精品解析：江苏省扬中高级中学2024-2025学年高一上学期12月阶段测试数学试题

江苏省扬中高级中学2024-2025第一学期高一数学12月阶段测试题 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N，根据交集运算求解即可. 【详解】因为，, 所以， 故选：D 2. “角为钝角”是“角为第二象限角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用角的分类及充分不必要条件定义求解. 【详解】“角为钝角”可以推出“角为第二象限角”， 取，为第二象限角，但不是钝角， “角为第二象限角”不能推出“角为钝角”， 所以“角为钝角”是“角为第二象限角”的充分不必要条件. 3. 函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的特征以及性质可求得结果. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 又因为该函数在上为增函数， 所以， 故选：D. 4. 若，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】正、余弦齐次式的计算求值. 【详解】由，有， ∴. 故选：B 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数性质及特殊角的正切比较的大小，再利用函数的性质比较即可. 【详解】依题意，， 由函数是偶函数，得， 又函数在上单调递增，则， 所以的大小关系为. 故选：C. 6. 生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为（ ）天，（结果保留一位小数，参考数据：） A. B. C. D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知数据求出的值，设初始时间为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍的时间为，利用，结合对数运算法则可求得结果. 【详解】因为，，解得， 设初始时间为，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍的时间为， 则（天）， 所以该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为天， 故选：C. 7. 已知函数，其中，若，都有关于的不等式恒成立，则正实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出分段函数，根据，都有关于的不等式恒成立，得出在上的最小值，分类求解即可. 【详解】由题意可知， 若，都有关于的不等式恒成立， 所以在上的最小值， 所以， 因为为正实数， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以正实数的取值范围为. 故选：. 8. 已知函数，若对任意的实数x，恒有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先令，然后判断的奇偶性和单调性，然后将原不等式转化为，再利用的奇偶性和单调性得对于任意的实数恒成立，最后解二次函数恒成立问题即可. 【详解】令， 由于， 所以得为奇函数. 又因为在上单调递减，所以在上单调递减. 已知对于任意的实数，恒有， 整理得：， 即，由于为奇函数， 得，由于在上单调递减， 得对于任意的实数恒成立， 即对于任意的实数恒成立. 当时，不恒成立，故， 当时，有，解得. 故选：C 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求． 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 函数的图象必过定点 C. 若某扇形的周长为，面积为，圆心角，则 D. 函数的单调增区间 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据含有一个量词命题的否定判断A，根据定点问题判断B，根据扇形的周长问题以及面积问题判断C，根据复合函数的单调性判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，该选项正确； 对于B，让函数指数位置为0， 则，即，此时， 所以函数的图象必过定点，该选项正确； 对于C，设扇形半径为，弧长为，则周长为，解得或， 当时，，则不符合题意， 当时，，此时，所以该选项正确； 对于D，函数需满足，解得， 令，则是减函数，对称轴为， 所以在上是单调递增，在上是单调递减， 根据复合函数“同增异减”原则，函数的单调增区间，该选项错误. 故选：ABC. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的关系平方可得到选项A，B，根据的正负可判断选项C，根据立方和公式判断选项D 【详解】对于A，将两边同时平方可得， 因为，所以，该选项正确； 对于B，因为，，所以， 则，所以，该选项错误； 对于C，因为，，联立可求得， 则，该选项正确； 对于D，根据立方和公式可得，该选项正确； 故选：ACD. 11. 已知正实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，运用基本不等式得，得，求解即可判断；对于B，由题得，根据乘“1”法，结合基本不等式即可判断；对于C，由题得，得，结合基本不等式即可判断；对于D，由选项A得， 又即可判断. 【详解】由题知，正实数满足， 所以， 对于A，因为， 所以， 所以，即，故A正确； 对于B，， 当且仅当且，即时取等号，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以 所以， 当且仅当，且，即时取等号，故C错误； 对于D，由选项A得， 所以 ， 当且仅当，且，即时取等号，故D正确； 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知函数满足以下两个条件①在定义域上是增函数，②，请写出一个同时符合上述两个条件的函数________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意找一个满足两个条件的函数即可. 【详解】由可考虑对数函数， 因为函数在定义域上是增函数，所以， 所以可取函数， 故答案为：（答案不唯一）. 13. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由诱导公式可得，， 且，代入可得到答案. 【详解】因为，， 所以，， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、凑角的应用，涉及到同角三角函数的基本关系，关键点是利用，转化求值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 14. 若存在常数和，使得函数和对公共定义域上的任意实数满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，若函数和之间存在隔离直线，则实数的取值范围是_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，恒成立，求解即可 【详解】因为函数和之间存在隔离直线， 所以，恒成立， 对于，可得对任意的恒成立， 则，对于，当时，， 所以此时； 对于恒成立，可得恒成立，即， 对于，可化为， 当且仅当时，等号成立，此时， 所以此时， 综上实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）3 （3）1 【解析】 【分析】（1）利用指对幂的运算性质化简求值； （2）根据换底公式以及对数的运算法则可求得结果； （3）根据三角函数的诱导公式化简即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 已知角是第二象限角，其终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点． （1）求，，的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求出，再根据同角三角关系求，； （2）利用诱导公式化简函数的解析式，结合第一问即可得到结果． 【小问1详解】 由题意可得：，且角是第二象限角， 则， 故. 【小问2详解】 由（1）可得：， 则. 17. 已知函数且. （1）讨论函数的奇偶性; （2）当时，判断在的单调性并加以证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）奇函数 （2）增函数， ， 因为，所以， 且 所以所以， 所以在的单调递增. （3）当时，解集为，当时，解集为. 【解析】 【分析】(1)根据奇函数的定义证明； (2)根基单调性的定义证明； (3)利用单调性和奇偶性解不等式. 【小问1详解】 由可得，所以的定义域为， 又因为， 所以， 所以函数为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由(2)可知，当时，在的单调递增， 且函数为奇函数，所以在的单调递增， 又因为同号，所以由可得解得， 当时，以下先证明在的单调递减， ， 因为，所以， 且 所以所以， 所以在的单调递减. 且函数为奇函数，所以在的单调递减， 又因为同号，所以由可得解得， 综上，当时，解集为，当时，解集为. 18. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值E(单位：)与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）当时，写出累计经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累计经验值； （2）该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为. ①若，当游玩时间在5小时以内（含5小时），求“玩家愉悦指数”的最小值. ②若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可列得分段函数，根据分段函数可求得累计经验值； （2）①根据题意得到关系式，将的值代入进去可求得最小值；②根据题意列得不等式，转化为恒成立问题求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：； 若，则， 所以； 【小问2详解】 ①由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 因为，所以当游玩时间为5小时，“玩家愉悦指数”取到最小值为； ②由题意可得：当时，恒成立， 整理得对任意恒成立， 因为的开口向上，对称轴， 则时，取到最小值， 可得，解得， 所以实数的取值范围为． 19. 我们知道，函数图象关于原点中心对称的充要条件是为奇函数．该命题可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是为奇函数．已知函数（e为自然对数的底数，约为2.718） （1）求函数的函数值为0的的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）写出的单调区间（无需过程），求不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）在和上单调递增， 【解析】 【分析】（1）解方程得到答案. （2）设，根据定义域确定，根据得到，得到对称中心. （3）确定单调区间，变换得到，根据单调性得到，解得答案. 【小问1详解】 ，则，解得. 【小问2详解】 ，为奇函数， 函数定义域满足，解得或，故， 解得，故， ，， 故的对称中心为 【小问3详解】 ，函数定义域满足， 即， 在和上单调递增，在上单调递增， 故在和上单调递增， 为奇函数，故， ，即， 即，在上单调递增， ，，故，解得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中高级中学2024-2025第一学期高一数学12月阶段测试题 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “角为钝角”是“角为第二象限角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（ ） A. B. 0 C. D. 2 4. 若，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为（ ）天，（结果保留一位小数，参考数据：） A. B. C. D. 19 7. 已知函数，其中，若，都有关于的不等式恒成立，则正实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知函数，若对任意的实数x，恒有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求． 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 函数的图象必过定点 C. 若某扇形的周长为，面积为，圆心角，则 D. 函数的单调增区间 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知函数满足以下两个条件①在定义域上是增函数，②，请写出一个同时符合上述两个条件的函数________. 13. 已知，则的值为______． 14. 若存在常数和，使得函数和对公共定义域上的任意实数满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，若函数和之间存在隔离直线，则实数的取值范围是_____________________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2） （3） 16. 已知角是第二象限角，其终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点． （1）求，，的值； （2）求的值． 17. 已知函数且. （1）讨论函数的奇偶性; （2）当时，判断在的单调性并加以证明； （3）解关于的不等式. 18. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值E(单位：)与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）当时，写出累计经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累计经验值； （2）该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为. ①若，当游玩时间在5小时以内（含5小时），求“玩家愉悦指数”的最小值. ②若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围. 19. 我们知道，函数图象关于原点中心对称的充要条件是为奇函数．该命题可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是为奇函数．已知函数（e为自然对数的底数，约为2.718） （1）求函数的函数值为0的的值； （2）求函数图象的对称中心； （3）写出的单调区间（无需过程），求不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $