专题8.1 二分法与求方程近似解（十个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

专题8.1 二分法与求方程近似解 一、求函数的零点 六、一、二次函数零点分布求参数范围 二、根据零点求参数 七、指对幂函数零点分布求参数范围 三、零点存在性定理的应用 八、函数与方程的综合应用 四、根据零点所在区间求参数范围 九、二分法的使用条件 五、根据零点的个数求参数范围 十、用二分法求方程近似解（函数零点） 知识点1函数的零点 1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 知识点2函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 知识点3二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 重难点一 求函数的零点 1．（多选）下列函数中有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，的零点为故A正确； 对于B，的零点为故B正确； 对于C，的零点为故C正确； 对于D，恒成立，所以没有零点，故D错误； 故选：ABC. 2．函数的零点是（   ） A．1 B． C． D．或1 【答案】A 【详解】由，即， 所以函数的定义域为。 令，解得（舍去）或， 所以函数的零点是1. 故选：A. 3．函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 【答案】C 【详解】由题意可得，解得，故的定义域为， 令，得，即， 因为函数在定义域内单调递增，所以， 整理得，解得或， 又，所以. 故选：C. 4．函数的零点的集合为 【答案】 【详解】令，解得或， 所以函数的零点的集合为. 故答案为：. 5．函数的零点为（    ） A．2 B． C．或 D．2和 【答案】D 【详解】令，则，解得或． 故选：D. 求零点，则方程，求出对应的根即可 重难点二 根据零点求参数 6．已知函数的一个零点为，则的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】，解得， 即， 故的单调递增区间为. 故答案为：. 7．若x＝2是f（x）＝x2－mx－3的一个零点，则实数m的值为 ． 【答案】/ 【详解】由时函数的一个零点， 可得，解得. 故答案为：. 8．已知函数的两个零点分别是和3，函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得， 故， 由于与在上单调递增， 故在上单调递增， 故，， 故在上的值域为. 故选：B 9．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是 ． 【答案】1和 【详解】∵函数的两个零点是2和3， ∴，解得， ∴， 令，解得或1 ∴的零点为1和. 故答案为：1和 10．已知的零点为1和3，则 ． 【答案】 【详解】因为的零点为1和3， 即的两根为1和3， 所以，解得， 所以， 故答案为： 重难点三 零点存在性定理的应用 11．设函数，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数为增函数，函数在内单调递减， 所以函数在上的单调递增， 又， 所以函数在区间内有零点，在区间上不存在零点， 当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以函数在上都不存在零点， 故选：D. 12．设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意函数与函数均单调递增， 所以函数也单调递增，且， 所以由零点存在定理可知函数的零点. 故选：B. 13．已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间（1，3）上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间（1，3）上有零点， 所以“”是“在区间（1，3）上有零点”的充分条件； 若，满足在区间（1，3）上有零点，但是， 所以“”不是“在区间（1，3）上有零点”的必要条件， 所以“”是“在区间（1，3）上有零点”的充分不必要条件． 故选:A． 14．方程的解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则在上单调递增， 又，，所以， 所以在上存在唯一零点，即程的解所在的区间为. 故选：B 15．设函数，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根所在的区间是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】由在R上都是单调递增的函数，即在R上递增， 又，所以方程的根所在的区间是. 故选：A 判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 重难点四 根据零点所在区间求参数范围 16．冷水坑皇家学院某同学用二分法求函数. 零点的近似值时，确定零点所处的初始区间为，那么实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在定义域上单调递增， 又零点所处的初始区间为，所以， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 17．函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在定义域上连续且单调递增， 已知函数零点在区间内，则，解得. 故选：D. 18．已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数. 因为在内有零点， 所以，解得. 故选：A 19．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数的一个零点在区间内得， 解得， 故选：A 20．函数在区间内有零点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，则，即， 即与，的图象有交点， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以，即， 所以， 即实数k的取值范围是， 故答案为： 重难点五 根据零点的个数求参数范围 21．若函数有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】由题设与有4个交点，草图如下， 由图知：. 故选：D 22．是上的奇函数，当时，，若方程有5个实根，则的范围为 【答案】 【详解】因为是上的奇函数，方程有5个实根， 所以是一个，只需时有个零点即可， 当时，， 问题转化为和的交点个数即可； 画出的图象，如图： 结合图象，只需，即. 故答案为：. 23．若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数有零点，即方程有根， 即有根，即与的图象有交点，如图，   ，解得. 故选：C. 24．已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：因为，且有两个零点， 所以方程在上有两个不同的解， 所以,解得. 法二：由得， 因为有两个零点，所以直线与函数的图像有两个交点. 函数，的图像如图，由图可知. 故选：D. 25．若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数单调递增，则函数在上至多一个零点， 当时，函数至多两个零点， 因为函数有三个零点，则函数在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，令，可得，必有，解得， 所以，，解得； 当时，由，可得或， 所以，，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 故选：C. 已知函数零点个数求参数常用的方法： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 重难点六 一、二次函数零点分布求参数范围 26．当时，的值有正也有负，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设， 依题意可得，所以， 所以，得. 故答案为： 27．若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，要满足在上有两个不相等的实根， 则，解得， 故选：C. 【点睛】本题考查二次函数与二次方程，考查直观想象与逻辑推理的核心素养. 28．已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 29．若函数有两个正零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可知方程有两个不相等的正实数根， 所以，即， 解得：，所以的取值范围为. 故答案为： 30．已知函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数有两个零点，一个大于1另一个小于1， 又，则，函数的对称轴方程为， 当时，函数的示意图如下： 所以，解得， 当， ，此时无解， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 重难点七 指对幂函数零点分布求参数范围 31．设方程的根为，方程的根为，则的值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】A 【详解】由题意，作图如下： 由方程的根为，则函数与的交点为； 由方程的根为，则函数与的交点为. 由函数与的图象关于对称，且直线与直线垂直， 则与关于直线对称，即，， 由题意可得：，，则，， 所以. 故选：A. 32．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 设， 则是与的图象交点的横坐标，是与的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作出、与的大致图象，如图， 结合图象可知，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 33．（多选）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于函数，这是一个单调递增的指数函数. 函数，当，即时，； 当，即时，. 画出的图象，可以看到函数在上单调递减，在上单调递增，且. 因为，，所以，. 此时，移项可得，所以选项A正确.   由，根据基本不等式. 即，两边同时平方得，化简得，所以. 又因为，所以，选项B正确.   由图形知道，，所以选项C错误.   由得. ，令，. 则. 当时，，所以选项D正确. 故选：ABD. 34．若函数与函数的零点分别为，，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象， 如图所示：    可以发现，，. 又，， 则，所以. 故选：A 35．若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知在上单调递增， 因为在上存在零点， 所以在上存在唯一零点， 所以，即， 解得. 故选：A 重难点八 函数与方程的综合应用 36．若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数有零点，即有解， 故实数的取值范围就是求的值域. ，且， 故函数的值域为，则m的范围为， 故选：A 37．已知且，函数，若存在，，使，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时单调递增，也单调递增， 要使存在，，使，只需，即，不等式无解； 当时单调递减，也单调递减， 要使存在，，使，只需， ，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：A 38．若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围 . 【答案】 【详解】因为关于的方程在实数范围内有解， 即在上有解， 又可得在上为增函数， 所以， 所以实数的取值范围. 故答案为： 39．方程有4个不同的根的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，将直线位于轴下方的部分翻折到轴上方，再向下平移1个单位长度，得到的图象， 再将其位于轴下方的图象翻折到轴上方，即得的图象， 则方程有4个不同的根的充要条件为的图象与直线有4个公共点，即， 故其成立的一个充分不必要条件对应的集合为的真子集. 故选：C．    40．设满足，满足，则 ． 【答案】 【详解】设，则， 则变形为，即， 由题意知满足，则， 易知函数在上单调递增， 所以此函数只有一个零点， 因为，所以， 又，所以， 所以． 故答案为： 重难点九 二分法的使用条件 41．下列函数零点不宜用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于B选项，在单调递增，且与轴有唯一交点，交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点； 对于D选项，，在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解， 故选：C 42．下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：二分法求零点要求函数连续不断且满足零点存在性定理，即成立， 对比选项可知：ACD均符合， 但选项B：恒成立，不满足零点存在性定理，故B错误. 故选：B. 43．下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是 .（写出所有符合条件的序号） 【答案】（1）（3） 【详解】用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求 故答案为：（1）（3） 44．用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是单调增函数，故是单调增函数，其零点至多有一个； 又，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是. 故选：B. 45．（多选）若函数在区间上的图象不间断，则下列结论中错误的是（ ） A．若，则在上不存在零点 B．若，则在上至少有一个零点 C．若在内有且只有一个零点，则 D．若在上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值 【答案】ACD 【详解】A：令，，， 则，，，令，， ，则在上存在零点0，故A错误； B：函数在区间上的图象不间断，若， 则在上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故B正确； C：如图，在内有且只有一个零点，但，故C错误； D：如图，在上存在零点，但不可用二分法求此零点的近似值，故D错误. 故选：ACD 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 重难点十 用二分法求方程近似解（函数零点） 46．用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设函数， 因为函数和都是增函数， 所以函数在上单调递增； 又，， 因此，所取的第一个区间可以是， 故选：B. 47．某同学在借助题设给出的数据求方程的近似数（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的4个值中的第二个值为 . 【答案】 【详解】根据“二分法”的定义，最初确定的区间是，又方程的近似解是， 故后4个区间分别是， 故它取的4个值分别为， 故答案为：. 48．借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 【答案】A 【详解】因为，故的零点在区间内， 区间长度为，因此需要取区间的中点1.5625， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 此时区间长度，因此1.5625是一个近似解． 故选：A 49．用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，第二次应计算，则等于 ． 【答案】/ 【详解】由，则函数在上有零点， 由，则第二次应计算，即. 故答案为：0.25. 50．用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上不一定有零点 B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 【答案】D 【详解】对于A，由，且连续，则根据函数零点存在定理知，在上一定有零点，故A错误； 对于B，C，D，，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故B错误，C错误，D正确． 故选：D． 利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤： ①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间. ②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间. ③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点． 一、单选题 1．函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，且函数为增函数， 由函数零点存在定理，的零点所在的区间是． 故选：B. 2．用二分法求函数在区间上零点的近似值，经验证有，取区间的中点，计算得，则此时零点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，，则根据零点存在性定理，函数在上存在零点， 取区间的中点，且，则， 所以根据零点存在性定理，. 故选：C. 3．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 4．设函数，满足.若函数存在零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，且单调递增， 由于，， 得，或者， 当时，若函数存在零点，则，也一定满足； 当时，若函数存在零点，则； 综上所述，可得. 故选：C. 5．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 6．若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 因为二次方程在上有两个不相等的实根， 所以函数在上有两个不同的零点， 则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 二、多选题 7．下列方程中，可以用二分法求近似解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，在上单调递增，且在上连续， 且，，可以使用二分法求原方程的近似解； 对于B，在R上连续且单调递增， 又，，可以使用二分法求原方程的近似解； 对于C，，故不可以使用二分法求原方程的近似解； 对于D，在上单调递增，且在上连续， 且，，可以使用二分法求原方程的近似解. 故选：ABD. 8．已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且，则（   ） A．的取值范围是 B． C．的最小值是 D．m越大，的值越大 【答案】BCD 【详解】解：画出的大致图象，如图所示：      由图可知，则A错误. 因为，所以，， 所以，，则B正确. 因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，则C正确. 由图可知，则在上单调递减. 因为m越大，越小，所以的值越大，则D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．设为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：二次函数，即， 若二次函数在区间上仅有一个零点， 则或，即或. 故答案为：. 10．已知关于的函数，若此函数有两个零点，则实数的取值范围是 ；若此函数有一个零点为0，则另一个零点是 ． 【答案】 【详解】关于的函数，若有两个零点. 等价于方程由两个不同根，则判别式，解得． 且． 当函数有一个零点为0，即方程有一个根为0时，设方程的两个根分别为， ，此时原方程为． ． 故答案为：；. 11．已知函数，有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】令， 解得或. 函数的图象如下： 要使有3个不同的零点，则函数的图象与直线和一共有3个交点， 由图可知当，即时，函数的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合题意. 故答案为：. 四、解答题 12．已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，即， 所以， 又，所以，因此； 因为，即， 解得； （2）因为分别为的零点，所以， 即，也即， 又因为，所以在上单调递增， 由可得， 与联立可得。 所以. 13．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)存在零点，零点是和 (2)存在零点，零点是 (3)存在零点，零点为和 【详解】（1）令， 得或， 所以函数存在零点，零点是和． （2）令， 得， 所以函数存在零点，零点是． （3）当时，令， 解得（舍去）； 当时，令， 解得． 所以函数存在零点，零点为和． 14．函数在区间内是否有零点?若有零点，用“二分法”求零点的近似值（误差不超过0.2）；若没有零点，说明理由. （参考数据:，，，，，） 【答案】零点的近似值为1.625. 【详解】易得是定义域内的增函数. ∵，， ∴函数在区间内有且只有一个零点. ∵， ， ∴函数的零点在内. ∵，所以误差不超过0.2. ∴零点的近似值为1.625. 15．已知函数是定义域为的偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)若方程恰有三个不等实根，求的取值范围和的值． 【答案】(1) (2)，． 【详解】（1）设，则，得， 又，所以时，． 综上，. （2）①当即时，时，函数单调递增，方程至多只有一解； 当时，函数单调递减，方程也至多只有一解，即方程至多有两解，不合题意； ②当即时，如图， 当时，单调递减， 当时，单调递增，方程至多有两解； 当时，单调递减， 当时，单调递增，方程至多有两解， 则方程至多有四解，符合题意， 结合图象可知当时，方程恰有三个不等实根． 综上，且． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.1 二分法与求方程近似解 一、求函数的零点 六、一、二次函数零点分布求参数范围 二、根据零点求参数 七、指对幂函数零点分布求参数范围 三、零点存在性定理的应用 八、函数与方程的综合应用 四、根据零点所在区间求参数范围 九、二分法的使用条件 五、根据零点的个数求参数范围 十、用二分法求方程近似解（函数零点） 知识点1函数的零点 1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 知识点2函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 知识点3二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 重难点一 求函数的零点 1．（多选）下列函数中有零点的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点是（   ） A．1 B． C． D．或1 3．函数的零点为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．或5 4．函数的零点的集合为 5．函数的零点为（    ） A．2 B． C．或 D．2和 求零点，则方程，求出对应的根即可 重难点二 根据零点求参数 6．已知函数的一个零点为，则的单调递增区间为 . 7．若x＝2是f（x）＝x2－mx－3的一个零点，则实数m的值为 ． 8．已知函数的两个零点分别是和3，函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 9．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是 ． 10．已知的零点为1和3，则 ． 重难点三 零点存在性定理的应用 11．设函数，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（   ） A． B． C． D． 12．设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 13．已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间（1，3）上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 14．方程的解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 15．设函数，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根所在的区间是（    ） A． B． C． D．不能确定 判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 重难点四 根据零点所在区间求参数范围 16．冷水坑皇家学院某同学用二分法求函数. 零点的近似值时，确定零点所处的初始区间为，那么实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 17．函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．函数在区间内有零点，则实数k的取值范围是 . 重难点五 根据零点的个数求参数范围 21．若函数有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 22．是上的奇函数，当时，，若方程有5个实根，则的范围为 23．若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 已知函数零点个数求参数常用的方法： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 重难点六 一、二次函数零点分布求参数范围 26．当时，的值有正也有负，则实数a的取值范围是 ． 27．若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是 ． 29．若函数有两个正零点，则实数的取值范围是 ． 30．已知函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为 . 重难点七 指对幂函数零点分布求参数范围 31．设方程的根为，方程的根为，则的值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 32．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 33．（多选）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 34．若函数与函数的零点分别为，，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 35．若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点八 函数与方程的综合应用 36．若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知且，函数，若存在，，使，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围 . 39．方程有4个不同的根的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 40．设满足，满足，则 ． 重难点九 二分法的使用条件 41．下列函数零点不宜用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 42．下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（   ） A． B． C． D． 43．下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是 .（写出所有符合条件的序号） 44．用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 45．（多选）若函数在区间上的图象不间断，则下列结论中错误的是（ ） A．若，则在上不存在零点 B．若，则在上至少有一个零点 C．若在内有且只有一个零点，则 D．若在上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 重难点十 用二分法求方程近似解（函数零点） 46．用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（   ） A． B． C． D． 47．某同学在借助题设给出的数据求方程的近似数（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的4个值中的第二个值为 . 48．借助信息技术，用二分法求函数零点的近似值得到下表数据： 1.00 1.25 1.50 1.625 0.6931 0.4325 0.0879 -0.1193 则由表中的数据，可得函数的一个零点的近似值为（精确度为0.1）（    ） A．1.5625 B．1.25 C．1.4375 D．1.46875 49．用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，第二次应计算，则等于 ． 50．用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上不一定有零点 B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算 D．没有达到精确度，应该接着计算 利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤： ①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间. ②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间. ③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点． 一、单选题 1．函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 2．用二分法求函数在区间上零点的近似值，经验证有，取区间的中点，计算得，则此时零点满足（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．设函数，满足.若函数存在零点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列方程中，可以用二分法求近似解的有（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且，则（   ） A．的取值范围是 B． C．的最小值是 D．m越大，的值越大 三、填空题 9．设为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则的取值范围是 ． 10．已知关于的函数，若此函数有两个零点，则实数的取值范围是 ；若此函数有一个零点为0，则另一个零点是 ． 11．已知函数，有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 12．已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 13．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3) 14．函数在区间内是否有零点?若有零点，用“二分法”求零点的近似值（误差不超过0.2）；若没有零点，说明理由. （参考数据:，，，，，） 15．已知函数是定义域为的偶函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)若方程恰有三个不等实根，求的取值范围和的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$