精品解析：上海外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期数学12月月考试卷

上海外国语大学附属外国语学校2024-2025学年初三上学期数学12月月考试卷 （考试时间120分钟，不能使用计算器） 一、填空题：（每题2分，共16分） 1. 在实数范围内因式分解：______． 2. .不等式的解集是______________． 3. 计算：______． 4. 已知，则代数式的值为______． 5. 一个人做抛硬币实验，连续9次都得到正面朝上，则第10次得到正面朝上的概率是_________ 6. 如图，已知圆的弦垂直于直径，点在上，且，若，的长为______ 7. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2＋c＜mx＋n的解集是______． 8. 如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是______． 二、填空题：（每题3分，共24分） 9. 已知是半径长为5的的内接等腰三角形，且底边，那么的面积为______． 10. 如图，在等腰直角中，点为斜边的中点，平行于的直线从点出发，以每秒的速度沿向点滑动，与的交点分别记作点，若，则当的面积与的面积之比为时，直线滑动的时间______秒． 11. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为______． 12. 如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是_____． 14. 小淇同学在元旦晚会上表演了一个节目：他准备了♥（红桃）和♠（黑桃）的扑克牌各10张，洗匀后将这些牌的牌面朝下，排成两列：一列m（m＞10）张，一列（20－m）张，他立刻报出长的一列中的♠（黑桃）比短的一列中的♥（红桃）多了______张．（结果用含有m的代数式表示） 15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D′、E′，当直线D′E′经过点A时，线段CD′的长为_____． 16. 若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则______． 三、选择题：（每题2分，共8分） 17. 下列函数中y随x的增大而减小的有（ ）个 ① ② ③ ④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 18. 已知，则的值为（ ）． A. B. C. D. 或1 19. 下列命题正确的是（ ） A. 若是单位向量，是实数，则； B. 若； C. 若（为非零向量），则存在唯一实数，使； D. 若，则或． 20. 如图，正方形中，，联结的平分线交于点，在上截取，联结，分别交，于点，点是线段上的动点，于点，联结．下列结论：①；②；③；④的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ①③ D. ①4 四、简答题（每题5分，共10分） 21. 解方程组： 22. 如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为，，将纸片沿、折叠，交于点，求阴影部分面积． 五、解答题：（第23、24、25题各6分，第26、27题各12分，共42分） 23. 已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 24. 如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的段为监测区．在中，已知，，车辆通过段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：） 25. 如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． （1）求证：； （2）如果，，求FC的长． 26. 已知在正方形中，对角线，点E、F分别在边上，． （1）如图，如果，求线段的长 （2）过点E作，垂足为点G，与交于点H． ①求证：； ②设的中点为点O，如果，求的值． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与轴交于点，对称轴为直线，点在该抛物线上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，在射线上有一点使得．当周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值； （3）如图2，在（2）的条件下，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E，动点M在平移后的抛物线上，点T是平面内任意一点，是否存在菱形，若存在，请直接写出点T的横坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海外国语大学附属外国语学校2024-2025学年初三上学期数学12月月考试卷 （考试时间120分钟，不能使用计算器） 一、填空题：（每题2分，共16分） 1. 在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】解∶ 令，则式子可化为， 令， 则，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 2. .不等式的解集是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤:移项、合并同类项、系数化为1可得. 【详解】移项,得: , 合并同类项,得: , 系数化为1,得: , 故答案为 . 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式基本步骤，熟悉掌握是关键. 3. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，根据特殊角的三角函数值代入，进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 4. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，二次根式的混合运算，根据题意得出，进而，整体代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 5. 一个人做抛硬币实验，连续9次都得到正面朝上，则第10次得到正面朝上的概率是_________ 【答案】50% 【解析】 【分析】硬币只有正反两面，然后根据概率的定义计算即可 【详解】因为每次扔硬币都是独立实验，且硬币只有正反两面，所以第10次得到正面朝上的概率为50% 【点睛】明白独立重复实验之间不相互影响是解题关键 6. 如图，已知圆的弦垂直于直径，点在上，且，若，的长为______ 【答案】## 【解析】 【分析】考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理；根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，根据相似三角形的对应边成比例先求出的长，已知的长，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：弦垂直于直径， ． ． 又， ． ． 又， ． 故答案为：． 7. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2＋c＜mx＋n的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式ax2＋c＜mx＋n的解集即为直线y＝mx＋n图象在抛物线y＝ax2＋c图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：∵不等式ax2＋c＜mx＋n的解集即为直线y＝mx＋n图象在抛物线y＝ax2＋c图象上方时自变量的取值范围， ∴不等式ax2＋c＜mx＋n的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式ax2＋c＜mx＋n的解集即为直线y＝mx＋n图象在抛物线y＝ax2＋c图象上方时自变量的取值范围是解题的关键． 8. 如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴公式可判断①，根据对称轴及，得抛物线与轴的另一个交点为，进而可判断②，设，根据勾股定理列方程进而可判断③， 【详解】解：由对称轴为直线，得，故①正确； ∵点，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，， 故是方程的一个根，故②正确； 设， ∵二次函数， ∴， 故， 则当时，，化简得：， ∵， ∴当时，符合条件的点C有两个．故③错误． 故答案为：①②． 二、填空题：（每题3分，共24分） 9. 已知是半径长为5的的内接等腰三角形，且底边，那么的面积为______． 【答案】3或27 【解析】 【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，根据垂径定理和三角形的性质求出答案． 【详解】解：如图，作于点D， ， ， ∴垂直平分， ∴圆心在上，连结， 当圆心在三角形内部时， ∵， 根据勾股定理，，则， ∴； 当圆心在三角形外部时，， 根据勾股定理，，则， ∴， 故答案为：3或27． 【点睛】本题考查的是垂径定理、线段垂直平分线的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，正确运用定理和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用． 10. 如图，在等腰直角中，点为斜边的中点，平行于的直线从点出发，以每秒的速度沿向点滑动，与的交点分别记作点，若，则当的面积与的面积之比为时，直线滑动的时间______秒． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，用含的代数式分别表示出、，进而表示出、，由面积之比为，列分式方程，即可求解，本题考查了等腰直角三角形的性质，解分式方程，解题的关键是：用含的代数式表示出面积之比． 【详解】解：根据题意得：，，， ，， ， ， 解得：（舍）或， 故答案为：6． 11. 已知二次函数和（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件构建方程． 求出四个交点坐标，在构建方程求解即可． 【详解】解：如图所示： 令，则和， ∴或或或， ∵这两个函数的图象与x轴都有两个交点， ∴， ∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 若 ， 则， ∴或（舍去） 若 ， 则， ∴或（舍去） ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离， 故答案为：2． 12. 如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点G，由折叠，可知，可得，延长，，交于点M，结合，可得，，进而即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点G， 设 由折叠，可知， ∵， ∴， ∴， 延长，，交于点M， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是_____． 【答案】14﹣4 【解析】 【分析】设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可． 【详解】解：设P（x，y）， ∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2， ∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2， ∵OP2＝x2+y2， ∴PA2+PB2＝2OP2+2， 当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值， ∴OP的最小值为CO-CP＝﹣1， ∴PA2+PB2最小值为14﹣4． 故答案是：14﹣4． 【点睛】考查圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最小值. 14. 小淇同学在元旦晚会上表演了一个节目：他准备了♥（红桃）和♠（黑桃）的扑克牌各10张，洗匀后将这些牌的牌面朝下，排成两列：一列m（m＞10）张，一列（20－m）张，他立刻报出长的一列中的♠（黑桃）比短的一列中的♥（红桃）多了______张．（结果用含有m的代数式表示） 【答案】(m－10) 【解析】 【分析】设一列m（m＞10）张的黑桃有n张，则红桃有（m-n）张，再求出短的一列中红桃有10-（m-n）=10-m+n张，两种牌数作差即可． 【详解】解：设一列m（m＞10）张的黑桃有n张，则红桃有（m-n）张， ∴短的一列中红桃有10-（m-n）=10-m+n张， ∴长的一列中的♠（黑桃）比短的一列中的♥（红桃）多：n-(10-m+n)=（m-10）张． 故答案为：（m-10）． 【点睛】本题考查用代数式表示数，整式的加减法运算，掌握用代数式表示数的方法，整式的加减法运算去括号合并同类项是解题关键． 15. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D′、E′，当直线D′E′经过点A时，线段CD′的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：①点A在ED的延长线上时；②点A在线段DE的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可． 【详解】解：如图1，当点A在ED的延长线上时， ∵∠C=90°，AC=2，BC=4， ∴AB=， ∵点D、E分别是边BC、AB的中点， ∴DE∥AC，DE=AC=1， BD=BC=2， ∴∠EDB=∠ACB=90° ∵将△BDE绕着点B旋转， ∴∠BD′E′=∠BDE=90°，D′E′=DE=1，BD=BD=2， ∵在Rt△ABC和Rt△BAD′中， D′B=AC=2，AB=BA， 即, ∵Rt△ABC≌Rt△BAD′（HL）， ∴AD′=BC，且AC=D′B， ∴四边形ACBD′是平行四边形，且∠ACB=90°， ∴四边形ACBD′是矩形， ∴CD=AB=2； 如图2，当点A在线段D′E′的延长线上时， ∵∠AD′B=90°， ∴AD′=， ∴AE=AD′-DE′=3， ∵将△BDE绕着点B旋转， ∴∠ABC=∠EBD， ∵， ∴△ABE∽△BCD′ ∴， ∴， ， 故答案为：或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似角形解决问题，属于中考常考题型． 16. 若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个分式相加，要注意找到计算规律和技巧． 分别求得的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可． 【详解】解：由题意得：， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ． 分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束． ， 故答案为：2024． 三、选择题：（每题2分，共8分） 17. 下列函数中y随x的增大而减小的有（ ）个 ① ② ③ ④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．根据各个函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题． 【详解】解∶ ①在中y随x的增大而减小，故符合题意； ②在中，在每一个象限内，y随x的增大而增大，故不符合题意； ③在 中y随x的增大而减小，故符合题意； ④在中，当时，y随x的增大而减小，则当时，y随x的增大而减小，故符合题意； 故符合题意的有①③④， 故选：D． 18. 已知，则的值为（ ）． A. B. C. D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是能够熟练运用公式进行变形计算．将变形得到，从而推出，再利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶B． 19. 下列命题正确的是（ ） A. 若是单位向量，是实数，则； B. 若； C. 若（为非零向量），则存在唯一实数，使； D. 若，则或． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．根据零向量和平行向量的知识分析即可． 【详解】解：A．若是单位向量，时，则，故原说法不正确； B．若，故原说法不正确； C．若（为非零向量），则所有非零实数，使，故原说法不正确； D．若，则或，正确． 故选D． 20. 如图，正方形中，，联结的平分线交于点，在上截取，联结，分别交，于点，点是线段上的动点，于点，联结．下列结论：①；②；③；④的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①② C. ①③ D. ①4 【答案】A 【解析】 【分析】①利用正方形的性质证明，得到进而可证； ②利用正方形的性质证明，得到，证明，进而可证； ③利用，求得，，进而可证； ④证垂直平分，得，根据，可得为最小值． 【详解】解：过D作于点M，连接，则， ∵在正方形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③不正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②④， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线性质，是解题的关键． 四、简答题（每题5分，共10分） 21. 解方程组： 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程等知识，先把原方程组变形为，然后令，，则原方程组转化为，解方程组求出m、n，则得出或，然后分别求解即可． 【详解】解∶ ∵， ∴方程②变形为， 令，， ∴原方程组转化为， 由③得，， 把代入④，得， 解得，， 当时，； 当时，， ∴或， 解方程组， ∵，即， ∴， ∴， 联立方程组或 解得或； 解方程组， ∵，即， ∴， ∴， 联立方程组或 解得或； 综上，方程组的解为或或或． 22. 如图，有一圆形纸片圆心为，直径的长为，，将纸片沿、折叠，交于点，求阴影部分面积． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于，延长交于，反向延长交于，连接、，由折叠得，利用，求出，，得到，，同理：，证明，推出，得到弓形与弓形的面积相等，利用阴影的面积代入数值计算即可． 【详解】如图，过点作于，延长交于，反向延长交于，连接、， 由折叠得， ， ，， ，， ，， ，， 同理：， ， ，， ∴ ， ， ， 弓形与弓形的面积相等， 阴影的面积， 故答案为：． 【点睛】此题考查折叠的性质，同圆的半径相等，垂径定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，扇形面积计算公式，全等三角形的判定及性质，熟记各部分知识并综合运用是解题的关键． 五、解答题：（第23、24、25题各6分，第26、27题各12分，共42分） 23. 已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，将方程两边同时乘以，整理得，当时，当时，分情况讨论即可． 【详解】解：将方程两边同时乘以． 得 整理得① 当时，有 ∴ 将代入① 中，得 ∴．经检验：是分式方程的解； 当时，有 ∴ 若是方程的增根， 则将代入①中 得 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去)． 故原分式方程只有一个实数解． 当是方程的增根， 则将代入①中， 求得． 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去) 故原分式方程只有一个实数解． 综上所述，当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为． 24. 如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的段为监测区．在中，已知，，车辆通过段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：） 【答案】车辆通过段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速． 【解析】 【分析】过点P作于点Q，由题意可得米．再根据正切的定义可求出米，进而可求出米．最后由限定速度求出限定时间即可． 【详解】如图，过点P作于点Q， ∵点P距离道路50米， ∴米． ∵， ∴米． ∵， ∴米， ∴米． 60千米/小时=米/秒， 秒． 答：车辆通过段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 25. 如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． （1）求证：； （2）如果，，求FC的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证； （2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴△EAD∽△ECB， ∴ ，即， ∵，∠AEB=∠DEF， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ，， ∴ ，即AC=9， ∴ ， ∵， ∴AD=3， ∵， ∴∠BAD=90°， ∴ ， ∵△EAD∽△ECB， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，， ∴EC=6， ， ∵， ∴ ， ∴EF=4， ∴FC=EC-EF=6-4=2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键． 26. 已知在正方形中，对角线，点E、F分别在边上，． （1）如图，如果，求线段的长 （2）过点E作，垂足为点G，与交于点H． ①求证：； ②设的中点为点O，如果，求的值． 【答案】（1）； （2）①证明：如图1，过点H作交于点N，延长交于点M， 在正方形中，， ， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②或． 【解析】 【分析】（1）如图，连接交于点M．易证，得垂直平分，可得，由可得，由勾股定理求出，依据，求解即可； （2）①如图1，过点H作交于点N，延长交于点M，易证，可得，易证得到，由，可证，，即，，代入即可； ②过F作交于P，过E作交于I、交于Q，连接，易证，得到，由（1）可知垂直平分，得，如图，当H在上时，，由①可知，，设,则，，可得，设，由，解得，在中，，解得，从而可求得；如图，当H在上时，，由①可知，，设,则，，，设，由，解得，在中，，解得，代入可得． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点M． 由题意可知， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， ∴， 解得：， ； 【小问2详解】 ①略 ②过F作交于P，过E作交于I、交于Q，连接， ，， ， ， ， 在正方形中， 易证是正方形， ， ， ， ， 由（1）可知垂直平分， ， 如图，当H在上时， ， 由①可知， ， 设,则，， ， ， ， ， ， 在与中， ， 设， ， ∴， 解得， 在中， ， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； 如图，当H在上时， ， ， 由①可知， ， 设,则，， 在与中， ， 设， ， ， ， ∴， 解得， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质的应用，相似三角形的判定和性质的应用、勾股定理和三角函数解直角三角形；解题的关键是构建相似三角形，运用相似的性质建立等量关系． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与轴交于点，对称轴为直线，点在该抛物线上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，在射线上有一点使得．当周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值； （3）如图2，在（2）的条件下，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E，动点M在平移后的抛物线上，点T是平面内任意一点，是否存在菱形，若存在，请直接写出点T的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），周长最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）通过对称轴可先求出的值，再将点坐标代入，即可求出二次函数的表达式； （2）找出的三边关系比例，设出点的坐标之后可列出的周长的解析式； （3）先设出点的坐标，利用两点间的距离公式可表示出和的关系式，即可求出点的坐标，最后运用全等三角形可求出的坐标． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图1，过点作于点，设直线交轴于点， 令，得， ， 设直线的解析式为，把、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， 解得：， ，， ， ， ， 在中，， 设，则， ， ， ，， ， ， ， 轴， ， ， ，即 ， ， 周长 ， ，， 当时，周长取得最大值， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：联立方程组得， 解得：，， ， 在中，令，得， 解得：， ， 原抛物线上的点平移后得到， 原抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位， 原抛物线，顶点坐标为， 平移后的抛物线顶点坐标为， 平移后的抛物线解析式为：， 动点在平移后的抛物线上， 设， 菱形， 和为对角线， ， ，， ， ， ， 解得或， 或 点的坐标为为或， ①当点的坐标为时： 如图所示，过点作轴于，过作轴的平行线与过点且平行于轴的平行线交点，过点作轴与交点， 则，， ，，， 四边形为菱形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ②当点的坐标为时： 同理①可得点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或 【点睛】本题第一问考查了用待定系数法求二次函数的解析式，属于基础题，第二问的重难点在于通过相似三角形找出的三边比例，最后得出的周长和的长成固定比例，即越长，的周长就越长，第三问的易错点在于题目中已经说明时菱形，其实就已经说明了和为菱形的对角线，接着通过可先求出点的坐标，再运用全等求出点的坐标即可，第二问和第三问属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $