期末强化练05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性和对称性）小题18种常考题型总结（56题）-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

期末强化练05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性 2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 和对称性）小题18种常考题型总结（56题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求函数的单调区间 题型二 根据函数的单调性求参数值 题型三 根据函数的单调性解不等式 题型四 比较函数值的大小关系 题型五 根据解析式直接判断函数的单调性 题型六 根据函数的最值求参数 题型七 函数不等式恒成立问题 题型八 函数不等式能成立（有解）问题 题型九 函数奇偶性的定义与判断 题型十 由奇偶性求函数解析式 题型十一 由奇偶性求参数 题型十二 由函数奇偶性解不等式 题型十三 函数奇偶性的应用 题型十四 抽象函数的奇偶性 题型十五 由函数的周期性求函数值 题型十六 判断或证明函数的对称性 题型十七 由对称性研究单调性 题型十八 函数对称性的应用 1.定义法证明或判断函数单调性的步骤 提醒　判断函数的单调性还有图象法、性质法等. 2.确定函数的单调区间的方法 3.利用单调性比较函数值大小的方法 　　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用插值法比较大小. 4.利用单调性解不等式 5.利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法 （1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解； （2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 6.求函数最值（值域）的四种常用方法 （1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； （4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； 提醒　（1）求函数的最值时，应先确定函数的定义域； （2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值. 7.函数奇偶性的判断方法 （1）定义法 （2）图象法 （3）性质法：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 提醒　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函数f（x）是奇函数. 8.利用函数的奇偶性求参数值的解题策略 （1）若定义域含参数，则利用奇（偶）函数f（x）的定义域[a，b]关于原点对称，即利用a＋b＝0求参数； （2）若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数求解，或者根据等价变形求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），也可考虑列等式f（0）＝0求解. 9.利用函数奇偶性求解析式及函数值的解题策略 （1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式； （2）求函数值：利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解. 10.函数周期性的判定与应用 （1）判定：判断函数为周期函数只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）即可，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题； （2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期. 11.求解与函数的对称性有关的问题 求解与函数的对称性有关的问题时，先根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，再结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题. 12.综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 （1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小； （2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x1）＞f（x2）的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2（或x1＞x2）求解. 13.综合应用奇偶性与周期性解题的技巧 （1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期； （2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化； （3）代入已知的解析式求解即得要求的函数值. 14.综合应用对称性与周期性解题的技巧 　　函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 题型一 求函数的单调区间 1．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）下列函数中，在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南曲靖·期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型二 根据函数的单调性求参数值 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据函数的单调性解不等式 7．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 8．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A．B． C． D． 题型四 比较函数值的大小关系 10．（24-25高三上·天津·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·宁夏银川·一模）若，设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型五 根据解析式直接判断函数的单调性 13．（23-24高一上·北京·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·云南·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A．B． C． D． 15．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为（    ） A． B． C． D． 题型六 根据函数的最值求参数 16．（22-23高三上·浙江·开学考试）已知，函数，若存 在最小值，则的取值范围是 . 17．（19-20高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意的，都有，则m的取值范围是 18．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 题型七 函数不等式恒成立问题 19．（24-25高一上·湖南·期中）若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（    ） A．67 B．68 C．69 D．70 20．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八 函数不等式能成立（有解）问题 22．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九 函数奇偶性的定义与判断 25．（23-24高二下·陕西延安·期末）下列函数不是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二下·吉林长春·期末）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·北京昌平·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型十 由奇偶性求函数解析式 28．（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 题型十一 由奇偶性求参数 31．（23-24高二下·上海金山·期末）若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 32．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数为偶函数，则实数 . 33．（24-25高一上·四川南充·期中）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D．不确定 题型十二 由函数奇偶性解不等式 34．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 35．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型十三 函数奇偶性的应用 37．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知是定义在R上的奇函数，时，则（    ） A．2 B． C． D． 38．（22-23高一上·山东济南·期末）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．5 D．7 39．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-3 题型十四 抽象函数的奇偶性 40．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知定义在上的函数满足，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．不存在零点 D． 41．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 42．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 题型十五 由函数的周期性求函数值 43．（23-24高二下·海南海口·期末）已知定义在上的偶函数满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 44．（23-24高二下·福建福州·期末）已知定义域为的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（    ） A．6 B．12 C．10 D．8 45．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数满足对都有，，则 （    ） A．1 B．2024 C．2 D．2025 题型十六 判断或证明函数的对称性 46．（23-24高二下·山东青岛·期末）函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 47．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数，则图象有如下性质（   ） A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称 C．关于点中心对称 D．关于点中心对称 48．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型十七 由对称性研究单调性 49．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型十八 函数对称性的应用 51．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 52．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 53．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）设函数，且，则（    ） A． B． C． D． 55．（20-21高一上·湖南郴州·期末）已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．（20-21高三·全国·阶段练习）已知定义在上的函数满足 ，若函数与函数的图象的交点为，则（    ） A． B． C． D． $$期末强化练05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性 2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 和对称性）小题18种常考题型总结（56题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求函数的单调区间 题型二 根据函数的单调性求参数值 题型三 根据函数的单调性解不等式 题型四 比较函数值的大小关系 题型五 根据解析式直接判断函数的单调性 题型六 根据函数的最值求参数 题型七 函数不等式恒成立问题 题型八 函数不等式能成立（有解）问题 题型九 函数奇偶性的定义与判断 题型十 由奇偶性求函数解析式 题型十一 由奇偶性求参数 题型十二 由函数奇偶性解不等式 题型十三 函数奇偶性的应用 题型十四 抽象函数的奇偶性 题型十五 由函数的周期性求函数值 题型十六 判断或证明函数的对称性 题型十七 由对称性研究单调性 题型十八 函数对称性的应用 1.定义法证明或判断函数单调性的步骤 提醒　判断函数的单调性还有图象法、性质法等. 2.确定函数的单调区间的方法 3.利用单调性比较函数值大小的方法 　　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用插值法比较大小. 4.利用单调性解不等式 5.利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法 （1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解； （2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 6.求函数最值（值域）的四种常用方法 （1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； （4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； 提醒　（1）求函数的最值时，应先确定函数的定义域； （2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值. 7.函数奇偶性的判断方法 （1）定义法 （2）图象法 （3）性质法：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 提醒　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函数f（x）是奇函数. 8.利用函数的奇偶性求参数值的解题策略 （1）若定义域含参数，则利用奇（偶）函数f（x）的定义域[a，b]关于原点对称，即利用a＋b＝0求参数； （2）若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数求解，或者根据等价变形求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），也可考虑列等式f（0）＝0求解. 9.利用函数奇偶性求解析式及函数值的解题策略 （1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式； （2）求函数值：利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解. 10.函数周期性的判定与应用 （1）判定：判断函数为周期函数只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）即可，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题； （2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期. 11.求解与函数的对称性有关的问题 求解与函数的对称性有关的问题时，先根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，再结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题. 12.综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 （1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小； （2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x1）＞f（x2）的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2（或x1＞x2）求解. 13.综合应用奇偶性与周期性解题的技巧 （1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期； （2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化； （3）代入已知的解析式求解即得要求的函数值. 14.综合应用对称性与周期性解题的技巧 　　函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 题型一 求函数的单调区间 1．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案. 【详解】内函数，其在上单调递增， 而外函数在上单调递减， 则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为， 故选：B. 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）下列函数中，在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本初等函数的单调性以及复合函数的单调性求解. 【详解】对于选项，函数的定义域为，在定义域为单调递增函数，则正确； 对于选项，函数在定义域上单调递减，则错误； 对于选项，函数可以看成和的复合函数，由此可知函数在定义域上单调递减，则错误； 对于选项，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则错误； 故选：. 3．（23-24高一上·云南曲靖·期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象即可得出单调递减区间. 【详解】根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：. 故选：. 题型二 根据函数的单调性求参数值 4．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数在R上单调递增， 所以有，解得，即实数的取值范围是． 故选：C． 5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 6．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 题型三 根据函数的单调性解不等式 7．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可． 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，    由图可知，的解集是， 故选：B． 8．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由结合函数的性质列出不等式组，可求得答案. 【详解】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 所以由可得或或或， 所以得或或， 所以满足的的取值范围是． 故选：B． 9．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】因为， 当时，，当时， 当时，， 故满足，所以为奇函数， 又当时，的对称轴为， 即在上是增函数，， 所以在上是增函数， 令，求得或（舍）， 所以不等式，可得， 解得， 故选：C. 题型四 比较函数值的大小关系 10．（24-25高三上·天津·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】，， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 11．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数为的偶函数，得出该函数在上为减函数，结合性质得出，，，比较的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系． 【详解】由函数为的偶函数，且在上是增函数， 则该函数在上为减函数，且有， 则，，， 因为，，， 即，由于函数在上为减函数， 所以，可得. 故选：C． 12．（2024·宁夏银川·一模）若，设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数定义域，判断奇偶性和单调性，比较的大小即可. 【详解】由题意知，由， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大， 即 ， 单调递增， 因为，， 且，， 所以，所以， 即，也就是. 故选：D 题型五 根据解析式直接判断函数的单调性 13．（23-24高一上·北京·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性的定义判断可得； 【详解】A选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故A错误； B选项，的定义域为，且，故为奇函数，故B错误； C选项，设，因为， 所以在上不单调递增，故C错误； D选项，的定义域为，且，故为偶函数， 又当时，，在上单调递增，故满足要求，故D正确． 故选：D． 14．（23-24高一下·云南·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得. 【详解】函数在区间上单调递增，A不是； 幂函数在上单调递增，B不是； 函数在上单调递减，C是； 函数在上单调递增，D不是. 故选：C． 15．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 A选项，不满足在上单调递增；BCD选项，结合函数解析式可直接判断出函数单调性，得到答案. 【详解】A选项，在上单调递增， 而的定义域为，故不满足在定义域上单调递增，A错误； B选项，在上单调递减，在上单调递增，故B错误； C选项，的定义域为R，且， 故在R上单调递增，满足要求，C正确； D选项，在R上单调递减，D错误. 故选：C 题型六 根据函数的最值求参数 16．（22-23高三上·浙江·开学考试）已知，函数，若存 在最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性及最值求解即可. 【详解】解：当，即时，在上单调递增，故无最小值，不符合题意； 当时，在上单调递减，所以，又在上的最小值为，要使存在最小值，还需， 解得， 故； 当时，要使存在最小值， 还需：，因为，所以无解 综上的取值范围为. 故答案为：. 17．（19-20高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意的，都有，则m的取值范围是 【答案】 【分析】首先根据已知条件依次得到在附近的区间，、对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m的取值范围 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 由此作出图象如图所示，由图知当时，令， 整理得：， 解得：或， 要使对任意的，都有，必有， 所以m的取值范围是， 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题. 18．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得函数的对称轴，对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，对称轴的方程为， 当时，则时，函数取得最大值，不满足题意； 当时，可函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 解得或（舍去）. 故选：C. 题型七 函数不等式恒成立问题 19．（24-25高一上·湖南·期中）若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（    ） A．67 B．68 C．69 D．70 【答案】C 【分析】即恒成立，分和两种情况，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出，得到答案. 【详解】依题意可得对一切实数都成立， 当时，对一切实数都成立； 当时，需满足，解得． 综上，，整数的个数为69． 故选：C 20．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，得到，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 在上单调递增，则在上单调递减， 所以越靠近对称轴函数值越小， 由得， 由于，所以，故， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，，此时， 在时单调递减，，此时， 则实数的取值范围为. 故选：A 21．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知定义在R上的函数，在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意利用二次函数的单调性求的取值范围．要使对任意的，都有，只要成立即可，进而列出不等式即可求出结果． 【详解】二次函数的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又已知在上单调递减， 所以，可得. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，由对称性可知， 所以当时，取得最大值，即最大值为， 在当时取得最小值，即最小值为， 要使对任意的，都有，只要成立即可， 所以，解得， 又，所以的取值范围，即. 故选：A. 题型八 函数不等式能成立（有解）问题 22．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案. 【详解】由题意得该命题的否定为真命题， 即“，”为真命题， 即， 令，因为，则， 则存在，使得成立， 令，令，则（负舍）， 则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 且，，则，则. 故选：C. 23．（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出时的范围，然后根据充分条件及必要条件的概念即可得出结论. 【详解】由题意，在中，对称轴， ∴当时，，解得：， ∴“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 24．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，，，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性可得函数在内的单调性与最值情况，所以，，根据不等式能成立，可得，，所以，可得，进而可得参数范围. 【详解】由已知当时，，当且仅当，即时等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在上的最大值为， 又，，使成立， 即， 所以，使，即在上的最大值， 即，解得或， 又， 所以， 故选：A. 题型九 函数奇偶性的定义与判断 25．（23-24高二下·陕西延安·期末）下列函数不是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用奇函数定义可判断. 【详解】对于A, 定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，则A不合题意； 对于B, 定义域为，关于原点对称，且，为偶函数，不是奇函数，则B符合题意； 对于C, 定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，则C不符合题意； 对于C, 定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，则D不符合题意． 故选：B. 26．（23-24高二下·吉林长春·期末）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，A选项错误； 当时， ，函数单调递增，故BC选项错误. 故选：D. 27．（23-24高二下·北京昌平·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论． 【详解】由于的定义域，不关于原点对称，不存在奇偶性，故排除A； 由于y＝sinx是奇函数，在上不具有单调性，故排除B； 由于y＝3是常函数，不具有单调性，排除C； 由于是奇函数，且在区间上单调递增，符合题意． 故选：D． 题型十 由奇偶性求函数解析式 28．（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 29．（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到，得到时的解析式. 【详解】当时，，， 因为为奇函数，所以， 故，所以. 故选：B 30．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数解析式和奇偶性可得，，从而由可得，综合可得的解析式． 【详解】函数为奇函数，则， 为偶函数，则， 因为①，则， 所以②， 则由①-②可得. 故答案为：． 题型十一 由奇偶性求参数 31．（23-24高二下·上海金山·期末）若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】由函数为奇函数可得，结合对数的运算性质可得a得值，再验证即可. 【详解】是奇函数， ，即， ，即， ， 展开整理得， 要使等式恒成立，则有，即，解得． 当时，， 由，得， 解得或，即定义域为或， 定义域关于原点对称，且满足， 成立． 故答案为：-1. 32．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数为偶函数，则实数 . 【答案】1 【分析】根据恒成立，化简整理可得. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 即，整理得， 所以. 故答案为：1 33．（24-25高一上·四川南充·期中）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据偶函数定义域关于原点对称，得，可求得；根据是偶函数，得，代入解析式，可求得，从而求得的值. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得. 由，得，解得. 所以. 故选：. 题型十二 由函数奇偶性解不等式 34．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶性，单调性结合题意可得答案. 【详解】因奇函数在上单调递增， 则在上单调递增，. 得；. 则或. 故选：C 35．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入点坐标求得的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将恒等变换为，最后利用函数单调性即可求解. 【详解】由题意知，解得，所以，即 ， 易得在上单调递增．因为，所以为奇函数． 又，故等价于， 则，解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题. 解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数解析式将化成，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号. 36．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到，解出即可. 【详解】由可得且，则为偶函数， ， 因为在上单调递减，在上单调递增，则恒成立， 则在单调递减，在单调递增， ，解得或. 故选：D. 题型十三 函数奇偶性的应用 37．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知是定义在R上的奇函数，时，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数运算性质，奇函数性质结合时的解析式可得答案. 【详解】. 故选：D 38．（22-23高一上·山东济南·期末）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【分析】求出，再根据奇函数得到即可. 【详解】因为时，，所以， 因为是定义在R上的奇函数，所以. 故选：C. 39．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-3 【答案】B 【分析】令，则，即可判断为奇函数，根据奇偶性计算可得. 【详解】因为，令定义域为， 且， 所以为奇函数，又， ，所以，则， 所以. 故选：B 题型十四 抽象函数的奇偶性 40．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知定义在上的函数满足，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．不存在零点 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，令，可得， 因为，所以，所以A不符合题意； 对于B中，函数的定义域为全体实数，由，显然不符合， 所以函数不是奇函数，所以B符合题意； 对于C中，由，令，可得， 即，解得或， 所以函数没有零点，所以C不符合题意； 对于D中，由， 令，可得，所以，即， 所以D不符合题意. 故选：B． 41．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【详解】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 42．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平移规律，再结合条件，即可求解. 【详解】函数的图象关于点对称， 所以函数的图象向右平移1个单位， 向下平移一个单位后函数的图象关于点对称， 即可得. 故选：D 题型十五 由函数的周期性求函数值 43．（23-24高二下·海南海口·期末）已知定义在上的偶函数满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据抽象函数的奇偶性与周期性计算即可. 【详解】由，所以是函数的一个周期， 所以， 又是偶函数且，所以. 故选：C 44．（23-24高二下·福建福州·期末）已知定义域为的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（    ） A．6 B．12 C．10 D．8 【答案】DD 【分析】令，由已知可得的图象关于直线对称，作出图象可求得方程在区间上所有解得和. 【详解】，的图象关于直线对称， 令，则的图象关于直线对称， 作出函数在区间的图象， 由图可知，与的图象在区间上共有8个交点，且两函数关于直线对称， 所以方程在区间所有解的和为. 故选：. 45．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数满足对都有，，则 （    ） A．1 B．2024 C．2 D．2025 【答案】C 【分析】求出函数的周期为3，以及，即可求出结果． 【详解】由，令，可知，即， 又因为，所以函数的一个周期为3， 则. 故选：C． 题型十六 判断或证明函数的对称性 46．（23-24高二下·山东青岛·期末）函数与的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】C 【分析】设两函数图象关于对称，由条件列方程求，. 【详解】设函数与的图象关于直线对称， 因为函数图象关于对称图象的函数解析式为， 所以，解得. 故选：C. 47．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数，则图象有如下性质（   ） A．关于点中心对称 B．关于直线轴对称 C．关于点中心对称 D．关于点中心对称 【答案】C 【分析】根据判断出C正确，AD错误；根据得到B错误. 【详解】ACD选项， ， 故， 故关于点中心对称，C正确，AD错误； B选项，， 故不关于直线轴对称，B错误. 故选：C 48．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得出关于点中心对称，从而得到，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，即有， 所以关于点中心对称，又， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：B. 题型十七 由对称性研究单调性 49．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合条件判断函数的对称性质和单调性，再分别界定三个自变量的值或者范围，利用函数对称性和单调性即得. 【详解】依题可知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增,则在区间上单调递减. 因，则，，故，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，得知了函数在上的单调性之后，如何判断三个自变量的大小范围，考虑到三个都是大于1的，且有一个是，故对于和，就必然先考虑它们与的大小，而这需要利用对数函数的单调性得到. 50．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由题意先研究其奇偶性，再判断其单调性，最后利用单调性求解抽象不等式即可. 【详解】设，由是定义在上的偶函数， 则， 所以是定义在上的奇函数. 由题意得，若，且，都有， 所以是上的减函数，又 是上的奇函数， 所以图象关于原点对称，则是上的减函数. 由不等式可知. ①当时，不等式可化为， 即，由，则 解得（舍），或； ②当时，不等式可化为， 即，由，则 解得，或（舍）； 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 题型十八 函数对称性的应用 51．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】由已知，得，则，即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 所以， 所以. 故选：C. 52．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标，的零点为函数与交点的横坐标，再由函数图象的对称性可求得结果. 【详解】由题意可得的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 的零点为函数与交点的横坐标， 因为和在上递减，所以在上递减， 所以为唯一的零点，设函数与交点为， 因为与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是利用与的图象关于直线对称和与的图象关于直线对称进行求解，考查数学转化思想，属于较难题. 53．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解. 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 54．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期末）设函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件易知函数关于点中心对称，结合奇偶性及平移变换列方程组分别求得，从而得到的值. 【详解】因为， 所以函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，即关于对称， 所以根据平移变换得 函数， 所以， 解得， 所以. 故选：C. 55．（20-21高一上·湖南郴州·期末）已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，是偶函数，其图象关于y轴对称，且在上递减，在上递增，由，得到的图象关于对称，且在 上递减，在上递增，再根据不等式成立，由求解. 【详解】函数， 令， 因为， 所以是偶函数，其图象关于y轴对称，且在上递减，在上递增， 所以的图象关于对称，且在 上递减，在上递增， 若使得不等式成立 则， 即， 解得， 所以实数的取值范围是 故选：B 56．（20-21高三·全国·阶段练习）已知定义在上的函数满足 ，若函数与函数的图象的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先判断两个函数的对称性，再判断交点的对称性，最后利用对称性求和. 【详解】，关于点对称， ，可知函数关于点对称， 与的交点也关于点对称， . 故选：C 【点睛】思路点睛：本题的重点是判断两个函数的对称性，所以理解熟记一些抽象函数的对称性的式子，①，有，，都说明函数关于直线对称，②，有，，说明函关于点对称. $$