精品解析：福建省三明第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

三明一中2024—2025学年上学期12月月考 高三数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到，再利用复数的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为，其对应的坐标为， 故选：C. 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线性质求解即可. 【详解】由得抛物线的标准方程为， 所以其准线方程为. 故选：D. 3. 若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案． 【详解】不等式等价于， 使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 4. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在已知等式中，以替换，求解方程组得函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得，再求出，然后根据点斜式可得切线方程． 【详解】， ． 解得，， 在处的切线斜率为． 又， 函数在处的切线方程为， 即． 故选：C． 5. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积． 【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，， 所以，，又和为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为， 所以， 则． 故选：B． 6. 为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用分类与分步计数原理，先排丙共有种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果. 【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法； 若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法， 剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校）， 分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、 （1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校）， 共种排法； 若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法， 若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法； 若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组， 分别有、、种排法，故共有： 种排法. 故选：B. 7. 若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一，令，可得，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，，求得的高，再根据与图象求得的高，建立方程求得结果.解法二，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象，求得的高为，可得的边长为4即的周期为4，得解. 【详解】解法一 由，令，得， 所以，不妨取，1，2，得三个连续的交点依次为，，， 因为为正三角形，为的边长，为的高， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以的高为， 所以， 解得． 解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数和的图象， 设两图象的三个连续交点分别为A，B，C，连接，，， 则为正三角形，过点作，垂足为， 由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处， 所以， 所以，所以的最小正周期，即，所以． 故选：A． 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线与的左､右两支分别交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，的平分线与直线PQ垂直，结合图象，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解. 【详解】依题意，由， 得，即的平分线与直线PQ垂直， 设的平分线与直线PQ交于点D，如图， 则，，又， 所以，所以，． 由题得，，设，，， 在中，，，则，， 由双曲线的性质可得，解得， 则，所以在中，， 又，，所以， 即，整理得，所以． 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，组偏向于智能自动化方向，组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得组性能得分为：，组性能得分为：，则（ ） A. 组性能得分的平均数比组性能得分的平均数高 B. 组性能得分的中位数比组性能得分的中位数小 C. 组性能得分的极差比组性能得分的极差大 D. 组性能得分的第75百分位数比组性能得分的平均数大 【答案】AD 【解析】 【分析】根据计算公式分别计算两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一判断即可. 【详解】由题意可得组性能得分的平均数为， 组性能得分的平均数为， 所以组性能得分的平均数比组性能得分的平均数高，A说法正确； 组性能得分的中位数为， 组性能得分的中位数为， 所以组性能得分的中位数比组性能得分的中位数大，B说法错误； 组性能得分的极差为，组性能得分的极差为， 所以组性能得分的极差比组性能得分的极差小，C说法错误； 组性能得分共个数据，， 所以组性能得分的第75百分位数为，比组性能得分的平均数大，D说法正确； 故选：AD 10. 设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由可求得，结合可排除，知B正确；由等比数列通项公式知A错误；利用作差法可知C正确；根据等比数列求和公式可判断D错误. 【详解】对于B，当时，，，又，， 或； 当时，，，与矛盾，，B正确； 对于A，，A错误； 对于C，，，，，即，C正确； 对于D，，又，，D错误. 故选：BC. 11. 中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C的图象关于原点对称 B. 曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D. 曲线C上有且仅有3个点P满足 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意求出轨迹的方程，把代入的方程可判断；令，，得的范围可判断；由曲线的方程可得，根据可判断；由题意得，设，结合题意计算可判断. 【详解】对于选项A： 化简得到：， 将代入可得， 所以曲线. 把代入得， 所以，曲线的图象关于原点对称，故A正确； 对于选项B：令解得，即：曲线经过， 结合图象，得. 今，得， 令，得， 因此，结合图象曲线只能经过3个整点. 故B错误； 对于选项C：可得， 所以曲线上任意一点到坐标原点的距离， 即：都不超过3，故C正确； 对于选项D：点满足，则在垂直平分线上，则， 设，则， ， 故只有原点满足，故D错误. 故选：. 【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法： 一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻找代换关系. （1）求谁设谁，设所求点的坐标为； （2）所依赖的点称之为“参数点”，设为等； （3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入； （4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值； （5）代入方程，消去参数值. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列满足，数列的前项和为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据递推公式求出数列的通项公式，再计算出数列的通项公式，即可计算出. 【详解】由，则, 当时，上式相加得，又， 所以，又符合上式， 可知，所以， 所以. 故答案为：. 13. 用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 【答案】56 【解析】 【分析】首先根据排列组合的方式，确定符合条件的五位数有6个，再根据二项式定理，确定含项的系数． 【详解】由五位数需满足可知，， 再从2，3，4，5中任取两个数，大数是，小数是，剩下两个数按照大小分别是，． 故能组成个这样的五位数，则． 则在的展开式中，含项系数为． 故答案为：． 14. 如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出时，过原点且与相切的切线斜率，以及过原点且与相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，即可求解. 【详解】当时，过原点作的切线， 设切点，，， 则切线方程为， 又切线过点，所以，所以. 设，则，故为增函数，且， 所以， 当时，过原点作的切线， 设切点B，， 则切线为，又切线过点 所以，又，， 因为，所以两切线垂直，所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件． （1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率； （2）求该生两次投篮得分的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 0 2 3 4 5 6 【解析】 【分析】（1）由已知得该生投投篮3分线外侧投入的概率，踩线及3分线内侧投入的概率，不能入篮的概率，由此能求出该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率． （2）由已知得的可能取值为0，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望． 【小问1详解】 “3分线外侧投入”，“踩线及3分线内侧投入”，“不能入篮”分别记为事件，，， 由题意知，，， 因为每次投篮为相互独立事件，故4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率为. 【小问2详解】 两次投篮后得分的可能取值为0，2，3，4，5，6, 由于该生两次投篮互不影响，是相互独立事件， 表示两次投篮都不能入篮，即得分都为0， 则； 表示一次是踩线及3分线内侧投入，另一次不能入篮， 则； 表示一次是3分线外侧投入，另一次不能入篮， 则； 表示两次都是踩线及3分线内侧投入， 则； 表示一次是3分线外侧投入，另一次是踩线及3分线内侧投入， 则； 表示两次都是3分线外侧投入，则， 故的分布列为 0 2 3 4 5 6 所以. 16. 在三棱柱中，，，，分别为，的中点，． （1）求证：； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，取中点为，连接，， 因为，所以， 因为，为，的中点，且， 所以，所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，且， 所以平面， 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件证出平面，即可得出； （2）以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再利用夹角公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，在中，， 所以，又平面，故平面， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 则，令，解得，故， ，令，解得，， 故， 设二面角的平面角为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 17. 已知函数. （1）若函数存在一条对称轴，求的值； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2） 当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合对称性的定义运算求解即可； （2）求导，分类讨论的符号，利用导数求的单调区间. 【小问1详解】 因为函数， 所以函数定义域为，且函数存在一条对称轴，故对称轴为， 所以， 即， 所以，故， 当且仅当时上式恒成立，故. 【小问2详解】 由题意， 当时，有且， 所以，故的单调减区间为； 当时，令， 且当时，，当时，， 所以的单调增区间为，单调或区间为； 综上，当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到双曲线. 渐近线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于 A、B两点. ①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值； ②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①;② 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值； ②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【小问1详解】 由双曲线. 的渐近线方程为， 再由椭圆的右焦点分别为到渐近线的距离为可得： ，因为，所以解得， 再由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由， 即椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 ①直线过椭圆右焦点F₂可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点， 且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得， 设两交点，中点，则有 所以， 即，整理得， 又因为，所以，则. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再利用求解中点坐标来表示斜率，最后利用斜率乘积等于，从而得到关于的函数来求取值范围. 19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. （1）求20以内的质数“理想数”； （2）已知.求m的值； （3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 【答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18 （3） 显然偶数"理想数"必为形如的整数， 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：， 若奇数，不妨设， 若为"理想数"，则，且，即，且， ①当，且时，； ②当时，； ，且， 又，即， 易知为上述不等式的唯一整数解， 区间]存在唯一的奇数"理想数"，且， 显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为， 所有的奇数"理想数"的倒数为， ，即． 【解析】 【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解； （2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解； （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 以内的质数为， ，故，所以为“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； ，而，故不是“理想数”； 和5为两个质数“理想数”； 【小问2详解】 由题设可知必为奇数，必为偶数， 存在正整数，使得，即： ，且， ，或，或，解得，或， ，或，即的值为12或18． 【小问3详解】 略 【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2024—2025学年上学期12月月考 高三数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种. A. B. C. D. 7. 若函数的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线与的左､右两支分别交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，组偏向于智能自动化方向，组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得组性能得分为：，组性能得分为：，则（ ） A. 组性能得分的平均数比组性能得分的平均数高 B. 组性能得分的中位数比组性能得分的中位数小 C. 组性能得分的极差比组性能得分的极差大 D. 组性能得分的第75百分位数比组性能得分的平均数大 10. 设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C的图象关于原点对称 B. 曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D. 曲线C上有且仅有3个点P满足 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列满足，数列的前项和为，则__________. 13. 用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 14. 如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知篮球比赛中，得分规则如下：3分线外侧投入可得3分，踩线及3分线内侧投入可得2分，不进得0分；经过多次试验，某生投篮100次，有20个是3分线外侧投入，20个是踩线及3分线内侧投入，其余不能入篮，且每次投篮为相互独立事件． （1）求该生在4次投篮中恰有三次是3分线外侧投入的概率； （2）求该生两次投篮得分的分布列及数学期望． 16. 在三棱柱中，，，，分别为，的中点，． （1）求证：； （2）若，求二面角的正弦值． 17. 已知函数. （1）若函数存在一条对称轴，求的值； （2）求函数的单调区间. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到双曲线. 渐近线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于 A、B两点. ①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值； ②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”. （1）求20以内的质数“理想数”； （2）已知.求m的值； （3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $