上海市2022-2024年中考数一模24题二次函数与平移题型汇编

2022-2024年初三一模24题二次函数与平移题型汇编 【2024年宝山一模】 24.(本题满分12分,每小题满分各4分) 如图10,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线平移,使平移后的抛物线仍经过原点O,新抛物线的顶点为M(点M在第四象限),对称轴与抛物线交于点N,且MN=4. (1)求平移后抛物线的表达式; (2)如果点N平移后的对应点是点P,判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B,BC⊥MN,垂足为点C,如果 ABC是等腰三角形,求点A的坐标. 图10 24. 解: (1),……………………………………………………1分 于是平移后抛物线的表达式是, ………………………………1分 由平移后抛物线经过原点O(0,0),可得t=2(负值不合题意舍去),………………1分 所以,平移后抛物线的表达式是. ……………………………………1分 (2)四边形OMPN是正方形. 根据题意可得O(0,0),M(2,-2),N(2,2),P(4,0), …………………………1分 记MN与OP交于点G,则G(2,0), ∴OG=GP=2,MG=NP=2,MN=OP=4,, ∴四边形OMPN是平行四边形, ……………………………………………………1分 ∵MN=OP=4, ∴四边形OMPN是矩形, ……………………………………………………………1分 ∵, ∴四边形OMPN是正方形. ……………………………………………………………1分 (3), ,……………………………………1分 …………1分 ………………1分 ……………………………………1分 所以,点A的坐标是. 【2024年黄浦一模】 24.(本题满分12分) 如图,直线与x轴、y轴分别交于点A、B.对称轴为直线x=1的抛物线经过点A、B,其与x轴的另一交点为C. (1)求该抛物线的表达式; (2)将该抛物线平移,使其顶点在线段AB上点P处,得到新抛物线L,其与直线的另一个交点为Q. ①如果抛物线L经过点A,且与x轴的另一交点为D,求线段CD的长; ②试问: CPQ的面积是否随点P在线段AB上的位置变化而变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出 CPQ面积. x O B A y 第24题图 【2024年崇明一模】 24.(本题满分12分,第(1)小题满分4分,第(2)①小题满分4分,第(2)②小题满分4分) 已知在直角坐标平面xOy中,抛物线经过点、、三点. (1)求该抛物线的表达式; (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点,联结AD、BD,将抛物线向下平移个单位后,点D落在点E处,过B、E两点的直线与线段AD交于点F(F不与点A、D重合). ①如果,求的值; ②如果与相似,求m的值.y C O x A B (第24题图) y C A O B x (备用图) 24. (本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题的①满分4分,第(2)小题的②满分4分) 解:(1)∵抛物线()经过点,,, ∴,解方程组得: . ………………………………………(3分) ∴抛物线的表达式为: ………………………………………………(1分) (2)由,得抛物线对称轴为直线. ∵点D是点关于抛物线对称轴对称的点,∴…………………………(1分) 过点D作轴,垂足为点H,则 ∴DH=AH=3,BH=1, ∴. 当DE=m=2时,EH=1=BH, ∴,, ∴…………………………(1分) 在中,DE=2, ∴EF ==DF, ∴BF=EF+BE= 在中,.……………………………(2分) (3)如果与相似 ∵是公共角, 1 方法一:若,则 ∴,则,解得:.…………(1分) 过点F作,垂足为点G,则. ∴……………………………………(1分) 在中,,∴, ∴,又,∴,解得:.……(1分); 方法二:若,则,可得∠DBF=∠DAB=45 利用上一题结论,可证明………………………(1分), 在中,,得………………………(1分) 解得………………………(1分); ②若,此时F与A重合,即 BDF和 ABD全等,即……(1分). 【2024年金山一模】 24.(本题共3小题,每小题4分,满分12分) 已知:在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过点A(-1,0)、 B(3,0)、C(0,-3). (1) 求抛物线的表达式和顶点P的坐标; (2) 点D在抛物线对称轴上,∠PAD=90 ,求点D的坐标; (3)抛物线的对称轴和x轴相交于点M,把抛物线平移,得到新抛物线的顶点为点Q,QB=QM,QO的延长线交原抛物线为E,QO=OE,求新抛物线的表达式. O 1 1 y x 24.解:(1)由题意得:, 解得:a=1,b=1,c=4,∴抛物线的表达式为.-(2分) ∵,∴顶点P的坐标是(1,-4).-(2分) (2)抛物线的对称轴为直线,-(1分) 设点D的坐标为(1,m), ∵∠PAD=90 ,∴, ∴,-(1分) 解得,,点D的坐标为(1,1)-(2分) (3)由题意,点M 坐标是(1,0),作MH⊥x轴,垂足为点H, ∵QB=QM,∴MH=HB,∴点H的坐标为(2,0),点Q的横坐标为2,-(1分) 设点Q的坐标是(2,t), ∵QO=OE,∴点Q和点E关于原点O对称,∴点E的坐标为(-2,-t),-(1分) ∴,解得,点Q的坐标是(2,-5),-(1分) ∴新抛物线的表达式是,即.-(1分) 【2024年松江一模】 24.(本题满分12分,其中第(1)小题3分,第(2)小题4分,第(3)小题5分) 在平面直角坐标系xOy中,抛物线的图像经过原点O(0, 0)、点A(1,3a),此抛物线的对称轴与x轴交于点C,顶点为B. (1)求抛物线的对称轴; (2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D,且∠ADC的正切值为2,求a的值; (3)将这条抛物线平移,平移后,原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P.联结PA,如果点P在y轴上,PA∥x轴,且∠EPA=∠CBO,求新抛物线的表达式. (第24题图) y x O 24. 解(1)∵抛物线的图像经过原点O(0, 0)、点A(1,3a), ∴ ∴ ∴抛物线的表达式 ∵ (第24(2)题图) y x O D A B C H ∴抛物线的对称轴是:直线x=-1 (2)∵O(0, 0)对称轴是直线x=-1 ∴D(-2,0) 过点A作AH⊥x轴,垂足为H,则AH=3a,DH=3 ∴tan∠ADC= ∴ a=2 (3)过点E作EF⊥PA,垂足为F 当x=-1时,y=-a,∴B(-1,-a) ∵PA∥x轴 ∴P(0,3a) 点B到P向右平移1个单位向上平移4a个单位, ∴ PF=2,EF=4a (第24(3)题图) y x O D P A B C E F ∵tan∠CBO= tan∠EPA= ∵∠EPA =∠CBO ∴ ∴新抛物线的表达式是 【2024年静安一模】 24.(本题满分12分,其中每小题4分) 在平面直角坐标系xOy中(如图),已知点A(-2,0)、B(6,0)、C(0,8)、D(2,)在同一个二次函数的图像上. (1)请从中选择适当的点坐标,求二次函数解析式; (2)如果射线BE平分∠ABC,交y轴于点E, ①现将抛物线沿对称轴向下平移,顶点落在线段BE的点F处,求此时抛物线顶点F的坐标; ②如果点P在射线BE上,当 PBC与 BOE相似时,请求点P的坐标. 1 (第24题图) O x y 24.(1)由二次函数的图像过A(-2,0)、B(6,0),可知其对称轴为直线, 又∵D(2,)在同一个二次函数的图像上,可知抛物线顶点为点D,设解析式为 ,将C(0,8)代入得: ,…………………(3分) ∴解析式为.…………………(1分) 或者,或者. (2)由(1)得抛物线对称轴为直线, Rt BOC中,OB=6,OC=8,CB=, ①作EH⊥BC于H,∵BE平分∠ABC,EO⊥OB,得OE=EH,设OE= m,则CE=8-m, 由 BEC面积一定可知,,代入得: ,∴m=3,即OE=3, ∴E(0,3),…………………(2分) 设二次函数对称轴交x轴于点M,则,, 即点F的纵坐标y=2,又横坐标x=OM=2,∴F(2,2). …………………(2分) ②由 PBC与Rt BOE相似,可知 PBC为直角三角形,∠EBO=∠CBP, , 过点P作PN⊥x轴,垂足为点N,∴PN∥EO, ∴,, (i)当∠BP1C=90 时, , ∴,, Rt P1N1B中, , ∴,, ∴P1(-2,4). …………………(2分) (ii)当∠BCP2=90 , , ∴,, Rt P2N2B中, , ∴,, ∴P2(-4,5). …………………(2分) 综上所述,点P的坐标为(-2,4)或(-4,5). 【2024年徐汇一模】 24.(本题满分12分) 如图,在平面直角坐标系中,第二象限的点在抛物线上,点到两坐标轴的距离都是. (1)求该抛物线的表达式; (2)将抛物线先向右平移个单位,再向下平移个单位后,所得新抛物线与轴交于点和点,已知,且,与轴交于点. ① 求的值; ② 设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为,点是直线上位于点下方的一点,分别联结、,如果,求点的坐标. O x y (第24题备用图) M (第24题图) O x y 24.