期末重难点真题特训之易错必刷题型（105题30个考点）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练 （人教版)

期末重难点真题特训之易错必刷题型（105题30个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、反比例函数求值计算题 1．（24-25九年级下·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系．根据反比例函数表达式和图象上点的坐标的关系求解即可． 【详解】解：A、将代入得：，∴在双曲线上，符合题意； B、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； C、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； D、将代入得：，∴不在双曲线上，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级下·河北石家庄·期中）如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． x 10 ？ y 3 5 【答案】6 【分析】本题考查了求反比例关系的关系式及相应x值，准确求得反比例的关系式是解决本题的关键． 设x和y成反比例关系式为，把，代入解析式，即可求得关系式，再把代入即可求得． 【详解】解：设x和y的反比例关系式为， 把，代入关系式，得， 所以，x和y的关系式为， 把代入关系式，得， 解得， 故“？”处应填6， 故答案为：6． 3．（23-24九年级下·贵州贵阳·期末）小星根据学习反比例函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)下面是画函数图象的步骤： 列表： x … －4 －2 －1 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 其中，______，______， 描点、连线：把图象补充完整； (2)观察函数的图象，当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)4，4，图见解析 (2)或 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象的画法是解答本题的关键． （1）将和代入解析式，可知、值，画出函数图象即可； （2）根据函数图象可直接写出时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）当时，，当时，， 故答案为：4；4． 图象如图示： （2）根据图像，当时，自变量的取值范围为或． 易错必刷题二、反比例函数、二次函数图象综合判断 1．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据抛物线开口向下可得，由抛物线与轴的正半轴相交得，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由抛物线与轴的正半轴相交得， 则反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：C． 2．（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）函数与的图象如图所示，当的取值范围为 时，，均随着的增大而减小． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，根据二次函数和反比例函数图象解答即可． 【详解】解：根据二次函数图象当时，随着的增大而减小，当时，反比例函数随着的增大而减小． 故答案为：． 3．（2024·江苏扬州·一模）阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（    ）； A．换元思想    B．数形结合思想    C．整体思想 (2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； (3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 【答案】(1)B (2) (3)只有一个实数根，理由见解析 【分析】本题考查二次函数与不等式(组)及一次函数与二元一次方程(组)，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）根据题中所给解题过程，可得出其中运用了数形结合的数学思想，据此可解决问题． （2）将所给方程组的解转化为所对应函数解析式图象的交点问题即可． （3）将所给一元三次方程转化为二次函数图象与反比例函数图象的交点问题即可， 【详解】（1）解：由题知，上述解题过程中还运用了数形结合的思想， 故选：B （2）方程组的解可看成函数与图象的交点坐标， ∵直线：与直线：交于点， 则， ∴两条直线的交点为， ∴方程组的解是， 故答案为：． （3）一元三次方程有1个实数根． 由方程得 ， ∴， ∴原方程的实数根的情况可看成函数与函数图象的交点问题， 如图所示： ， 两个函数图像只有一个交点， ∴一元三次方程只有一个实数根． 易错必刷题三、反比例函数的增减性求参数 1．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上两点的函数值确定k的符号，列不等式求解即可． 【详解】解：，两点在双曲线上，且，， ， ， 故选：D． 2．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）若反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，解不等式，掌握反比例函数图形的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∴， 解得，， 故答案为： ． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)1 (2) (3)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【分析】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入表达式计算即可得到答案； （2）根据在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，得到不等式并解不等式即可得到答案； （3）根据反比例函数表达式代入横坐标，判断纵坐标是否相等即可得到答案． 【详解】（1）解： 点在这个反比例函数的图象上， ， 解得． （2）若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大， 则， 解得． （3）若，则， 而， 点在这个函数的图象上， 点不在这个函数的图象上． 易错必刷题四、求特殊图形的面积 1．（23-24九年级下·安徽滁州·期中）如图所示是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，试比较和的大小． 【答案】(1)第三象限， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质， （1）根据一支所处象限可求得另一支所在象限，同时可知反比例函数的系数大于零，即可解得答案； （2）根据反比例函数的性质，在图象的每一个象限内随增大而减小，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据反比例图象的性质得，其中一支在第一象限，则另一支在第三象限， ∵图象在第一、三象限，则 ∴， （2）∵函数图象在第一、三象限，在每个象限内随增大而减小， ∴如果，则． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，矩形的边在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，求矩形的面积．    【答案】矩形的面积是2 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得矩形的面积和矩形的面积，根据可得结论． 【详解】解：设，则， 由此可得：， ， 则有． 【点睛】考查反比例函数的几何意义的综合应用，通过反比例函数上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为． 3．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图双曲线 与矩形的边 、分别交于 E 、 F 点， OA 、 OC 在坐标轴上，且，求 k ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形面积的综合问题，即利用图形面积求值，以及矩形的性质等知识，连接，利用双曲线，设点E的坐标，利用矩形的性质及，用含m的代数式表示出点B的坐标，由点B和F的纵坐标相等，可得出点F的坐标，然后根据四边形的面积矩形的面积减去的面积减去的面积，建立关于k的方程，解方程求出k的值，再根据函数图象的位置，可得出符合题意的k的值． 【详解】解：如图，连接，设， ∵， ∴ ， ∵矩形，点在上，且在反比例函数图象上， 当 时，， ∴， ∴， 解得：． 易错必刷题五、求反比例函数解析式 1．（2024·贵州黔东南·一模）已知反比例函数的图象如图所示，线段平行轴，其中点坐标为，而反比例函数图像恰好经过的中点，则的值为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确求得中点的坐标是解题的关键．求得的中点坐标，代入即可求得． 【详解】平行轴， 的纵坐标相同， 点坐标为，点在点左侧，， ∴点的坐标为， 中点的坐标为． 又反比例函数图象经过的中点， ． 故选A． 2．（23-24九年级下·重庆长寿·期中）已知点在反比例函数的图象上，该反比例函数的图象上另一点A的横坐标为6，则A点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，先将代入求出k的值，再将点A的横坐标代入解析式即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， ， 当时，， A点的坐标是， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·湖南永州·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，若反比例函数恰好经过点，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．过点C作轴于点D，由题意得，，，然后根据含30度直角三角形的性质求出点C的坐标即可得到答案． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：    ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，     ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴． 易错必刷题六、反比例函数与几何综合 1．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）如图，点P是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为． (1)n是m的______函数，并加以说明．（填“一次”或“反比例”） (2)当时，求m的取值范围． 【答案】(1)反比例 (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，求得是解题的关键． （1）由题意可知，代入即可得到，即可得到是的反比例函数； （2）求得时的的值，然后结合图象即可求得当时的取值范围． 【详解】（1）解：作轴于点，点是的中点，设点的坐标为， ， 点是反比例函数图象上的一个动点， ， ， 是的反比例函数， 故答案为：反比例； （2）解：当时，求得， 当时，的取值范围是． 2．（24-25九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，已知的锐角顶点在反比例函数的图象上，且的面积为3，，求： (1)点的坐标； (2)函数的解析式； (3)直线的函数关系式为，求的面积？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，由的面积可求得，即可得到的坐标； （2）因为点在反比例函数的图象上，所以根据的坐标即可求出函数解析式； （3）根据直线解析式求的坐标，得的长，从而得的长，再根据面积公式求解． 【详解】（1）解：根据题意得， （2）解：点在反比例函数的图像上 反比例函数解析式为 （3）解：当时， 解得： 3．（2024·山东淄博·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，． (1)求k的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)直线与y轴的交点为C，若P为x轴上的一点，当的面积为3时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． (3)或． 【分析】（1）依据题意，由两函数图象相交于点，从而，求出后可得的坐标，再代入反比例函数，即可得解； （2）依据题意，在函数上，从而可得的坐标，再由不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量的取值范围，从而可以判断得解； （3）依据题意，令，可得直线与轴的交点，再令，可得，又设，再结合，，可得，进而求出，即可得解．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】（1）解：． ． ． 又在反比例函数上， ． （2）解：由题意，在函数上， ． ． 由图象可得不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量的取值范围， 又，， 或． （3）解：由题意，令， ． 直线交轴于点． 对于函数，令， ． ． 设， 又，， ． ． 或． 或． 易错必刷题七、一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（24-25九年级下·河南新乡·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图像和性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数k的取值．由直线恒过定点排除C、D，再由A、B可知直线过一、二、三象限可得k大于0，由此得到过二、四象限得答案． 【详解】解：直线恒过定点，可知C、D错误， 由A、B可知，， ∴的图象在第二、第四象限， 故选：A． 2．（23-24九年级下·广东佛山·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，不等式的解集等知识点，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 利用数形结合思想，观察函数图象即可发现，一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象即可发现，在直线左侧以及轴和直线之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 当或时，， 故答案为：或． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可． （2）根据函数图像即可求解． 【详解】（1）解：把的坐标代入， 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为： 把的坐标代入， 得 ∴的坐标 把，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方． ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 易错必刷题八、一次函数与反比例函数的交点问题 1．（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，掌握函数与不等式的关系是解答关键． 根据图象确定出它们的交点，利用交点坐标来确定出不等式的解集． 【详解】解：由图象可知，一次函数与反比例函数的交点是和， 所以当或时，． 故选：C． 2．（24-25九年级下·山东潍坊·阶段练习）若函数的图象与一次函数的图象有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、一元二次方程根的判别式，先联立方程组，再整理为关于x的一元二次方程，根据列不等式求解即可． 【详解】解：联立方程组，整理得， ∵函数的图象与一次函数的图象有公共点， ∴方程有实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数； （1）把点代入到反比例函数中，计算即可； （2）将点代入反比例函数的解析式，得到，再结合图象即可求出． 【详解】（1）由点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． （2）将点代入反比例函数的解析式 得， ∵ 观察图象，不等式的解集为或． 易错必刷题九、一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．（2024·山东青岛·二模）反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，且，可得函数过点，从而可得答案． 【详解】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得， 且当时，， ∴， ∵， 当时，， ∴函数过点； ∴A符合题意， 故选：A． 2．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点A，点在线段的延长线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点、，将线段、和函数的图象在、之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有5个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，根据题意以及两个函数图象，找到区域内恰有5个整点的临界情况，然后结合图象可得答案． 【详解】解：如图， 在函数中，当时，由得， 当时，由得， 由图象可知，当时，区域内恰有5个整点， 故答案为：． 3．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式： （1）代入点C坐标求得反比例函数的关系式，再计算点B的坐标，将点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）分别求出点A、D和E的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得：， 则； （2）解：∵，轴， ∴点， 由（1）可得，直线解析式为， 当时，，点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 易错必刷题十、实际问题与反比例函数 1．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）关系如图所示，则当电阻为时，电流为（   ） A．5A B．4A C．3A D．2A 【答案】B 【分析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：B． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，物理实验小组在实验课上，小华展示用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握求反比例函数的解析式是解题的关键．根据题意，设反比例函数的解析式为，代入，，得出k的值，再代入到反比例函数的解析式即可解答． 【详解】解：由题意得，设反比例函数的解析式为， 代入，，得， 解得：， 反比例函数为， 令，则， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）为预防疾病传播，某小区业主对自己的家庭进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例；燃烧完，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为，根据以上信息解答下列问题： (1)直接写出药物燃烧阶段y关于x的正比例函数表达式和药物燃烧完y关于x的反比例函数表达式．（需要写出各函数的自变量取值范围） (2)当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方才无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间业主才可以回家？ 【答案】(1)； (2)从消毒开始，经过业主才可以回家 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出药物燃烧后，时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为， ∴， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为； 设药物燃烧后y关于x的函数表达式为， ∴， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， ∴从消毒开始，经过业主才可以回家． 易错必刷题十一、成比例线段 1．（24-25九年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，若等腰三角形底与腰的比等于，则称等腰三角形为“黄金等腰三角形”，若一个黄金等腰三角形的腰长为2，则底为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例的基本性质与方程思想，黄金三角形的底与腰之比等于黄金比；解题时要注意方程思想的应用；根据黄金三角形的定义即可得到方程．首先要理解题目中的黄金三角形的定义是底与腰之比等于黄金比的等腰三角形，又已知了黄金三角形的腰长为2，即可得到等式． 【详解】解：设等腰三角形的底边长为， 根据题意可得， 解得， 所以其底边长为． 故选：C． 2．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）已知（x，y，z均不为零），则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件可设,则,将其代入所求分式，计算即可得解，熟练掌握根据分式的基本性质先用未知数表示出,再代入计算是解决此题的关键． 【详解】解：（x，y，z均不为零）, 设,则, ， 故答案为： 3．（24-25九年级下·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】(1)等比；合比 (2) 【分析】（1）根据题意，利用等比和合比的基本性质解答即可； （2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等比的基本性质，在第二步解题过程中应用了合比的基本性质； 故答案为：等比；合比． （2）解：依题意，设， 则，，， ． 易错必刷题十二、黄金分割 1．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）唢呐是山西八大套的乐器之一，如图，一个中号唢呐的长约为．若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰．则该装饰与吹口的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割点，根据黄金分割点得，进而可得出． 【详解】解： ∵点P为靠近点B的黄金分割点， ∴，即， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级下·福建宁德·期中）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求出，再利用线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·安徽阜阳·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【答案】米 【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，为分式方程的解， ∵， ∴， 答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上． 易错必刷题十三、平行线分线段成比例 1．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知直线，，分别交直线于点，，，交直线于点，，，且．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，由，得，把，，代入求出，然后由线段和差即可求解，掌握平行线分线段成比例定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例，列出比例式，再将已知数据代入求解，即可解题． 【详解】解：直线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 3．（2024·山东滨州·三模）如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据“同角的余角相等”得，然后根据等腰三角形的性质得，即可得，进而得出答案； （2）作，根据等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线的性质得，接下来根据勾股定理求出，进而得出，，再根据勾股定理求出，最后根据平行线分线段成比例得出答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）过点D作，交于点G， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． 在中，，， ∴， ∴，． 在中，，， 根据勾股定理，得． ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，勾股定理，角平分线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 易错必刷题十四、相似多边形的性质 1．（24-25九年级下·四川内江·期中）如图，设小方形的边长为1，四边形与四边形相似，且它们的顶点都在格点上，则它们的面积比是（   ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似多边形对应边的比等于相似比，得到它们的相似比是，根据面积比等于相似比的平方即可求得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，与是对应边， ， ∴它们的相似比是， ∴它们的面积比是4， 故选：C． 2．（24-25九年级下·贵州贵阳·期中）如图，四边形四边形，若 ，则 度． 【答案】130 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，多边形的内角和定理，先根据四边形内角和定理求出，再根据相似图形的对应角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形四边形， ∴． 故答案为：130． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】(1)不相似，见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案． 【详解】（1）解：不相似，理由如下： 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为x， ∵，， ∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）解：当小路的宽x与y的比值为时， 矩形和矩形相似． 理由如下： 当矩形和矩形相似时，解得 所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似． 易错必刷题十五、选择或补充条件使两个三角形相似 1．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知点D，E分别在的边上，请添加一个条件 ，使得．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据题意，得到两个三角形有一对公共角，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵点D，E分别在的边上， ∴， ∴当时，； 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点，使.（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查作图相似变换，解题的关键是若，则，根据作一个角等于已知角的方法，作，交于点即可． 【详解】解：如图，点即为所求.      易错必刷题十六、相似三角形的判定与性质综合 1．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，平分，D为中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据D为中点，得，证明，根据相似三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵D为中点， ， ∵平分， ， ∵， ， ∴， ． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，点D在边上，且交于点E． (1)求证：； (2)若，E是中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由可得出，再结合公共角相等，即可证出； （2）在中，点E为线段的中点可求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长． 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴． 又∵， ∴； （2）解：在中， ∴ ∵E是中点， ∴ ∵， ∴ 即 ∴． 3．（24-25九年级下·浙江·期中）如图，在中，D是上一点，已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据“两边对应成比例且它们的夹角相等”可判断三角形相似； （2）由三角形内角和可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解 【详解】（1）证明：，， ， （2）解：，， ， ， ． 易错必刷题十七、相似三角形应用举例 1．（23-24九年级下·浙江台州·期末）景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？ 【答案】10米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，先证明，可得，从而可得答案； 【详解】解：， ， ， ， ， ， 米． 2．（23-24九年级下·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 3．（2024·北京东城·一模）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【答案】(1)， (2)43 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键． （1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程； （2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度． 【详解】（1）由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； （2）对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 易错必刷题十八、相似三角形——动点问题 1．（23-24九年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，一次进行判断即可． 【详解】解：①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， 综上：一共有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握“有两个角分别相等的两个三角形相似”． 2．（23-24九年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，与相似． 【答案】2或5/5或2 【分析】分和两种情况解答即可． 【详解】解：设P、Q运动时间为秒， 根据题意，，，则， 当时，则，即， 解得：； 当时，则，即， 解得：， 综上，当经过2或5秒钟，与相似． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键． 3．（24-25九年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 【答案】当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设运动的时间为秒，则，，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，，， 当时， ，即， 解得：； 当时， ，即， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 易错必刷题十九、图形的位似 1．（24-25九年级下·广东揭阳·阶段练习）与是位似图形，且与的相似比是．已知的面积是3，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，与位似比是， ∴，且与相似比是， ∴与面积比是， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 根据题意可得位似比为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（24-25九年级下·山西大同·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在第二象限内画出，并求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了作位似图，作轴对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据原点为位似中心，将放大为原来的2倍，分别找出点，再依次连接，得出，结合（1）得，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 与是位似图形， ，且相似比为1:2， ， 由（1）得， ， ． 易错必刷题二十、正切、正弦、余弦概念辨析 1．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案； （2）先证明，再根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，在中，设， ∴， 当减小时，的值减小，而此时的度数在增大， ∴可知越大，的值越小， ∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图所示，在中，设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点，连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）根据AB=AM，可得∠ABM=∠AMB=∠EMC，再由同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠EBC=∠ECM，然后由BC为直径，可得∠EMC+∠ECM=90°，从而得到∠ABM+∠EBC=90°，即可求证； （2）根据tan∠ACB＝，可设AB=5x，则BC=12x，AM=5x，再由△CEM∽△BEC，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB=AM， ∴∠ABM=∠AMB=∠EMC， ∵点E为弧CF的中点， ∴∠EBC=∠ECM， ∵BC为直径， ∴∠BEC=90°， ∴∠EMC+∠ECM=90°， ∴∠ABM+∠ECM=90°， ∴∠ABM+∠EBC=90°， ∴∠ABC=90°， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：∵， 可设AB=5x，则BC=12x，AM=5x， ∴AC=13x， ∴CM=AC-AM=8x， ∵∠EBC=∠ECM，∠BEC=∠CEM=90°， ∴△CEM∽△BEC， ∴， ∵BM＝10． ∴， ∴，， ∴， ∴EC=12． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形相似的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 易错必刷题二十一、求角的正切、正弦、余弦值 1．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在中，若，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边，∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边． 【详解】解：A．，故不正确；     B．，正确；     C．，故不正确；     D．，故不正确； 故选B． 2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余切的定义是解题关键．先画出图形，根据正弦的定义可得，再根据余切的定义即可得． 【详解】解：∵，， 设，则，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，点为边上的动点（不包括，两点），以点为顶点作，射线交边于点，过点作，交射线于点，连接． (1)求证：； (2)探索：点在边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值． 【答案】(1)见解析 (2)不变化， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再证，然后由相似三角形的判定即可得出结论； （2）过点A作于M，由等腰三角形的性质得，再由锐角三角函数定义得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 过点A作于M，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即的值不变化． 易错必刷题二十二、三角函数的定义求边长 1．（23-24九年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，用计算器计算三角函数值，先解直角三角形得到，再根据科学计算器的计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴用科学计算器求的长的按键顺序为： ； 故选D． 2．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 3．（23-24九年级下·西藏林芝·期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长． 【答案】3 【分析】本题考查正多边形的计算，解题关键是理解正六边形被半径分成了六个全等的等边三角形．先得到，，再利用余弦的含义解答即可． 【详解】解：∵边心距， ∴， ∵正六边形的边长为， ∴正六边形的半径为， 即， ∴， ∴正六边形的边心距是； 故答案为3． 易错必刷题二十三、特殊角三角函数值的混合运算 1．（2024·湖南·模拟预测）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（　　）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角三角函数值计算求解． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（2024九年级·广东·学业考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）(1)计算：． (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂以及解一元二次方程，熟练掌握各个运算法则和灵活选取适当方法解方程是解题的关键． （1）根据化简绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则并代入特殊角三角函数值计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 解得：，． 易错必刷题二十四、根据特殊角三角函数值求角的度数 1．（2024·江苏南京·二模）如图，五边形内接于，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，解直角三角形．连接，由，求出，判定，推出，由圆内接四边形的性质推出，即可求出． 【详解】解：连接，如图， ，， ， ， ， ∴， ， 四边形是圆内接四边形， ， ． 故选：C． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）已知为锐角，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查特殊角三角形函数值，由得，可得． 【详解】解：∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：1． 3．（23-24九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，于点，，，．    (1)求的大小； (2)若点，分别为，的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据等腰三角形的判定可得，在中，可得，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，再由三角形中位线定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴． 易错必刷题二十五、三角函数综合 1．（23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB=20，；求：（1）求线段AE的长；（2）求cos∠DAE的值． 【答案】（1）12.5；（2） 【分析】（1）根据锐角三角函数，可得，再由直角三角形的性质，即可求解； （2）根据直角三角形的面积，可得，再由锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，点E是BC的中点， ； （2）， ， ∴ ， ∵，， AB=20， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数，直角三角形的性质是解题的关键． 2．（2024·上海金山·二模）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，，垂足为F. （1）求证：； （2）如果，求的余切值. 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）矩形的性质得到，得到，根据定理证明；（2）根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可. 【详解】解：（1）证明：四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及余切的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 3．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图, 某种路灯灯柱 垂直于地面, 与灯杆 相连. 已知直线 与直线 的夹角是 . 在地面点 处测得点 的仰角是 , 点 仰角是 , 点 与点 之间的距离为 米． 求：（1）点 到地面的距离； （2） 的长度．（精确到 米） （参考数据: ） 【答案】（1）2.8米；（2）AB的长度为0.6米 【分析】（1）过点A作交于点F，则，在中，用三角函数即可得； （2）过点A作交于点H，根据，证明四边形AFCH是矩形，则，，设BC=x，则米，根据三角形内角和定理得，即，根据三角函数得DF=2.1米，米，在中，根据三角函数得，则，即可得，则，根据三角函数即可得米． 【详解】解：（1）过点A作交于点F， 则， 在中，（米）， 即点A到地面的距离为2.8米； （2）过点A作交于点H， 在四边形AFCH中，， ∴四边形AFCH是矩形， ∴，， 设BC=x，则米， ∵，， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴米， ∵在中，， ∴， ∴ ， ∴（米）， ∵， ∴（米）． 【点睛】本题考查了三角函数，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 易错必刷题二十六、解直角三角形 1．（24-25九年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先求出，进而求出，设，则，列方程求出x值，即可求出结论． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ， ， ， ∵， 设，则， ， ， 设，则， ， ∵． ∴， 解得：， ， ． 2．（24-25九年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 3．（23-24九年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，对角线，过点作，交延长线于点，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式（不需要写定义域）； (3)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、求函数解析式、平行四边形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点C作交延长线于点O， 根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质求解即可． （2）由（1）可得，根据勾股定理得到，代入数据求解即可． （3）分情况讨论，①当时，可得，②当时，由（1）可得，③当时，由（1）可得，根据勾股定理可得，代入数据计算求解即可． 【详解】（1）解：过点C作交延长线于点O， ， ∴四边形是平行四边形． ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得， ， ， 解得：． （3）解：当是等腰三角形时， ①当时， ． ②当时， ， ， 由（1）可得：． ③当时， 由（1）可得， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 综上所述：的长为或或． 易错必刷题二十七、解直角三角形的应用 1．（2024·安徽六安·模拟预测）在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，） 【答案】59.8米 【分析】本题考查了仰俯角的解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，过点作于点，解，求出，解，求出，最后再根据线段和差进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， 在中，由题意知米， ∴（米） 在中，由题意知米， ∴（米）， （米）． 答：小山的高度约为59.8米． 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 【答案】(1)20米 (2)该车没有超过限速，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出的长是解题的关键． （1）首先利用列方程求出米，然后求出米，进而求解即可； （2）首先求出该车的速度，进而比较求解即可． 【详解】（1）∵米， ∴，即 ∴米， ∵ ∴ ∴米， ∴米； （2）∵米千米，该车从点点行驶到点所用时间为1秒小时 ∴该车的速度为千米/小时， ∵ ∴该车没有超过限速． 3．（2024九年级下·上海·专题练习）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示． 设备名称 红外线体温检测仪 测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面； ②竖直墙面； ③设备安装位置； ④的长是设备安装高度； ⑤的长是测温区域的宽度． 技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角． 探测最小角： 探测最大角： (1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到） (2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到） （参考数据：，，，，， 【答案】(1)3.3米 (2)2.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据正切的定义求出； （2）设的长为，根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 答：线段的长度约为； （2）解：设的长为， 在中，， 则 在中，， 则                                                                   由题意得：， 解得：， 答：该设备的安装高度约为． 易错必刷题二十八、投影 1．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你和他们一起算一下，树高为（   ）．（假设两次测量时太阳光线是平行的） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质， 先根据题意画出图形，再求出，然后根据物高与影长的比相等求出，最后根据得出答案． 【详解】如图所示，根据题意可知，， 根据物高与影长的比相等，得， 解得， ∴． 所以树高为4米． 故选：C． 2．（24-25九年级下·山东淄博·期中）宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于 （填“中心”或“平行 ”投影） 【答案】中心投影 【分析】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．根据中心投影和平行投影的定义即可判断． 【详解】解：由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影， 故答案为：中心投影． 3．（23-24九年级下·河南商丘·期末）如图，文文应用所学的三角形相关知识测量河南广播电视塔的高度，她站在距离塔底A点处的D点，测得自己的影长DE为，此时该塔的影子为，她测得点D与点C的距离为，已知文文的身高DF为，求河南广播电视塔的高．（图中各点都在同一平面内，点A，C，D，E在同一直线上） 【答案】 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用，先证，再根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：太阳光是平行光线， ． 由题意得，． ， ， ． ，， ． ，， ， ． 即河南广播电视塔的高度为． 易错必刷题二十九、求三视图侧面积或表面积 1．（2024·宁夏吴忠·一模）如图②是图①正三棱柱的三视图，若用S表示面积，， ，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图的有关知识，实数的运算，先根据主视图的面积求出三棱柱的高，再根据俯视图的面积求出上底面等边三角形的高即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该三棱柱的高为，且上底面等边三角形的边长为， ∴上底面等边三角形的高的长为， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示的几何体是由5个小正方体摆放而成的，如果每个小正方体的棱长为1，则这个几何体的左视图的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形是左视图，进而求得左视图的面积，即可求解． 【详解】解：这个几何体的左视图如图所示 ∴每个小正方体的棱长为1，则这个几何体的左视图的面积是， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图是实心零件的二种视图，求该零件的表面积．    【答案】该零件的表面积． 【分析】本题考查了根据三视图求面积．根据圆柱体和长方体的表面积公式解答即可． 【详解】解：由三视图可得：此几何体为圆柱体和长方体的组合体， 该零件的表面积． 答：该零件的表面积． 易错必刷题三十、求三视图体积面积 1．（24-25九年级下·湖南衡阳·阶段练习）某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的形状图，解题关键点：熟记常见几何体的形状图．由几何体的形状图可知该几何体为圆柱，进而利用圆柱体积公式求解即可得解． 【详解】解：由图可知该几何体是底面直径为2，高为3的圆柱， ∴该几何体的体积是：， 故选：A． 2．（2024·山西朔州·模拟预测）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为 ． 【答案】12 【分析】此题考查了几何体的三视图，用到的知识点是三视图的基本知识以及长方体体积计算公式． 设俯视图的正方形的边长为a，从主视图可以看出，正方形的对角线长为，可通过勾股定理建立方程，求出，再根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设俯视图的正方形的边长为a， ∵其俯视图为正方形，从主视图可以看出，正方形的对角线长为， ， 解得 ， ∴这个长方体的体积为． 故答案为：12． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图． (1)请问方方所画的三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正． (2)根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数） 【答案】(1)有错，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图求几何体的体积，解题的关键是熟练掌握几何体的三视图的定义． （1）根据几何体的三视图的定义及其画法进行判断即可； （2）根据三视图结合长方体的体积公式和圆锥的体积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：方方所画的三个视图中左视图错了， 正确的为： （2）解： ， 答：其体积为． 1．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案． 【详解】解：该几何体左边是一个圆柱，从上面看，看到的是一个长方形，该几何体右边下部分是正方体，上部分是圆柱，看到的是一个正方形内里镶嵌一个圆， 即该几何体的俯视图是：． 故选：A． 2．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念、相似三角形的性质“对应点的连线都经过同一点；对应边平行”进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确，本选项不符合题意； B、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误，本选项符合题意； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确，本选项不符合题意； D、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确，本选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）． A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该古城墙的高度为． 故选：D． 4．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解题关键．借助函数图象，找出直线在双曲线下方且在轴上方部分对应的自变量取值，即可求出不等式的解集． 【详解】解：直线与双曲线交于点和点， 当时，直线在双曲线下方且在轴上方， 不等式的解集是， 故选：B． 5．（24-25九年级下·河南洛阳·阶段练习）第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）在锐角中，已知满足，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，根据非负数的性质求出、的值，然后求出的度数，继而可求得． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， 则，， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】216 【分析】本题考查了圆锥侧展开图的圆心角的计算，熟知圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长是解题的关键．根据主视图得到圆锥的母线长和底面圆的直径，可得底面周长，再由扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得可知：圆锥的母线长为5， 圆锥的底面直径为6，则圆锥的底面周长为， 由圆锥的侧面展开图的弧长可得：． ∴ 故答案为：216． 8．（2024·四川广元·模拟预测）如图，，，且，则与是位似图形，与的位似比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比是解题的关键．根据相似三角形的性质求出，根据位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴,， ∴与的位似比为， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）反比例函数、在第一象限的图象如图，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于.若，则 . 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，，再利用得到，然后解关于的绝对值方程即可． 【详解】解：轴， ，， ， ， 而， ． 故答案为：6． 10．（23-24九年级下·河北邢台·开学考试）小明利用折射定律，（为折射率，为入射角，为折射角）制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落到点．已知，空气折射率为1，正方形的边长为．    （1）如图1装入某款家用食用油时，恰好 ，该食用油的折射率为 ； （2）如图2，装入纯净水时，若水的折射率为，则 ． 【答案】 /0.8 1.7 / 【分析】（1）根据正弦值的定义及勾股定理即可求解； （2）先求出，即，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ 设 ∴ 故 ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为： （2）∵水的折射率为，即 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为： 【点睛】本题以物理知识为背景，考查了三角函数值的定义，勾股定理的应用．掌握锐角三角函数的定义是关键． 11．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】(1)不相似，见解析； (2)是相似图形，见解析． 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； （2）∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 12．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)若，，的面积为2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据可得，再根据一组相等的直角，即可求证； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ∴． 13．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数与一次函数的函数表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集 (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数表达式，函数图象的关系解不等式； （1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，将代入反比例函数表达式得到，从而求出的坐标是，再利用待定系数法确定一次函数的函数表达式即可得到答案； （2）根据函数图象，写出一次函数在反比例函数图象上方的自变量取值范围即可得到答案； （3）设与轴交于点，连接，根据一次函数解析式求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的解析式为； 在上，则， 的坐标是， 把代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，不等式的解集是或． （3）解：如图所示，设与轴交于点，连接， ∵一次函数的解析式为； 当时，， ∴，即 ∵ ∴ 14．（24-25九年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图是由8个相同的小正方体搭成的几何体，在下面的网格中画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图．（每个小正方形的棱长为） (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）________； (3)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3)3 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，平面图形面积的计算方法， （1）根据各个方向上，几何体图形的特点与平面图形的特点即可求解； （2）根据几何体图形与面积的计算方法即可求解； （3）根据不同方向上看到几何体的特点进行分析即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：每个小正方形的棱长为， ∴几何体的表面积（包括底部）为：； （3）解：从左面看，数量分别为，从上面看，数量分别为， ∵从左面和从上面看到的形状图不变， ∴在正面图形中的后排中间2个，后排右列1个最多添加3个小正方， 故答案为：3． 15．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得，点，，在同一直线上，且直线与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)长 (2)物体上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：在中， 答：长． （2）在中，     在中， ， 答：物体上升的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之易错必刷题型（105题30个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、反比例函数求值计算题 1．（24-25九年级下·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河北石家庄·期中）如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． x 10 ？ y 3 5 3．（23-24九年级下·贵州贵阳·期末）小星根据学习反比例函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)下面是画函数图象的步骤： 列表： x … －4 －2 －1 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 其中，______，______， 描点、连线：把图象补充完整； (2)观察函数的图象，当时，直接写出自变量x的取值范围． 易错必刷题二、反比例函数、二次函数图象综合判断 1．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）函数与的图象如图所示，当的取值范围为 时，，均随着的增大而减小． 3．（2024·江苏扬州·一模）阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（    ）； A．换元思想    B．数形结合思想    C．整体思想 (2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； (3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 易错必刷题三、反比例函数的增减性求参数 1．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）若反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知一个反比例函数的解析式为（为常数，）． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求的值； (2)若在这个反比例函数图象的每一个分支上，的值随的增大而增大，求的取值范围； (3)若，判断点是否在这个函数的图象上． 易错必刷题四、求特殊图形的面积 1．（23-24九年级下·安徽滁州·期中）如图所示是反比例函数的图象的一支．根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，试比较和的大小． 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，矩形的边在x轴上，顶点A在双曲线上，顶点B在双曲线上，求矩形的面积．    3．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图双曲线 与矩形的边 、分别交于 E 、 F 点， OA 、 OC 在坐标轴上，且，求 k ． 易错必刷题五、求反比例函数解析式 1．（2024·贵州黔东南·一模）已知反比例函数的图象如图所示，线段平行轴，其中点坐标为，而反比例函数图像恰好经过的中点，则的值为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．2 2．（23-24九年级下·重庆长寿·期中）已知点在反比例函数的图象上，该反比例函数的图象上另一点A的横坐标为6，则A点的坐标是 ． 3．（24-25九年级下·湖南永州·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，若反比例函数恰好经过点，求k的值． 易错必刷题六、反比例函数与几何综合 1．（23-24九年级下·浙江杭州·期末）如图，点P是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为． (1)n是m的______函数，并加以说明．（填“一次”或“反比例”） (2)当时，求m的取值范围． 2．（24-25九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，已知的锐角顶点在反比例函数的图象上，且的面积为3，，求： (1)点的坐标； (2)函数的解析式； (3)直线的函数关系式为，求的面积？ 3．（2024·山东淄博·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，． (1)求k的值； (2)直接写出不等式的解集； (3)直线与y轴的交点为C，若P为x轴上的一点，当的面积为3时，求点P的坐标． 易错必刷题七、一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（24-25九年级下·河南新乡·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·广东佛山·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，当 时，（写出的取值范围） 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 易错必刷题八、一次函数与反比例函数的交点问题 1．（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 2．（24-25九年级下·山东潍坊·阶段练习）若函数的图象与一次函数的图象有公共点，则k的取值范围是 ． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点，交y轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集． 易错必刷题九、一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．（2024·山东青岛·二模）反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点A，点在线段的延长线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点、，将线段、和函数的图象在、之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有5个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ． 3．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 易错必刷题十、实际问题与反比例函数 1．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）已知蓄电池的电压为定值，用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）关系如图所示，则当电阻为时，电流为（   ） A．5A B．4A C．3A D．2A 2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，物理实验小组在实验课上，小华展示用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度 ． 3．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）为预防疾病传播，某小区业主对自己的家庭进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例；燃烧完，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为，根据以上信息解答下列问题： (1)直接写出药物燃烧阶段y关于x的正比例函数表达式和药物燃烧完y关于x的反比例函数表达式．（需要写出各函数的自变量取值范围） (2)当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方才无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间业主才可以回家？ 易错必刷题十一、成比例线段 1．（24-25九年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，若等腰三角形底与腰的比等于，则称等腰三角形为“黄金等腰三角形”，若一个黄金等腰三角形的腰长为2，则底为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）已知（x，y，z均不为零），则 ． 3．（24-25九年级下·宁夏中卫·期中）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 易错必刷题十二、黄金分割 1．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）唢呐是山西八大套的乐器之一，如图，一个中号唢呐的长约为．若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰．则该装饰与吹口的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·福建宁德·期中）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 3．（23-24九年级下·安徽阜阳·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 易错必刷题十三、平行线分线段成比例 1．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知直线，，分别交直线于点，，，交直线于点，，，且．若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 ．    3．（2024·山东滨州·三模）如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求此时的长． 易错必刷题十四、相似多边形的性质 1．（24-25九年级下·四川内江·期中）如图，设小方形的边长为1，四边形与四边形相似，且它们的顶点都在格点上，则它们的面积比是（   ） A． B．5 C．4 D．3 2．（24-25九年级下·贵州贵阳·期中）如图，四边形四边形，若 ，则 度． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 易错必刷题十五、选择或补充条件使两个三角形相似 1．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·课后作业）已知点D，E分别在的边上，请添加一个条件 ，使得．（写出一个即可） 3．（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点，使.（保留作图痕迹，不写作法）    易错必刷题十六、相似三角形的判定与性质综合 1．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，平分，D为中点，，求证：． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，中，，点D在边上，且交于点E． (1)求证：； (2)若，E是中点，求的长． 3．（24-25九年级下·浙江·期中）如图，在中，D是上一点，已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 易错必刷题十七、相似三角形应用举例 1．（23-24九年级下·浙江台州·期末）景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？ 2．（23-24九年级下·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 3．（2024·北京东城·一模）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 易错必刷题十八、相似三角形——动点问题 1．（23-24九年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级下·山东滨州·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，与相似． 3．（24-25九年级下·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 易错必刷题十九、图形的位似 1．（24-25九年级下·广东揭阳·阶段练习）与是位似图形，且与的相似比是．已知的面积是3，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（24-25九年级下·全国·期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则 ． 3．（24-25九年级下·山西大同·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在第二象限内画出，并求出的值． 易错必刷题二十、正切、正弦、余弦概念辨析 1．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点，连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长． 易错必刷题二十一、求角的正切、正弦、余弦值 1．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．       2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在中，，，则 ． 3．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，点为边上的动点（不包括，两点），以点为顶点作，射线交边于点，过点作，交射线于点，连接． (1)求证：； (2)探索：点在边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值． 易错必刷题二十二、三角函数的定义求边长 1．（23-24九年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 3．（23-24九年级下·西藏林芝·期末）如图，已知正六边形的边长为．求边心距的长． 易错必刷题二十三、特殊角三角函数值的混合运算 1．（2024·湖南·模拟预测）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬耗能，若某人爬了，该坡角为，则他耗能（　　）（参考数据：，） A． B． C． D． 2．（2024九年级·广东·学业考试）计算： ． 3．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）(1)计算：． (2)解方程：． 易错必刷题二十四、根据特殊角三角函数值求角的度数 1．（2024·江苏南京·二模）如图，五边形内接于，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）已知为锐角，且，则 ． 3．（23-24九年级下·福建泉州·期末）如图，在中，于点，，，．    (1)求的大小； (2)若点，分别为，的中点，求的长． 易错必刷题二十五、三角函数综合 1．（23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB=20，；求：（1）求线段AE的长；（2）求cos∠DAE的值． 2．（2024·上海金山·二模）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，，垂足为F. （1）求证：； （2）如果，求的余切值. 3．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图, 某种路灯灯柱 垂直于地面, 与灯杆 相连. 已知直线 与直线 的夹角是 . 在地面点 处测得点 的仰角是 , 点 仰角是 , 点 与点 之间的距离为 米． 求：（1）点 到地面的距离； （2） 的长度．（精确到 米） （参考数据: ） 易错必刷题二十六、解直角三角形 1．（24-25九年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，求的长． 2．（24-25九年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 3．（23-24九年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，对角线，过点作，交延长线于点，． (1)当时，求的长； (2)设，，求关于的函数关系式（不需要写定义域）； (3)当是等腰三角形时，求的长． 易错必刷题二十七、解直角三角形的应用 1．（2024·安徽六安·模拟预测）在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，） 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 3．（2024九年级下·上海·专题练习）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示． 设备名称 红外线体温检测仪 测温区域示意图 设备需安装在垂直于水平面的墙面上． ①水平面； ②竖直墙面； ③设备安装位置； ④的长是设备安装高度； ⑤的长是测温区域的宽度． 技术参数 设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角． 探测最小角： 探测最大角： (1)如果该设备的安装高度为时，请求出图中线段的长度；（结果精确到） (2)如果学校要求测温区域的宽度为时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到） （参考数据：，，，，，                                         易错必刷题二十八、投影 1．（24-25九年级下·山东日照·阶段练习）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你和他们一起算一下，树高为（   ）．（假设两次测量时太阳光线是平行的） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级下·山东淄博·期中）宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于 （填“中心”或“平行 ”投影） 3．（23-24九年级下·河南商丘·期末）如图，文文应用所学的三角形相关知识测量河南广播电视塔的高度，她站在距离塔底A点处的D点，测得自己的影长DE为，此时该塔的影子为，她测得点D与点C的距离为，已知文文的身高DF为，求河南广播电视塔的高．（图中各点都在同一平面内，点A，C，D，E在同一直线上） 易错必刷题二十九、求三视图侧面积或表面积 1．（2024·宁夏吴忠·一模）如图②是图①正三棱柱的三视图，若用S表示面积，， ，则（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示的几何体是由5个小正方体摆放而成的，如果每个小正方体的棱长为1，则这个几何体的左视图的面积是 ． 3．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图是实心零件的二种视图，求该零件的表面积．    易错必刷题三十、求三视图体积面积 1．（24-25九年级下·湖南衡阳·阶段练习）某几何体从三个不同方向看到的形状图如图所示，则该几何体的体积是（） A． B． C． D． 2．（2024·山西朔州·模拟预测）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为 ． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图． (1)请问方方所画的三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正． (2)根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数） 1．（24-25九年级下·甘肃兰州·期中）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）． A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5 4．（24-25九年级下·广西南宁·阶段练习）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25九年级下·河南洛阳·阶段练习）第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）在锐角中，已知满足，则 ． 7．（24-25九年级下·江苏南京·期中）如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 8．（2024·四川广元·模拟预测）如图，，，且，则与是位似图形，与的位似比为 ． 9．（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）反比例函数、在第一象限的图象如图，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于.若，则 . 10．（23-24九年级下·河北邢台·开学考试）小明利用折射定律，（为折射率，为入射角，为折射角）制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点按固定角度从空气射入液面，通过调节液面高度，使光线折射后恰好落到点．已知，空气折射率为1，正方形的边长为．    （1）如图1装入某款家用食用油时，恰好 ，该食用油的折射率为 ； （2）如图2，装入纯净水时，若水的折射率为，则 ． 11．（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 12．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)若，，的面积为2，求的面积． 13．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数与一次函数的函数表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集 (3)求的面积． 14．（24-25九年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图是由8个相同的小正方体搭成的几何体，在下面的网格中画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图．（每个小正方形的棱长为） (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）________； (3)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 15．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得，点，，在同一直线上，且直线与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果保留根号）． 学科网（北京）股份有限公司 $$