31.1.4 圆周角（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级下册

第三十一章 圆 31.1（4） 圆周角 课标要点 1. 理解圆周角的定义，能区分圆周角与圆心角； 2. 掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； 3. 掌握圆周角定理两个推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径； 4. 会运用圆周角定理及推论进行角度计算、简单证明。 学习重难点 重点： 圆周角定理及其两个推论，利用定理进行角度计算、证明。 难点： 灵活添加辅助线，构造直径所对直角来解题。 知识点 圆周角定理 1. 圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.圆周角的两边所夹的弧称为该圆周角所对的弧，但 同一条弧对应的圆周角不唯一.如图31-1-25,圆周角 ∠AC1B、∠AC2B、∠AC3B所对的弧均为, 所对的圆周角则为 ∠AC1B、∠AC2B、∠AC3B. 2. 圆周角定理 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半. 如图31-1-26,已知：在⊙0中，所对的圆周角是∠BAC,所对的圆心角是∠BOC. 则有∠BAC=2∠BOC. 知识点 圆周角定理的推论（难点） 1. 同弧所对的圆周角 推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆 周角所对的弧相等. 如图31-1-27 所示，∵∴∠ACD=∠ABD；∵∴∠ABC=∠BCD； 反之，∵∠ABC=∠BCD；∴ 2. 直径对的圆周角 推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 如图31-1-28 所示，∵AB为⊙O直径，∴∠A=∠A=∠A=90°,反之也成立。 3. 圆内接四边形 圆内接四边形对角互补，圆内四边形的一个外角等于它的内对角；对角互补的四边形内接于一个圆。 如图所示，∵∠A=∠A，∠A=(360°-∠AOC)，∴ ∠A+∠A=180°；∵∠A+∠A=180°，∠ADC+∠EDC=180°，∴∠EDC=∠ABC. 4. 圆内相似形 如图所示，∵∠A=∠BCP，∠DAP=∠CBP，∴ ∆ADP∽∆BCP；∵∠BA=∠CDP，∠ABP=∠DCP，∴ ∆ABP∽∆DCP； 随学随练 1. 如图，在中，，是上一点，则______． 2. 如图已知：⊙O的弦AB与弦CD相交于点E,且AC=DB. 则有EB=EC. 3. 如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接． (1)证明：； (2)若，求． 题型 利用圆周角定理计算角的度数 ▌例1如图，，，三点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1.如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． ▌对点练2．已知为上三个不同的点，且，则的度数是_________． 题型同弧或等弧所对的圆周角 ▌例1 如图，四边形的四个顶点都在上，找出图中与，，分别相等的角． ▌对点练1. 如图，的弦、相交于点，．求证：． ▌对点练2.如图， 在中，是直径，是弦，且于点 E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型 直径所对的圆周角 ▌例1如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． ▌对点练1.如图，是的直径，点、都在上，若，则的度数为 __________． ▌对点练2.如图，是的直径，点D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点 (1)请问：与相等吗？为什么？ (2)若，则______． 题型 90°的圆周角所对的弦是直径 ▌例1小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1.如图，是等腰三角形，，D是的中点，点A，B，D在同一个圆上，求证：是圆的直径． ▌对点练2.如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 题型 圆的内接四边形及四点共圆问题 ▌例1 如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为________． ▌对点练1. 如图所示，四边形内接于，连接，，．求的大小． ▌对点练2. 在正方形中，为对角线，点为的中点，点在边上，连接交于点．在上取一点，使得，连接、．若，，则的长为________． 题型6 圆内相似三角形 ▌例1 如图，的直径与弦交于点求的长．    ▌对点练1. 如图，在中，弦与弦交于点M，且，则______． ▌对点练2. 是的内接三角形，，弦交于点D，，连接，若，，则为______． 基础通关 1．如图，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四个边长为1的小正方形讲成一个大正方形，A，，是小正方形顶点，的半径为1，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（   ） A． B． C． D．1 3．如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 5. 如图，是的直径，A，C在圆上，，求的度数． 6．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 7．如图，在中，，，上的高．则外接圆的半径长为_________． 8. 点均在上，仅用无刻度的直尺分别在给定图中按要求作图，点均不与点重合． (1)在图①中，画一个与相等的圆周角； (2)在图②中，画一个与互补的圆周角； (3)在图⑧中，画一个与互余的圆周角． 9．如图，是半圆O的直径，，D是上任意一点，求的度数． 10．如图，，，，是上的四个点，为直径，，连接，，于点． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 素养提升 1．如图，已知点O是的外心，，连结，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（    ）    A． B． C． D． 3．在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中， ∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（     ） A．17 B．14 C．12 D．10 4．如图所示，是的直径，弦，相交于，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形四个顶点都在⊙O上，点P是在弧上的一点（P点与C点不重合），则的度数是_____． 6．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠BEC =127°，则∠CBD的度数为_______度． 7．如图，是直径，是的弦，，求的度数． 8．如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)若，求的长． 9．如图，四边形内接于，，是的直径，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．如图，内接于，，于点，延长交于点． (1)如图①，若是等边三角形，求证：； (2)如图②，当点在弦上方运动时（包括点、），作交于点． 求证：； 迁移创新 1. 如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 2. 如图，四边形内接于以为直径的，若平分，则线段的长是_____． 3．如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，，请用a、b表示的长______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 圆 31.1（4） 圆周角 课标要点 1. 理解圆周角的定义，能区分圆周角与圆心角； 2. 掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； 3. 掌握圆周角定理两个推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径； 4. 会运用圆周角定理及推论进行角度计算、简单证明。 学习重难点 重点： 圆周角定理及其两个推论，利用定理进行角度计算、证明。 难点： 灵活添加辅助线，构造直径所对直角来解题。 知识点 圆周角定理 1. 圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.圆周角的两边所夹的弧称为该圆周角所对的弧，但 同一条弧对应的圆周角不唯一.如图31-1-25,圆周角 ∠AC1B、∠AC2B、∠AC3B所对的弧均为, 所对的圆周角则为 ∠AC1B、∠AC2B、∠AC3B. 2. 圆周角定理 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半. 如图31-1-26,已知：在⊙0中，所对的圆周角是∠BAC,所对的圆心角是∠BOC. 则有∠BAC=2∠BOC. 知识点 圆周角定理的推论（难点） 1. 同弧所对的圆周角 推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆 周角所对的弧相等. 如图31-1-27 所示，∵∴∠ACD=∠ABD；∵∴∠ABC=∠BCD； 反之，∵∠ABC=∠BCD；∴ 2. 直径对的圆周角 推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 如图31-1-28 所示，∵AB为⊙O直径，∴∠A=∠A=∠A=90°,反之也成立。 3. 圆内接四边形 圆内接四边形对角互补，圆内四边形的一个外角等于它的内对角；对角互补的四边形内接于一个圆。 如图所示，∵∠A=∠A，∠A=(360°-∠AOC)，∴ ∠A+∠A=180°；∵∠A+∠A=180°，∠ADC+∠EDC=180°，∴∠EDC=∠ABC. 4. 圆内相似形 如图所示，∵∠A=∠BCP，∠DAP=∠CBP，∴ ∆ADP∽∆BCP；∵∠BA=∠CDP，∠ABP=∠DCP，∴ ∆ABP∽∆DCP； 随学随练 1. 如图，在中，，是上一点，则______． 【答案】 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解即可． 【详解】∵， ∴优弧所对应的圆心角为， 根据圆周角定理得： ∴优弧所对应的圆周角为 ． 2. 如图已知：⊙O的弦AB与弦CD相交于点E,且AC=DB. 则有EB=EC. 证明 连接BC. ∵ AC=DB, ∴ =. ∵ ∠ABC是所对的圆周角，∠DCB是 所对的圆周角. ∴ ∠ABC=∠DCB, 即∠EBC=∠ECB. ∴ EB=EC. 3. 如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】(1) 证明：∴， ∴； (2)10 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由，即可证得； （2）根据，可得，即可求解． 本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 题型 利用圆周角定理计算角的度数 ▌例1如图，，，三点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）即可求解． 【详解】解：，分别是的圆周角和圆心角， ． ▌对点练1.如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再求它们的和即可． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点， ∴， ∴． ▌对点练2．已知为上三个不同的点，且，则的度数是_________． 【答案】或 【分析】点的位置未确定，需分点在优弧和点在劣弧两种情况，根据圆周角度数等于所对弧度数的一半计算． 【详解】解：∵点是上任意不同于的点，位置不确定，分两种情况讨论 ①当点在优弧上时， ∵圆周角的度数等于它所对弧度数的一半， ∴ ②当点在劣弧上时 ∵所对的弧为优弧，优弧的度数为 ∴ 综上，的度数为或 题型同弧或等弧所对的圆周角 ▌例1 如图，四边形的四个顶点都在上，找出图中与，，分别相等的角． 【答案】，， 【分析】同弧所对的圆周角相等． 【详解】解：与所对的弧为，所以；与所对的弧为，所以；与所对的弧为，所以． ▌对点练1. 如图，的弦、相交于点，．求证：． 【答案】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌对点练2.如图， 在中，是直径，是弦，且于点 E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵，是直径， ， ∴； (2)5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据垂径定理得出，根据圆周角定理，即可得出答案； （2）设半径为r， 则，根据垂径定理得，即，然后求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：设半径为r， 则， ∵，是直径， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即半径为5． 题型 直径所对的圆周角 ▌例1如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 【答案】 【分析】连接，三角形的外角求出，圆周角定理求出，进而求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的半径为2． ▌对点练1.如图，是的直径，点、都在上，若，则的度数为 __________． 【答案】35 【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴在中，． ▌对点练2.如图，是的直径，点D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点 (1)请问：与相等吗？为什么？ (2)若，则______． 【答案】(1) 解：，理由如下： 连接， 是圆的直径， ， ， 垂直平分AD， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，根据是圆的直径以及线段垂直平分线的性质，可得，从而得到，从而得到，即可解答； （2）求出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 故答案为： 题型 90°的圆周角所对的弦是直径 ▌例1小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据的圆周角所对的弦是直径，只有选项A中的工件合格． ▌对点练1.如图，是等腰三角形，，D是的中点，点A，B，D在同一个圆上，求证：是圆的直径． 【答案】 证明：如图，连接， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵点A，B，D在同一个圆上， ∴是圆的直径． ▌对点练2.如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为4，则圆心A的坐标是____  ． 【答案】 【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∵的半径为4， ∴，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即． 题型 圆的内接四边形及四点共圆问题 ▌例1 如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为________． 【答案】 【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质结合已知角度比例求出的度数，再根据等弧对等弦判定为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． ▌对点练1. 如图所示，四边形内接于，连接，，．求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，先结合四边形内接于，，得，根据以及三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：四边形内接于， ． ， ． ， ． ． ▌对点练2. 在正方形中，为对角线，点为的中点，点在边上，连接交于点．在上取一点，使得，连接、．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由正方形的性质得到，证明，推出，进而得到，根据和线段中点的定义推出，则可得到，进而可证明；过点E作于点T，连接，证明C、D、H、E四点共圆，得到，；求出的长，进而求出的长，证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 如图所示，过点E作于点T，连接 由正方形的性质可得， ∵， ∴， ∴C、D、H、E四点共圆， ∴，； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型6 圆内相似三角形 ▌例1 如图，的直径与弦交于点求的长．    【答案】2+或2﹣ 【分析】连接，设，则，根据同弧所对的圆周角相等，得，根据相似三角形的性质可得，即，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：如图，连接    设，则， 根据同弧所对的圆周角相等，得 ， 根据相似三角形的性质得， 即， 所以， 整理得， 解得， 即EC的长为或． ▌对点练1. 如图，在中，弦与弦交于点M，且，则______． 【答案】 【分析】连接、，证明即可解答； 【详解】解：连接、，如图所示， ∵，， ∴， ， ． ▌对点练2. 是的内接三角形，，弦交于点D，，连接，若，，则为______． 【答案】 6 【分析】利用及公共角证明，得出；通过角度计算证明，推导出，得到，最后结合勾股定理建立关于的方程求解即可. 【详解】解：， ， 又， ， ， ， 是的外角， ，即， 又， ，即， 又∵， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 过点作于点， 在中，， ， ， 由勾股定理得； 在中，， ， ， ， ， ， ，即. 基础通关 1．如图，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴． 故选：B． 2．如图，四个边长为1的小正方形讲成一个大正方形，A，，是小正方形顶点，的半径为1，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，点A、B、C、D、E 都在上，是直径，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 连接，根据平行线的性质求出根据圆周角定理得到进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可. 【详解】解：如图, 连接, ， ， ∵是的直径, ， ， ∵四边形为的内接四边形， ， ， 故选: . 4．如图，的直径与弦相交于点，连接，，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 如图，是的直径，A，C在圆上，，求的度数． 【答案】 的度数为 【分析】通过同弧所对圆周角相等的性质，将已知的转化为的内角，结合直径所对圆周角为直角的性质计算待求角度． 【详解】解：是的直径， ， ， ． 6．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，上的高．则外接圆的半径长为_________． 【答案】/ 【分析】此题考查三角形与外接圆，解三角形的运用，解题关键在于能够熟练运用三角函数求解一些简单的直角三角形的计算问题．作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，先求出，再由，即可求出直径，由此即可解题． 【详解】解：作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，如图所示： 则，， 是的高， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， 即外接圆的半径长为 故答案为：． 8. 点均在上，仅用无刻度的直尺分别在给定图中按要求作图，点均不与点重合． (1)在图①中，画一个与相等的圆周角； (2)在图②中，画一个与互补的圆周角； (3)在图⑧中，画一个与互余的圆周角． 【答案】(1) 与相等的圆周角如图所示； (2)与互补的圆周角如图所示； (3) 与互余的圆周角如图所示； 9．如图，是半圆O的直径，，D是上任意一点，求的度数． 【答案】 【分析】根据是半圆的直径得到，通过直角三角形中两个锐角互余、圆的内接四边形的对角互补即可得到． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，，，，是上的四个点，为直径，，连接，，于点． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆周角定理与等腰三角形的性质可得，结合“同弧所对的圆周角相等”可得； （2）连接，容易判断是等腰直角三角形，则，由圆周角定理可得，使用勾股定理求出，进而得到的半径． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵为直径， ∴， 在中，， ∴的半径为． 素养提升 1．如图，已知点O是的外心，，连结，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点O是的外心，可得，再由等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵点O是的外心，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆的性质、圆周角定理． 2．如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，   半径互相垂直， ， 所对的圆心角为， 所对的圆周角， 又， ， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 3．在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中， ∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（     ） A．17 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【分析】直角所对的弦是直径，即△OCD是直角三角形，由勾股定理计算CD的长. 【详解】解：因为∠AOB＝90°，所以CD是直径， 由勾股定理得，CD＝≈12. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论及勾股定理，在圆中如果有90°的圆周角时，一般要和直径构成直角三角形，结合勾股定理求解. 4．如图所示，是的直径，弦，相交于，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“直径所对的圆周角是直角”得，再根据“两个角对应相等的两个三角形相似” 得，进而得出，最后根据余弦的定义得出答案． 【详解】解：连接，则． ，， ． ． 在中，． 故选：D． 5．如图，正方形四个顶点都在⊙O上，点P是在弧上的一点（P点与C点不重合），则的度数是_____． 【答案】 【分析】连接，由正方形的性质、同弧或等弧上的圆周角相等即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形四个顶点都在⊙O上，点P是在弧上的一点（P点与C点不重合）， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握“同弧或等弧上的圆周角相等”是解题的关键． 6．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠BEC =127°，则∠CBD的度数为_______度． 【答案】37 【详解】分析：根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠ABC+∠ACB=106°, ∠BAC=74°进而求得∠DAC，再由同弧所对的圆周角相等得到∠CBD=∠DAC=37°． 详解：在△BCE中, ∠BEC =127°， ∴∠EBC+∠ECB=180°−127°=53°， ∵点E是△ABC的内心， ∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=106°, ∴∠BAC=74°， ∴∠DAC=∠BAC =37°, ∴∠CBD=∠DAC=37° 故答案为37° 点睛：此题考查三角形内心定义、三角形内角和性质和同弧所对的圆周角相等的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键,. 7．如图，是直径，是的弦，，求的度数． 【答案】 【分析】连接BC，利用直径对的圆周角是 ，得到，再利用同弧所对的圆周角相等，得到,最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接． 是的直径 ． = 即 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，已经同弧所对的圆周角相等的基本知识，属于基础题． 8．如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)若，求的长． 【答案】(1)解：为等腰直角三角形， 证明：∵分别平分和， ∴， ， ， ， ∵为直径, ∴， ∴是等腰直角三角形； (2)8 【分析】（1）根据角平分线及圆周角定理得出，结合图形及等量代换得出，确定，再由圆周角定理得出，即可得出结果； （2）证出垂直平分，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图，连接，交于点F， ∵， ， ， ∴垂直平分， ∴ ∵是等腰直角三角形，， ， ∵， ， 设，则， 在和中， ， 解得， ∴， ∴． 9．如图，四边形内接于，，是的直径，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， 点是的中点， 是的半径，点是的中点， 由垂径定理的推论，可得：， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可知，根据垂径定理的推论可知，根据同位角相等，两直线平行可证结论成立； （2）由垂径定理可知，设的半径为，利用勾股定理求出，从而可知，再利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ，， 设的半径为， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10．如图，内接于，，于点，延长交于点． (1)如图①，若是等边三角形，求证：； (2)如图②，当点在弦上方运动时（包括点、），作交于点． 求证：； 【答案】(1)证明：连接， ∵为等边三角形， ∴于点，则为的中点， ∴垂直平分， ∵为外接圆的圆心， ∴在的垂直平分线上，即在上， ∵在的延长线上， ∴、、、四点共线， ∵， ∴， ∵，且于中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵与均为的半径， ∴， ∵在弦上， ∴点在内部，即点在与之间， ∴， ∴． (2) 证明：连接， ∵，， ∴， ∵于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点、都在优弧上， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵于点， ∴为的中点， ∴． 迁移创新 1. 如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 【答案】 【分析】连接，则，根据直角三角形的性质和圆内接四边形的性质求出的度数，证明，结合可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 2. 如图，四边形内接于以为直径的，若平分，则线段的长是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握以上性质． 过点作于点，根据直径得出直角，根据圆周角定理和角平分线的定义得出相等的角和边，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据同弧所对的圆周角相等得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，，请用a、b表示的长______． 【答案】(1)证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵B为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度得出，由直角三角形的两个锐角互余得出，，得出，由等弧所对的圆周角相等得出，等量代换可得出，由等角对等边得出． （2）由等弧得出，由勾股定理求出，由面积法即可求出． （3）由相似三角形的判定和性质得出，进而可求出． 【详解】（1）略； （2）解：∵B为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：由（1）可知：， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $