实数运算 【分析】本题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可得到； （2）根据表格的数据求得，即可求得这个方程的共轭二元一次方程； （3）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中与的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：方程的共轭二元一次方程是， 故答案为：； （2）解：方程中，当时，；当时，， ， 解得， 这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 共轭方程组的解是， ． 一、单选题 1．（2024九年级·广东·学业考试）已知方程组，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组中两个未知数的系数和相等，把两个方程相加可得，再把等式两边同时除以即可求出结果． 【详解】解： 得：， 等式两边同时除以可得：． 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）对于实数，定义新运算：，其中，为常数．已知，，则的值为（） A．14 B．15 C．13 D．11 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题主要考查了新定义和解二元一次方程组及代数式求值，解题关键是理解新定义的含义．根据已知条件和新定义，列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入求解即可． 【详解】解：， 化简为： 得：， 把代入②得：， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北张家口·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解法一：由得到，设，，则， 根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得到，，求解即可，解法二：把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：解法一：， ∴， 设，， ∴， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴，， 解得：， ∴原方程组的解集为：； 解法二：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知，则 ． 【答案】1 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了利用二元一次方程组求代数式的值，两个方程相加可得，从而可得答案．解题的关键是整体加减，使计算简便． 【详解】解： 由得：，即：， ∴， 故答案为：1． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）对于定义一种新运算（是非零常数）．例如．若，，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先根据题意确定关于的二元一次方程，求解即可确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解题的关键．根据题意可得关于、的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论． 【详解】解：关于x、y的二元一次方程组的解为， 关于、的二元一次方程组的解是， 解得， 关于m，n的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可得解． 【详解】解：由整理得 ③④得，解得：， 把代入方程③，得：， 所以这个方程组的解是：． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查解二元一次方程组．先将方程组化简得，再利用加减消元法即可求解． 【详解】解：， 整理得，， 得，， ∴， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程的解为． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当的方法解下列方程组： ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查解二元一次方程，掌握加减消元法是解题的关键． 先将方程组化简得，再①②解得，，把代入②得，，由此即可求解． 【详解】解： 整理得，， ①②得，， ∴， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程的解为． 10．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：整理得：， ①②得：， 解得：， 把代入①得： 解得：， ∴原方程组的解为． 11．（2024八年级上·甘肃兰州·专题练习）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．整理后用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 可得：， 解得：， 将代入②可得： ， 故方程组的解为． 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”． (1)方程组的解x与y是否具有“惟精惟一关系”？说明你的理由； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”，求m的值． 【答案】(1)方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”，理由见解析 (2)或 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的解法和新定义． （1）由方程组中，可知满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“惟精惟一关系”； （2）先将m看作已知，求得方程组的解，再根据“惟精惟一关系”的定义，解出m的值即可． 【详解】（1）解： ， 得：， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴ 因为， 所以方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”； （2）解：方程组， 得：，即． 将代入①中，可得， ∴方程组的解为：， 因为关于x，y的二元一次方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”，得或， 即或， 解得或． 13．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【答案】（1），；（2） 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 15．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 解题技巧专题：二元一次方程组的特殊解法 知识点01 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 知识点02 加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 考点一：解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 例题：（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）解方程组： (1) (2) 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二：不解二元一次方程组求代数式的值 例题：（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）已知x,y是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知方程组，那么的值 ． 2．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）已知x，y满足二元一次方程组，则的值为 ． 考点三：整体代入法解二元一次方程组 例题：（23-24七年级下·河南周口·期中）阅读以下材料，解方程组：． 王林在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②，…… (1)请你替王林补全完整的解题过程． (2)请你用“整体代入法”解方程组：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得， 解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 2．（23-24七年级下·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 考点四：换元法解二元一次方程组 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 2．（22-23七年级下·重庆铜梁·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，．原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得， 原方程组的解为． (1)学以致用： 运用上述方法解方程组： (2)拓展提升： 已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 考点五：新定义型二元一次方程组 例题：（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 2．（2023七年级下·江苏·专题练习）对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 3．（23-24七年级下·北京海淀·期中）定义：形如关于的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组，叫做共轭方程组． (1)请写出方程的共轭二元一次方程： ； (2)若方程中的值满足表格： x ﹣1 2 y 2 1 求这个方程的共轭二元一次方程； (3)若共轭方程组的解是，请你求出的数量关系． 一、单选题 1．（2024九年级·广东·学业考试）已知方程组，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）对于实数，定义新运算：，其中，为常数．已知，，则的值为（） A．14 B．15 C．13 D．11 3．（24-25八年级上·河北张家口·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知，则 ． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）对于定义一种新运算（是非零常数）．例如．若，，则 ． 6．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的二元一次方程组的解为 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组： 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组：． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当的方法解下列方程组： ． 10．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组：． 11．（2024八年级上·甘肃兰州·专题练习）解方程组：． 12．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”． (1)方程组的解x与y是否具有“惟精惟一关系”？说明你的理由； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解x与y具有“惟精惟一关系”，求m的值． 13．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 15．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$