精品解析： 浙江省温州市绣山中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学卷

凛冬破冰学习力评估（数学） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 若（x，y均不为0），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为 ，则温州与杭州的实际距离约为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，， 分别是边 ，上的点， ，则下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线 ，直线交于点，直线交于点 ．若，则的长为（ ） A. B. C. 10 D. 6 6. 如图，若点C是线段 的黄金分割点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡 的坡比是 ，坝高，则迎水坡 的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．若，则栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离 为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中， 的值（ ） A. 先变小再变大 B. 先变大再变小 C. 一直变小 D. 一直变大 10. 如图，在矩形 中，延长至点 ，以，为边作矩形，以 为直径作半圆 交于点，在上取点 使得，过点 作的垂线交于点，过点P作 于点．清朝数学家李子金用这样的画法可得：．若，恰为的中点，则 的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 如图，在中，，若，则的值为______． 12. 如图是一个用来测量小管口径的量具，其中 长为，被分为40等份．若小管口径恰好对着10等份处（ ），则的长为______． 13. 两个相似三角形的最短边分别为 和 ，已知小三角形的周长为 ，则大三角形的周长为______． 14. 如图，在四边形 中，平分 ，，则的长为________________ ． 15. 如图，点D为三角形纸片 的重心，过点D作 的平行线分别交于点E，F．若的面积为9，则的面积为______． 16. 如图，在中，，D是边 上的一点，作点D关于的对称点E，连接分别交于点F，G．若，则的值为______，的值为______． 三、解答题（本题有7小题，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）． （2）已知线段，线段 是线段，的比例中项，求线段 的长． 18. 如图，在 中， ，是边 上一点，且． （1）求证：． （2）若， ，求 的长． 19. 如图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． （1）填写两个长与宽成比例的矩形：图______和图______．（填“甲”或“乙”或“丙”） （2）改变（1）中未被选择矩形的一边长，使之与（1）中矩形的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由． 20. 在中， 为 的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，在上找出一点，使点是的一个三等分点； （2）如图2，在上找出一点，使点是的中点． 21. 图1是一款折叠式桌子，图2是其侧面示意图，桌腿交于点O．当桌子平稳放置水平地面时，测得． （1）求证： ． （2）求此时桌子的高度． 22. 图1是某种云梯车，图2是其示意图，液压杆 两端分别固定在水平底盘和云梯上，云梯可绕点O旋转，可伸缩，．在某种工作状态下测得． （1）求的长． （2）如图3，工作人员在云梯末端点D高空作业时，伸长到最大长度，并将云梯绕点O顺时针旋转至，发现铅直高度升高，求云梯 的旋转角度数．（参考数据：．） 23. 如图，在 中， ，以点C为圆心，为半径的圆分别交， 于点D，E，过点A作 于点F． （1）求证： ． （2）已知点M在边上，． ①若 ，，点M关于 的对称点记为，，求k的值及 的长． ②若 ，以A，E，M为顶点的三角形与相似，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凛冬破冰学习力评估（数学） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 若（x，y均不为0），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，正确将比例式变形是解题的关键． 直接利用比例的性质逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A．，则 ，故此选项错误； B．，则 ，故此选项错误； C．，则，故此选项错误； D．，则，故此选项正确； 故选：D． 2. 在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为 ，则温州与杭州的实际距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段的应用，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．比例尺图上距离实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离． 【详解】解：根据比例尺图上距离实际距离， ∴温州与杭州的实际距离约为． 故选：C． 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 利用位似是特殊的相似，若两个图形和以原点为位似中心，相似比是k，上一点的坐标是则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可． 【详解】解：点的对应点为，即，， 点的对应点的坐标为 故答案为：A． 4. 如图，在中，，分别是边，上的点， ，则下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．利用 ， ，可判定 ，再利用相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴， 只有选项D符合题意， 故选：D． 5. 如图，直线 ，直线交于点，直线交于点 ．若，则的长为（ ） A. B. C. 10 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例求出，即可求解． 【详解】解：∵ ，， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，若点C是线段的黄金分割点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比”，理解黄金分割的概念是解题关键．根据黄金分割的定义列比例式即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是 ，坝高，则迎水坡的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键． 利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵迎水坡的坡比是 ，坝高， ， 解得： ， 则． 故选：B． 8. 如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．若，则栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半即可得解，由旋转性质得根据直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半即可得解． 【详解】解：由题意可得，，， ∴栏杆B端从栏杆水平位置上升的垂直距离， 故选：A． 9. 如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中， 的值（ ） A. 先变小再变大 B. 先变大再变小 C. 一直变小 D. 一直变大 【答案】D 【解析】 【分析】本题的考点是特殊三角形的三角函数，方法是熟记特殊三角形的三角函数，根据正弦的定义：对边比斜边即可解答． 【详解】解：栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，升高的高度为， 在中，，为定值，随旋转角的增大而增大， 的值随的增大而增大， 的值一直变大 故选：D． 10. 如图，在矩形中，延长至点，以，为边作矩形，以为直径作半圆交于点，在上取点使得，过点作的垂线交于点，过点P作 于点．清朝数学家李子金用这样的画法可得：．若，恰为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，由，得到，由，进而得到，求出，得到，设，则，，得到，连接，，由圆周角定理得到，进一步证明，得到，得到 ，即，求解即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵四边形和四边形为矩形， ∴，，， 连接，，如图： ∵为半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 如图，在中，，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦的定义，理解正弦的定义是解题的关键． 直接运用正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 12. 如图是一个用来测量小管口径的量具，其中长为，被分为40等份．若小管口径恰好对着10等份处（ ），则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．由 得，再根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】 ， ， ， ， ，， ， 解得． 故答案为： ． 13. 两个相似三角形的最短边分别为 和 ，已知小三角形的周长为 ，则大三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，据此即可求解； 【详解】解：∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴小三角形的周长与大三角形的周长比为， ∴大三角形的周长为， 故答案为： 14. 如图，在四边形中，平分 ，，则的长为________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明，然后根据相似三角形的性质得到，再将代入计算，即得答案． 【详解】解：∵平分 ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，点D为三角形纸片 的重心，过点D作的平行线分别交于点E，F．若的面积为9，则的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查重心的性质、三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质，连接，并延长交于点，连接，并延长交于点，证明得证明得证明运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：连接，并延长，交于点，连接，并延长，交于点， 则分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 而， ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 16. 如图，在中，，D是边上的一点，作点D关于的对称点E，连接分别交于点F，G．若，则的值为______，的值为______． 【答案】 ①. ## ②. 3 【解析】 【分析】本题主要考查了正切的定义、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 由轴对称的性质可得，进而得到，即；再根据勾股定理以及正切的定义可得，，进而得到；再结合已知条件可得，最后代入即可的的值；设，则，，先证明，根据相似三角形的性质列比例式可求得，进而求得；如图：过D作于H，则四边形是矩形，可得，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：∵点D关于的对称点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即，即 ∵， ∴，即， ∴； 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∵ ∴，解得： 如图：过D作于H，则四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：，3． 三、解答题（本题有7小题，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）． （2）已知线段，线段 是线段，的比例中项，求线段 的长． 【答案】（1）； （2）线段 的长是． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，以及成比例线段，熟记相关结论是解题关键． （1）根据各特殊角的三角函数值，据此即可求解；        （2）由题意得，据此即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵线段 是线段，的比例中项， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段 的长是． 18. 如图，在 中， ，是边上一点，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出 ，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 19. 如图有3个已知边长的矩形，分别记为图甲、图乙、图丙． （1）填写两个长与宽成比例的矩形：图______和图______．（填“甲”或“乙”或“丙”） （2）改变（1）中未被选择矩形的一边长，使之与（1）中矩形的长与宽成比例，请给出一种更改方案，并说明理由． 【答案】（1）甲，丙； （2）图乙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例． 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键． （1）将三个图中求出长与长的比值、宽与宽的比值，比较即可得解； （2）设图乙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，构造方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵图甲和图乙中，，图丙和图乙中，， ∴图甲和图乙的长与宽不成比例，图丙和图乙的长与宽不成比例， ∵图甲和图丙中，， ∴图甲和图丙的长与宽成比例， 故答案为：甲，丙； 【小问2详解】 解：方案：图乙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例．理由如下： 设图乙中，长减少x时，与（1）中矩形的长与宽成比例，则 ， 解得， ∴图乙中，长减少7时，与（1）中矩形的长与宽成比例． 20. 在中，为的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，在上找出一点，使点是的一个三等分点； （2）如图2，在上找出一点，使点是的中点． 【答案】（1） 如图，连接交于点，点就是所求作的点； （2） 画图如下：则点就是所求作的点． 【解析】 【分析】（1）根据题意，只需满足求解即可； （2）连接和，交点为，连接并延长交于即可． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点，点就是所求作的点； ∵， ∴ ， ∴ ， ∴，即点是的一个三等分点； 【小问2详解】 解：根据题意，画图如下：则点就是所求作的点． ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵为的中点， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴点是的中点． 21. 图1是一款折叠式桌子，图2是其侧面示意图，桌腿交于点O．当桌子平稳放置水平地面时，测得． （1）求证： ． （2）求此时桌子的高度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意可推出均为等腰三角形，得出，即可求证； （2）作 ，可推出；证，得出，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵ ∴ ∴均为等腰三角形， ∵ ， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：作 ，如图所示： ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴ 即：桌子的高度为 22. 图1是某种云梯车，图2是其示意图，液压杆两端分别固定在水平底盘和云梯上，云梯可绕点O旋转，可伸缩，．在某种工作状态下测得． （1）求的长． （2）如图3，工作人员在云梯末端点D高空作业时，伸长到最大长度，并将云梯绕点O顺时针旋转至，发现铅直高度升高，求云梯的旋转角度数．（参考数据：．） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）过点作于点，先在 中，解直角三角形可求出的长，再在 中，解直角三角形即可得； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，，先在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，再在中，可求出的正弦值，从而可得的度数，然后根据角的和差求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 在 中，， 在 中，， 答：的长约为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， ∴， 答：云梯的旋转角度数为． 23. 如图，在 中， ，以点C为圆心，为半径的圆分别交，于点D，E，过点A作 于点F． （1）求证： ． （2）已知点M在边上，． ①若 ，，点M关于的对称点记为，，求k的值及的长． ②若 ，以A，E，M为顶点的三角形与相似，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①，；②的值为或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由等边对等角结合对顶角相等得出，再由，即可得证； （2）①由（1）可得 ，由相似三角形的性质可得，由题意可得点在上，，，设，则，则，，证明，得出，证明，得出，求出，得出，，从而即可得出，再由勾股定理计算即可得出的长；②设，则，，再分两种情况：当时；当时；分别利用相似三角形的性质、勾股定理等知识点求解即可． 【小问1详解】 证明：∵以点C为圆心，为半径的圆分别交，于点D，E， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：①由（1）可得 ， ∴， ∵，点M关于的对称点记为，， ∴点在上，，， ， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴； ∴， ∴， ∴； ②由（1）可得 ， ∴， ∵， ， ∴设，则， ∴， ∵以A，E，M为顶点的三角形与相似， ， ∴如图，当时， ， ∵， ∴， ∵，， ∴由角平分线的性质定理可得： ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴； 如图，当时， ， ∵， ∴， 由（1）可得： ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴， 由（1）可得： ， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $