10 第二章 2.简谐运动的描述-【名师导航】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册同步讲义(人教版2019)

2．简谐运动的描述 [学习任务]　1．理解简谐运动的振幅、周期、频率、相位和初相位的概念。 2．知道周期和频率的关系。 3．知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。 4．通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。 [问题初探]　问题1．描述简谐运动特征的物理量有什么？ 问题2．弹簧振子的周期与振幅有关吗？ 问题3．什么是相位差？ [自我感知]　经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。 　简谐运动的振幅、周期和频率 1．振幅 (1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅。用A表示，国际单位为米(m)。 (2)物理意义：振幅是描述振动幅度大小的物理量；振动物体的运动范围是振幅的两倍。 2．全振动 类似于O→M→O→M′→O的一个完整的振动过程称为一次全振动。 提醒：不管以哪个位置作为研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。 3．周期(T)和频率(f) (1)周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期。单位：秒。 (2)频率f：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率。单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。 (3)周期T与频率f的关系式：f＝。 提醒：简谐运动的频率不是用来描述振动物体某时刻运动快慢的物理量，而是用来描述一次全振动快慢的物理量。 (4)ω：一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。 (选自鲁科版教材)为了更好地理解简谐运动的位移公式，我们来观察下面的实验。 图1是演示匀速圆周运动与简谐运动关系的实验示意图。固定在竖直圆盘上的小球P随着圆盘以角速度ω做匀速圆周运动，一束平行光自上而下照射小球，在圆盘下方的屏上可观察到小球投影的运动。小球投影以圆盘圆心在屏上的投影为平衡位置，以小球做圆周运动的半径为振幅(用A表示)，来回振动。 若以圆盘圆心O的投影为坐标原点，建立如图2所示的坐标系，以小球P在圆盘最上端的时刻作为计时零点，则小球P在x轴上的投影偏离点O的位置随时间变化的关系为x＝A sin ωt。将此公式与简谐运动的位移公式对比，不难发现小球在屏上投影的运动为简谐运动。角速度ω常被称为简谐运动的圆频率，它与简谐运动周期之间的关系为ω＝。 问题　小球转一圈的时间内其投影完成多少次全振动？ 提示：一次。 1．全振动的“四个特征” (1)物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同时与初始状态相同。 (2)时间特征：历时一个周期。 (3)路程特征：振幅的4倍。 (4)相位特征：增加2π。 2．简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系 振幅与位移 (1)振幅等于位移的最大值 (2)同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化 振幅与路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系： (1)t＝T时，s＝4A(t＝nT时，s＝n·4A) (2)t＝T时，s＝2A (3)t＝T时，可能有s＝A、s>A、s<A 注意：只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才为s＝A 振幅与 周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关 【典例1】　(对简谐运动周期的理解)质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，下列说法正确的是(　　) A．当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期 B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期 C．当质点的位移再次与零时刻的位移相同时，经过的时间为一个周期 D．当质点经过的路程为振幅的2倍时，经过的时间为半个周期 D　[质点连续两次经过同一位置的时间不一定是一个周期，A错误；质点同向经过关于平衡位置对称的两点速度相同，但经过的时间不为一个周期，B错误；质点连续两次经过同一位置时，位移相同，但经历的时间一般不等于一个周期，C错误；质点在任何半个周期内通过的路程一定是振幅的2倍，D正确。] 【典例2】　(简谐运动的周期性及多解性)(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从经过O点开始计时，振子第一次到达P点时用了0.3 s，又经过0.2 s第二次经过P点，则振子第三次经过P点还要经过的时间可能是(　　) A．1.6 s B．1.4 s C． s D．0.8 s BC　[假设弹簧振子在B、C之间振动，如图甲所示，若振子开始先向左振动，振子的振动周期T＝×4 s＝ s，则振子第三次通过P点还要经过时间t＝ s－0.2 s＝ s；如图乙所示，若振子开始先向右振动，振子的振动周期T′＝4× s＝1.6 s，则振子第三次通过P点还要经过时间t′＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s, 故B、C正确，A、D错误。 ] 　由于简谐运动是一种变加速运动，所以计算简谐运动的周期往往要利用简谐运动的对称性，先计算出从平衡位置到最大位移处(或从最大位移处到平衡位置)的时间，即，再计算一个周期T的大小。 【典例3】　(简谐运动的周期性和对称性)一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(　　) A．若t时刻和t＋Δt时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍 B．若t时刻和t＋Δt时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍 C．若Δt＝T，则在t时刻和t＋Δt时刻振子运动的加速度一定相等 D．若Δt＝，则在t时刻和t＋Δt时刻弹簧的长度一定相等 C　[弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，图中A点与B、E、F、I等点的振动位移大小相等，方向相同。由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T或T的整数倍，选项A错误；图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等，方向相反，由图可知A点与C、G等点对应的时间差为或的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为或的整数倍，选项B错误；如果t时刻和t＋Δt时刻相差一个周期T，则振子在这两个时刻的振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确；除在平衡位置时，如果t时刻和t＋Δt时刻相差半个周期，则这两个时刻振子的位移大小相等，方向相反，弹簧的长度显然是不相等的，选项D错误。 ] 【典例4】　(简谐运动的周期、振幅)(多选)(2023·山东卷)如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是(　　) A．，3t B．，4t C．t D．t BC　[作出质点的振动图像，如图所示，若平衡位置在A点的右侧，则有＝L，解得振幅A＝，质点从A点到第二次经过B点的时间为t，则有＝t，解得周期T＝；若平衡位置在A点的左侧，则有＝L，解得振幅A＝，质点从A点到第二次经过B点的时间为t，则有＝t，解得周期T＝4t，B、C正确，A、D错误。] 　相位和简谐运动的表达式 1．相位：物理学中把ωt＋φ叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。 2．相位差 (1)定义：两个具有相同频率的简谐运动的相位之差。 (2)表示：两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2。 (3)意义：表示1的相位比2超前Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。 提醒：比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程。 3．简谐运动的位移表达式 简谐运动的表达式可以写成x＝A_sin_(ωt＋φ)或x＝A_sin_。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。 (选自沪科版教材)如图所示，某质点沿逆时针方向做半径为A、周期为T的匀速圆周运动。t＝0时，质点位于P处，其在过圆心的x轴上的投影点为M0，经过时间t，质点运动到P′处，其投影点M的坐标x与时间t的函数关系可表示为x＝A cos 。 问题　式子中括号内的部分指的是振动的什么？φ指的是什么？ 提示：式子中括号内的部分指的是振动的相位，φ指的是初相位。 1．相位 (1)物理意义：用来描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态。 (2)特点：相位是一个随时间变化的量，它的值为角度，其单位是弧度(rad)或度(°)。 (3)物体经历一次全振动，相位变化2π。 2．相位差的取值范围、同相和反相、超前和滞后 (1)相位差的取值范围：－π≤Δφ≤π。 (2)同相和反相：Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相；Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。 (3)超前和滞后：Δφ＞0，表示振动1比振动2超前；Δφ<0，表示振动1比振动2滞后。 3．简谐运动两种描述方法的比较 (1)简谐运动图像(x-t图像)是直观表示质点振动情况的一种手段，直观地表示了质点的位移x随时间t变化的规律。如图所示，根据振动图像可获知如下信息： (2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况的。 (3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的，两种表述方法可以相互转换。 【典例5】　(简谐运动的函数表达式)(2021·江苏卷)如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　) A．x＝R sin B．x＝R sin C．x＝2R sin D．x＝2R sin B　[由题图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为x＝R sin (ωt＋φ)。由题图可知，当t＝0时，P的位移为R，代入振动方程解得φ＝，则P做简谐运动的表达式为x＝R sin ，故B正确，A、C、D错误。] 【教用·备选例题】　(23－24福建泉州月考)(振动方程)有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　) A．x＝8×10-3sin m B．x＝8×10-3sin m C．x＝8×10-3sin m D．x＝8×10-3sin m A　[由题可知，A＝0.8 cm＝8×10-3m，T＝0.5 s, 则ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10-3×sin m，A正确。] 【典例6】　(简谐运动的振动图像)A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。 请根据图像写出： (1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________ cm，周期是________ s。 (2)两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。 [解析]　(1)由题图知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。 (2)由题图知，t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得ωA＝＝5π rad/s，则A的简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π)cm。t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得ωB＝＝2.5πrad/s, 则B的简谐运动的表达式为xB＝0.2sin cm。 [答案]　(1)0.5　0.4　0.2　0.8 (2)xA＝0.5sin (5πt＋π) cm　xB＝0.2sin cm [母题拓展] 在上例中，t＝0.05 s时两质点的位移分别是多大？ [解析]　将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝－ cm xB＝0.2sin cm＝0.2sin π cm。 [答案]　xA＝－ cm　xB＝0.2sin π cm 1．(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，不考虑摩擦，则(　　) A．从B→O→C→O→B为一次全振动 B．从O→B→O→C→B为一次全振动 C．从C→O→B→O→C为一次全振动 D．B、C两点关于O点对称 ACD　[O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍，为一次全振动，A正确；若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，B错误；若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍，为一次全振动，C正确；因不考虑弹簧振子的系统的摩擦，所以它的振幅一定，故B、C两点关于O点对称，D正确。] 2．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为(　　) A．4 cm　10 cm B．4 cm　100 cm C．0　24 cm D．0　100 cm B　[质点的振动周期T＝＝0.4 s，故时间t＝T＝6T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×6 cm＝100 cm，选项B正确。] 3．(多选)一个质点做简谐运动的振动图像如图所示，相关说法正确的是(　　) A．在任意1 s内质点经过的路程都是2 cm B．在5 s末，质点的速度为零 C．t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻，质点的位移和速度方向都相反 D．从t＝1.5 s时刻到t＝4.5 s时刻，质点通过的路程为(4＋2)cm BD　[由题图可知质点做简谐运动的周期T＝4 s，则1 s＝T，1 s内质点通过的路程不一定是一个振幅的大小，即不一定是2 cm，A错误；在5 s末，质点运动至最大位移处，速度为零，B正确；t＝1.5 s和t＝2.5 s两个时刻，质点的位移方向相反，但速度方向相同，C错误；根据题图可知质点做简谐运动的位移的表达式为x＝2sin t(cm)，从t＝1.5 s时刻到t＝4.5 s时刻质点运动了3 s，从位移 cm处到达位移－2 cm处，后再次回到位移 cm处，通过的路程为(4＋2)cm，D正确。] 回归本节知识，完成以下问题： 1．描述简谐运动的物理量有哪些？ 提示：振幅、周期、频率、相位。 2．如何判断一个振动过程是否为一个全振动？ 提示：在判断物体的振动过程是否为一次全振动时不仅要看物体是否回到原位置，而且要判断物体到达该位置的振动状态(速度、加速度、位移)是否与原位置相同。 3．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？ 提示：振幅、圆频率、初相位。 课时分层作业(七) 题组一　简谐运动的振幅、周期和频率 1．下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是(　　) A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处 B．简谐运动的周期和频率的乘积是一个常数 C．振幅增大，周期必然增大，而频率减小 D．做简谐运动的物体，其频率与振幅有关 B　[振幅是标量，故A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，故B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，故C、D错误。] 2．如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动。以其平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　) A．振子的振幅为4 cm B．振子的振动周期为1 s C．t＝1 s时，振子的速度为正的最大值 D．t＝1 s时，振子的加速度为正的最大值 C　[由振动图像可知，振子的振幅为2 cm，周期为 2 s, 故A、B错误；t＝1 s时，振子处于平衡位置，加速度为0，速度为正的最大值，故C正确，D错误。] 3．如图所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为(　　) A．0.2 s B．0.4 s C．0.1 s D．0.3 s A　[弹簧振子的周期与弹簧的劲度系数、振子的质量有关，与振幅无关，故A正确。] 4．弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.4 s，第一次到达点M，再经过0.2 s，第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为(　　) A． s B．1 s C． s D．2.4 s A　[如图甲所示，从O点开始向右，振子按甲路线运动，则振子的振动周期为T1＝4×s＝2 s；如图乙所示，从O点开始向左，振子按乙路线运动，则振子的振动周期为T2＝×4 s＝ s。 故选A。 ] 题组二　相位和简谐运动的表达式 5．如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s。若振子向右经过OB的中点P时开始计时，则振子的位移—时间关系为(　　) A．x＝0.2sin m B．x＝0.1sin m C．x＝0.1sin m D．x＝0.2sin m C　[弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm，所以振幅为0.1 m，振子从B点到第二次经过O点，所用时间为 0.75 s, 所以T＝0.75 s，ω＝＝2π rad/s，则x＝0.1sin (2πt＋φ)m，振子向右经过OB的中点P时开始计时，t＝0时x＝5 cm，代入上式得x＝0.1sin m。] 6．如图(a)所示水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图(b)是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，下列说法正确的是(　　) A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动 B．弹簧振子的振动方程为x＝0.1sin m C．弹簧振子在2.5 s内的路程为1 m D．图(b)中的t1时刻振子的速度方向与加速度方向都为负方向 C　[弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为次全振动，故A错误；根据题图(b)可知，弹簧振子的振幅是A＝0.1 m，周期为T＝1 s，则圆频率为ω＝＝2π rad/s，规定向右为正方向，t＝0时刻位移为0.1 m，表示振子从B点开始运动，初相为φ0＝，则振子的振动方程为x＝A sin (ωt＋φ0)＝0.1sin m，故B错误；因周期T＝1 s，则2.5 s＝2T＋，则振子在前2.5 s内的路程为s＝2×4A＋2A＝10×0.1 m＝1 m，故C正确；题图(b)中的t1时刻振子的速度方向为负方向，此时刻振子正在沿负方向做减速运动，即从O向C运动，但加速度方向为正，故D错误。] 7．如图甲所示，在一个真空环境中，弹簧上端固定，下端悬挂钢球，把钢球从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动，用频闪照相机对其拍出照片如图乙所示，再重新把钢球从平衡位置向下拉，放手让其运动，频闪照片如图丙所示，已知频闪照相机的闪光周期为0.1 s。由此分析出，第一次振动的周期为________，第二次振动的周期为________，即弹簧振子的周期与振幅________(选填“有关”或“无关”)。 [解析]　弹簧振子下降过程都拍了4幅照片，所以周期是0.8 s，周期与振幅无关。 [答案]　0.8 s　0.8 s　无关 8．(2021·广东卷)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经时间，小球从最低点向上运动的距离________(选填“大于”“小于”或“等于”)；在时刻，小球的动能________(选填“最大”或“最小”)。 [解析]　由于从最低点开始计时，则经时间，小球从最低点向平衡位置运动，则小球的速度逐渐增大，故0～时间内小球的平均速度小于～时间内的平均速度，因此经时间，小球从最低点向上运动的距离小于，在时刻，小球位于平衡位置，动能最大。 [答案]　小于　最大 9．一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示。 (1)由图中信息写出此简谐运动的振幅、圆频率及这个简谐运动的位移随时间变化的关系式(用正弦函数表示)。 (2)从t＝0到t＝6.5×10-2 s的时间内，振子通过的路程为多大？ [解析]　(1)由题图可知T＝2×10-2 s，A＝2 cm，圆频率为ω＝＝ rad/s＝100π rad/s，t＝0时，x＝－A，则位移随时间变化的关系式为x＝2sin cm。 (2)从t＝0到t＝6.5×10-2 s，t＝6.5×10-2 s，即t＝T，一个周期内振子通过的路程为4A，从t＝0到t＝6.5×10-2 s的时间内，振子通过的路程s＝×4A＝26 cm。 [答案]　(1)2 cm　100π rad/s　x＝2sin cm　 (2) 26 cm 10．如图所示的是某质点沿x轴做简谐运动的振动图像，简谐运动的频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，则简谐运动的振动方程为(　　) A．x＝8sin cm B．x＝8sin cm C．x＝8cos cm D．x＝8cos cm A　[简谐运动的表达式为x＝A sin (ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π rad/s，则x＝8sin (πt＋φ) cm，在t＝0时，位移是4 cm，代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝或φ＝，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝，则所求的振动方程为x＝8sin m。] 11．一个小球和轻质弹簧组成的系统按x1＝4sin cm的规律振动。 (1)求该振动的周期、频率、振幅和初相； (2)另一简谐运动的表达式为x2＝4sin cm，求它们的相位差。 [解析]　(1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝得T＝ s 所以频率f＝＝4 Hz 由x1＝4sin cm可看出，振幅为A＝4 cm 初相位为φ1＝。 (2)Δφ＝φ2－φ1＝π－＝π。 [答案]　(1) s　4 Hz　4 cm　　(2)π 12．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t′＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t′＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t′＝0.6 s时，振子速度第二次变为v。B、C之间的距离为20 cm。 (1)求弹簧振子振动周期T； (2)求振子在4.0 s内通过的路程； (3)取从O向B为正方向，振子从平衡位置向C运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。 [解析]　(1)根据已知条件分析得振子的运动情况如图： 结合运动的对称性可知周期T＝0.6 s＋(0.6 s－0.2 s×2)＝0.8 s。 (2)B、C之间的距离为20 cm，则A＝10 cm 在4.0 s＝5T的时间内，振子的路程s＝5×4A＝200 cm＝2.0 m。 (3)已知振幅为10 cm，规定从O到B为正方向，t＝0时刻振子从平衡位置向C运动，振子的位移为0，运动的方向为负，则弹簧振子位移表达式为x＝－A sin t＝－10sin 2.5πt cm 振动图像如图所示。 [答案]　(1)0.8 s　(2)2.0 m　(3)见解析 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$