解:(1)由题意,得; ∴,解得; ∴抛物线的表达式为. (2)①设新抛物线的表达式为. ∴抛物线的对称轴是直线, 由题意,又∵,,∴、; ∴点在轴负半轴上,点在轴正半轴上; ∴;即; 又,解得; ∴、;∴;解得. ② 由①可得新抛物线的表达式为,∴; 又直线与上述新抛物线的对称轴的交点为,∴; ∴;∴,; ∴;又,∴∽; ∴;得;设、. ∴,解得,(舍去); ∴,可得. 【2024年浦东一模】 24.(本题满分12分,其中每小题各4分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线M:过点A(2,2)、点B(0,2),顶点为点C,抛物线M的对称轴交x轴于点D. (1)求抛物线M的表达式和点C的坐标; (2)点P在x轴上,当 AOP与 ACD相似时,求点P坐标; (3)将抛物线M向下平移t(t>0)个单位,得到抛物线N,抛物线N的顶点为点E,再把点C绕点E顺时针旋转135 得到点F.当点F在抛物线N上时,求t的值. 1 y 1 x O (第24题图) 24.解:(1)抛物线M:过点A(2,2)、点B(0,2), ∴ ……………………………………………………… (2分) ∴,. ∴抛物线M的表达式是. ……………………………… (1分)∴点C的坐标为(1,3). ………………………………………………… (1分) (2)由(1)得抛物线的对称轴是直线. …………………………… (1分) 过点A作AH垂直直线,垂足为点H.∴点H的坐标为(1,2). 过点A作AG垂直轴,垂足为点G.∴点G的坐标为(2,0). 在Rt ACH与Rt AOG中, 根据题意可得 ,. ∴,∴∠ACH=∠AOP.……………………………(1分) ∴当 AOP与 ACD相似时,有或. ,,OP=6.点P的坐标是(6,0).…………… (1分) ,,.点P的坐标是(,0).……… (1分) ∴综上所述,点P的坐标是(6,0)或(,0). (3)过点F作FQ垂直直线,垂足为点Q. 根据题意可得∠FEQ=45 ,FE=CE=t.……………………………………(1分) 在Rt EFQ中,∵∠EQF=90 ,∠FEQ=45 ,FE= t,∴EQ=FQ=. ∴点F的坐标是(1+,).……………………………… (1分) ∵当点F在平移后的抛物线N:上时, 可得. …………………………… (1分) 解得(舍),.…………………………………………………(1分) 【2024年杨浦一模】 24.(本题满分12分,每小题各4分) 已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,且AB=4. (1)求抛物线的表达式; (2)点P是线段BC上一点,如果∠PAC=45 ,求点P的坐标; (3)在第(2)小题的条件下,将该抛物线向左平移,点D平移至点E处,过点E作EF⊥直线AP,垂足为点F,如果tan∠PEF=,求平移后抛物线的表达式. O 第24题图 24. 解(1)∵抛物线与x轴交于点A和点B, ∴对称轴是直线x=1. (1分) 又AB=4, ∴点A(-1,0),点B坐标(3,0). (1分) 将点B(3,0)代入,解得 a=1, (1分) ∴. (1分) (2) ∵点B坐标(3,0),点C(0,-3), ∴∠ABC=∠OCB=45 . 又∠PAC=45 ,∠ACP=∠BCA, ∴ APC∽ BAC. (1分) ∴. 又∵点B(3,0),点C(0,-3),A(-1,0), ∴AC=,BC=, ∴CP=. (1分) 过点P作PH⊥y轴, ∵∠OCB=45 ,CP=,PH⊥y轴, ∴PH=CH=, ∴点P的坐标是(). (2分) (3)设点E坐标为(m,-4). 当抛物线向左平移时. 过点P作x轴的垂线L,延长EF交直线L于点G,作EH⊥直线L,垂足为点H. 可得:∠FGP=∠PAB=∠PEF, ∴PG=EP,GH=2EH. 又PH=, (1分) 设EH=n,则GH=2n,GP=EP=, ∴在Rt EPH中,. , (1分) 得n=, (1分) ∴点E坐标为(), ∴平移后抛物线的表达式是. (1分) 【2024年青浦一模】 24.(本题满分12分,其中第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过点A(1,2)和点B(2,1),与y轴交于点C. (1)求a、b的值和点C的坐标; (2)点P为抛物线上一点(不与点A重合),当∠PCB=∠ACB时,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,平移该抛物线,使其顶点在射线CA上,设平移后的抛物线的顶点为点D,当 CDP与 CAP相似时,求平移后的抛物线的表达式. (第24题图) 24.解:(1)将A(1,2)、B(2,1)代入,得 (2分) 解得: ∴a的值为-1,b的值为2. (1分) 当x=0时,.∴点C的坐标为(0,1). (1分) (2)∵C(0,1)、B(2,1),∴BC∥x轴. ∵C(0,1)、A(1,2),∴∠ACB=45 . ∵∠PCB=∠ACB,∴∠PCB=45 . (1分) 设该抛物线与x轴的正半轴交于点Q,可知∠BCQ=∠CQO<45 . ∴点P在第四象限. 过点P作PH⊥CB,垂足为点H. 设HC=HP=m.则点P的坐标为(m,1- m). (1分) ∵a= -1,b=2,∴ . 将点P代入,得. (1分) 解得,(舍). ∴点P的坐标为(3,-2). (1分) (3)可得该抛物线的顶点为(1,2),所以点A为其顶点. ①当点D在线段CA上时, ∵∠CDP>∠CAP>∠CPA,∴不存在 CDP与 CAP相似. (1分) ②当点D在线段CA的延长线上时,得 CPA∽ CDP. ∴. ∵A(1,2)、C(0,1)、P(3,-2), ∴,.∴. (1分) 过点D作DM⊥y轴,垂足为点M. 可得MD=9,MC=9.∴点D的坐标为(9,10). (1分) ∴平移后的抛物线的表达式为. (1分) 【2023年静安一模】 24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)①、②小题各4分) 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线()与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),交y轴于点C,联结BC,∠ABC的余切值为,AB=8,点P在抛物线上,且PO=PB. (1)求上述抛物线的表达式; (2)平移上述抛物线,所得新抛物线过点O和点P,新抛物的对称轴与x轴交于点E. ①求新抛物的对称轴; ②点F在新抛物线对称轴上,且∠EOF=∠PCO,求点F的坐标. 第24题图 O y x C A B 24、(1)∵抛物线(),当时,, ∴,即, 在中,, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 把A、B的坐标代入,得, 解得, ∴抛物线解析式为; (2)①设平移后的解析式为, ∵, ∴P在的中垂线上, ∴, 将坐标代入,得, ∴, ∴新抛物线的解析式为, ∴对称轴为直线; ②过点P作轴于N,则, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴,即, ∴, ∴. 【2023年奉贤一模】 24.(本题满分12分,第(1)小题满分4分,第(2)小题每小题满分4分) 如图10,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为A,与x轴相交于点B、C(3,0)(点B在点C的左边),与y轴相交于点D. (1)求抛物线的表达式; (2)将抛物线向左或向右平移,将平移后抛物线的顶点记为点E,联结DE. ①如果DE∥AC,求四边形ACDE的面积; ②如果点E在直线DC上,点Q在平移后抛物线的对称轴上,当∠DQE=∠CDQ时,求点Q的坐标. ( O 图1 0 ) 24.解:(1)由直线经过点、, 分别得,,解得,. 由抛物线经过点、, 得 解得,. 所以,抛物线的表达式是. (2)由抛物线的对称轴是直线,可设点的坐标为. 过点作,为垂足. 易证,则. 可得 ,解得. 所以,点的坐标为. (3)由点在抛物线上,可设点的坐标为. 根据题意,得点落在直线上的点的坐标为. ∵点落在直线上,∴.解得 . 所以,点的坐标为或. 【2023年金山一模】 24.(本题12分,每小题各4分) 已知抛物线经过点,,顶点为点,与轴交于点. (1)求该抛物线的表达式以及顶点的坐标; (2)将抛物线向上平移个单位后,点的对应点为点,若此时//,求的值; (3)设点在抛物线上,且点在直线上方,当时,求点的坐标. (第24题图) 24. (1)∵抛物线经过A、B,代入得 (1分) 解得(1分) ∴抛物线解析式为 (1分) ∴顶点 (1分) (2)∵直线AC经过点A、C ∴直线AC: (1分) ∵MB//AC,且直线MB经过点B(-2,-3) ∴直线MB: (1分) ∵点M是点A向上平移m个单位所得 ∴Mx=1,代入直线MB的表达式,得M(1,6) (1分) ∴m=6 (1分) (3)作DH⊥直线BC于H,作CK⊥AB于K, 易得∠ABC=45 (1分) 在Rt BCK中, ∴, ∵ ∴ ∴在Rt ACK中, (1分) ∵∠DBC=∠BAC ∴ ∴在Rt DCH中,可设,则 ∴ (1分) ∵点D在抛物线上,代入得, ∴ 解得 ∴ (1分) 【2023年黄浦一模】 24.(本题满分12分) 在平面直角坐标系中,点A,B,C,D在抛物线上. (1)当,时, ①求该抛物线的表达式; ②将该抛物线向下平移2个单位,再向左平移m个单位后,所得的新抛物线经过点,求m的值; (2)若,且、、中有且仅有一个值大于0,请结合抛物线的位置和图像特征,先写出一个满足条件的的值,再求的取值范围. x O y -1 1 2 24、 解:①∵抛物线过点,, , ∴点B、C为对称点,其对称轴为, ∴, ∴, ∴, ∵过点,, ∴, 解得, ∴抛物线的表达式为, ②抛物线向下平移2个单位,再向左平移个单位后得, ∵过点, ∴ , 解得或; (2)解:∵, ∴抛物线过点, ∴抛物线 ∵点, ,在抛物线上,且使得、、中有且仅有一个值大于0, ∴可取,此时,,, 当抛物线的对称轴在y轴的左侧时, ∵抛物线开口向下, ∴,,, ∴,,, ∴, 当抛物线的对称轴在y轴的右侧时, ∵抛物线开口向下, ∴,,, ∴,,, ∴,,, ∴, 综上得,或. 【2023年松江一模】 24.(本题共2小题) 在平面直角坐标系xOy中(如图13),已知抛物线经过点A(2,0)和点B(,3). (1)求该抛物线的表达式; (2)平移这条抛物线,所得新抛物线的顶点为P(m,n). ① 如果PO=PA,且新抛物线的顶点在 AOB 的内部,求m+n的取值范围; ② 如果新抛物线经过原点,且∠POA=∠OBA,求点P的坐标. (图13) 1 1 A B • • 24. (本题满分12分,第(1)小题3分,第(2)小题①4分,②5分) (1)∵抛物线经过点A(2,0)和点B(-1,3), ∴ ∴……………(2分) ∴抛物线的表达式………………(1分) (2)①新抛物线的顶点为P(m,n),A(2,0) ∵PO=PA,∴m=1………………(1分) ∵A(2,0)、B(-1,3),∴直线AB的解析式:……………(1分)(图15) A B C D E 当时,,新抛物线的顶点在 AOB的内部,∴0<n<1……………(1分) ∴m+n的取值范围是1<m+n<2 ……………(1分) ②∵新抛物线的顶点为P(m,n),∴……………(1分) ∵新抛物线经过原点,∴,即……………(1分) 可知点P在第一象限, 作OQ⊥AB于点Q,则,,……………(1分) ∵∠POA=∠OBA∴ ∴ ∴∴ P()……………(2分) 【2022年普陀一模】 24.(本题满分12分,每小题满分各4分) 如图13,在平面直角坐标系中,已知抛物线与直线交于点、,与轴交于点,联结. (1)求、的值和抛物线的表达式; (2)点在抛物线的对称轴上,当时,求点的坐标. (3)将 平移,平移后点仍在抛物线上,记作点,此时点恰好落在直线上,求点的坐标. 图13 y x O A B C 24.解:(1)由直线经过点、, 分别得,,解得,. 由抛物线经过点、, 得 解得,. 所以,抛物线的表达式是. (2)由抛物线的对称轴是直线,可设点的坐标为. 过点作,为垂足. 易证,则. 可得 ,解得. 所以,点的坐标为. (3)由点在抛物线上,可设点的坐标为. 根据题意,得点落在直线上的点的坐标为. ∵点落在直线上,∴.解得 . 所以,点的坐标为或. 【2022年闵行一模】 24.(本题共3题,每小题4分,满分12分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B.点C为抛物线的顶点. (1)用含a的代数式表示顶点C的坐标; (2)当顶点C在 AOB内部,且时,求抛物线的表达式; (3)如果将抛物线向右平移一个单位,再向下平移个单位后,平移后的抛物线的顶点P仍在 AOB内,求a的取值范围. y B x O A (第24题图) 24.解:(1)∵.……………………………(2分) ∴C(a,).……………………………………………………………(2分) (2)令y = 0,那么,, ∴ ∴.…………………………………(2分) ∴. ∴.…………………………………………………………(2分) (3)法1:由题意得平移后的抛物线的顶点坐标为(a+1,)………(2分) 设,, ∴平移后抛物线的顶点坐标在直线:上. 法2:抛物线的顶点坐标为C(a,),点C在直线上. ∴平移后抛物线的顶点坐标在直线:上.………(2分) ∵抛物线的顶点在 AOB内 ∴ 和 解得和; ∴.…………………………………………………………………(2分) 【2022年金山一模】 24.(本题满分12分,每小题4分) 已知:抛物线经过点A(0,1)和B(1,4),顶点为点P,抛物线的对称轴与轴相交于点Q. (1)求抛物线的解析式; (2)求∠PAQ的度数; (3)把抛物线向上或者向下平移,点B平移到点C的位置,如果BQ=CP,求平移后的抛物线解析式. 24.(本题满分12分,每小题各4分) 解:(1)根据题意………………………………………………………(2分) 解得:,。 ∴抛物线的表达式是…………………………………………………(2分) (2),∴顶点P的坐标是(2,5). 对称轴是直线x=2,点Q的坐标为(2,0). …………………………………………(1分) ∴,,;……………………………………………………(1分) ∴,∴∠COM = 90 ,…………………………………………………(2分) (3)根据题意,BC∥PQ. 如果点C在点B的上方, PC∥BQ时,四边形BCPQ是平行四边形, ∴BQ=CP,BC=PQ=5, 即抛物线向上平移5个单位,平移后的抛物线解析式是.…………(2分) 如果点C在点B的下方,四边形BCQP是等腰梯形时BQ=CP, 作BE⊥PQ,CF⊥PQ,垂足分别为E、F. 根据题意可得,PE=QF=1,PQ=5,BC=EF=3, 即抛物线向下平移3个单位,平移后的抛物线解析式是……………(2分). 综上所述,平移后的抛物线解析式是或. 【2022年奉贤一模】 24.(本题满分12分,第(1)小题满分4分,第(2)小题每小题满分4分) 如图11,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,顶点为D. (1)求该抛物线的表达式的顶点D的坐标; (2)将抛物线沿y轴上下平移,平移后所得新抛物线顶点为M,点C的对应点为E. ①如果点M落在线段BC上,求∠DBE的度数; ②设直线ME与x轴正半轴交于点P,与线段BC交于点Q,当PE=2PQ时,求平移后新抛物线的表达式. ( C 图 11 A ) 24.解:(1)由题意得,抛物线经过点A(-1,0)和点B(3,0), 代入得 解得 (2分) ∴抛物线的表达式是. (1分) 它的顶点D的坐标是(1,4). (1分) (2)① 由题意可知该抛物线的对称轴是直线x=1, ∴将抛物线沿y轴上下平移,平移后所得新抛物线顶点为M(1,y) . ∵点M落在线段BC上,OC=OB=3, ∴y=2,即点M的坐标是(1,2). (1分) ∵点C的对应点为E,∴点E的坐标是(0,1). (1分) ∴,,. ∴,∴ 是等腰直角三角形. (1分) ∴∠DBE=45 . (1分) ②由题意得,,∠OPE=∠QPB=45 . (1分) ∵C(0,3),D(1,4),B(3,0), ∴,,. ∴, ∴ 是直角三角形,即∠DCB=90 .∴∠PQB=90 . (1分) ∵PE=2PQ,设PQ=t,PE=2t. ∴,. ∴,. ∴,∴点E的坐标是(0,). (1分) ∴平移后新抛物线的表达式是. (1分) 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2022-2024年初三一模24题二次函数与平移题型汇编 【2024年宝山一模】 24.（本题满分12分，每小题满分各4分） 如图10，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且MN＝4. （1）求平移后抛物线的表达式； （2）如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）抛物线上的点A平移后的对应点是点B，BC⊥MN，垂足为点C，如果△ABC是等腰三角形，求点A的坐标. 图10 【2024年黄浦一模】 24．（本题满分12分） 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B.对称轴为直线x=1的抛物线经过点A、B，其与x轴的另一交点为C． （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线平移，使其顶点在线段AB上点P处，得到新抛物线L，其与直线的另一个交点为Q． ①如果抛物线L经过点A，且与x轴的另一交点为D，求线段CD的长； ②试问：△CPQ的面积是否随点P在线段AB上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出△CPQ面积．x O B A y 第24题图 【2024年崇明一模】 24.（本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)①小题满分4分，第(2)②小题满分4分） 已知在直角坐标平面xOy中，抛物线经过点、、三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，联结AD、BD，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段AD交于点F（F不与点A、D重合）． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值．y C O x A B （第24题图） y C A O B x （备用图） 【2024年金山一模】 24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分） 已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A(-1，0)、 B(3，0)、C（0，-3）. (1) 求抛物线的表达式和顶点P的坐标； (2) 点D在抛物线对称轴上，∠PAD=90°，求点D的坐标； （3）抛物线的对称轴和x轴相交于点M，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q，QB=QM，QO的延长线交原抛物线为E，QO=OE，求新抛物线的表达式. O 1 1 y x 【2024年松江一模】 24.（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像经过原点O（0, 0）、点A（1，3a），此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B． （1）求抛物线的对称轴； （2）如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且∠ADC的正切值为2，求a的值； （3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结PA，如果点P在y轴上，PA∥x轴，且∠EPA=∠CBO，求新抛物线的表达式． (第24题图) y x O 【2024年静安一模】 24．（本题满分12分，其中每小题4分） 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A（－2，0）、B（6，0）、C（0，8）、D（2，）在同一个二次函数的图像上. （1）请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； （2）如果射线BE平分∠ABC，交y轴于点E， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段BE的点F处，求此时抛物线顶点F的坐标； ②如果点P在射线BE上，当△PBC与△BOE相似时，请求点P的坐标． 1 （第24题图） O x y 【2024年徐汇一模】 24．（本题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是． （1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴交于点． ① 求的值； ② 设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别联结、，如果，求点的坐标． O x y （第24题备用图） M （第24题图） O x y 【2024年浦东一模】 24．（本题满分12分，其中每小题各4分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：过点A（2，2）、点B（0，2），顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． （1）求抛物线M的表达式和点C的坐标； （2）点P在x轴上，当△AOP与△ACD相似时，求点P坐标； （3）将抛物线M向下平移t（t＞0）个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转135°得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值． 1 y 1 x O （第24题图） 【2024年杨浦一模】 24．（本题满分12分，每小题各4分） 已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段BC上一点，如果∠PAC=45°，求点P的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF⊥直线AP，垂足为点F，如果tan∠PEF=，求平移后抛物线的表达式． O 第24题图 【2024年青浦一模】 24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（1，2）和点B（2，1），与y轴交于点C． （1）求a、b的值和点C的坐标； （2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线CA上，设平移后的抛物线的顶点为点D，当△CDP与△CAP相似时，求平移后的抛物线的表达式． （第24题图） 【2023年静安一模】 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①、②小题各4分） 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，∠ABC的余切值为，AB＝8，点P在抛物线上，且PO=PB. （1）求上述抛物线的表达式； （2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P,新抛物的对称轴与x轴交于点E. ①求新抛物的对称轴； ②点F在新抛物线对称轴上，且∠EOF=∠PCO，求点F的坐标. 第24题图 O y x C A B 【2023年奉贤一模】 24．（本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)小题每小题满分4分） 如图10，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为A，与x轴相交于点B、C（3，0）（点B在点C的左边），与y轴相交于点D． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为点E，联结DE． ①如果DE∥AC，求四边形ACDE的面积； ②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当∠DQE=∠CDQ时，求点Q的坐标． ( O 图1 0 ) 【2023年金山一模】 24.（本题12分，每小题各4分） 已知抛物线经过点，，顶点为点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式以及顶点的坐标； （2）将抛物线向上平移个单位后，点的对应点为点，若此时//，求的值； （3）设点在抛物线上，且点在直线上方，当时，求点的坐标． （第24题图） 【2023年黄浦一模】 24．（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，点A，B，C，D在抛物线上． （1）当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线经过点，求m的值； （2）若，且、、中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． x O y -1 1 2 【2023年松江一模】 24．（本题共2小题） 在平面直角坐标系xOy中（如图13），已知抛物线经过点A（2，0）和点B（，3）. （1）求该抛物线的表达式； （2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P（m，n）. ① 如果PO=PA，且新抛物线的顶点在△AOB 的内部，求m+n的取值范围； ② 如果新抛物线经过原点，且∠POA=∠OBA，求点P的坐标. （图13） 1 1 A B • • 【2022年普陀一模】 24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 如图13，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线交于点、，与轴交于点，联结． （1）求、的值和抛物线的表达式； （2）点在抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标． （3）将△平移，平移后点仍在抛物线上，记作点，此时点恰好落在直线上，求点的坐标． 图13 y x O A B C 【2022年闵行一模】 24．（本题共3题，每小题4分，满分12分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． 点C为抛物线的顶点． （1）用含a的代数式表示顶点C的坐标； （2）当顶点C在△AOB内部，且时，求抛物线的表达式； （3）如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移个单位后，平移后的抛物线的顶点P仍在△AOB内，求a的取值范围． y B x O A （第24题图） 【2022年金山一模】 24．（本题满分12分，每小题4分） 已知：抛物线经过点A（0，1）和B（1，4），顶点为点P，抛物线的对称轴与轴相交于点Q. （1）求抛物线的解析式； （2）求∠PAQ的度数； （3）把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ=CP，求平移后的抛物线解析式. 【2022年奉贤一模】 24．（本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)小题每小题满分4分） 如图11，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式的顶点D的坐标； （2）将抛物线沿y轴上下平移，平移后所得新抛物线顶点为M，点C的对应点为E． ①如果点M落在线段BC上，求∠DBE的度数； ②设直线ME与x轴正半轴交于点P，与线段BC交于点Q，当PE=2PQ时，求平移后新抛物线的表达式． ( C 图 11 A ) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$