第3节 特殊三角形及其性质-（全讲册）【一本全】2025年河南中考数学60天高效备考方案

第三节 特殊三角形及其性质 ②建议用时2天 考点梳理 2.直角三角形 考点 特殊三角形 概念 有一个角是直角的三角形 1.等腰三角形和等边三角形 等腰三角形 等边三角形 图 示 概 有两条边相等的三 三条边都相等的三 念 角形 角形 两个锐角之和等于90 斜边上的中线等于斜边的一半 图 性质 30°角所对的直角边等于斜边的一半 示 勾胶定理：若直角三角形的两直角边为a, b,斜边为c,则a2+b2=c2 (1)两腰相等，两底 有一个角是直角的三角形 角相等（等边对等 角)： (1)三条边都相等； 有两个角互余的三角形 判定 (2)顶角的① (2)三个内角都相 勾胶定理逆定理：若a2+b2=c2,则以a,b, 性 、底边上的中线、 等，都是② ； c为边的三角形是直角三角形 质 底边上的高线互相重 (3)是轴对称图形， 面积 1 1 合（三线合一）： 有③ 条对称轴 =2b=2ch (3)是轴对称图形， 有一条对称轴 3.等腰直角三角形 概 有两条边相等的三 三条边都相等的三 有两条边相等且有一个角是直角的三角形 念 角形 角形 有两个角相等的三 图 三个内角都相等的三 示 判 角形 角形 定 性 一个内角是④ 具有等腰三角形和直角三角形的所有性质 质 只有一条对称轴的三 的等腰三角形： 顶角为90°的等腰三角形 角形 有三条对称轴的三 有两个角为45°的三角形 角形 判定 两直角边相等的直角三角形 面 有一个角为45°的直角三角形 S= 积 26 面 积 71 提分探究 提分点1 等腰三角形的相关计算 @已知等腰三角形ABC,AB=AC. (1)若△ABC的两边长分别为8,4，则其周长为 第1题图 第2题图 2.(2024驻马店二模)如图，在△ABC中，AB= (2)若一个角是40°，则顶角的度数为 AC=5,BC=8,AG为底边中线，将△ABC沿 (3)如图1，AD为BC边上的中线，∠B=20°，则 射线AG方向平移得对应△DEF,连接BD,若 ∠CAD的度数为 AD=DG,则BD的长为 ) A.6 B.8 C.23 D.25 提分点2 直角三角形的相关计算 @P如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B= 图1 图2 30°，AC=2,点D是BC上一动点 (4)如图2，以点C为圆心，CB长为半径画弧， 交AB于点B和点D,再分别以点B,D为圆心， 大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M,作 射线CM交AB于点E.若AD=3,BD=2,则EC (I)若点D为BC的中点，则AD的长为； 的长度是 (2)若AD⊥BC,则AD的长为 ； (5)如图3，延长CB到点D,使BD=BC.延长 (3)若点D为BC的中点，点E为AB上一动点， BC到点E,使CE=BC.连接AD,AE,若∠ABC 作△BDE关于直线DE的对称图形，点B的对 =60°，则∠DAE的度数是 应点为点B',DB交AB边于点F.当△B'EF是 直角三角形时，BE的长为 提分点拨 直角三角形的常用性质 (1)当出现直角三角形以及对应的三边长时，联 图3 想到勾股定理； (6)如图4，D,E是△ABC内的两点，AD平分 (2)当直角三角形中出现30°或60°角时，联想 ∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=6cm,DE= 到30°角所对的直角边等于斜边的一半； 2cm,则BC的长为 cm. (3)当直角三角形中出现45°角或两边相等时， √提分演练 应该联想到等腰直角三角形的性质； 1.(2024信阳二模)如图，∠B=30°，以Rt△ABC (4)出现特殊角，而未出现直角时，也可考虑作 的顶点B为圆心，直角边BC为半径画弧， 垂线构造直角三角形； 与斜边AB交于点D,连接CD,则∠ADC的 (5)当出现直角三角形斜边的中，点时，应联想到 度数为 ( 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半. A.95 B.100° C.1050 D.110° 提分演练 4.(2024商丘三模)如图，Rt△ABC的直角边 AC的中点为D,∠A=30°，点E在斜边上，且 3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中 AE=1,若△ADE为直角三角形，则BC的值 线，CB=5,CD=6.5,DE⊥CB于点E,则DE 为 的长是 ( 5.（2024驻马店二模)在等腰Rt△ABC中， A.3 B.5 C.6 D.6.5 ∠A=90°，AB=AC=23,点D为斜边BC上 一动点，连接AD并构造以AD为斜边的等腰 直角△DAE,若AE=2,则BD的长为 第3题图 第4题图 十年真题 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1.第一步， 命题点 特殊三角形的相关计算 在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠，点A 1.(2020河南第10题，3分)如图，在△ABC中， 落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA折 AB=BC=3,∠BAC=30°，分别以点A,C为圆 叠，点D落在D'处，如图3.当点D'恰好在原 心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D,连接 直角三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为 DA,DC,则四边形ABCD的面积为( A.63 B.9C.6D.33 4.(2017河南第15题，3分)如图，在t△ABC中， 第1题图 第2题图 ∠A=90°，AB=AC,BC=√2+1，点M,N分别是 2.(2022河南第15题，3分)如图，在Rt△ABC 边BC,AB上的动点，沿MN所在的直线折叠 中，∠ACB=90°，AC=BC=22,点D为AB ∠B,使点B的对应点B始终落在边AC上，若 的中点，点P在AC上，且CP=1,将CP绕点 △MB'C为直角三角形，则BM的长为 C在平面内旋转，点P的对应点为点Q,连接 AQ,DQ.当∠ADQ=90°时，AQ的长为 3.(2021河南第15题，3分)小华用一张直角三 角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC 请完成全练册第31页习题 73 阶段课题 与三角形有关的分类讨论 【讨论思想】(1)要确定讨论对象，分清楚确定的量与不确定的量；(2)明确标准，合理分类，不重不 漏；(3)每种情况下的一个分类，讨论严谨，获得阶段性结果；(4)归纳总结，综合得出结论 4.(2024嵩县二模)如图，四边形ABCD和 类型 等腰三角形的腰不确定 AEFG都是正方形，点E是AB边上一个动 已知条件 △ABC为等腰三角形 点，点G在AD边上，AB= 已知三角形为等腰三角形，分类讨论腰 2cm,连接BF,CF,若 分类对象 求边长 △BCF恰为等腰三角形，则 AE的长为 cm. 分类讨论 ①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC 类型二 直角三角形的角不确定 ①利用等腰三角形的性质，运用相似或 一般解法 全等求解；②作垂线，利用勾股定理建立 已知条件 △ABC为直角三角形 方程求解 已知三角形为直角三角形，分类讨论直 分类对象 》针对训练 角（直角边）求边长 分类讨论 ①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90° 1.(2024尉氏一模)已知∠ABC=30°，AB=4,P 是BC边上一点，当△ABP是以PA为腰的等 ①利用勾股定理建立方程求解；②利用 一般解法 相似三角形求解：③利用直角三角形的 腰三角形时，BP的长为 性质或三角函数求解 2.(2024济宁三模)如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=40°，D点在边AB上运动(D与A、B不 》针对训练 重合)，设∠ACD=a,将△ACD沿CD翻折至 5.(2024无锡一模)矩形ABCD中，E为对角线 △A'CD处，CA'与AB边相交于点E.若 BD上一点，且BE:DE=1:2,点F在边BC △A'DE是等腰三角形，则a的度数为 上，AB=BF=4,当△BEF为直角三角形时， BC的长为 6.(2024焦作一模)如图，在矩形ABCD中， AB=1,BC=a,点E为CD的中点，取AE的 中点F,连接BE,BF,当△BEF为直角三角形 时，a的值为 第2题图 第3题图 3.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点， 四边形ABCD是平行四边形，点A,B,C的坐 第6题图 第7题图 标分别为A(0,4),B(-2,0),C(8,0),点E 7.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是 是BC的中点，点P为线段AD上的动点，若 BC边上一点，连接AE,把∠B沿AE折叠，使 △BEP是以BE为腰的等腰三角形，则点P 点B落在点B'处，当△CEB为直角三角形 的坐标为 时，BE的长为 阶段课题 中点问题模型的构造 ●思维导航 类型一 倍长中线或类中线 ①倍长中线：如图，AD是△ABC的 1.如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD=BC,则点 中线 D在 作法与结论：延长AD到点E,使得DE= ( AD,连接BE,可得△ADC≌△EDB. A.AC的垂直平分线上 B.∠BAC的平分线上 C.BC的中点 D.AB的垂直平分线上 长中线AD ②倍长类中线：如图，在△ABC中，点 第1题图 第2题图 第3题图 D是BC的中，点，E是AB边上一点. 2.如图，△ABC中，AD是中线，AB=5,AC=3,则AD的取值范 作法与结论：延长ED至点F,使得DF= 围是 DE,连接CF,可得△BDE≌△CDF A.3<AD<5B.2<AD<8C.1<AD<4 D.0<AD<1 倍长类中线ED 3.如图，矩形ABCD中，CD=3,BC=4,点E为BC的中点，点F 为CD上任意一点，当△AEF的周长最小时，CF的长为 类型二 中线模型（特殊三角形） 4.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=16,点E为BC的中点， ●思维导航 EF⊥AB于点F,则EF的长度为 ( ①等腰三角形中：如图，在△ABC中， AB=AC,D为BC的中点. A.5 B.10 C.16 4 D.5 作法与结论：连接AD,则AD⊥BC,AD 平分∠BAC,BD=CD 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D为BC的中 ②直角三角形中：如图，在Rt△ABC 点，DE⊥AC于点E,AE=2,则CE为 ( 中，D为AB的中点 A.2 B.4 C.6 D.8 6.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6,D为边BC的中 作法与结论：连接CD,则CD=AB, 点，点E,F分别在边AB,AC上，AE=CF,则四边形AEDF的 △ADC和△CDB是等腰三角形 面积为 A.18 B.92 C.9 D.62 75 7.如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC,垂足为M, AM交BD于点N,OM=2,BD=8,则MW的长为( A.5 B.45 5 号 D. 5 类型 中位线模型（一般三角形） 8.如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=10,∠A=130°，∠D= ●思维导航 100°，AD=CD.若点E,F分别是边AD,CD的中点，则EF的 ①出现两个中点：如图，在△ABC中， 长是 点D,E分别是AB,AC的中点 A.3 B.4 C.2 D.√5 作法与结论：连接DE,则DE∥BC, DE=6C,△ADE∽AMBC 连接DE D 第8题图 第9题图 第10题图 ②出现一个中点：如图，在△ABC中， 9.如图，在矩形ABCD中，R,P分别是AB,AD上的点，E,F分别 点D是AB的中点 是RP,PC的中点，当点P在AD上从点A向点D移动，而点 作法与结论：作DE∥BC,则DE= R保持不动时，下列结论成立的是 ( BC. A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小 △ADE∽△ABC. C.线段EF的长不变 D.线段EF的长先增大后减小 作DE 10.如图，在菱形ABCD中，BC=10,点E在BD上，F为AD的 中点，FE⊥BD,垂足为E,EF=4,则BD长为( A.8 B.10 C.12 D.16 类型四 垂直平分线模型 11.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，点D是AB的中点， ●思维导航 过点D作DE⊥AB交BC于点E,DE=2,则CE的长度为 中点+垂线：如图，D为BC的中点， ( DE⊥BC. A.7 B.8 C.9 D.10 作法与结论：连接BE,则BE=EC E 第11题图 第12题图 12.