精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2024-2025学年高二上学期第三次阶段性考试数学试卷

临澧一中高二年级第三次阶段性考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式求解． 【详解】∵，∴数列是等差数列，公差为， 又，∴，∴， 故选：B． 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. -2 B. C. 1 D. -2或1 【答案】A 【解析】 【分析】由直线平行的充要条件列方程，求出参数的值即可． 【详解】由直线与直线平行， 则，且， 解得． 故选：A． 3. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】确定两个向量是否垂直即可． 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，，D可能满足直线与平面平行． 故选：D． 4. 直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线过圆内一定点，当（为圆心）时，弦长最短，再由勾股定理得弦长． 【详解】易知直线过定点，圆心为， ，在圆内， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 且最短弦长为， 故选：A． 5. 已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则有，解得，所以， 点关于轴的对称点为， 由对称可得，， 所以的周长为， 如图所示，当四点共线时，的周长最小， 最小值为. 故选：D. 6. 已知抛物线的方程为，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，解得，代入抛物线方程可得，解得，可得直线的方程与抛物线方程联立可得，利用的面积和的面积之比即可得出. 【详解】如图所示，， ，，解得， 代入抛物线方程可得，不妨设在第一象限，解得， 直线的方程为：，化为， 联立，化为，解得， 的面积和的面积之比. 故选：C. 7. 已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点作直线与圆相切，切点为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和圆的切线长把所求问题转化，再结合函数的单调性即可求解结论． 【详解】是椭圆的左焦点，设为椭圆的右焦点，由题可得：圆的圆心即为， 由题知， 故， 因为，，当令， 因为当时，函数均单调递增， 故单调递增， 所以． 故选：A． 8. 设、分别为双曲线的左、右顶点，，是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，则取得最小值时，双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，求出，把化为的式子，并设，利用导数求出其取最小值时的值，从而得，然后可求得． 【详解】设，则，， ，∴，即， ，， ， ， 设，则， ， ， 时，，递减，时，，递增， 所以时，取得最小值， 此时，. 故选：D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，则， B. 若，，则中最大 C. 若，则使的最大的为21 D. 若（为常数），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由等差数列前项和公式得，关系及符号，在结合通项公式判断符号即可；对于B，先由等差数列前项和公式及性质得到数列项的正负界，再结合数列单调性分析的最值；对于C，利用和的关系，得及，结合等差数列前项和公式及性质找到数列的正负界分析可得；对于D，求出通项后可判断其正误. 【详解】对于A，由，得， 由题可得，，则， 所以， ，故A正确； 对于B，由，得， ，则； ，则，则， 则等差数列的首项，公差，即数列为递减数列， 当时，；当时，， 则中最大，故B错误； 对于C，由， 得且，故. 故等差数列首项，公差，等差数列为递减数列， 当时，；当时，， 则，， 故使的最大的为21，故C正确. 对于D，因为为等差数列，故,故, 故，故D正确. 故选：ACD. 10. 由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（ ） A. 线段长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最大值是 D. 当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由切线长公式求切线可知求得的最小值时可得的最小值，从而也得到四边形面积的最小值，利用余弦的二倍角公式得出越大时，越大，从而判断C，设切点坐标，由切点坐标写出切线方程，并代入点坐标后，比较可得过的直线方程，判断D． 【详解】圆标准方程为：，圆心为，半径为， ，， 所以，A正确； ，由选项A知，其最小值为，B正确； ，显然越大，越大，而无最大值，因此无最大值，C错； 因为，可知点在以为直径的圆上， 当点的坐标为时，则的中点为，且， 即点在圆，即上， 将与作差可得， 所以切点弦所在的直线方程，故D正确． 故选：ABD． 11. 如图，在边长为1的正方体ABCD-中，M为BC边的中点，下列结论正确的有（ ） A. AM与所成角的余弦值为 B. 过三点A、M、的正方体ABCD-的截面面积为 C. 四面体BD的内切球的表面积为 D. 正方体ABCD-中，点P在底面(所在的平面)上运动并且使∠MA=∠PA，那么点P的轨迹是椭圆 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间坐标系，利用向量计算与所成角的余弦值判断，利用面面平行性质作出过，，的截面，再计算截面面积判断，根据等体积法计算棱锥的内切求半径，计算球的表面积判断，计算与平面的夹角，根据与的大小关系判断． 【详解】以为坐标原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，0，，，1，， ，1，，，1，， ， 与所成角的余弦值为，故正确； 取的中点，则，故梯形为过、、的正方体的截面， ，，，梯形的高为， 梯形的面积为，故错误； 四面体的体积为， 又四面体的所有棱长均为，四面体的表面积为， 设四面体的内切球半径为，则，解得， 四面体的内切球的表面积为，故正确； ，点在以为轴，以为母线的圆锥的侧面上， ，1，，，1，，故， 设与平面的夹角为，则， ， 点在平面上的轨迹是双曲线，故错误． 故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查空间向量的应用，考查截面问题，考查线面角以及四面体的内切球问题，求解内切球问题的方法基本有两种： 1.构造三角形利用相似比和勾股定理求解； 2.体积分割即等体积方法计算． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知首项为的数列，其前项和为，且数列是公差为的等差数列，则的通项公式_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列定义得，结合关系求通项公式. 【详解】依题意数列的首项为， 所以， 当时，， 经检验当时，也成立，所以. 故答案为： 13. 在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】用向量法先求出平面的法向量，根据空间角的向量求法即可得答案. 【详解】 以为坐标原点,分别以为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的边长为4，则， 所以 设平面的一个法向量为，所以， 所以，解得, 设直线与平面所成角为， 因为， 所以. 14. 已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，若，且与交于点M，则的面积的最小值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】由直线垂直可构造出斜率关系，得到，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得；联立两切线方程，可用表示出，代入点到直线距离公式，从而得到关于的面积的函数关系式，求得所求最值． 【详解】解：抛物线的方程为，即，所以， 设,，,，则， 所以切线方程，， 由于，所以， 由题意可设直线方程为，抛物线方程联立，得， 所以，则，，即 即， 联立方程得，即， 点到直线的距离，， 所以． 当时，面积取得最小值1． 故答案为：1. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式和前项和为； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的前项和公式及等差数列的性质求得，进而求得后可得公差，从而求得，然后由前项和公式得结论； （2）确定中项的正负，按正负分类进行求和． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当，时，；当，时，， 当，时，； 当，时， ， 综上可得，数列的前项和. 16. 已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点. （1）求双曲线的方程； （2）求直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用点到直线的距离即可求出，结合离心率可以求出； （2）中点弦问题利用点差法求解即可； （3）运用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出三角形的高，再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 不妨设双曲线的一个焦点为，双曲线的一条渐近线为，即， 依题意，结合，化简得， 又离心率，所以所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 设，由题意得， 又，，两式相减得， 所以， 又直线l过点,所以直线l的方程为,即，经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 【小问3详解】 联立，消去y得， 所以， 所以， 又点到直线l的距离， 所以的面积. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明即可. （2）向量法求解平面与平面夹角的余弦值即可. （3）设是线段上一点，则存在使得，利用线面平行的向量证法证明线面平行即可. 【小问1详解】 在中，． 所以，即； 又因为， 在平面中，面，面，， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面，所以， 由（1）已证，且已知， 故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，， 所以，， ， 因为为中点， 所以， 由知， ， 设平面的法向量为， 则即，令，则， 于是， 又因为由（1）已证平面， 所以平面的法向量为， 所以， 平面与平面夹角的余弦值； 【小问3详解】 设是线段上一点，则存在使得， 因为， 所以， 因为平面， 所以平面当且仅当， 即， 即，解得， 因为，所以线段上不存在使得平面． 18. 已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点. （ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上； （ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （ⅰ）因为直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 因为在上，所以， 由得， ，设， 则，由得， 化简得，则， 化简得，又因为，所以， 所以点在定直线上. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据中垂线的性质可得，由椭圆的定义可知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，从而求出轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，设，与椭圆联立韦达定理，把线段长度比转化为坐标比，代入韦达定理化简即可得点在定直线上； （ⅱ）利用坐标表示两个斜率，然后作商，将韦达定理代入即可判断. 【小问1详解】 由题意知圆心，半径为4，且，，则，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 设曲线的方程为，则，解得， 所以， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因为直线过，所以，直线方程为， 从而得，， 由（ⅰ）知，，， 所以 ， 所以存在实数，使得. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 如图，以原点为圆心，为半径分别作两个同心圆，设为大圆上任一点，连接，与小圆交于点．过点分别作轴、轴的垂线，两垂线交于点．设以为始边，为终边的角为，点的坐标是，那么点的横坐标为，点的纵坐标为．由于点均在角的终边上，由三角函数的定义有：．当半径绕点旋转一周时，就得到了椭圆的轨迹，因此我们把（为参数）叫做椭圆的参数方程． （1）已知椭圆上有不同的两点、，试写出椭圆的参数方程，并利用椭圆的参数方程求面积的最大值；（参考公式：若、，则．） （2）如图，已知在三棱锥中，，，，且，，试利用椭圆的参数方程求锐二面角余弦值的最小值． 【答案】（1）椭圆的参数方程为（为参数），面积的最大值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设即可得椭圆的参数方程，设，其中，再利用，即可求解； （2）作于，连接，根据条件，可得二面角的平面角为，再根据条件得的轨迹方程，结合点轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件. 【小问1详解】 因为椭圆方程为，则椭圆的参数方程为（为参数）， 设，其中， 则， 因为，所以，所以，故面积的最大值为. 【小问2详解】 如图1，作于，连接， 因为，，又，面，所以面， 又面，所以，则为二面角的平面角， 因为，所以点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 以直线为轴，线段的中垂直线为轴，则椭圆方程为，图象如图2， 易知椭圆的参数方程为（为参数）， 由椭圆的对称性，可设，其中，则， 又因为，所以点的轨迹在以为焦点的双曲线的一支上，又， 以直线为轴，线段的中垂直线为轴，则双曲线方程为，点的轨迹如图3，且， 所以， 所以， 所以，令， 所以， 当且仅当时，等号成立 所以当且仅当时，， 故锐二面角余弦值的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第（2）问，利用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程，利用椭圆的参数方程设参即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中高二年级第三次阶段性考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 19 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. -2 B. C. 1 D. -2或1 3. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的方程为，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点作直线与圆相切，切点为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设、分别为双曲线的左、右顶点，，是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，则取得最小值时，双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有（ ） A. 若，则， B. 若，，则中最大 C. 若，则使的最大的为21 D. 若（为常数），则 10. 由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（ ） A. 线段长的最小值为 B. 四边形面积的最小值为 C. 的最大值是 D. 当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 11. 如图，在边长为1的正方体ABCD-中，M为BC边的中点，下列结论正确的有（ ） A. AM与所成角的余弦值为 B. 过三点A、M、的正方体ABCD-的截面面积为 C. 四面体BD的内切球的表面积为 D. 正方体ABCD-中，点P在底面(所在的平面)上运动并且使∠MA=∠PA，那么点P的轨迹是椭圆 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知首项为的数列，其前项和为，且数列是公差为的等差数列，则的通项公式_____. 13. 在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为________． 14. 已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，若，且与交于点M，则的面积的最小值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式和前项和为； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点. （1）求双曲线的方程； （2）求直线的方程； （3）求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 18. 已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点. （ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上； （ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图，以原点为圆心，为半径分别作两个同心圆，设为大圆上任一点，连接，与小圆交于点．过点分别作轴、轴的垂线，两垂线交于点．设以为始边，为终边的角为，点的坐标是，那么点的横坐标为，点的纵坐标为．由于点均在角的终边上，由三角函数的定义有：．当半径绕点旋转一周时，就得到了椭圆的轨迹，因此我们把（为参数）叫做椭圆的参数方程． （1）已知椭圆上有不同的两点、，试写出椭圆的参数方程，并利用椭圆的参数方程求面积的最大值；（参考公式：若、，则．） （2）如图，已知在三棱锥中，，，，且，，试利用椭圆的参数方程求锐二面角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $