精品解析：河南省漯河市实验中学2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷

漯河市实验中学2020-2021学年下学期期末试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，EF＝2AB＝2CD，AB＝3，则A、F两点间距离是（　　） A. 16 B. 20 C. 20 D. 24 4. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是2，那另一组数据，，，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 4，4 B. 3，3 C. 3，8 D. 3，4 5. 如图，在ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE:AF=2:3，ABCD的周长为20，则AB的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，正方形ABCD对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 若，，一次函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 8. 点（3，y1），（1，y2）都在直线y＝x+b上，则y1与y2的大小关系是（　　） A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 不能比较 9. 如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ） A. 一直减小 B. 一直减小后增大 C. 一直不变 D. 先增大后减小 10. 甲、乙两车从地出发匀速驶向地，甲先出发1小时后，乙再沿相同路线出发，在整个行驶过程中，甲、乙两车之间的距离（km）与甲车行驶的时间（h）的函数关系如图所示，给出下列说法：①甲的速度为80km/h；②乙的速度为100km/h；③甲车从地到地，共用时14h；④两地相距1200km；⑤当甲车出发经过10h与13h，甲乙两车相距100km，其中说法正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为________． 12. 如图，在平行四边形中，已知，，，，分别是线段，的中点，则的长为______ ． 13. 已知是直线上的相异两点，若，则m的取值范围是_______． 14. 如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为______． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 三、解答题（共76分） 16. 计算： （1） （2）已知a＝+2，b＝﹣2，求a2﹣b2的值． 17. 为了调查全校学生对垃圾分类知识了解情况，小胡和小叶同学分别随机抽取了20名男生和20名女生进行了相关知识测试，获得了数据（成绩）（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 收集数据： 20名男生的成绩统计（单位：分） 76 82 78 86 60 92 76 80 98 72 78 96 75 100 82 87 70 54 87 78 20名女生的成绩统计（单位：分） 97 95 90 68 78 80 68 94 86 80 87 92 59 75 93 86 56 76 86 70 整理数据：（成绩得分用表示） 成绩 男生（人数） 1 1 8 6 4 女生（人数） 2 6 6 分析数据： 平均数 中位数 众数 男生 80.35 79 78 女生 80.8 请回答下列问题： （1）上述两表中， ； ， ， ． （2）你认为男生和女生对垃圾分类知识的了解情况哪个更好一些，并利用数据说明理由； （3）若此次成绩不低于80分为优秀，请估计全校800人中优秀人数为多少？ 18. 一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． （1）若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间； （2）求岛在港什么方向？ 19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD． （1）求证：△AEB≌△CFD； （2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，且满足，请直接写出点的坐标． 21. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 22. 已知函数，请对该函数及图象进行如下探究： … 0 2 … … 0 0 … （1）选取适当的值补充表格，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象． （2）结合函数图象，写出该函数的一条性质． （3）结合上述函数的图象，直持写出关于的不等式的解集． 23. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形． （1）证明平行四边形是菱形； （2）若，连结， ①求证：； ②求的度数； （3）若，，，M是的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 漯河市实验中学2020-2021学年下学期期末试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数为非负数． 2. 在下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，加减运算，乘法运算，根据运算公式，性质化简计算即可． 【详解】A．，原选项错误，不符合题意； B．，原选项错误，不符合题意； C．，原选项错误，不符合题意； D．，原选项正确，符合题意； 故选D． 3. 如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，EF＝2AB＝2CD，AB＝3，则A、F两点间的距离是（　　） A. 16 B. 20 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，分别求出Rt△AGF两直角边的长，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G， ∵EF＝2AB＝2CD，AB＝3， ∴CD＝3，EF＝6， 根据题意，AG＝AB＋CD＋EF＝12，GF＝BC＋DE＝16， 在Rt△AGF中， AF＝＝＝20． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，主要是作辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理计算． 4. 已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是2，那另一组数据，，，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 4，4 B. 3，3 C. 3，8 D. 3，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差，先由原数据的平均数及方差得出，，再依据平均数和方差的定义计算新数据的平均数和方差即可． 【详解】解：由题意知，， ，， 所以新数据的平均数为 ， 新数据方差为 ， 故选：C． 5. 如图，在ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE:AF=2:3，ABCD的周长为20，则AB的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴BC+CD=20÷2=10， 根据平行四边形的面积公式，得BC：CD=AF：AE=3：2． ∴BC=6，CD=4， ∴AB=CD=4， 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的一组邻边的和等于周长的一半，平行四边形的一组邻边的比和它的高的比成反比． 6. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7. 若，，一次函数图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象性质判断即可； 【详解】∵， ∴a，b同号， ∴， ∵， ∴b，d异号， ∴， ∴一次函数与y轴交于正半轴，图象过一、二、四象限； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，准确判断是解题的关键． 8. 点（3，y1），（1，y2）都在直线y＝x+b上，则y1与y2的大小关系是（　　） A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 不能比较 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数y＝−x＋b的图象的增减性，结合横坐标的大小，即可得到答案． 【详解】解：∵在一次函数y＝−x＋b中，k＝−1， ∴y随着x的增大而减小， 又∵−3＜1， ∴y1＞y2， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键． 9. 如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ） A. 一直减小 B. 一直减小后增大 C. 一直不变 D. 先增大后减小 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作，交的延长线于点H，根据平行四边形，可得到，；结合，得到，继而得到，根据正方形的性质，得，得到；由，，得到，证明，得到，，继而得到； 证明，得到，继而得到，得到，结合运动属性，一直增大，继而判定一直减小，解答即可． 本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】过点P作，交的延长线于点H， ∵平行四边形， ∴，； ∵， ∴， ∴， 根据正方形的性质，得， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 根据正方形的性质，，得，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据运动属性，得一直增大，继而判定一直减小， 故选A． 10. 甲、乙两车从地出发匀速驶向地，甲先出发1小时后，乙再沿相同路线出发，在整个行驶过程中，甲、乙两车之间的距离（km）与甲车行驶的时间（h）的函数关系如图所示，给出下列说法：①甲的速度为80km/h；②乙的速度为100km/h；③甲车从地到地，共用时14h；④两地相距1200km；⑤当甲车出发经过10h与13h，甲乙两车相距100km，其中说法正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态． 根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量． 【详解】解：①根据乙出发前两人相距可得甲的速度为：，故①正确； ②∵， ∴， ∴，故②正确； ③ 乙车到达B地行驶的时间为：12（小时）， ∴A、B两地的距离为：， ∴(h)，故③错误； ④由③知，两地相距，故④正确； ⑤甲车出发经过时，甲乙两车相距：; 甲车出发经过时，甲乙两车相距：，故⑤错误， 所以，正确的说法有：①②④共③个， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简与性质，以及绝对值的性质，关键是掌握性质：． 首先根据、在数轴上的位置确定、得到小关系，再根据绝对值得性质去绝对值，合并同类项即可． 【详解】解：数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧， ，， 在的左侧， ， ， 故答案为． 12. 如图，在平行四边形中，已知，，，，分别是线段，的中点，则的长为______ ． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出的AO和DO长，再利用勾股定理得出的长，进而利用三角形中位线定理与性质得出的长． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ，， 故, 、分别是线段、的中点， 是的中位线， ∴，， 则的长为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，得出的长是解题关键． 13. 已知是直线上的相异两点，若，则m的取值范围是_______． 【答案】m＜1 【解析】 【分析】由（x1-x2）（y1-y2）＜0可得出y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出m-1＜0，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵（x1-x2）（y1-y2）＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴m-1＜0， ∴m＜1． 故答案为：m＜1． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 14. 如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用函数图像解不等式，涉及直线图像与性质，函数图像解不等式，熟练掌握利用函数图像解不等式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：对于不等式对应三个函数图像、和， 不妨令、和，则转化为，即直线在直线上方；直线在直线上方部分对应的范围， 过三条直线的交点作轴的垂线，如图所示： 当，直线在直线上方，直线在直线上方，此时满足， 故答案为：． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 三、解答题（共76分） 16. 计算： （1） （2）已知a＝+2，b＝﹣2，求a2﹣b2的值． 【答案】（1）原式＝5；（2）原式＝8 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式、二次根式的乘法和加法可以解答本题； （2）根据a、b值可以求得a+b、a-b的值，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：（1） = =5 （2）∵， ∴， ∴ = = 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 17. 为了调查全校学生对垃圾分类知识的了解情况，小胡和小叶同学分别随机抽取了20名男生和20名女生进行了相关知识测试，获得了数据（成绩）（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 收集数据： 20名男生的成绩统计（单位：分） 76 82 78 86 60 92 76 80 98 72 78 96 75 100 82 87 70 54 87 78 20名女生的成绩统计（单位：分） 97 95 90 68 78 80 68 94 86 80 87 92 59 75 93 86 56 76 86 70 整理数据：（成绩得分用表示） 成绩 男生（人数） 1 1 8 6 4 女生（人数） 2 6 6 分析数据： 平均数 中位数 众数 男生 8035 79 78 女生 80.8 请回答下列问题： （1）上述两表中， ； ， ， ． （2）你认为男生和女生对垃圾分类知识的了解情况哪个更好一些，并利用数据说明理由； （3）若此次成绩不低于80分为优秀，请估计全校800人中优秀人数为多少？ 【答案】（1）2，4，83，86 （2）女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些，见解析 （3）估计全校800人中优秀人数为440人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体，求中位数和众数． （1）根据频数分布表的数据即可求出，b，根据中位数和众数的定义即可求出c，； （2）从平均数、中位数和众数平均数分析即可； （3）用800乘以样本中优秀人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 由表中的数据得：，， 20名女生的成绩从小到大排列为： 56 59 68 68 70 75 76 78 80 80 86 86 86 87 90 92 93 94 95 97 排在中间的两个数是88和89， ； 出现次数最多的是86分，因此众数是86，即， 故答案为：2，4，83，86； 【小问2详解】 女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些，理由如下： 从平均数、中位数和众数上看女生的较高， 女生对垃圾分类知识的了解情况更好一些； 【小问3详解】 （人） 答：估计全校800人中优秀人数440人. 18. 一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． （1）若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间； （2）求岛在港的什么方向？ 【答案】（1）从岛返回港所需的时间为小时； （2）岛在港的北偏西． 【解析】 【分析】（）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间路程速度； （）由勾股定理的逆定理推知，由方向角的定义作答； 本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 由题意， 中，，得， ∴． ∴． ∴． 则（小时）， 答：从岛返回港所需的时间为小时； 【小问2详解】 ∵，， ∴． ∴， ∴ ∴岛在港的北偏西． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD． （1）求证：△AEB≌△CFD； （2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）∠ABD=90°，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明即可； （2）由菱形的性质逆推：BE=DE，因为∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，所以∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD． ∵点E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE=AD，FC=BC． ∴AE=CF． 在△AEB与△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）． （2）解： ∵ 为AD的中点， 四边形EBFD是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性较强，难度中等． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，且满足，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：点在直线上， 时，，即点坐标为， 将，代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，有，解得， 点的坐标为， 设点的坐标为， ， ， 解得：， 点的坐标为或． 21. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元． 【解析】 【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可得答案； （2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，根据甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的可得m的取值范围，根据需甲、乙两种奖品共60件可得购买乙种奖品为（60-m）件，根据（1）中所求单价可得w与m的关系式，根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元， ∵1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元， ∴， 解得：， 答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元． （2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件， ∵需甲、乙两种奖品共60件， ∴购买乙种奖品为（60-m）件， ∵甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元， ∴w=20m+10（60-m）=10m+600， ∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的， ∴m≥（60-m）， ∴20≤m≤60， ∵10>0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=20时，w有最小值，最小值为10×20+600=800（元）， ∴购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确得出等量关系及不等关系列出方程组及不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 22. 已知函数，请对该函数及图象进行如下探究： … 0 2 … … 0 0 … （1）选取适当的值补充表格，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象． （2）结合函数图象，写出该函数的一条性质． （3）结合上述函数的图象，直持写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）见解析 （2）时随的增大而增大，时随的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】此题考查函数的实际应用及根据函数图像解不等式，对函数的数形结合的掌握是关键． （1）把1代入函数求出或1，根据表格内容取1即可；把代入函数求出；再描点连线作图即可； （2）根据图像写出一条即可； （3）数形结合求出不等式的解集即可； 【小问1详解】 当时，，当时，， 补充表格如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 画图如下： 【小问2详解】 性质不唯一，时随的增大而增大，时随的增大而减小等． 【小问3详解】 根据图象可知：两函数的图象交点是， ∴关于的不等式的解集：． 23. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形． （1）证明平行四边形是菱形； （2）若，连结， ①求证：； ②求的度数； （3）若，，，M是的中点，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②60°；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得ADBC，ABCD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题； （2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）证明： ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，ABCD， ∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， 又∵四边形ECFG是平行四边形， ∴四边形ECFG为菱形； （2）①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABDC，AB＝DC，ADBC， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120° 由（1）知，四边形CEGF是菱形， ∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°， ∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°， ∵EG∥DF， ∴∠BEG＝120°＝∠DCG， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵ADBC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD， ∴△DGC≌△BGE（SAS）； ②∵△DGC≌△BGE， ∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC， ∴∠BGD＝∠CGE， ∵CG＝GE＝CE， ∴△CEG是等边三角形， ∴∠CGE＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∵BG＝DG， ∴△BDG是等边三角形， ∴∠BDG＝60°； （3）如图，连接BM，MC， ∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， 又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°， ∴四边形ECFG为正方形． ∵∠BAF＝∠DAF， ∴BE＝AB＝DC， ∵M为EF中点， ∴∠CEM＝∠ECM＝45°， ∴∠BEM＝∠DCM＝135°， 在△BME和△DMC中， ∵， ∴△BME≌△DMC（SAS）， ∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME． ∴∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°， ∴△BMD是等腰直角三角形． ∵AB＝8，AD＝14， ∴BD＝， ∴DM＝． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$