专题06：比例的应用（学习目标+知识要点+自我评量）-2025年六年级数学寒假自学课（北师大版）

编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年六年级数学寒假自学课 专题06：比例的应用 1、能够正确理解题意，根据比例的意义列出比例，由比例的基本性质解比例求出问题答案。 2、通过利用算式方法和比例方法(方程)解决问题，体会比例的作用，感受到多角度解决问题的必要性，培养解决问题的能力。 1、解比例。 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫作解比例。 解比例的方法： （1）根据比例的基本性质把比例转化成乘法等式，即一般方程； （2）解方程求出未知项的值； （3）把求出的结果代入比例中验算一下，看比例是否成立。 2、比例的应用。 对于一些具体的实际问题可以列算式求解，也可以根据比例的意义，列出比例(方程)，然后解比例，求出实际问题的答案，其关键是理解题意，正确地列出比例。 一、选择题 1．我国逐渐完善养老金制度，居民可自行缴纳养老金。甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老金18万元和12万元。甲计划每年比乙多缴纳保险金0.2万元。若乙每年缴纳保险金x万元，则根据题意可列出比例为（    ）。 A． B． C． D． 2．一个圆锥和一个圆柱体积的比是，圆柱的底面积比圆锥的底面积多，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是（    ）cm。 A．10 B．20 C．30 D．40 3．小学毕业照片上李磊的身高是3cm，他旁边张洋的身高是3.2cm，当时李磊的身高是1.5m，那么张洋的实际身高是（    ）m。 A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 4．一列火车从甲地开往乙地，6小时行驶了，距离乙地还有，照这样的速度计算，行驶完全程还需要几小时？若设行驶完全程还需要小时，则下面所列比例错误的是（    ）。 A． B． C． D． 5．某小区发生了一起盗窃案件，在现场留下一枚长24厘米的足印，警方锁定了四名嫌疑人。一般来说成年人的身高与足长的比是7∶1，谁的嫌疑最大？（    ） 嫌疑人 王某 张某 李某 宋某 身高（cm） 180 175 169 160 A．王某嫌疑大 B．张某嫌疑大 C．李某嫌疑大 D．宋某嫌疑大 二、填空题 6．在一张小明和爸爸的合照上，爸爸在照片上的身高是5.4厘米，小明的身高是4.2厘米。小明知道自己的实际身高是1.4米，爸爸的实际身高是（ ）米。 7．笑笑喜欢喝蜂蜜水，她把10克蜂蜜放入180克水中，甜度刚刚好。如果要用25克蜂蜜配制同样甜的蜂蜜水，需要（ ）克水。 8．学校图书馆有科技书和文学书各360本，要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置（ ）本文学书。 9．张家与李家本月的收入钱数之比是，本月开支的钱数之比是，月底张家结余630元，李家结余700元，则本月两家共收入（ ）元。 10．有240人去春游，带队老师想准备一些饮料，商店“优惠告示”写着本店饮料6只空瓶可换1瓶饮料，240人至少买（ ）瓶饮料，就能保证每人都喝一瓶。 三、计算题 11．解方程。                             四、解答题 12．相同质量的水和冰的体积比约是9∶10。若一块冰融化成水后是81立方分米，则这块冰的体积是多少立方分米？（用比例知识解决） 13．淘气身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是多少米？（用比例解答） 14．榆林沙漠国家森林公园是以沙漠森林草地景观和无形的民间风俗——陕北民歌、民俗为主，以人文景观为辅，集回归自然、生态观光、休闲度假为一体的多功能综合性城郊型森林公园。某公司计划去榆林沙漠国家森林公园进行团建，其中男职工与女职工的人数比是2∶5，已知男职工有12人，则女职工有多少人？（用比例解答） 15．有一些黑白混合的棋子，黑子数与白子数的比为2∶1，如果每次取出4黑子3白子，问取多少次后，白子余下1个，而黑子还有18个？ 参考答案 1．【分析】设乙每年缴纳养老保险为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x＋0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金18万元和12万元可知，18比上（x＋0.2）万元等于12比上x万元。 【解答】根据题意可列出比例为。 故答案为：B 2．【分析】圆柱的底面积比圆锥的底面积多，圆柱的底面积等于圆锥的底面积×（1＋）；即圆柱的底面积＝圆锥的底面积；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；由此可知，圆柱的体积＝圆锥底面积×高；圆锥的体积＝圆锥底面积×36×；圆锥的体积与圆柱的体积比是4∶5，进而求出圆柱的高，据此解答。 【解答】设圆柱的高是hcm；圆锥的底面积是scm2。 圆柱的底面积：（1＋）s＝s（cm2） s×36×∶s×h＝4∶5 s×4×h＝12×s×5 6h＝60 h＝60÷6 h＝10 一个圆锥和一个圆柱体积的比是4∶5，圆柱的底面积比圆锥的底面积多，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是10cm。 故答案为：A 【点评】熟练掌握比的意义，圆柱的体积公式、圆锥的体积公式，以及比例的基本性质是解答本题的关键。 3．【分析】根据实际物体缩小到同一张照片中比例不变可知，李磊在照片中的身高与实际身高的比等于张洋在照片中的身高与实际身高的比，设张洋的实际身高xm，列比例：3∶1.5＝3.2∶x，解比例解答。 【解答】解：设张洋的实际身高是xm。 3∶1.5＝3.2∶x 3x＝1.5×3.2 3x＝4.8 x＝4.8÷3 x＝1.6 小学毕业照片上李磊的身高是3cm，他旁边张洋的身高是3.2cm，当时李磊的身高是1.5m，那么张洋的实际身高是1.6m。 故答案为：D 4．【分析】设行驶完全程还需要小时，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可，已行驶路程∶已用时间＝还要行驶的路程∶还需要的时间，还要行驶的路程∶已行驶路程＝还需要的时间∶已用时间，或已行驶路程∶还要行驶的路程＝已用时间∶还需要的时间，都可列出比例式进行解答。 【解答】A．，已行驶路程∶已用时间＝还要行驶的路程∶还需要的时间，比例正确； B．，还要行驶的路程∶已行驶路程＝还需要的时间∶已用时间，比例正确； C．，已行驶路程∶还要行驶的路程＝已用时间∶还需要的时间，比例正确； D．，已用时间∶已行驶路程≠还要行驶的路程∶还需要的时间，比例错误。 所列比例错误的是。 故答案为：D 5．【分析】根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，在犯罪现场留下一个长24厘米的足印，成年人的足迹长与身高的比大约是1∶7，设犯罪嫌疑的身高为x厘米，根据比列出比例，从而得到问题的解决。 【解答】解：设犯罪嫌疑的身高为x厘米， 24∶x＝1∶7 x＝24×7 x＝168 李某的身高为169厘米，最接近168厘米，故李某的嫌疑最大。 故答案为：C 6．【分析】5.4厘米＝0.054米，4.2厘米＝0.042米，根据题意可设爸爸实际身高是x米，列比例为0.054∶x＝0.042∶1.4，然后解出比例即可。 【解答】解：设爸爸实际身高是x米。 0.054∶x＝0.042∶1.4 0.042x＝0.054×1.4 0.042x＝0.0756 0.042x÷0.042＝0.0756÷0.042 x＝1.8 所以，爸爸的实际身高是1.8米。 7．【分析】要配制同样甜的蜂蜜水，可以根据比例的意义解答，据此设如果要配制同样甜的蜂蜜水用25克蜂蜜，需要x克水。列出比例为10∶180＝25∶x，然后解出比例即可。 【解答】设：需要x克水。 10∶180＝25∶x 10x＝180×25 10x＝4500 x＝4500÷10 x＝450 则需要450克水。 8．【分析】可以设当科技书和文学书的本数的比是2∶3时，现在文学书的本数是x本，科技数的本数不变是360本，利用科技书和文学书的本数之比是2∶3，列出比例，解比例即可求出现在文学书的本数，用现在文学书的本数减去360，所得结果即为需要添置文学书的本数，据此解答。 【解答】解：设现在文学书的本数是x本。 360∶x＝2∶3 2×x＝360×3 2x＝1080 2x÷2＝1080÷2 x＝540 540－360＝180（本） 因此要使科技书和文学书的本数的比达到2∶3，还要添置180本文学书。 9．【分析】张家与李家本月的收入钱数之比是，可以设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元，本月开支的钱＝本月收入的钱－结余的钱，再根据题意列出比例，然后解比例。两家的总收入＝张家收入钱＋李家收入钱 【解答】设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元。 （7x－630）∶（5x－700）＝7∶4 （5x－700）×7＝（7x－630）×4 35x－4900＝28x－2520 7x＝2380 x＝2380÷7 x＝340 340×7＋340×5 ＝2380＋1700 ＝4080（元） 则本月两家共收入4080元。 10．【分析】依据至少买饮料的瓶数：春游的总人数＝（6－1）∶6列比例，解比例。 【解答】解：设240人至少买x瓶饮料，就能保证每人都喝一瓶。 ＝ 6x＝240×5 6x＝1200 x＝1200÷6 x＝200 【点评】本题考查应用比例解决实际问题，根据关系式列出比例即可。 11．【分析】（1）根据等式的性质2，方程两边同时乘，即可求解； （2）根据等式性质1，方程两边同时加上，再同时减去，最后根据等式性质2，方程两边同时除以25%，即可求解； （3）根据比例的基本性质，原式变为，再根据等式性质2，方程两边同时除以，即可求解； 【解答】 解： （2） 解： （3） 解： 12．【分析】设这块冰的体积是多少立方分米，已知相同质量的水和冰的体积比约是9∶10，据此可列出比例：81∶＝9∶10，再根据比例的基本性质解出比例即可。 【解答】解：设这块冰的体积是多少立方分米 81∶＝9∶10 9＝81×10 ＝81×10÷9 ＝90 答：这块冰的体积是90立方分米。 13．【分析】物体的高度和它的影长的比值是一定的。即物体的高度和它的影长成正比例。设这栋楼的高度是x米。淘气身高与影长的比为1.4∶2.1，楼的高度与影长的比为x∶22.5，可列出比例：1.4∶2.1＝x∶22.5。再解比例即可。 【解答】解：设这栋楼的高度是x米 1.4∶2.1＝x∶22.5 2.1x＝1.4×22.5 2.1x÷2.1＝31.5÷2.1 x＝31.5÷2.1 x＝15 答：这栋楼的高度是15米。 14．【分析】将女职工的人数设为未知数，再根据“男职工与女职工的人数比是2∶5”列出比例。将比例改写成一般方程，再将等式两边同时除以2，解出女职工的人数。 【解答】解：设女职工有x人。 2∶5＝12∶x               2x＝5×12 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30     答：女职工有30人。 15．【分析】假设一共取了x次，黑子一共取出4x个，白子一共取出3x个，黑子的总数量是（4x＋18）个，白子的总数量是（3x＋1）个，已知黑子数与白子数的比为2∶1，根据比的意义和性质，可知（4x＋18）∶（3x＋1）＝2∶1，据此解出这个方程即可。 【解答】解：设取了x次。 （4x＋18）∶（3x＋1）＝2∶1 （4x＋18）×1＝（3x＋1）×2 4x＋18＝6x＋2 18＝6x＋2－4x 18＝2x＋2 2x＋2＝18 2x＝18－2 2x＝16 x＝16÷2 x＝8 答：取了8次。 【点评】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系以及掌握解比例的方法是解答本题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$