精品解析：河南省郑州市第七高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年河南省郑州七中高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再由斜截式得到直线方程，最后化为一般式即可. 【详解】因为直线经过点，， 所以，所以直线的方程为，即. 故选：D 2. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为椭圆的长半轴长等于其焦距， 所以，解得. 故选：A 3. 已知直线与垂直，则实数（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件计算即可得解。 【详解】因为，所以，所以。 故答案为：B 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程化为标准式，即可求出其准线方程. 【详解】抛物线可化为， 故抛物线的准线方程为. 故选：D. 5. 已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程表示圆得，结合圆心在第二象限可得到结果. 【详解】由方程表示圆得，， 整理得，，解得. 由题意得，圆心坐标为，由圆心在第二象限得， 所以实数a的取值范围为. 故选：C. 6. 在四面体中，为棱的中点，点为线段上一点，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为E为棱的中点，所以， 因为，所以， 又， 所以 . 故选：B 7. 已知点为圆上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设线段的中点，求出以点为圆心，2为半径的圆，此圆与圆有公共点求出的取值范围即可求得最小值. 【详解】由点在直线上，且，设线段的中点， 由，得点在圆上， 圆的圆心，半径，而点在圆上， 即圆与圆有公共点，则，解得， 而，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当以线段的中点为圆心，2为半径的圆与圆外切时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 8. 已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据，得到，从而得到，再由向量模的坐标表示求出的最小值及此时、的值，最后利用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，， 设，，所以，， 因为，所以，即， 所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面PMG的法向量为，所以，取， 所以当取得最小值时，点到平面PMG的距离. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量坐标表示及线性运算即可判断A；根据空间向量的模的坐标公式即可判断B；根据空间向量共线定理即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，由，， 得， 所以，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， ，故D错误. 故选：BC. 10. 已知直线的方程为，圆的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆的半径为12 C. 直线与圆恒有两个交点 D. 圆心到直线距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程变形为，令，即可求出直线过定点坐标，即可判断A，根据圆的方程判断半径，从而判断B，求出圆心与直线过定点的距离，即可判断C、D. 【详解】因为直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过定点，不妨设定点为，故A正确； 圆的方程为，则圆心，半径，故B错误； 因为，所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点，故C正确； 当且仅当时，圆心到直线距离的最大值为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 抛物线的方程为 C. D. 点在以线段为直径的圆上 【答案】BCD 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据抛物线的定义知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判断A；根据为等腰直角三角形，可求出可判断B；将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出的值可判断C；设线段的中点为，求出的坐标，得到可判断D. 【详解】如图，过点作，垂足为， 由抛物线的定义知， 与全等，则， ，，， ， ， 则，直线的倾斜角为，故A错误； 设直线与轴交于点，则， 由上可知，，则为等腰直角三角形， ，，得， 所以抛物线方程为，故B正确； 由上可知，直线的方程为， 设，， ，， 联立，整理得， 则，，则， ，故C正确； 设线段的中点为， 则，，， 由上可知，则， 又， 点在以线段为直径的圆上，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据，由求解. 【详解】解：因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，则，解得， 所以， 故答案为：10 13. 已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件可得渐近线的倾斜角，进而计算渐近线的斜率，根据离心率与渐近线斜率之间的关系可得结果. 【详解】 不妨设双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线下方， 双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线上方， 因为这两条渐近线关于直线对称，夹角为，直线的倾斜角为， 所以渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为， 所以， 故双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为， 故与的离心率之积为. 故答案为：. 14. 过圆上的一个动点作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】作图，根据圆的切线的性质，设，则，根据点在圆上求出的范围，进而得到的范围，最终得到的取值范围. 【详解】 圆的圆心为，半径为1， 将圆化为， ，半径为2，， 点在圆上，， 设与交于点，，，则， 在中，， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，，且圆C与直线，均相切. （1）若经过圆心C的直线与，平行，求直线的方程； （2）求圆C的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意直线到直线，的距离都等于圆的半径，设直线的方程为，再根据两平行直线的距离公式计算即可； （2）根据题意利用待定系数法求出即可. 【小问1详解】 由题意直线到直线，的距离都等于圆的半径， 设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为； 【小问2详解】 由题意可得， 解得， 所以圆C的标准方程为. 16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，，且，，. （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）证明：，，，四点共面. 【答案】（1） （2） 因为，所以分别为中点， 则连接， 则，， 设，由（1）知 ， 则， 则， 解得， 所以， 故M，C，G，H四点共面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，得到方向向量，借助向量夹角余弦值公式计算即可； （2）借助向量法，运用空间向量共面的基本定理验证即可. 【小问1详解】 连接，因为四边形为菱形， 又，所以为等边三角形， 取的中点E，连接，则，所以. 因为平面，平面平面， 所以 以A为原点，以所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 由， 可知 所以 于是 故直线与直线所成角的余弦值为 【小问2详解】 略 17. 已知点在双曲线上，且的实轴长为，，分别为的左、右焦点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与交于另一点，且点位于轴下方，若，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义及已知条件列出方程组来求解和. （2）利用三角形面积关系得到直线平行关系，进而得出直线方程，再通过联立直线方程与双曲线方程求解点的坐标. 【小问1详解】 由题设条件，可得， 解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以点 到直线的距离相等. 又点位于轴下方，所以 由（1）可知， 所以，则直线的方程为 联立 整理得解得或. 当时，点；当时，点， 综上，点的坐标为或. 18. 如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且. （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】（1）证明：设，则， 则， 所以， 因为为的中点， 所以，， 则，所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据数量积的运算律求出，进而可得为的中点，从而可证明，，再根据线面垂直得判定定理以及面面垂直得判定定理即可得证； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，可得，则， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 所以的长度为. 【点睛】 方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 19. 已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”. （1）求“倒影椭圆”C的方程； （2）求“倒影椭圆”C的面积； （3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值. 【答案】（1） （2） （3） 由上图知，“倒影椭圆”C的外接椭圆E的长半轴长为，且经过点， 可得椭圆的方程为， 由（2）知，， 由题意可知，直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消得， 则恒成立， 则， 线段得中点为，即， 又， 则线段的中垂线的方程为， 即， 同理线段的中垂线的方程为， 设的外接圆的圆心的坐标为， 则是方程的两根， 所以， 又， 所以，整理得， 则，即， 所以直线与的斜率之积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据“倒影距离”和“倒影椭圆”的定义求解即可； （2）分类讨论去绝对值符号，作出“倒影椭圆”的图象，再结合图象求面积即可； （3）先求出椭圆的方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再分别求出线段的中垂线的方程，设的外接圆的圆心的坐标为，由这两条中垂线方程得出的关系，进而可得出结论. 【小问1详解】 设， 由“倒影距离”的定义可知，， ， 由题意，即， 所以“倒影椭圆”C的方程为； 【小问2详解】 由， 得， 当时，， 当时，由对称性知，， 其图象如图所示， 故“倒影椭圆”C的面积； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省郑州七中高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与垂直，则实数（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. 1 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，为棱的中点，点为线段上一点，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为圆上一动点，若直线上存在两点，，满足，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线的方程为，圆的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆的半径为12 C. 直线与圆恒有两个交点 D. 圆心到直线距离的最大值为 11. 已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 抛物线的方程为 C. D. 点在以线段为直径的圆上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则______. 13. 已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为______. 14. 过圆上的一个动点作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过点，，且圆C与直线，均相切. （1）若经过圆心C的直线与，平行，求直线的方程； （2）求圆C的标准方程. 16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，，且，，. （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）证明：，，，四点共面. 17. 已知点在双曲线上，且的实轴长为，，分别为的左、右焦点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与交于另一点，且点位于轴下方，若，求点的坐标. 18. 如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且. （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 19. 已知点，，定义A，B的“倒影距离”为，我们把到两定点，的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”. （1）求“倒影椭圆”C的方程； （2）求“倒影椭圆”C的面积； （3）设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点的直线与椭圆E交于P，Q两点（均异于点D），且的外接圆的圆心为H（异于点O），证明：直线与的斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $