期末强化练03 不等式小题22种常考题型总结（66题）-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 期末强化练03 不等式小题22种常考题型总结（66题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 由不等式的性质比较数（式）大小 题型二 作差法比较代数式的大小 题型三 作商法比较代数式的大小 题型四 利用不等式求值或取值范围 题型五 解不含参数的一元二次不等式 题型六 解含有参数的一元二次不等式 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 题型八 一元二次方程根的分布问题 题型九 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十一 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十二 其他不等式 题型十三 基本不等式的内容及辨析 题型十四 由基本不等式比较大小 题型十五 基本不等式求积的最大值 题型十六 基本不等式求和的最小值 题型十七 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型十八 基本不等式“1”的妙用求最值 题型十九 条件等式求最值 题型二十 基本不等式的恒成立问题 题型二十一 对勾函数求最值 题型二十二 基本（均值）不等式的应用 1.利用不等式的性质判断不等式的方法 （1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的范围 利用不等式性质可以求某些代数式的范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的范围.解决的途径是先确立所求范围的整体与已知范围的整体的数量关系，最后通过“一次性”不等关系运算求解. 3.配凑法求最值的实质及关键点 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 4.常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 5.消元法求最值的思路 　　当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 6.利用基本不等式解题的策略 （1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解； （2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解； （3）求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或范围. 7.利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 8.解一元二次不等式的4个步骤 9.解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 10.三个“二次”间的关系 （1）一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式的解集的端点值. （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数. 11.一元二次不等式恒（能）成立问题　　 　　解决不等式恒（能）成立问题，常用的方法有：判别式法、数形结合法、分离参数法、主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的条件求解. 方法1.判别式法解决恒成立问题 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 （2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 提醒　当不等式ax2＋bx＋c＞0未说明为一元二次不等式时，要对a分a＝0或a≠0进行讨论. 方法2.数形结合法解决恒成立问题 （1）在R上恒成立：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方； （2）在给定区间恒成立：可结合二次函数的图象进行求解，设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）： ①a＞0时，f（x）＜0在α≤x≤β时恒成立⇔ ②a＜0时，f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔ ③f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔{x｜α≤x≤β}⊆A，其中A是f（x）＞0的解集. 方法3.分离参数法解决恒成立问题 如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f（x）恒成立时，应有a≥[f（x）]max，a≤f（x）恒成立时，应有a≤[f（x）]min. 方法4.主参换位法解决恒成立问题 如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 方法5.转化为函数（式子）的最值解决能成立问题 （1）a＞f（x）能成立⇔a＞f（x）min； （2）a＜f（x）能成立⇔a＜f（x）max. 题型一 由不等式的性质比较数（式）大小 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津南开·期中）若，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 题型二 作差法比较代数式的大小 4．（23-24高二下·吉林长春·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三 作商法比较代数式的大小 7．（22-23高一上·北京·期末）比较大小： . 8．（21-22高一上·辽宁大连·期中）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 9．【多选】（21-22高一上·江苏镇江·期末）对于实数，，，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 题型四 利用不等式求值或取值范围 10．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 11．（22-23高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 解不含参数的一元二次不等式 13．（24-25高一上·江苏扬州·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型六 解含有参数的一元二次不等式 16．（19-20高一上·海南海口·期中）若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高一上·山东枣庄·期中）若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 18．（2022高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 19．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 20．（24-25高一上·江苏无锡·期中）若关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的最大值为 21．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，关于的不等式的解集是，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 题型八 一元二次方程根的分布问题 22．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 23．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（20-21高一上·北京海淀·期中）关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 题型九 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 25．（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·湖南·期中）若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（    ） A．67 B．68 C．69 D．70 27．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型十 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 28．（23-24高二下·辽宁·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十一 一元二次不等式在某区间上有解问题 31．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 题型十二 其他不等式 34．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型十三 基本不等式的内容及辨析 37．（22-23高一上·重庆渝中·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 38．（21-22高一下·广东深圳·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 39．（21-22高二上·甘肃兰州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 题型十四 由基本不等式比较大小 40．（24-25高三上·河南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 41．（20-21高一上·江苏镇江·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高一上·北京石景山·期末）若则（    ） A． B． C． D． 题型十五 基本不等式求积的最大值 43．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 44．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 45．（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 题型十六 基本不等式求和的最小值 46．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若，则下列答案不正确的是（   ） A． B． C． D． 47．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知函数，则取最小值时x的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 48．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十七 二次与二次（或一次）的商式的最值 49．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 51．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 题型十八 基本不等式“1”的妙用求最值 52．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．10 53．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 54．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型十九 条件等式求最值 55．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 56．（23-24高二下·广西北海·期末）若正数x，y满足 则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 57．（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．10 题型二十 基本不等式的恒成立问题 58．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 60．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二十一 对勾函数求最值 61．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 62．（21-22高三上·安徽安庆·期末）下列函数的最小值为的是（    ） A． B． C． D． 63．（2023·上海嘉定·一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 题型二十二 基本（均值）不等式的应用 64．（23-24高一上·天津宁河·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产台仪器需增加投入万元，且每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元. 65．（22-23高一上·广东东莞·期末）某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为 元． 66．（21-22高一上·上海浦东新·期末）商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买公斤，乙每次购买元（，互不相等），该方案实施2次后 的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”） $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 期末强化练03 不等式小题22种常考题型总结（66题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 由不等式的性质比较数（式）大小 题型二 作差法比较代数式的大小 题型三 作商法比较代数式的大小 题型四 利用不等式求值或取值范围 题型五 解不含参数的一元二次不等式 题型六 解含有参数的一元二次不等式 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 题型八 一元二次方程根的分布问题 题型九 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型十 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 题型十一 一元二次不等式在某区间上有解问题 题型十二 其他不等式 题型十三 基本不等式的内容及辨析 题型十四 由基本不等式比较大小 题型十五 基本不等式求积的最大值 题型十六 基本不等式求和的最小值 题型十七 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型十八 基本不等式“1”的妙用求最值 题型十九 条件等式求最值 题型二十 基本不等式的恒成立问题 题型二十一 对勾函数求最值 题型二十二 基本（均值）不等式的应用 1.利用不等式的性质判断不等式的方法 （1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的范围 利用不等式性质可以求某些代数式的范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的范围.解决的途径是先确立所求范围的整体与已知范围的整体的数量关系，最后通过“一次性”不等关系运算求解. 3.配凑法求最值的实质及关键点 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 4.常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 5.消元法求最值的思路 　　当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 6.利用基本不等式解题的策略 （1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解； （2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解； （3）求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或范围. 7.利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 8.解一元二次不等式的4个步骤 9.解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 10.三个“二次”间的关系 （1）一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式的解集的端点值. （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数. 11.一元二次不等式恒（能）成立问题　　 　　解决不等式恒（能）成立问题，常用的方法有：判别式法、数形结合法、分离参数法、主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的条件求解. 方法1.判别式法解决恒成立问题 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 （2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 提醒　当不等式ax2＋bx＋c＞0未说明为一元二次不等式时，要对a分a＝0或a≠0进行讨论. 方法2.数形结合法解决恒成立问题 （1）在R上恒成立：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方； （2）在给定区间恒成立：可结合二次函数的图象进行求解，设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）： ①a＞0时，f（x）＜0在α≤x≤β时恒成立⇔ ②a＜0时，f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔ ③f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔{x｜α≤x≤β}⊆A，其中A是f（x）＞0的解集. 方法3.分离参数法解决恒成立问题 如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，a≥f（x）恒成立时，应有a≥[f（x）]max，a≤f（x）恒成立时，应有a≤[f（x）]min. 方法4.主参换位法解决恒成立问题 如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 方法5.转化为函数（式子）的最值解决能成立问题 （1）a＞f（x）能成立⇔a＞f（x）min； （2）a＜f（x）能成立⇔a＜f（x）max. 题型一 由不等式的性质比较数（式）大小 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质举反例可得ABD错误；作差由完全平方可得C正确； 【详解】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，令，满足，但，故B错误； 对于C，因为实数、满足，所以，故C正确； 对于D，令，满足，但，故D错误； 故选：C. 2．（24-25高一上·天津南开·期中）若，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质计算即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于CD，因为，所以，故C正确，D错误. 故选：C. 3．（23-24高二下·广西玉林·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】若，，，，可判断A；由已知可得，判断B；作差法比较大小判断C；由不等式性可得，判断D. 【详解】对于A，若，，，，则，故A错误. 对于B，若，则，故B错误. 对于C，， 若，，则，即，所以C错误. 对于D，由，可知，即，所以，故D正确. 故选：D. 题型二 作差法比较代数式的大小 4．（23-24高二下·吉林长春·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】结合作差法比较代数式的大小关系，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案. 【详解】由题意， 若，则， 故“”是“”的充分条件； 反之若， 取，满足，但不满足， 故“”不是“”的必要条件． 于是“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特值说明判断A；作差比较大小判断BC；利用不等式性质推理判断D. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 6．（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法即可判断A，利用不等式的性质即可判断B，举出反例即可判断CD. 【详解】对于A，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 题型三 作商法比较代数式的大小 7．（22-23高一上·北京·期末）比较大小： . 【答案】 【分析】通过作商法，利用对数的运算性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】因为，，且， 又， 所以，即，故. 故答案为： 8．（21-22高一上·辽宁大连·期中）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【答案】C 【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小. 【详解】甲购买猪肉的平均单价为：， 乙购买猪肉的平均单价为：， 显然， 且， 当且仅当时取“=”， 因为两次购买的单价不同，即， 所以， 即乙的购买方式平均单价较大. 故选：C. 9．【多选】（21-22高一上·江苏镇江·期末）对于实数，，，正确的命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，. 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 题型四 利用不等式求值或取值范围 10．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用已知式子表示，并利用不等式的性质求的范围，验证最大值取到即可. 【详解】， 由不等式的性质，，所以 所以，所以， 当且仅当时，且已知，解得， 即的最大值为. 故选：A. 11．（22-23高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用不等式性质求目标式范围. 【详解】由题设，则，又，所以. 故选：C 12．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，求的范围即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 则. 故选：D 题型五 解不含参数的一元二次不等式 13．（24-25高一上·江苏扬州·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再结合交集的定义，即可求解． 【详解】由，得，解得， 故， ， 所以. 故选：D. 14．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解一元一次不等式和一元二次不等式，再求两集合的并集即得. 【详解】由可得，，即， 又由可得，，即， 则. 故选：A. 15．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】又，即，解得， 所以，又， 所以. 故选：B 题型六 解含有参数的一元二次不等式 16．（19-20高一上·海南海口·期中）若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得到，从而写出的解集. 【详解】因为，所以， 所以的解集为. 故选：D. 17．（22-23高一上·山东枣庄·期中）若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据t的范围，判断，解一元二次不等式可得答案. 【详解】因为，所以，即, 所以,即，解得. 故选：D 18．（2022高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】问题等价于不等式的解集中恰有个正整数，得出，且这三个正整数为，由此可求得答案. 【详解】解：因为不等式的解集中恰有个正整数， 即不等式的解集中恰有个正整数，所以，所以不等式的解集为， 所以这三个正整数为，所以， 故答案为：. 题型七 由一元二次不等式的解确定参数 19．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意，为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再解不等式即可. 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，解得，， 不等式，即为， 即，解得， 则不等式的解集为. 故选：C. 20．（24-25高一上·江苏无锡·期中）若关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的最大值为 【答案】D 【分析】题意说明的两根为,代入法1得的值，从而可逐项判断. 【详解】根据题意，关于的不等式的解集为， 所以的两根为， 则，解得， 所以，即A正确，C正确； 且为，解得或， 所以的解集为，B正确； ， 所以的最大值为，D错误. 故选：D 21．（23-24高二下·海南海口·期末）已知，关于的不等式的解集是，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用“三个二次”关系，先确定是方程的两个不等根得出关系式再利用基本不等式计算即可. 【详解】由题设是方程的两个不等根， 所以， 又，则， 当且仅当，即时取得最小值. 故选：B 题型八 一元二次方程根的分布问题 22．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 23．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设， 根据已知结合二次函数性质，作图    则有， 解得. 故选：C. 24．（20-21高一上·北京海淀·期中）关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得判别式△、对应的二次函数满足，即可求出的范围． 【详解】解：方程有两个实数根，△， ， 的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口向上，对称轴 所以， 可得， 或， ， 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键． 题型九 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 25．（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，命题“，”是真命题， 当时，不等式，解得，不满足题意； 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是 故选：A. 26．（24-25高一上·湖南·期中）若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（    ） A．67 B．68 C．69 D．70 【答案】C 【分析】即恒成立，分和两种情况，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出，得到答案. 【详解】依题意可得对一切实数都成立， 当时，对一切实数都成立； 当时，需满足，解得． 综上，，整数的个数为69． 故选：C 27．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由题意可知恒成立，根据判别式即可求出. 【详解】的解集为, 即恒成立， 当时，即，不符合题意， 当时，则’解得 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B 题型十 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 28．（23-24高二下·辽宁·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法1：利用绝对值不等式性质转化求解； 方法2：将不等式两边平行，利用不等式恒成立求解． 【详解】解析：方法1：不等式化为， 使成立， 则，故选：A. 方法2：将两边平方整理得，对恒成立， 则有， 解得，故选：A． 29．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知命题，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性求出其最大值可得，结合充分、必要条件的定义和选项即可求解. 【详解】因为，，所以在上恒成立， 只需在上的最大值小于， 因为在上单调递减，故在上的最大值为1， 所以. A：既不是充分条件，也不是必要条件，故A错误； B：因为所以是的一个必要不充分条件，故B正确； C：是的充要条件，故C错误； D：因为，所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B. 30．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 题型十一 一元二次不等式在某区间上有解问题 31．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在性问题得即可得解. 【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 32．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数结合二次函数的单调性求最值即可. 【详解】存在，使得不等式成立，等价于． 令，，当时，，所以． 故选：B 33．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 题型十二 其他不等式 34．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过解分式不等式和指数不等式，分别解出两个集合，再由交集和并集的运算，即可解答. 【详解】由题意， 集合， 集合， 所以，. 故选：A. 35．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再求出其补集，然后求出集合，再由. 【详解】由，得，得，解得或， 所以或， 所以， 由，得，所以， 所以. 故选：A 36．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式求出集合，解指数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，解得， 所以， 又，则，所以. 故选：D 题型十三 基本不等式的内容及辨析 37．（22-23高一上·重庆渝中·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各项所给条件，结合均值不等式分析、判断作答. 【详解】对于A，当时，，A不正确； 对于B，当时，，且，若，则，B不正确； 对于C，，则，即C不正确； 对于D，当时，由均值不等式得成立，当且仅当时取等号，则D正确. 故选：D 38．（21-22高一下·广东深圳·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D； 【详解】解：对于A：若、时，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：若、时，，故C错误； 对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：D 39．（21-22高二上·甘肃兰州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式知识对选项逐一判断 【详解】对于A，时为负值，故A错误 对于B，，而无解，无法取等，故B错误 对于 ，当且仅当即时等号成立， 故，D正确，C错误 故选：D 题型十四 由基本不等式比较大小 40．（24-25高三上·河南·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性，借助基本不等式比较大小. 【详解】依题意，， ， 因此，所以. 故选：C 41．（20-21高一上·江苏镇江·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式以及基本不等式的性质，结合作差法判断各选项． 【详解】因为，可得， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 所以． 故选：D． 42．（23-24高一上·北京石景山·期末）若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项. 【详解】A.因为，则，则，故A错误； B. 因为，所以，故B错误； C.在R上单调递增，当时，，故C错误； D.因为，所以和都大于0，则， 当时，即时等号成立，所以“=”不能取到，所以，故D正确. 故选：D 题型十五 基本不等式求积的最大值 43．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为， 故选：B. 44．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 45．（23-24高一上·广西·期末）已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 故选：B 题型十六 基本不等式求和的最小值 46．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若，则下列答案不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，则可得，结合对数性质、基本不等式、指数性质判断四个选项即可. 【详解】依题意可得，所以； 对于A，，可得A正确； 对于B，，即B正确； 对于C，易知，即C错误； 对于D，可得，又， 易知，，因此，即D正确. 故选：C 47．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知函数，则取最小值时x的取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由函数表达式并利用基本不等式等号成立的条件即可求得结果. 【详解】根据题意由可知，所以； 利用基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立，此时取最小值2； 因此取最小值时x的取值为. 故选：B 48．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以（当且仅当，即时取等号）. 所以的最小值为. 故选：C 题型十七 二次与二次（或一次）的商式的最值 49．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 50．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 51．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 题型十八 基本不等式“1”的妙用求最值 52．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．10 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】因为正数，满足， 由 当且仅当时，即，时取等号， 所以的最小值为9. 故选：A. 53．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求最小值. 【详解】由，得， 则， 当且仅当时，等号成立. 故选：B 54．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用重要不等式能得出，故可以判断A；由，可得，整体代换即可判断B；先通过变形得出的取值范围，进而可以得出判断，即可判断C；由基本不等式可得，即可判断D. 【详解】对于A，因为，，且，所以， 当且仅当时取等号，故，故选项A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，故选项B错误； 对于C，因为，即，故， 所以，故选项C错误； 对于D，因为，当且仅当时取等号， 即，故选项D正确. 故选：D. 题型十九 条件等式求最值 55．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值. 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 56．（23-24高二下·广西北海·期末）若正数x，y满足 则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解. 【详解】由题设及，可得 . 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为4. 故选：C. 57．（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】根据已知条件，应用1的活用常值代换结合基本不等式求出最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为. 故选：C. 题型二十 基本不等式的恒成立问题 58．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 59．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可. 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 60．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为，利用“1”的代换以及基本不等式求解，从而得到，求解不等式，即可得到答案． 【详解】因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选：B． 题型二十一 对勾函数求最值 61．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案. 【详解】由题意得该命题的否定为真命题， 即“，”为真命题， 即， 令，因为，则， 则存在，使得成立， 令，令，则（负舍）， 则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 且，，则，则. 故选：C. 62．（21-22高三上·安徽安庆·期末）下列函数的最小值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对勾函数的性质判断A、D，利用基本不等式判断C，将两边平方，即可求出的范围，从而判断B. 【详解】对于A：因为，又在上单调递减， 所以当时，故A错误； 对于B：将两边平方得， 因为，所以（当或时等号成立），又， 所以，故B正确； 因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D：，又，在上单调递增， 所以当，即时，故D错误． 故选：B． 63．（2023·上海嘉定·一模）函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 【答案】/ 【分析】令，化简，令，利用对勾函数的性质求解最值即可. 【详解】令，，∵，∴， ∴， 令， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵， ∴ ∴函数 在 上的最大值和最小值分别为， ∴函数 在 上的最大值和最小值的乘积为． 故答案为：． 题型二十二 基本（均值）不等式的应用 64．（23-24高一上·天津宁河·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产台仪器需增加投入万元，且每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元. 【答案】1680 【分析】分和两种情况得到利润函数，根据二次函数性质结合基本不等式计算最值，比较得到答案． 【详解】由题意可得：当时，利润为， 当时，， 故； 若，， 由二次函数的性质可知，在上单调递增，在,上单调递减， 所以当时，万元， ②若， 当且仅当时，即时，万元． 所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元． 故答案为：1680 65．（22-23高一上·广东东莞·期末）某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为 元． 【答案】1440 【分析】设 长为 , 则 , 求出 , 再结合各个区域的造价求得 , 利用基本不等式可得最值. 【详解】设 长为 , 则 , 即 , 所以 . 当且仅当 , 即 时, 等号成立, 所以当 时, 取最小值为1440 . 故答案为：1440. 66．（21-22高一上·上海浦东新·期末）商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买公斤，乙每次购买元（，互不相等），该方案实施2次后 的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】设每次购买时商品的价格分别为元/公斤、元/公斤，可将甲乙2次购买的平均价格用，表示出来，再用基本不等式比较即可得答案. 【详解】设每次购买时商品的价格分别为元/公斤、元/公斤， 则甲的平均价格为：；乙的平均价格为：， 因为，所以；, （当且仅当时取“=”号）， 所以（当且仅当时取“=”号），故乙的平均价格更低， 故答案为：乙. $$