13 第二章 素养提升课(四) 电磁感应中的电路及图像问题-【名师导航】2024-2025学年高中物理选择性必修第二册同步讲义(人教版2019)

素养提升课(四)　电磁感应中的电路及图像问题 1．进一步理解公式E＝n与E＝Blv的区别和联系，能够应用两个公式求解感应电动势。 2．掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和解题基本思路。 3．综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题。 　电磁感应中的电路问题 1．电磁感应中电路知识的关系图 2．解决电磁感应中的电路问题三部曲 【典例1】　如图所示，用相同的均匀导线制成的两个圆环a和b，已知b的半径是a的两倍。若在a内存在随时间均匀变化的磁场，b在磁场外，M、N两点间的电势差为U；若该磁场存在于b内，a在磁场外，M、N两点间的电势差为多大？(M、N在连接两环的导线的中点，该连接导线的长度不计) [思路点拨]　解答本题时可按以下思路分析： ―→―→―→ [解析]　磁场的变化引起磁通量的变化，从而使闭合电路产生感应电流。 由题意知，磁场随时间均匀变化，设磁场的变化率为，a的半径为r，则b的半径为2r，圆环导线单位长度电阻为R0。 则圆环a的电阻Ra＝2πrR0，圆环b的电阻Rb＝4πrR0，因此有Rb＝2Ra。 磁场在a中时，a相当于电源，根据法拉第电磁感应定律，电动势Ea＝πr2 当磁场在b中时，b相当于电源，所以Eb＝π(2r)2＝4Ea U是a为电源时的路端电压，由闭合电路欧姆定律有U＝Rb 设Ub是b为电源时的路端电压，同理有 Ub＝Ra 将上面各式联立解得Ub＝2U。 [答案]　2U [针对训练] 1．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于正方形的有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形的边平行。现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差绝对值最大的是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　　　D B　[将线框等效成直流电路，设线框的边长为l，线框每条边的电阻为r，A、B、C、D对应的等效电路图分别如图甲、乙、丙、丁所示。四种情况中产生的感应电动势E均相同。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝Blv。故B项图中a、b两点间电势差最大，选项B正确。] 2．在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1 000匝，横截面积S＝20 cm2，螺线管导线电阻r＝1.0 Ω，R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF。在一段时间内，垂直穿过螺线管的磁场的磁感应强度B的方向如图甲所示，大小按如图乙所示的规律变化，则下列说法中正确的是(　　) A．螺线管中产生的感应电动势为1.2 V B．闭合S，电路中的电流稳定后，电容器下极板带负电 C．闭合S，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率为2.56×10-2 W D．S断开后，流经R2的电量为 1.8×10-2 C C　[根据法拉第电磁感应定律E＝n，解得E＝0.8 V，A错误；根据楞次定律可知，螺线管的感应电流盘旋而下，则螺线管下端是电源的正极，电容器下极板带正电，B错误；根据闭合电路欧姆定律，有I＝＝0.08 A，根据P＝I2R1得，电阻R1的电功率P＝2.56×10-2 W，C正确；S断开后，流经R2的电量即为S闭合时电容器极板上所带的电量Q，电容器两极板间的电压为U＝IR2＝0.4 V，流经R2的电量为Q＝CU＝1.2×10-5 C，D错误。] 　电磁感应中的图像问题 1．电磁感应中常见的图像问题 图像 类型 (1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像，即B-t图像、Φ-t图像、E-t图像和I-t图像 (2)对于导体切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图像，即E-x图像和I-x图像 问题 类型 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像 (2)由给定的图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量 应用 知识 安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律及数学知识 注意 事项 (1)电磁感应中的图像能够定性或定量地表示出所研究问题的函数关系 (2)在图像中E、I、B等物理量的方向通过物理量的正负来反映 (3)画图像时要注意横、纵坐标的单位长度定义或表达 2．处理图像问题要做到“四明确”“一理解” 【典例2】　如图甲所示，固定在水平桌面上的光滑平行金属导轨cd、eg处于竖直向下的匀强磁场中，长为l的金属杆ab与金属导轨接触良好。在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻，其阻值为R，其他部分电阻不计。现用一水平向右的外力F作用在金属杆ab上，使金属杆由静止开始向右在导轨上滑动，运动中金属杆ab始终垂直于导轨。图乙为一段时间内金属杆受到的安培力F安随时间t的变化关系图像，则下列选项可以表示外力F随时间t变化的图像是(　　) A　　　B　　　　C　　　　D B　[由感应电动势E＝Blv、电流I＝，得安培力F安＝BIl＝，由题图乙可知F安∝t，则v∝t，说明金属杆ab做匀加速运动，那么v＝a1t，根据牛顿第二定律，得F－F安＝ma1，则F＝F安＋ma1＝＋ma1，选项B正确。] [针对训练] 3．如图甲所示，水平面内虚线MN的右侧存在竖直向下的匀强磁场，现有一个闭合的金属线框以恒定速度从MN左侧沿垂直MN的方向进入匀强磁场区域，线框中的电流随时间变化的i-t图像如图乙所示，则线框的形状可能是下图中的(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D A　[导体棒切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv，设线框总电阻是R，则感应电流i＝，由题图乙所示图像可知，感应电流先均匀变大，后均匀变小，由于B、v、R是定值，由上式知i与有效切割长度成正比，则导体棒的有效长度l应先均匀变长，后均匀变短，三角形线框匀速进入磁场时，有效长度l先均匀增加，后均匀减小，故A正确；梯形线框匀速进入磁场时，有效长度l先均匀增加，后不变，最后均匀减小，故B错误；圆形线框匀速进入磁场时，有效长度l先变大，后变小，但随时间非均匀变化，故C错误；正六边形线框匀速进入磁场时，有效长度l先均匀增加，后不变，最后均匀减小，故D错误。故选A。] 4．如图所示，一边长为a，电阻为R的等边三角形线框在外力作用下以速度v匀速穿过宽度均为a的两个匀强磁场区域，两磁场磁感应强度的大小均为B，方向相反，线框运动方向与底边平行且与磁场边缘垂直。以逆时针方向为电流正方向，从图示位置开始线框中感应电流I与沿运动方向的位移s的关系图像为(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D B　[线框进入第一个磁场时，切割磁感线的有效长度在均匀变化。在位移由0到的过程中，切割磁感线的有效长度由0增到a；在位移由到a的过程中，切割磁感线的有效长度由a减到0；在位移x＝a时，I＝，电流为正；线框穿越两磁场边界时，线框在两磁场中切割磁感线产生的感应电动势相等且同向，切割的有效长度也在均匀变化；在位移由a到a的过程中，切割磁感线的有效长度等效为单向磁场的两倍，即由0增到a；在位移由a到2a的过程中，切割磁感线的有效长度由减到0；在位移x＝a时，I＝，电流为负；线框出第二个磁场时的情况与进入第一个磁场时的相似；由以上分析可知，I-s图像如图所示。故选B。 ] 　 素养提升练(四)　电磁感应中的电路及图像问题 一、选择题 1．如图所示，磁感应强度为B，ef长为l，ef的电阻为r，定值电阻R，其余电阻不计。当ef在外力作用下向右以速度v匀速运动时，则ef两端的电压为(　　) A．Blv 　B． 　C． 　D． B　[导体棒ef有电阻，将ef看成等效电源，E＝Blv，内阻为r，Uef＝IR＝，故B正确。] 2．(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间分别接着阻值R＝10 Ω的电阻。一阻值R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法正确的是(　　) A．导体棒ab中电流的流向为由b到a B．cd两端的电压为1 V C．de两端的电压为1 V D．fe两端的电压为1 V BD　[由右手定则可知ab中电流方向为a→b，A错误；导体棒ab切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv＝2 V，ab为电源，cd间电阻R为外电路负载，de和cf间电阻中无电流，de和cf间无电压，因此cd和fe两端电压相等，即U＝＝1 V，B、D正确，C错误。] 3．如图所示，单匝正方形线框的边长为l，电容器的电容为C。正方形线框的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，在磁场以变化率k均匀减弱的过程中，下列说法正确的是(　　) A．电压表的读数为 B．线框产生的感应电动势大小为kl2 C．电容器所带的电荷量为零 D．回路中电流为零 D　[磁场均匀减弱，线框中产生恒定的感应电动势，电容器充电完毕后，电路中没有电流，则电压表没有读数，选项A错误，D正确；由法拉第电磁感应定律得E＝，选项B错误；线框中产生恒定的感应电动势，给电容器充电，则电容器所带的电荷量不为零，选项C错误。] 4．如图所示，竖直平面内有一半径为r的金属圆环，拉直时两端的电阻为R，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面。环的最高点用铰链连接长度为2r、电阻为的导体棒ab，ab由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，b点的线速度为v，则这时ab两端的电压大小为(　　) A． 　B． 　C． 　D．Brv A　[导体棒ab摆到竖直位置时，ab切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2r·v＝Brv。外电路电阻大小为，由闭合电路欧姆定律有＝Brv。故选A。] 5．(多选)如图所示，在水平桌面上有一边长为l的正方形导线框abcd，四个边的电阻相等。桌面所在的空间存在一个竖直向下、磁感应强度大小为B的有界匀强磁场。导线框在水平外力作用下从边界处以速度v向右匀速进入磁场区域。已知速度方向垂直于导线框的ab边。在导线框进入磁场的过程中，下列关于a和b两点间的电势差Uab和bc边受到的安培力大小Fbc随导线框运动位移x变化图像正确的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D BD　[导线框在以速度v向右匀速进入磁场区域过程中，ab边切割磁感线，相当于电源，电动势E＝Blv，a和b两点间的电势差Uab＝Blv，故A错误，B正确；设导线框的总电阻为R，导线中的电流I＝，设bc边进入磁场部分的长度为x，则bc边受到的安培力大小Fbc＝BIx＝，Fbc与x成正比，Fbc随导线框运动位移x变化图像是过原点的倾斜直线，故C错误，D正确。故选BD。] 6．如图甲所示，一根电阻R＝4 Ω的导线绕成半径d＝2 m的圆，在圆内部分区域存在变化的匀强磁场，中间S形虚线是两个直径均为d的半圆，磁感应强度随时间变化图像如图乙所示(磁场垂直于纸面向外为正，电流逆时针方向为正)，关于圆环中的感应电流—时间图像，下列选项正确的是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D C　[0～1 s内，感应电动势大小E1＝S V＝4π V，感应电流大小I1＝ A＝π A，由楞次定律知，感应电流为顺时针方向，为负值，故C正确，A、B、D错误。] 7．(多选)如图所示，矩形金属框架三个竖直边ab、cd、ef的长度都是l，电阻都是R，其余电阻不计，框架以速度v匀速平动地穿过磁感应强度为B的匀强磁场，设ab、cd、ef三条边先后进入磁场时，ab边两端电压分别为U1、U2、U3，则下列判断结果正确的是(　　) A．U1＝Blv 　 B．U2＝2U1 C．U3＝0 　 D．U1＝U2＝U3 AB　[当ab边进入磁场时，I＝，则U1＝E－IR＝Blv；当cd边也进入磁场时，I＝Blv；三边都进入磁场时，U3＝Blv。故选项A、B正确。] 8．(多选)如图所示，空间分布着宽为l，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一金属线框从磁场左边界匀速向右通过磁场区域。规定顺时针方向为电流的正方向，则感应电流随位移变化的关系图像(i-x)、ab两端电势差随位移变化的关系图像(Uab-x)，可能正确的是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D AC　[设金属线框总电阻为R，以线框刚要进入磁场为0时刻。在0～l过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为逆时针(负方向)，此时产生的电动势为E1＝Blv，感应电流大小为I1＝，ab两端电势差为Uab＝Blv，在l～2l过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为逆时针(负方向)，此时产生的电动势为E2＝2Blv，感应电流大小为I2＝＝2I1，ab两端电势差为U′ab＝Blv＝2Uab，在2l～3l过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为顺时针(正方向)，此时产生的电动势为E3＝3Blv，感应电流大小为I3＝＝3I1，ab两端电势差为U″ab＝Blv＝7Uab，故选AC。] 9．(多选)(2023·全国甲卷)一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离。如图甲所示。现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流I随时间t的变化如图乙所示。则(　　) A．小磁体在玻璃管内下降速度越来越快 B．下落过程中，小磁体的N极、S极上下颠倒了8次 C．下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变 D．与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大 AD　[在小磁体下落的过程中，它经过的每匝线圈的磁通量都先增大后减小，但由上到下每匝线圈都依次充当电源，由电流的最大值逐渐增大可以判断小磁体的下落速度一定越来越大，故A正确；电流变化的原因是线圈的磁通量先增大后减小，而不是小磁体的N、S极上下颠倒，故B错误；小磁体下落过程中线圈中的电流不断变化，所以线圈受到的安培力也不断变化，可知小磁体受到的电磁阻力也不断变化，故C错误；由题图乙可知当小磁体通过线圈下部时线圈电流的最大值大于小磁体通过线圈上部时线圈电流的最大值，由闭合电路欧姆定律可知，当小磁体通过线圈下部时线圈中产生的电动势的最大值大于小磁体通过线圈上部时线圈中产生的电动势的最大值，由法拉第电磁感应定律可知，当小磁体通过线圈下部时线圈中磁通量变化率的最大值大于小磁体通过线圈上部时线圈中磁通量变化率的最大值，故D正确。] 10．(多选)如图所示，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B，磁场在y轴方向足够宽，在x轴方向宽度为a。一直角三角形导线框ABC(BC边的长度为a)从图示位置向右匀速穿过磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，在下图中感应电流i、BC两端的电压UBC与线框移动的距离x的关系图像正确的是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D BD　[设∠ACB＝θ，三角形导线框ABC向右匀速运动的速度为v，则在其匀速穿过磁场区域的过程中，在0～a内，切割磁感线的有效长度为l＝vt tan θ，由此产生的感应电动势为E＝Blv＝Bv2tan θ·t，设三角形导线框ABC的总电阻为R，则其产生的感应电流为i＝·t，可知感应电流随时间均匀增加，而根据楞次定律可知，在0～a内，感应电流为逆时针方向，即为正方向，而在a～2a内，切割磁感线的有效长度随时间的变化关系与0～a内的相同，而根据楞次定律可知，此过程中感应电流为顺时针方向，即为负方向，但仍随着时间均匀增大，故A错误，B正确；设BC边的电阻为R′，则其两端的电压UBC＝iR′＝·t，在0～a内，感应电流为正方向，且随时间均匀增加，则可知在0～a内，BC两端的电压均匀增加且图像在x上方，在a～2a内，感应电流为负方向，且随时间均匀增加，则可知在a～2a内，BC两端的电压均匀增加且图像在x下方，故C错误，D正确。故选BD。] 二、非选择题 11．饭卡是学校等单位常用的辅助支付手段，其内部主要部分是一个多匝线圈，当刷卡机发出电磁信号时，置于刷卡机上的饭卡线圈的磁通量发生变化，发生电磁感应，产生电信号，其原理可简化为如图甲所示。设线圈的匝数为1 200匝，每匝线圈面积均为S＝10-4 m2，线圈的总电阻为r＝0.1 Ω，线圈连接一电阻R＝0.3 Ω，其余部分电阻不计。线圈所处的磁场的方向不变，其大小按如图乙所示的规律变化(垂直纸面向里为正)，求： (1)t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势大小； (2)0～0.1 s时间内，电阻R产生的焦耳热； (3)0.1～0.4 s时间内，通过电阻R的电荷量。 [解析]　(1)由法拉第电磁感应定律有E＝nS 0～0.1 s时间内线圈产生的感应电动势为 E1＝nS＝1 200××10-4 V＝0.024 V 则t＝0.05 s时线圈产生的感应电动势大小为0.024 V。 (2)根据闭合电路欧姆定律，有 I1＝ A＝0.06 A 根据焦耳定律，可得0～0.1 s时间内，电阻R产生的焦耳热为 Q＝Rt＝0.062×0.3×0.1 J＝1.08×10-4 J。 (3)0.1～0.4 s内，根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路欧姆定律有 则通过电阻R的电荷量为q＝Δt＝n 结合题图乙可得 q＝1 200×C＝0.006 C。 [答案]　(1)0.024 V　(2)1.08×10-4 J　(3)0.006 C 12．在磁感应强度B＝0.4 T的匀强磁场中，放一个半径r0＝50 cm的圆形导轨，圆形导轨上面有通过圆形导轨中心且互相垂直的两根导体棒，一起以角速度ω＝103 rad/s逆时针匀速转动。圆导轨边缘和两棒中央通过电刷与外电路连接，若每根导体棒的有效电阻R0＝0.8 Ω，外接电阻R＝3.9 Ω，如图所示，圆形导轨的电阻不计，求： (1)每半根导体棒产生的感应电动势； (2)当开关S断开和接通时两电表的示数分别是多少。 [解析]　(1)每半根导体棒产生的感应电动势 E1＝Blv＝×0.4×0.52×103 V＝50 V。 (2)两根导体棒一起转动时，每半根导体棒产生的感应电动势大小相同，相当于四个电动势和内阻都相同的电池并联，E总＝E1＝50 V，r＝＝0.1 Ω 当开关S断开时，电流表示数为零，电压表示数等于电源电动势，为50 V 当开关S接通时，闭合电路总电阻 R′＝r＋R＝(0.1＋3.9)Ω＝4 Ω 电源电动势不变，即E＝E总＝50 V 由闭合电路欧姆定律，得 I＝ A＝12.5 A，即电流表示数为12.5 A 此时电压表示数为电路路端电压 U＝IR＝12.5×3.9 V＝48.75 V。 [答案]　(1)50 V　(2)见解析 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$