精品解析：2023届海南省高考全真模拟（七）数学试题

2022-2023学年海南省高考全真模拟卷（七） 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：高考全部内容． 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合为小于6的质数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求集合M，再结合并集可直接求解得到结果. 【详解】由题意可知：，所以. 故选：D. 2. 下列关于复数的说法，正确的是（ ） A. 复数是最小的纯虚数 B. 在复数范围内，模为1的复数共有和四个 C. 与是一对共轭复数 D. 虚轴上的点都表示纯虚数 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相关概念一一判定即可. 【详解】虚数不能比大小，故A错误； 对于复数，但凡满足，其模均为1，显然不仅四个，比如时，，故B错误； 由共轭复数的定义可知C正确； 原点也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误. 故选：C 3. 乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为（ ） A. 16亿元 B. 19亿元 C. 21亿元 D. 23亿元 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，先算出样本中心点，代入回归方程，即可求得的值，再把代入回归方程即可求解. 【详解】由表可知：，， 又因为回归方程过样本中心点，所以， 所以回归方程为：， 当时，. 故选：B. 4. 在梯形中，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算可得，再结合数量积的运算，即可得到结果. 【详解】 由题意可得，，，则， 则 ， 所以. 故选：A 5. 如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为，此表挂在墙上，最高点距离地面的高度为，最低点距离地面的高度为，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿），若4个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，分别求得外圆的半径和内圆的半径，，利用三角函数求解. 【详解】解：如图所示： 由题意得：外圆的半径为cm，内圆的半径为cm， ， 所以， 则此时指针尖到地面的高度约为： cm， 故选：C 6. 已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，然后求导，可确定函数是上的单调递增函数，再把原函数不等式，转化为带有参数的不等式，分类讨论即可得出结果. 【详解】易知函数的定义域为， 则， 因为，， 所以， 又因为，所以，即恒成立， 故函数是上的单调递增函数， 因为，所以，即， 当时，左边成立，故符合题意； 当时，有，解得：， 综上所述：的取值范围为：. 故选：D. 7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由球体积公式求球体半径，正余弦定理求外接圆半径，结合线面垂直模型求即可. 【详解】由题意，设球的半径为，则， 由， 外接圆半径， 根据线面垂直模型知：. 故选：A 8. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由特殊切线求得蒙日圆方程，求出点关于轴对称点坐标，求出过点的圆的切线长即可得． 【详解】由题意直线和是椭圆的两条相互垂直的切线，因此它们的交点在蒙日圆上，从而，即蒙日圆方程为， 设从点出发的光线在轴上反向点为，如图，反射光线是圆的切线（在蒙日圆上此时为切点）时，路程为最大， 关于轴的对称点为，由对称性知在直线上，因此是圆的切线，， ． 故选：B． 二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 设，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解. 【详解】由，得：，当且仅当时，等号成立，故A不正确. ，当且仅当时，等号成立，故B正确. ，即，故C不正确. ，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，在正方体中，，，，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线的方向向量和平面和平面的法向量，利用空间直线的方向向量与平面的法向量的关系即可求解. 【详解】依题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示 不妨设正方体的棱长为，则 所以， 所以，即，亦即，故A正确； 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则， 所以， 所以，即， 又平面， 所以平面，故B正确； 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则， 所以， 所以，即， 所以平面平面，故C正确； 所以, 所以和不平行，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 渐近线方程为 B. 双曲线与椭圆的离心率互为倒数 C. 若双曲线上一点满足，则的周长为28 D. 若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 【答案】CD 【解析】 【分析】先化双曲线为标准式，再利用渐近线，离心率和双曲线定义及性质逐项判断得答案. 【详解】由题意可得，故渐近线为，故A错误； 易知双曲线和椭圆的离心率分别为， 显然它们不互为倒数，故B错误； 由双曲线的定义可知， 若，则， 又，故的周长为，故C正确； 由双曲线的图象可知左右两支上距离最近的两点为左右顶点，即最短距离为6，故D正确． 故选：CD 12. 已知符号函数， 函数则下列说法正确的是（ ） A. 的解集为 B. 函数在上的周期为 C. 函数的图象关于点对称 D. 方程的所有实根之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用新定义及三角函数的性质一一判定即可. 【详解】根据定义可知，故的解集为，A正确； 所以， 而，显然，不是函数的一个周期，故B错误； 由题意可得，即函数的图象关于点对称，故C正确； 由上可知，故， 即函数的图象也关于点对称且最大值为2，易知在上单调递增， 且， 所以由零点存在性定理知在内方程存在一根， 由函数的对称性可知有3个根， 且该3根之和为， 故D错误. 故选：AC 【点睛】本题关键在于函数的对称性，二级结论如下：若函数满足函数关于中心对称，此外D项需要判定函数的单调性及零点存在位置，注意不能忽略. 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知是公比为2的等比数列，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式，准确运算，即可求解. 【详解】因为数列是公比为2的等比数列， 则. 故答案为：. 14. 曲线在点处的切线与轴平行，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为在点处的切线与轴平行，可得，解得. 故答案为：. 15. 小李准备下载手机，可供选择的社交有3个，音乐有2个，视频有2个，生活有3个，从上述10个中选3个，且必须含有社交以及生活的不同选法种数为______. 【答案】54 【解析】 【分析】应用分类计数，结合组合数求不同选法种数. 【详解】因为要从10个中选3个下载，且必须含有社交以及生活， 所以可以分成两类： 第一类是：从3个社交及3个生活中各选1个，再从2个音乐和2个视频中再选1个，有 种选法； 第二类是：从3个社交中选2个， 再从3个生活中选1个，或者从3个社交中选1个和3个生活中选2个，有种选法； 所以从10个中选3个，且必须含有社交以及生活的不同选法种数为 (种). 故答案为：54 16. 如图，四棱锥内接于圆柱，为的中点，和为圆柱的两条母线，，四边形为正方形，平面与平面的交线平面，当四棱锥的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据，得到，由，利用导数法求得时，取得最大值，得到，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】解：如图所示： 设，因为，所以， 则， ，令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，此时， 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 则， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为： 四､解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据前n项和与项的关系得出等差数列再根据基本量运算即可得； （2）分奇偶两种情况分别求和即可. 【小问1详解】 若选择条件①： 根据题意，由，得 当时，． 两式相减得，， 化简得或（舍）， 所以当时，数列是公差为2的等差数列， 则． 又由，得，解得， 所以． 当时，，解得，满足上式， 故 若选择条件②： 由题设知， 则当时，． ， 由，得， 解得， 故当时，， 当时，也满足上式， 故． 【小问2详解】 ， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 故 18. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求边长和角； （2）求的面积的最大值，并判断此时的形状． 【答案】（1）， （2），等边三角形 【解析】 【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，求得a，再由求得角A； （2）由余弦定理结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 解：， 由正弦定理得． 可得． 由，得， 得， 得或，故或0（舍去）． 【小问2详解】 由余弦定理可知，， 由（1）可得， 则， 当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为， 此时为等边三角形． 19. 气象部门定义：根据24小时内降水在平地单位面积上的积水深度来判断降雨强度．其中小雨，中雨，大雨，暴雨）．为了了解某地的降雨情况，气象部门统计了该地20个乡镇的降雨情况，得到当日24小时内降雨量的频率分布直方图如图． （1）若以每组的中点代表该组数据值，求该日这20个乡镇的平均降雨量； （2）①根据图表，估计该日24小时内降雨强度为暴雨的乡镇的个数； ②通过降雨强度按分层抽样抽取5个乡镇进行分析．据以往统计数据，降雨过后，降雨强度为大雨的乡镇不受损失的概率为，降雨强度为暴雨的乡镇不受损失的概率为，假设降雨强度相互独立，求在抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数公式计算即可； （2）根据频率分布直方图估计总体即可得①，根据分层抽样先判定抽中大雨和暴雨的乡镇数，再由独立事件的概率公式计算即可得②. 【小问1详解】 这五组数据对应的频率分别为：， 故这20个乡镇的平均降雨量为 ． 【小问2详解】 ①24小时降雨强度为暴雨的乡镇的频率为， 故降雨强度为暴雨的乡镇的个数为个． ②若按分层抽样抽取5个乡镇， 故降雨强度为暴雨的有个乡镇，降雨强度为大雨的有2个乡镇， 设事件表示“抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失”． 分两类情况，即不受损失的唯一乡镇为降雨强度为大雨或降雨强度为暴雨， 所以， 故抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率为． 20. 如图，在平面四边形中，，，将沿向上折起，使得平面与平面所成的锐二面角的平面角最大． （1）求该几何体中任意两点间的距离的最大值； （2）若，垂足为，点是上一点，证明：平面平面． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【详解】解：（1）如图，以为坐标原点，为轴，平面为平面， 建立空间直角坐标系， 则， 设，显然，当时，平面与平面共面，此时的锐二面角一定不是最大 的，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则即 令，则． 又平面的一个法向量为， 则， 又，所以， 所以， 当时，等号成立，由 得， 所以，即点在面上． 所以平面平面， 所以， 所以该几何体中任意两点间的距离的最大值为． （2）由（1）知平面， 所以． 又，且， 平面， 所以平面． 又平面， 所以． 由，且平面， 所以平面． 又平面，所以平面平面． 21. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上一动点，直线与直线交于点，. （1）求抛物线的方程； （2）过点作抛物线的两条切线，切点为，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算，，根据距离公式计算得到，得到抛物线方程. （2）求导得到导函数，计算切线方程得到的直线方程为，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到，再计算，得到范围. 【小问1详解】 直线，当时，，即，， 则，解得或（舍去）， 故抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，，，，， 的直线方程为：，整理得到， 同理可得：方程为， 故，故的直线方程为， ，整理得到，， ， ，解得， 设到的距离为， ， ，故， 【点睛】关键点睛：本题考查了切线方程，抛物线方程，抛物线中的面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理得到根与系数的关系，利用设而不求的思想解决问题是解题的关键，需要熟练掌握. 22. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． （2）设函数有一个极大值为，一个极小值为，试问：是否存在最小值？若存在最小值，求出最小值；若不存在最小值，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 因为， 所以由题意知方程， 即至少有两个不同的实数根． 令，则方程有且仅有两个不同的正实数根． 设为方程的两个实数根， 则解得． 假设存在最小值， 设与相对应的方程的两个根为， 所以当时，； 当时，， 所以， 则． 因为，所以，且， 则． 设， 则， 所以函数在上单调递减， 所以不存在最小值． 【解析】 【分析】（1）由单调递增得出恒成立，结合指对数转换构造函数求解即可； （2）因为有一个极大值为，一个极小值为得出至少有两个不同的实数根，构造函数得出最值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由题意知， 即在区间上恒成立． 令，则不等式在上恒成立． 设，则 解得， 则的取值范围为． 【小问2详解】 不存在，理由略． 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年海南省高考全真模拟卷（七） 数学 1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页． 2．考查范围：高考全部内容． 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合为小于6的质数，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于复数的说法，正确的是（ ） A. 复数是最小的纯虚数 B. 在复数范围内，模为1的复数共有和四个 C. 与是一对共轭复数 D. 虚轴上的点都表示纯虚数 3. 乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为（ ） A. 16亿元 B. 19亿元 C. 21亿元 D. 23亿元 4. 在梯形中，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图是清代的时钟，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．内部表盘为圆形，外部环形装饰部分宽度为，此表挂在墙上，最高点距离地面的高度为，最低点距离地面的高度为，以子时为正向上方向，一官员去上早朝时，看到家中时钟的指针指向寅时（指针尖的轨迹为表盘边沿），若4个半时辰后回到家中，此时指针尖到地面的高度约为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 设，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为4 10. 如图，在正方体中，，，，均是所在棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 11. 已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 渐近线方程为 B. 双曲线与椭圆的离心率互为倒数 C. 若双曲线上一点满足，则的周长为28 D. 若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 12. 已知符号函数， 函数则下列说法正确的是（ ） A. 的解集为 B. 函数在上的周期为 C. 函数的图象关于点对称 D. 方程的所有实根之和为 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知是公比为2的等比数列，则__________． 14. 曲线在点处的切线与轴平行，则__________． 15. 小李准备下载手机，可供选择的社交有3个，音乐有2个，视频有2个，生活有3个，从上述10个中选3个，且必须含有社交以及生活的不同选法种数为______. 16. 如图，四棱锥内接于圆柱，为的中点，和为圆柱的两条母线，，四边形为正方形，平面与平面的交线平面，当四棱锥的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为__________． 四､解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求边长和角； （2）求的面积的最大值，并判断此时的形状． 19. 气象部门定义：根据24小时内降水在平地单位面积上的积水深度来判断降雨强度．其中小雨，中雨，大雨，暴雨）．为了了解某地的降雨情况，气象部门统计了该地20个乡镇的降雨情况，得到当日24小时内降雨量的频率分布直方图如图． （1）若以每组的中点代表该组数据值，求该日这20个乡镇的平均降雨量； （2）①根据图表，估计该日24小时内降雨强度为暴雨的乡镇的个数； ②通过降雨强度按分层抽样抽取5个乡镇进行分析．据以往统计数据，降雨过后，降雨强度为大雨的乡镇不受损失的概率为，降雨强度为暴雨的乡镇不受损失的概率为，假设降雨强度相互独立，求在抽取的5个乡镇中，降雨过后恰有1个乡镇不受损失的概率． 20. 如图，在平面四边形中，，，将沿向上折起，使得平面与平面所成的锐二面角的平面角最大． （1）求该几何体中任意两点间的距离的最大值； （2）若，垂足为，点是上一点，证明：平面平面． 21. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上一动点，直线与直线交于点，. （1）求抛物线的方程； （2）过点作抛物线的两条切线，切点为，且，求面积的取值范围. 22. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． （2）设函数有一个极大值为，一个极小值为，试问：是否存在最小值？若存在最小值，求出最小值；若不存在最小值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $