复习专题06-因式分解二【进阶优等生系列】 2024-2025学年沪教版(五四制)七年级数学上册寒假培优自学课

2024-2025寒假培优自学课 寒假自学课《专题06 因式分解二》-培优课 目录 1、 【提高篇】共17题； 2、 【进阶篇】共20题； 【提高篇】 1.如果多项式可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；B、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；C、，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；D、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C 2.已知关于x的多项式能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为 _____． 【答案】 【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和． 【详解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2． 【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 3.如果代数式可以在有理数范围内因式分解，那么a的取值可以是 .（只需写出一个满足条件的ａ的值） 【答案】-5（答案不唯一） 【分析】根据十字相乘法因式分解进行分析求解； 【详解】解：因为代数式可以在有理数范围内因式分解，又 ，故，即．故答案可以是：－５． 【点睛】此题考查十字相乘法因式分解，熟练运用十字相乘法是解此题的关键． 4.已知多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，则 . 【答案】； 【解析】解： 或， 所以. 5.因式分解：____________________． 【答案】 【解析】解：运用十字相乘法，= 6.甲乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝　 　． 【答案】21； 【解析】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），∴a＝6， 乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），∴b＝9，∴2a+b＝12+9＝21．故答案为21． 7．在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 8.因式分解:a5+5a3﹣6a 【答案】a（a2+6）（a+1）（a﹣1）； 【解析】解：（2）a5+5a3﹣6a＝a（a4+5a2﹣6）＝a（a2+6）（a2﹣1）＝a（a2+6）（a+1）（a﹣1）；先提取a，然后利用十字相乘法分解即可； 9.因式分解：． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法求解即可． 【详解】解：，故答案为 【点睛】此题考查了提公因式法和十字相乘法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 10．分解因式：＝ ． 【答案】 【分析】根据十字相乘法因式分解即可． 【详解】，故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 11. 分解因式：. 【答案】 【分析】将看成整体，用十字相乘法进行因式分解，对于再次分解即可； 【详解】 【点睛】本题考查了因式分解，分解彻底是解题的关键． 12．分解因式：． 【答案】 【分析】首先分组，然后提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； 【详解】解：原式====； 【点睛】此题考查了分组分解因式、提取公因式、公式法，熟练掌握这些方法是解此题的关键． 13.因式分解：； 【答案】 【分析】首先分成两组，利用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式===； 【点睛】此题考查分组分解因式与公式法分解因式，熟练运用因式分解的方法是解题的关键． 14．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法“提取公因式法、公式法、十字相乘法等”是解题关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 15.在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 16．因式分解：． 【答案】． 【分析】此题考查了分组分解法分解因式，直接将后三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案，解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 17．因式分解：． 【答案】 【分析】先分组,然后根据提公因式法可进行求解． 【详解】解： ； 【点睛】本题主要考查因式分解的提公因式法，先分组后提取公因式是解题的关键． 【进阶篇】 1.要使能在有理数的范围内因式分解，则整数的值 有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C； 【解析】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6，∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1，∴整数m的值有4个，故选：C． 2.已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的乘积，那么（ ） A. 一定是奇数； B. 一定是偶数； C. 一定是负数； D. 可为奇数也可为偶数 【答案】A； 【解析】解：设21x2+ax﹣10=(mx+p)(nx+q)=mnx2+(mq+pn)x+pq∴mn=21，pq=-10，a=mq+pn．∴m、n为奇数，p、q有一个为偶数，一个为奇数，∴mq、pn中有一个为奇数，一个为偶数，∴a=mq+pn一定是奇数． 故选：A． 3.分解因式______________ 【答案】 【解析】解：5x2﹣28x+36=(5x﹣18)(x﹣2)．故答案为：(5x﹣18)(x﹣2)． 4.因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝　 　． 【答案】（3x﹣4y）（5x+11y）； 解：利用十字相乘法，如图，将二次项系数、常数项分别分解，交叉乘加验中项，得出答案，15x2+13xy﹣44y2＝（3x﹣4y）（5x+11y）．故答案为：（3x﹣4y）（5x+11y）． 5.已知多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，则 . 【答案】； 【解析】解： 或， 所以. 6.已知可因式分解成，其中常数，，均为整数，则_________________ 【答案】-12； 【解析】解：原式=(13x﹣17)(19x﹣31﹣11x+23)=(13x﹣17)(8x﹣8)．∵可以分解成(ax+b)(8x+c)， ∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，∴a+b+c=﹣12．故答案为：﹣12． 7.已知，，是正整数，，且，则_________ 【答案】1或11； 【解析】解：a2﹣ab﹣ac+bc=11，(a2﹣ab)﹣(ac﹣bc)=11，a(a﹣b)﹣c(a﹣b)=11，(a﹣b)(a﹣c)=11 ∵a＞b，∴a﹣b＞0，又∵a，b，c是正整数，∴a﹣b=1或11，a﹣c=11或1．故答案为：1或11． 8.因式分解： 【答案】（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）． 【解析】解：原式=（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）=（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）． 9．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解因式是解本题的关键；本题先分成2组分别提公因式x，再进一步的提公因式分解因式即可． 【详解】解： ； 10．因式分解： 【答案】 【分析】根据公式法进行因式分解即可． 【详解】原式 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 11．因式分解：． 【答案】． 【分析】此题考查了公式法分解因式和十字相乘法分解因式，先利用平方差公式分解因式，然后根据十字相乘法和完全平方公式即可求解，解题的关键是熟练掌握公式法因式分解及其应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 12．用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 13．分解因式：． 【答案】 【分析】先把看作一个整体，利用十字乘法作第一次分解，再把两个因式再一次分解因式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握利用十字乘法分解因式的方法与步骤是解本题的关键． 14．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把原式分为两组，再分别提取公因式，化为，再提取公因式即可． 【详解】解： 15．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 16.已知,. 利用因式分解法求的值；（2）求的值 【答案】（1）2 （2）34，8； 【解析】（1）, , , 所以;（2），所以，因为 ，所以所以 . 17.阅读理解： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式. 但对于二次三项式，就不能直接运用公式了. 此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ====，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”. 请利用“配方法”进行因式分解： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2）； 【解析】解：（1）原式====；（2）==. 18.阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题 【阅读材料】 对于多项式，我们把带入多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把带入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出后带入，就可以把多项式因式分解. 【解决问题】 （1）求式子中的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式. 【答案】（1）；（2）=. 【解析】解：（1）因为=，故得，解得；（2）当时，多项式=0，因此设= ，则得=，故，解得，因此==. 19.已知x+y=8,xy= -1,求的值. 【答案】528; 【解析】解：因为==，故原式==528. 20.已知,. 利用因式分解法求的值；（2）求的值 【答案】（1）2 （2）34，8； 【解析】（1）, , , 所以;（2），所以，因为 ，所以所以 . 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