精品解析：浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2024-2025学年上学期12月月考八年级数学试卷　

2024-2025学年浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团八年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点A的坐标为，则点A所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 一个三角形的两边长分别为4和7，第三边长为整数，则第三条边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 11 4. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是(　　) A. B. C. D. 5. 若点，，是函数图象上的点，则(　　) A. B. C. D. 6. 不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（　 　） A. 9 B. 35 C. 45 D. 无法计算 8. 如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，长为（ ） A. 7 B. C. D. 15 9. 已知一次函数（k，b是常数，）若，则它的图象可能是（ ） A. B. C D. 10. 已知实数a ，b，c满足a=4b-7，b=，①当时，总有a>b>c；②当2<c<4时，则b+c>a；上述结论，( ) A. ①正确②正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①错误②错误 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于y轴对称的点的坐标是_____． 12. 函数y＝的自变量x的取值范围是_____． 13. “角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题为_______（选填“真”或“假”）命题． 14. 若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是_______． 15. 等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x，则y关于x的函数表达为____________，自变量x的取值范围是____________． 16. 如图，在直角中，，点是边上一动点，以为直角边作等腰直角，交于点，连接．过点作于点，交于点，下面结论中正确的序号有 ________． ①； ②； ③当，； ④当时，． 三、解答题（本题有8个小题，共72分） 17. 解下列不等式： （1）； （2）． 18. 如图，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 已知一次函数图象经过点和点． （1）求此一次函数的表达式； （2）若点向右平移3个单位后恰好落在直线上，求的值． 20. 如图，已知、、． （1）求点C到x轴的距离； （2）求的面积； （3）点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 21. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 22. 设一次函数（k，b是常数，且）， （1）若函数的图象过点，求函数与x轴的交点坐标； （2）若函数的图象经过点，求证：函数的图象经过点； （3）若函数的图象不经过第一象限，且过，当时，求k的取值范围． 23. 在平面直角坐标系中，直线为经过且垂直于轴的直线，图形关于轴的对称图形称为图形的一次对称图形，记作图形，图形关于直线的对称图形称为图形的二次对称图形，记作图形． 例如，点一次对称点为，二次对称点为．根据定义，回答下列问题： （1）①点一次对称点为__________，二次对称点为_____． ②当点在第三象限时，点、，中可以是点A的二次对称点的是______； （2）若点在第三象限，点、分别是点的一次对称点、二次对称点，若为等腰直角三角形，则、应满足关系式：_____； （3）已知点，．若以为边的正方形（M、N在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点，求的取值范围． 24. 已知，在中，． （1）如图，在中，若，且，求证：； （2）如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ （3）如图，，，，，则的长度？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团八年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】A.B.C选项，都不是轴对称图形，找不到对称轴，不符合题意； D选项是轴对称图形，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念，寻找对称轴是解题的关键． 2. 若点A的坐标为，则点A所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了各象限点的坐标特点∶第一象限的点满足，第二象限的点满足，第三象限的点满足，第四象限的点满足，熟知这一规律是正确解决本题的关键． 根据点A横坐标为正，纵坐标为负判断即可． 【详解】解：，， ∴点在第四象限， 故选：D． 3. 一个三角形的两边长分别为4和7，第三边长为整数，则第三条边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题， 【详解】解：设三角形第三边长是， 由题意得：， ， 第三边长为整数， 第三条边长可能为8． 故选：C． 4. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，作角平分线；根据作图得出符合全等三角形的判定定理，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 在和中， ， ， ∴． 故选：B． 5. 若点，，是函数图象上的点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．根据一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵在函数中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 6. 不等式组有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式组有3个整数解，可得关于a的不等式组，进而即可得到答案． 【详解】∵不等式组有3个整数解， ∴a+1＞5且a+1≤6， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查求不等式组中参数的范围，根据题意，列出关于参数a的不等式组，是解题的关键． 7. 如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（　 　） A. 9 B. 35 C. 45 D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】由勾股定理求出BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，再代入可得MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2），化简可求得结果. 【详解】在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2， ∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2） =AC2-AB2 =45． 故选C 【点睛】本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：灵活运用勾股定理. 8. 如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（ ） A. 7 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得：，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 9. 已知一次函数（k，b是常数，）若，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析各个选项的k、b的符号，结合已知条件即可做出判断 【详解】解：A、由图可知k＞0，b＞0，且当x=-1时，-k+b＜0， k＞b，则|k|=k，|b|=b，可得|k|＞|b|与题意不符； B、由图可知k＞0，b＜0，且当x=1时，k+b＞0， k＞-b，则|k|=k，|b|=-b，可得|k|＞|b|与题意不符； C、由图可知当x=-1时，-k+b=0， k=b，则 |k|=|b|与题意不符； D、由图可知k＜0，b＞0，且当x=1时，k+b＞0， -k＜b，则|k|=-k，|b|=b，可得|k|＜|b|与题意相符； 故选：D 【点睛】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 10. 已知实数a ，b，c满足a=4b-7，b=，①当时，总有a>b>c；②当2<c<4时，则b+c>a；上述结论，( ) A. ①正确②正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①错误②错误 【答案】B 【解析】 【分析】由可得：，代入各个小项即可判断正确与否. 【详解】由可得：， 当时，则，解得，故①正确； 当 b+c>a时，则，解得：,故②错误； 故选B. 【点睛】本题考查了三元一次方程组及不等式，掌握解三元一次方程组是解题的关键. 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于y轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的规律：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了y轴对称的点的坐标．熟练掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键． 12. 函数y＝的自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠3的一切实数 【解析】 【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0，可知：x-3≠0，解得x的范围． 【详解】解：根据题意，则 x﹣3≠0 解得：x≠3 ∴自变量x的取值范围是x≠3的一切实数； 故答案为：x≠3的一切实数． 【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. “角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题为_______（选填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边距离相等的点在角平分线上”，它是真命题． 故答案为：真 【点睛】本题考查了互逆命题的知识和命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 14. 若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是_______． 【答案】-4＜k＜0 【解析】 【详解】 ①+②得 ， ∴. ∵， ∴， 解之得 -4＜k＜0. 故答案为-4＜k＜0. 点睛：本题考查了二元一次方程组的特殊解法，观察方程组及方程组的解所满足的条件，只要将方程组的两个方程相加即可得到的值. 15. 等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x，则y关于x的函数表达为____________，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，函数自变量的取值范围，三角形三边关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形周长的定义，构建关系式即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x， ， ， 由，解得． 故答案为：，． 16. 如图，在直角中，，点是边上一动点，以为直角边作等腰直角，交于点，连接．过点作于点，交于点，下面结论中正确的序号有 ________． ①； ②； ③当，； ④当时，． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①证明，再根据，可依据“”判定和全等，由此可对该结论进行判断； ②连接，根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，则，再根据和全等得，，则，然后根据勾股定理可对该结论进行判断； ③过点作于点，根据，设，，则，，，分别求出，，，进而得，，，由此可对该结论进行判断； ④过点作于点，证明△是等腰直角三角形，设，则，设，则，证明，得，根据得，则，由此可求出，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在直角中，， ，， 是等腰直角三角形，且以为直角边， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， 故结论①正确； ②连接，如图1所示： ，于点， ， 即是线段的垂直平分线， ， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， 故结论②正确； ③过点作于点，如图2所示： ， 设，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 又， ， 故结论③不正确； ④过点作于点，如图3所示： ， 是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理得：， 在中，设， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④正确． 综上所述：结论正确的序号有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（本题有8个小题，共72分） 17. 解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟练运用解不等式的方法是正确解决本题的关键． （1）先去分母，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 小问1详解】 解：， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， x的系数化为1得，； 【小问2详解】 解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为． 18. 如图，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． （1）根据判定即可； （2）根据题意可得，在中根据外角的性质即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，是的外角， ． 19. 已知一次函数的图象经过点和点． （1）求此一次函数的表达式； （2）若点向右平移3个单位后恰好落在直线上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设，将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． （1）把和点分别代入得到关于k、b的方程组，然后解方程求出k与b的值，从而得到一次函数解析式； （2）先求出点向右平移3个单位后坐标为，然后把代入一次函数解析式，求出结果即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入， 得， 解得：，， ∴一次函数的表达式为 【小问2详解】 解：点向右平移3个单位后坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得：． 20. 如图，已知、、． （1）求点C到x轴的距离； （2）求的面积； （3）点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）3 （2）18 （3）或 【解析】 【分析】此题考查了点到坐标轴的距离、三角形的面积、坐标与图形等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值即可解答； （2）利用三角形的面积公式求解即可； （3）设点P的坐标为，利用的面积为6可得，解得或，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴点C到x轴的距离为3； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∵的面积为6， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 21. “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进2个甲型头盔和1个乙型头盔需要125元，购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元． （1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ （2）若该商场准备购进50个这两种型号的头盔，总费用不超过2550元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元 （2）最多可购进乙型头盔30个 （3）能，该商场有三种采购方案：①采购甲型头盔22个，采购乙型头盔28个；②采购甲型头盔21个，采购乙型头盔29个；③采购甲型头盔20个，采购乙型头盔30个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设乙型头盔个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔的最大值； （3）根据利润单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔的取值范围，结合（2）中答案确定的取值范围，即可得出可选方案． 【小问1详解】 解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元， 根据题意得 ， 解得， 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； 【小问2详解】 解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意得：， 解得， 的最大值为30， 答：最多可购进乙型头盔30个； 【小问3详解】 解：能， 理由如下：根据题意得 ， 解得， ， 为整数， 可取28，29或30，对应的的值分别为22，21或20， 因此能实现利润不少于1540元的目标，该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔22个，采购乙型头盔28个； ②采购甲型头盔21个，采购乙型头盔29个； ③采购甲型头盔20个，采购乙型头盔30个． 22. 设一次函数（k，b是常数，且）， （1）若函数的图象过点，求函数与x轴的交点坐标； （2）若函数的图象经过点，求证：函数的图象经过点； （3）若函数的图象不经过第一象限，且过，当时，求k的取值范围． 【答案】（1）（-2，0）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）把点代入，得到，即可得到，令，从而求得函数与轴的交点坐标为； （2）把点代入，得到，即可得到，令，从而求得函数与轴的交点坐标为，； （3）根据题意得出，，，把点代入，得到，从而得到，解不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）函数的图象过点， ， ， ， 令，则， 解得， 函数与轴的交点坐标为； （2）函数的图象经过点， ， ， ， 令，则， 函数的图象经过点，； （3）函数的图象不经过第一象限， ，， 过点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，由点的坐标得出与的关系是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，直线为经过且垂直于轴的直线，图形关于轴的对称图形称为图形的一次对称图形，记作图形，图形关于直线的对称图形称为图形的二次对称图形，记作图形． 例如，点的一次对称点为，二次对称点为．根据定义，回答下列问题： （1）①点的一次对称点为__________，二次对称点为_____． ②当点在第三象限时，点、，中可以是点A的二次对称点的是______； （2）若点在第三象限，点、分别是点的一次对称点、二次对称点，若为等腰直角三角形，则、应满足关系式：_____； （3）已知点，．若以为边正方形（M、N在线段的上方）的二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点，求的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称变化，等腰直角三角形的性质，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． （1）①根据轴对称的性质即可解答； ②设在第三象限的点A的坐标为（，），求出点A的二次对称点为，其中，，即可判断解答； （2）由（1）可得，，根据为等腰直角三角形得到，根据两点距离即可得到，整理即可解答； （3）求出正方形的二次对称图形的各顶点为，，，，根据二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点，求出点，在该直线上时n的值，或点，，在该直线上时n的值，即可解答． 【小问1详解】 解：①∵点关于x轴对称的点为，点关于直线对称的点为， ∴点的一次对称点为，二次对称点为； 故答案为：， ②设在第三象限的点A的坐标为（，），则 点关于x轴对称点为，点关于直线对称的点为， ∵，， ∴，， ∴点A的二次对称点为，其中，， ∴点、，中可以是点A的二次对称点的是点． 故答案为： 【小问2详解】 解：由（1）②可得点关于x轴对称的点为，点关于直线对称的点为， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点，，且四边形是以为边的（M、N在线段的上方）的正方形， ∴，， ∴正方形的二次对称图形的各顶点为，，，， ∵二次对称图形与过且垂直于轴的直线有公共点， ∴若点，在该直线上，则 ，解得， 若点，在该直线上，则 ，解得， ∴n的取值范围是． 24. 已知，在中，． （1）如图，在中，若，且，求证：； （2）如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ （3）如图，，，，，则的长度？ 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】由，得出，由证得，即可得出结论； 连接，先证是等边三角形，再由垂直平分，得出，由，得出，，得出，，由勾股定理即可得出结果； 将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于，则，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 是等边三角形， 垂直平分， ， 由可知：， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于， 则， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$