精品解析：山东省聊城市运河教育联盟学校2024-2025学年上学期第二次学情调研八年级数学试题

2024－2025学年第一学期第二次学情调研 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 中国品牌走向了全世界，以下是中国品牌的LOGO，哪个LOGO是轴对称图形？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2. 如果，那么下列比例式成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断，即可． 【详解】A、，变形为：，不符合题意； B、，变形为：，符合题意； C、，变形为：，不符合题意； D、，变形为：，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查比例基本性质，解题的关键是掌握比例式与乘积式的互换． 3. 下列各式：，，，，，其中分式的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐一分析判断即可求解，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：，，是整式，不是分式，不符合题意；，是分式，符合题意； ∴分式的个数有个， 故选：． 4. 若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（ ） A. 5 B. 4.8 C. 5.2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求平均数，用的和加上的和除以总数即可． 【详解】解：； 故选C． 5. 如果，那么代数式的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先求出的值，再把所求式子中的小括号内的式子通分化简，再计算分式乘法分解，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 6. 如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）． A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵若， 又， ∴与满足“”的关系，无法证明全等， 因此无法得出，故A是假命题， ∵若， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故B是真命题； 若，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故C是真命题； 若，则在和中， ， ∴， ∴，故D是真命题； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理． 7. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程无解的情况求参数，根据分式方程“无解”，分两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 整理得，， 当，即时，方程为，方程无解，故分式方程也无解； 当时，， ∵分式方程无解，即产生增根， ∴令，得， ∴， 解得； 综上，当或时，分式方程无解， 故选：． 8. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A，B两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的3倍，用6750元购买的种绿植比用3000元购买的种绿植少50株．设种绿植单价是元，则可列方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．设种绿植单价是元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的种绿植比用3000元购买的种绿植少50株，列出方程即可． 【详解】解：种绿植单价是种绿植单价的3倍，设种绿植单价是元， 种绿植单价是元， 根据题意，得． 故选：C． 9. 如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒或秒 D. 秒或秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别点在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选D． 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定： ． 下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算、数字规律等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键， 根据题意，找到循环周期和规律，然后逐一判断即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，，，，…… 即：这列数以x，，，，每四个为一个周期循环， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，，，，， ∴， 由此可得、都是以4个数为一周期的数列， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用分式同分母运算法则进行合并，并化简即可得出结果． 【详解】解：， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是分式加法运算的基础运算，掌握其运算法则是解题的关键． 12. 如图，在中，为的角平分线，于点E，面积是24，，则的长为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理， 过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可． 【详解】解：过点D作于点F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 13. 某校举办了演讲比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，85分，70分，若依次按照的比例确定成绩，则该选手的成绩是__________分． 【答案】82 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分以及依次按照的比例确定成绩，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵已知某位选手礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，85分，70分，且依次按照的比例确定成绩， ∴（分）， ∴则该选手的成绩是82分． 故答案为：82． 14. 有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①##1 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及其性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等，故①正确； 因为垂直平分线不一定被线段本身平分，所以线段上任一点到垂直平分线两端的距离不一定相等，故②错误； 经过线段中点的直线有无数条，故③错误； 点在线段外且，过点作直线，当时，则是线段的垂直平分线，故④错误； 过线段的中点才能作这条线段的中垂线．故⑤错误； 故答案为：① 15. 如图，在等腰中，，，点，，，其中，则、之间的数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明，关键在于通过作辅助线构造全等三角形，同时注意坐标与线段长度之间的转化． 通过作辅助线构造全等三角形，然后利用全等三角形对应边相等的性质建立等式，得到关于、的等式，即可确定、之间的数量关系． 【详解】解：过点作轴于点，轴于点． ． ． ． 在和中： ， ． ． ，． ． ． ． ． ． 故答案为：． 16. 我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，∴，． 再如为分式方程，可化为，∴． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为； 若．则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键； 根据题中“完美分式方程”的解法确定，的值，即可求解； 【详解】解：完美分式方程两个解分别为，， ，， ； 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 化简，再从，1，三个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算法则，分式有意义的条件是解决本题的关键．根据分式的运算法则先化简，再根据分式有意义的条件确定所选的数，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ， 当时， 原式． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握分式方程的步骤，注意最后要检验． （1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， 是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， 是原方程的解． 19. 在如图的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线相重合． （1）在图中，作出关于直线对称的； （2）在直线上找一点Q，使最小； （3）的面积为　　　　． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）8 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形及其性质，利用网格求三角形的面积，最短路线等． （1）先根据轴对称的性质作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）连接交于点，则点满足条件； （3）利用割补法计算出的面积． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 解：连接交于点，则点为所求， ， 【小问3详解】 解：正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1， ． 故答案为：8． 20. 某学校在工程招标时，接到“建安”和“银夏”两个工程队的投标书．工程领导小组根据两队的投标书测算，形成下列三种施工方案： 方案①：“建安”队单独完成此项工程刚好如期完工； 方案②：“银夏”队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； 方案③：若两队合作4天，剩下的工程由“银夏”队独做也正好如期完工；求“建安”、“银夏”两队单独完成此项工程各需多少天？ 【答案】天；天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设“建安”队单独完成此项工程需天，则“银夏”队单独完成此项工程需天．依题意，得：，即可求解； 【详解】解：设“建安”队单独完成此项工程需天，则“银夏”队单独完成此项工程需天． 依题意，得：， 解得：． 经检验：是原分式方程的解． ． 答：“建安”队单独完成此项工程需天，则“银夏”队单独完成此项工程需天． 21. 如图，点B，C分别在射线，上，点E，F都在内部的射线上．已知，且． （1）求证：； （2）试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据已知和三角形外角性质求出，，根据证两三角形全等即可； （2）结合（1），可得，，进而根据线段的和差即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 同理：， 在和中， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，解本题的关键是得到． 22. 每年12月是法制宣传月．为强化学生法制意识，我校对八、九年级学生进行了普法知识问答测试，现从八、九年级各随机抽取了20人的成绩进行整理、描述和分析，成绩用表示，共分为四个等级： A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 抽取的八年级20人的成绩为： 69，70，73，75，79，80，81，82，85，86， 86，86，88，88，91，91，93，94，96，97； 抽取的九年级B等级包含的所有数据为：84，81，88，83，89，87，85，82． 抽取的八、九年级学生成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 八年级 84.5 86 b 九年级 84.5 a 79 抽取的九年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为我校八、九年级中哪个年级的普法知识问答测试成绩更好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若我校八、九年级共有1600人参加普法知识测试，请估计两个年级成绩优秀，大于或等于90分）的人数一共有多少人? 【答案】（1），86，20 （2）八年级的学生普法知识测试成绩更好，理由见解析 （3）两个年级成绩合格（大于或等于90分）的有400人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及扇形统计图，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）先求八年级成绩众数，再分别求出九年级各个等级的人数，即可求出结论； （2）根据中位数可判断八年级的学生普法知识测试成绩更好； （3）利用样本估计总体，计算普法知识测试成绩合格的八、九年级学生所占百分比即可求出结论． 【小问1详解】 解：在抽取的20名八年级学生的成绩中86是出现次数最多的，故众数是； 九年级D等级人数为：人， C等级人数为：人， B等级人数为：8人， A等级人数为：人， ， ， 九年级抽取了20人的成绩，将成绩从大到小排列后，排在第10、11两数的平均数是抽取的八年级成绩中位数， 把抽取的八年级B等级包含的所有数据按大小顺序排列： A等级人数为4人，89，88，87，85，84，83，82，81， 八年级成绩中位数， 故答案为：，86，20； 【小问2详解】 解：八年级的学生普法知识测试成绩更好，理由如下： 八九年级学生测试成绩的平均数相同，从中位数来看，八年级成绩中位数是86分高于九年级成绩中位数分， 所以八年级的学生普法知识测试成绩更好； 【小问3详解】 解：∵八年级知识测试成绩在90分及以上的学生有6人， ∵九年级知识测试成绩在90及以上的学生有4人， ∴两个年级成绩优秀（大于或等于90分）的有（人）． 23. 我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． （1）该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ （2）甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ 【答案】（1）该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天 （2）改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键 （1）设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要x天，根据“甲、乙的工作量之和为”列方程求解 （2）设改进工艺后甲车间每天生产个，乙车间每天生产个布艺文化袋，根据“改进后甲、乙两车间每天生产的布艺文化袋数量之比为、两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天”列方程求解． 【小问1详解】 解∶设该厂家完成这批布艺文化袋一共需要x天，则 ． 解得∶． 答∶ 该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天． 【小问2详解】 解∶设改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋，乙车间每天生产个布艺文化袋． 甲车间按原生产效率单独生产4天后还剩∶(个)，每个车间完成 (个) 由题意得∶， 解得∶， 经检验∶是原分式方程的解，且符合题意． 甲车间每天生产 (个)． 答∶ 改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． 24. 数学活动课上，王老师提出这样一个问题：在中，是边上的中线，若，，你能判断的取值范围吗？如图①，小聪同学考虑到，可以通过构造全等把一些分散的已知条件转化到一个三角形中，因此得到如下解题思路：延长到，使，连接，构造一对全等三角形，然后在中就可以判断的取值范围，从而求出的取值范围． （1）根据小聪的思路，直接写出的取值范围； （2）类比上述解题思路，解决问题：如图②，在中，，，垂足为，是上一点，过点作交延长线于点，若，，求的长． （3）如图③，王老师在原外部，以为直角顶点作两个等腰直角三角形，分别为与，连接，猜想与的中线的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明得出，由三角形三边关系可得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案； （3）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 解：∵是边上的中线， ∴ 在和中 ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，， ． ， ． 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：结论：， 理由如下：延长到，使，连接， 由（1）可知， ，． 与是等腰直角三角形， ，，， ，． ， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角的性质，角的关键．作辅助线证明三角形全等是解答关键关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期第二次学情调研 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 中国品牌走向了全世界，以下是中国品牌的LOGO，哪个LOGO是轴对称图形？（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列比例式成立的是（ ） A B. C. D. 3. 下列各式：，，，，，其中分式的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（ ） A. 5 B. 4.8 C. 5.2 D. 8 5. 如果，那么代数式的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 若关于分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A，B两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的3倍，用6750元购买的种绿植比用3000元购买的种绿植少50株．设种绿植单价是元，则可列方程是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒或秒 D. 秒或秒 10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定： ． 下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：___________． 12. 如图，在中，为的角平分线，于点E，面积是24，，则的长为_____ 13. 某校举办了演讲比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，85分，70分，若依次按照的比例确定成绩，则该选手的成绩是__________分． 14. 有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是___________（填序号）． 15. 如图，在等腰中，，，点，，，其中，则、之间的数量关系是______． 16. 我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，∴，． 再如分式方程，可化为，∴． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为； 若．则的值为________． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 化简，再从，1，三个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 18. 解方程： （1） （2） 19. 在如图的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线相重合． （1）在图中，作出关于直线对称的； （2）在直线上找一点Q，使最小； （3）的面积为　　　　． 20. 某学校在工程招标时，接到“建安”和“银夏”两个工程队的投标书．工程领导小组根据两队的投标书测算，形成下列三种施工方案： 方案①：“建安”队单独完成此项工程刚好如期完工； 方案②：“银夏”队单独完成此项工程要比规定工期多用5天； 方案③：若两队合作4天，剩下的工程由“银夏”队独做也正好如期完工；求“建安”、“银夏”两队单独完成此项工程各需多少天？ 21. 如图，点B，C分别在射线，上，点E，F都在内部的射线上．已知，且． （1）求证：； （2）试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 22. 每年12月是法制宣传月．为强化学生法制意识，我校对八、九年级学生进行了普法知识问答测试，现从八、九年级各随机抽取了20人的成绩进行整理、描述和分析，成绩用表示，共分为四个等级： A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 抽取的八年级20人的成绩为： 69，70，73，75，79，80，81，82，85，86， 86，86，88，88，91，91，93，94，96，97； 抽取的九年级B等级包含的所有数据为：84，81，88，83，89，87，85，82． 抽取八、九年级学生成绩统计表 学生 平均数 中位数 众数 八年级 84.5 86 b 九年级 84.5 a 79 抽取的九年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为我校八、九年级中哪个年级的普法知识问答测试成绩更好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若我校八、九年级共有1600人参加普法知识测试，请估计两个年级成绩优秀，大于或等于90分）人数一共有多少人? 23. 我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． （1）该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ （2）甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ 24. 数学活动课上，王老师提出这样一个问题：在中，是边上的中线，若，，你能判断的取值范围吗？如图①，小聪同学考虑到，可以通过构造全等把一些分散的已知条件转化到一个三角形中，因此得到如下解题思路：延长到，使，连接，构造一对全等三角形，然后在中就可以判断的取值范围，从而求出的取值范围． （1）根据小聪的思路，直接写出的取值范围； （2）类比上述解题思路，解决问题：如图②，在中，，，垂足为，是上一点，过点作交的延长线于点，若，，求的长． （3）如图③，王老师在原外部，以为直角顶点作两个等腰直角三角形，分别为与，连接，猜想与的中线的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$