如图，在口ABCD中，BC=2AB=8,连接BD,分别以点B,D 为圆心，大于之BD长为半径作弧，两弧交于点E和点F,作 直线EF交AD于点I,交BC于点H,点H恰为BC的中点， 连接AH,则AH的长为 ( A.43 B.6 C.7 D.45 76 阶段课题 角平分线的有关问题 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若 ●思维导航 CD=3,AB=8,则△ABD的面积是 ( ①两边垂线：如图，B0是∠ABC的平 A.24 B.12 C.15 D.10 分线，过点0作OE⊥AB于点E, OF⊥BC于点F 结论：OE=OF,△BEO≌△BFO. A 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D, DE∥AB,交BC于点E,若∠BDE=50°，则∠A的度数是 ( ) ②截长补短：如图，在△ABC中，BC> A.40 B.50° C.60° D.70 BA,BO平分∠ABC. 3.如图，BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,DE=4,∠A=30°，则 结论：（栽长法）在BC上栽取BE= AD的长为 ( ) BA,连接OE,则△BEO≌△BAO; A.6 B.8 C.12 D.16 (补短法)延长BA至点D,使BD= 4.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点 BC,连接OD,则△BDO≌△BCO. D F,∠ABC=52°，∠A=60°，则∠BFC= ( A.128 B.120 C.119 D.121° E ③与平行线结合：角平分线+平行线 (或角平分线作平行线)=等腰三角形 图示： 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，已知∠AOB=60°，点D是∠AOB的平分线上的一点， 点E,F分别是射线OA和射线OB上的点，且DE=DF, ∠EDF>90°.下列结论中正确的是 图2 A.∠EDF是一个定值 B.四边形DEOF的面积是一个定值 C.当DE⊥OA时，△DEF的周长最小 D.当DE∥OB时，DF也平行OA 图4 6.如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别 ④三线合一：如图，B0平分∠ABC, EO⊥BO. 交AB,AC于点D,E.分别以点D,E为圆心，大于)DE长为 结论：延长EO交BC于点F,则EO= 半径画弧，交于∠BAC内一点F,连接AF并延长，交BC于点 FO. G.连接DG,EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是 A.AB=AC B.AG⊥BC C.∠DGB=∠EGC D.AG=AC 77解得b=+1,即y=kx+k+1. 5小长修个 联立直线DE与抛物线的解析式， 得x+k+1=-x2+4x-2. 整理得x2+(k-4)x+k+3=0 直线与抛物线只有一个交点， ,由根的判别式得△=(k-4)2-4×1×(+3)=0, 09 解得k,=6+42,k2=6-42(舍去)， (2)m=n(n+1】 .y=(6+42)x+7+42. (3)由题意得，n(n+1)=72, 当x=4时，y=31+202. n为正整数， ∴.n=8(负值已舍去) 综上所述，m的取值范围为m<-2或m=31+202. “竖直方向分割用的实线数量为8. 多思多虑m<-2 (4)设水平方向有n条道路，竖直方向有(n+1)条 道路， 阶段课题函数图象与性质的探究性问题 由题意得40n+35(n+1)-n(n+1)=40×35× 1.解：(1)0 36%,整理得n2-74n+469=0, (2)画出函数图象如图所示 解得n=7或n=67(舍去) :n是水平方向小路数量，水平方向耕地数量为8， 竖直方向耕地数量为9， .耕地块数为8×9=72（块）. “小长方形耕地的总数量72块 第四章三角形 第一节线段、角、相交线与平行线 (3)①函数y=x2-21x1的图象关于y轴对称： 考点梳理 ②当x>1时，y随x的增大而增大.（答案不唯一） ①BM②MC③BC④MB⑤90°⑥相等⑦180 (4)①33②2③-1<a<0 ⑧相等⑨相等0角的平分线上①相等 2∠2与∠4B互补中∠3与∠45一 2.解：(1)x≠0 ⑥垂线段距离⑧垂直平分线9一①相等 (2)画出函数图象如图所示 ①相等2互补 提分探究 6 1.C2.A3.A4.A5.C6.B7.D8.C9.C 十年真题 1.B2.B3.140°4.B5.D6.B7.B8.A 第二节一般三角形及其性质 考点梳理 -4-3-201234主 ①大于②小于③180°④等于⑤大于⑥DC ⑦BC82⑨平行0等于 提分探究 例(1)15°(2)3(3)7(4)1.5<4F<5.5 (5)77.5°(6)21 (3)①当x<0时，y随x的增大而减小（答案不唯 提分演练 一)②当x>1时，y随x的增大而增大（答案不唯 1.B2.C3.14.759 十年真题D (4)设(3-35，a),(3-37,b)是该函数图象上 第三节 特殊三角形及其性质 的两点， 考点梳理 根据函数图象可知，当x<0时，y随x的增大而 ①平分线 ②60°③三④60° 减小： 提分探究 3-35>3-√37，a<b. 例1(1)20(2)40°或100°(3)70° (4)3(5)120°(6)8 3.解：(1)二次 补全表格如下： 例2(1)2(2)5(3)5-1或2 纸片序号n 123 提分演练 裁剪得到的小长方形个数m26122030 1.C2.D3.C4.1或号 描点，连线，如图所示 5.v6-2或6+2 10 十年真题 (2)问题(1)中的数量关系仍然成立 1.D25政厅3.2-政34或1 理由：延长DC到点H,截取CH=AN,连接BH. .AN=CH,∠A=∠BCH,AB=BC, 阶段课题与三角形有关的分类讨论 ∴.△ABN≌△CBH .BN=BH,∠ABN=∠HBC, 1.4或4后215或0 .:∠MBN=45°，∠ABC=90° .∠ABN+∠CBM=45°， 3.(1,4或6,4或0，)4受或万-) ÷∠HBC+∠CBM=45°.即∠MBN=∠HBM. .BM=BM.∴.△MBN≌△MBH, 5.12或6+256或号73或号 .MN MH=CM CH CM +AN. (3)线段EF的长为5丽 7 阶段课题中点问题模型的构造 2.解：(1)EF=BE+FD 1.A2.C3.14.D5.C6.C7.C8.B9.C (2)问题(1)中的结论仍然成立. 10.C11.B12.A 理由：如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM. 阶段课题角平分线的有关问题 ∠ABC+∠D=∠1+∠ABC=180°，∴.∠1=∠D AB =AD.BM DF. 1.B2.B3.B4.B5.C6.D .∴.△ABM≌△ADF, 第四节全等三角形 .AF=AM,∠2=∠3 考点梳理 :∠BF=7LBAD, ①相等②相等③相等④相等⑤三边⑥夹角 ⑦夹边⑧对边⑨直角边0斜边 ÷∠2+∠4=}∠BAD=∠EAE 2 提分探究 例(I)①ASA②∠B=∠E ∴∠3+∠4=∠EAF,即∠MAE=∠EAF ③证明：∠1=∠2， AM=AF,AE=AE,∴.△AME≌△AFE. .∠I+∠ACE=∠2+∠ACE. .EF ME.EF BE +BM,.'.EF BE+DF. ∴.∠ACB=∠DCE (3)EF=BE-FD. .·AC=DC,BC=EC.∴.△ABC≌△DEC 阶段课题 对角互补模型 (2)①AAS②AB=CD ③证明：∠ABC=∠DCB,BC=BC,∠ACB=∠DBC, 1.解：(1)①5225②483 .△ABC≌△DCB. 提分演练 (2)S=分m理由：如图，过点D作 1.D2.B3.C4.C DM⊥AC于点M,DN⊥BC于点N. 阶段课题简单的全等模型 .DM⊥AC.DN⊥BC,CD平分∠ACB .'DM DN. 1.A2.C3.D4.C5.(4.0)6.2 :∠DMC=∠DNC=∠MCN=90 第五节相似三角形 ∴.四边形DMCN是正方形. .∠MDN=∠EDF=90°，∠MHDE=∠NDF 考点梳理 '∠DME=∠DNF∴.△DME≌△DNF ①ad=c②③号④胀 ⑤对应成比例 S=SAAE+SmDP =SAADM +Sm 将△BDN绕点D逆时针旋转90°得△HDM,点B落 ⑥相等⑦相等⑧成比例⑨相似比 在点H处，∠ADH=90°，AD=m,DH=n, 0相似比的平方①相等2平方 提分探究 S=S么w+S△mm=S△wm=2mn. 122号 3.B4.B5.C6.B 2.(1)1 (2)证明：过点D作DM⊥AB于M.DN⊥AC于N,如 7.2.58.25 答图1. 十年真题 .∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90 .∠A=60°，..∠MDV=I20° 阶段课题两个相似模型 ∠EDF=120°，∴，∠MDE=∠NDF ∠B=∠C,BD=CD 1.A2.B3.A4.B5.B .△MBD≌△NCD. 阶段课题一线三等角模型 'BM =CN.DM DN ∠EMD=∠FD,∠MDE=∠NDF 1.C2.C3.D4.A5.46.①④ .△EMD≌△FND,.EM=FN, 阶段课题 角含半角模型 .BE +CF=BM EM CF BM FN+CF BM+ 1.解：(I)MN=AN+CM CN-2BM-2xRD--B 11