专题06：探索与发现：三角形内角和（学习目标+知识要点+自我评量）-2025年四年级数学寒假自学课（北师大版）

编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年四年级数学寒假自学课 专题06：探索与发现：三角形内角和 1、经历测量、拼接、折叠的过程，探索并发现三角形内角和的规律，渗透归纳思想。 2、能应用三角形内角和解决一些简单的实际问题，培养应用数学的意识。 1、三角形的内角和。 三角形内角和等于180°。 2、三角形内角和的应用。 根据三角形的内角和是180°，当已知三角形中两个内角的度数时，可以求出第三个内角的度数，并由此判断三角形的形状。 一、选择题 1．如图是一块三角形玻璃破碎后的碎片，它原来是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等边 2．把一个三角形的三个角按图所示撕下后可以拼成一个（    ）。 A．直角 B．周角 C．平角 D．钝角 3．一个钝角三角形中，一个锐角是53°，另一个锐角不可能是（    ）。 A．36° B．37° C．36.5° D．35° 4．下图中，∠2的度数是（    ），∠3的度数是（    ）。 A．40°；110° B．110°；50° C．50°；110° 5．用10倍放大镜看一个三角形，它的大小扩大到原来的10倍，那么放大后的三角形的内角和是（    ）。 A．180° B．1800° C．360° 二、填空题 6．把一张长方形纸折起一个角后（如图），得到一个三角形，已知∠1＝54°，那么∠2＝（ ）°。 7．已知一个等腰三角形，如果它的一个底角是30°，它的顶角是（ ）。如果它的顶角是30°，它的一个底角是（ ）。 8．李叔叔工地上有一个三角形铁架，量得其中两个内角分别是68°和56°，那么另外一个内角的度数是（ ）°。如果按角分，它是一个（ ）三角形，如果按边分，它是一个（ ）三角形。 9．奇奇的爸爸在安装玻璃时，不小心把一块三角形玻璃摔碎了，现在要去买一个和原来完全相同的玻璃，只需要带图中第（ ）部分去就可以。 10．下面是五个角的度数，其中三个是一个三角形的内角度数，这个三角形的三个内角度数分别是（ ）、（ ）和（ ），是（ ）三角形。 57°、108°、70°、12°、53°。 三、解答题 11．小明说：“一个三角形中，最小的角大于45°，这个三角形一定是锐角三角形。”你认为他说的对吗？请写出你的理由。 12．记者用相机记录了山西运动员的辉煌时刻，相机用三角支架支撑，与地面形成了等腰三角形，这个等腰三角形的一个角是70º，其他的两个角分别是多少度？ 13．调皮的小兔子把三角形其中的一个角遮住了，你知道被遮住的角各是多少度吗？请列式算一算。 14．笑笑根据三角形的内角和是180°，用下面的方法得到六边形的内角和。 列式计算：180°×6－360°＝720° （1）结合图，想一想，180°×6求的是什么？_________。算式中减去的360°指的是什么？请在图中标出来。 （2）你还有其它方法得出这个六边形的内角和吗？请把你的方法在图中画出来，并写出计算过程。 参考答案 1．【分析】三角形内角和是180°，180°减去30°再减去40°，可以算出第三个角的度数。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形三个角的度数都相等，都是60°。 【解答】180°－30°－40° ＝150°－40° ＝110° 110°的角是钝角，这个三角形原来是钝角三角形。 故答案为：C 2．【分析】任何一个三角形，无论形状和大小，三角形的内角和都为180°。平角是180°的角。据此解答。 【解答】由题意得，三角形的三个内角撕下来后可以拼成一个180°的角，也就是一个平角。 故答案为：C 3．【分析】钝角三角形有一个钝角，钝角大于90°且小于180°，三角形内角和为180°，则钝角三角形除了钝角之外的两个锐角相加一定小于90°，据此选择即可。 【解答】A．53°＋36°＝89°，89°＜90°，可以组成钝角三角形，另一个锐角可能是36°； B．53°＋37°＝90°，90°＝90°，可以组成直角三角形，另一个锐角不可能是37°； C．53°＋36.5°＝89.5°，89.5°＜90°，可以组成钝角三角形，另一个锐角可能是36.5°； D．53°＋35°＝88°，88°＜90°，可以组成钝角三角形，另一个锐角可能是35°。 另一个锐角不可能是37°。 故答案为：B 4．【分析】根据三角形的内角和为180°可知，用180°减去90°，再减去50°，即可求出∠2的度数；根据平角度数为180°可知，用180°减去∠2的度数，再减去30°，即可求出∠3的度数。 【解答】180°－90°－50°＝40° ∠2＝40° 180°－40°－30°＝110° ∠3＝110° 故答案为：A 5．【分析】任意三角形的内角和都是360°。无论用多少倍的放大镜看三角形，三角形的内角和不变。 【解答】用10倍放大镜看一个三角形，它的大小扩大到原来的10倍，那么放大后的三角形的内角和是180°。 故答案为：A 6．【分析】由题意得，把一张长方形纸折起一个角后得到一个三角形，那么这个三角形最上面的那个角也就是原来长方形纸片的一个直角。三角形的内角和为180°，∠1＝54°，直接用180°减去90°再减去∠1的度数即可算出∠2的度数。 【解答】∠2＝180°－90°－∠1 ＝90°－∠1 ＝90°－54° ＝36° 故∠2＝36°。 7．【分析】因为等腰三角形的两个底角的度数相等，再依据三角形的内角和是180°，用180°减去两个底角的度数，即可求出顶角的度数； 根据三角形内角和等于180°，用“180°－30°＝150°”求出它的两个底角的度数和，又因它是一个等腰三角形，所以它的两个底角的度数相等，用“150°÷2＝75°”，即可求得它底角的度数。 【解答】180°－30°×2 ＝180°－60° ＝120° （180°－30°）÷2 ＝150°÷2 ＝75° 已知一个等腰三角形，如果它的一个底角是30°，它的顶角是120°。如果它的顶角是30°，它的一个底角是75°。 8．【分析】三角形内角和为180°，用180°减去两个已知角的度数即可求出另外一个角的度数；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此判断是什么三角形即可；两个底角相等的三角形是等腰三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，据此判断是什么三角形即可。 【解答】180°－68°－56° ＝112°－56° ＝56° 68°＜90°，56°＜90°，56°＜90° 李叔叔工地上有一个三角形铁架，量得其中两个内角分别是68°和56°，那么另外一个内角的度数是56°。如果按角分，它是一个锐角三角形，如果按边分，它是一个等腰三角形。 9．【分析】根据三角形的特性，只要确定三角形的一条边和两个角，就能确定这个三角形的形状，据此作答。 【解答】第①部分仅保留了原三角形的一个角和部分边，所以不能确定原来三角形的形状； 第②部分仅保留了原三角形的部分边，所以不能确定原来三角形的形状； 第③部分保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以可以确定原来三角形的形状。 因此，只需要带图中第③部分去就可以。 10．【分析】根据三角形的内角和等于180°，以及每个数末位上的数字可以试算一下57°、70°、53°的和，以及108°、70°、12°的和； 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形； 直角三角形：有一个角是直角的三角形； 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；据此解答。 【解答】根据分析： 57°＋53°＋70°＝180° 108°＋70°＋12°＝190° 53°＜57°＜70°＜90°，三个角都是锐角。 所以这个三角形的三个内角度数分别是57°、53°和70°，是锐角三角形。 11．【分析】最小的角大于45°，最小的角最小是46°，若其中两个内角都是46°，求出46°与46°的和，再用180°减这个和，看差是多少度，比较差与90°的大小关系，来确定这个三角形是什么三角形。当三角形的两个锐角都45°时，这个三角形的第三个角是90°，所以当三角形的三个角中最小的角大于45°时，那么最大的角必然小于90°，据此来填写理由。 【解答】46°＋46°＝92° 180°－92°＝88° 88°＜90° 他说的对。因为最小的角大于45°，所以任意两个角的和大于90°，因此第三个角肯定小于90° ，三个角都是锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形。 12．【分析】等腰三角形有两个底角的度数相等，因此有两种情况：当70°是这个等腰三角形的底角时，则这个等腰三角形的另一个底角页是70°，则用三角形的内角和180°减去两个底角的和，即可求出三角形的第三个角的度数； 当70°是这个等腰三角形的顶角时，则用三角形的内角和180°减去顶角的度数再除以2，即可求出这个等腰三角形的底角的度数；据此解答。 【解答】当70°角是这个等腰三角形的底角时， 180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 当70°角是这个等腰三角形的顶角时，     （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55°   答：其他的两个角分别是70°、40°或55°、55°。 13．【分析】根据三角形的内角和是180度，用180度减去各图形中已知的两个角的度数即可求解。 【解答】 （度） （度） 答：被遮住的角分别是40度和35度。 14．【分析】（1）六边形由中心点引6条辅助线，把六边形分割成6个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以180°×6求的是6个三角形的内角和；6个三角形中心角的和是周角，算式中减去的360°指的是6个三角形中心的角的和360°。 （2）把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知六边形的内角和等于180°×4＝720°。 【解答】（1）由分析可知，180°×6求的是6个三角形的内角和，算式中减去的360°指的是6个三角形中心的角的和360°。 （2）把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°， 180°×4＝720° 学科网（北京）股份有限公司 $$