精品解析：江西省上饶市横峰县横峰中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

横峰中学2024-2025学年度第一学期高二年级第二次月考 数学试卷 命题人：宗辉；审题人：饶欢平；满分：150分；考试时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】写出直线方程，根据直线与轴垂直可得直线的倾斜角. 【详解】由题意得，直线方程为，直线与轴垂直， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据双曲线的方程和几何性质可得答案． 【详解】∵双曲线 ∴双曲线渐近线为 即 故选：D 3. 圆台上､下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接代入圆台的体积公式计算即可. 【详解】由题意有：， 所以 故选：D. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得不等式组，解出即可. 【详解】由题意有：. 故选：A. 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 6. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不平均分组问题，结合排列组合即可求解. 【详解】依题意可得分组的本数分配只有种，即，，， 则不同的分组方法数为. 故选：C 7. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即，解得， 故选：C． 8. 已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线交右支于点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义，结合余弦定理求出的关系等式即可求得离心率. 【详解】因为，设，则，， 因为， 所以， 因为，所以 所以离心率为： 故答案为：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 满足不等式的的值可为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】AB 【解析】 【分析】利用排列数公式和一元二次不等式的解法求解. 【详解】解：由， 得，，即， 解得，又， 所以或， 故选：AB 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，则在上的投影向量为 B. 若空间向量满足，则与夹角为锐角 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据投影向量的定义列式运算得解；对于B，当，同向共线时也成立可判断；对于C，由空间向量共面的推论判断；对于D，由可判断. 【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误； 对于C，在中，故四点共面，故C正确； 对于D，由，即，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则的最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】由点纵坐标可得点坐标，即可判断选项A错误；设直线方程，与抛物线方程联立，利用表示，即可得到选项B正确；设直线方程，与抛物线方程联立，计算，利用可得选项C正确；利用条件计算点坐标，求出线段长计算周长可得选项D错误. 【详解】由题意得，，，准线方程. A. 由的纵坐标为2得，，故，选项A错误. B. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，当时，，选项B正确. C. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，解得， ∴直线方程为：，恒过定点，选项C正确. D.如图，设点在第四象限. 由题意得，，则. 由准线方程为得，，故，， ∴， ∴四边形的周长为，选项D错误. 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径为. . 故答案为： 13. 加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先通过椭圆切点在顶点的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】对于椭圆， 令，可得，令，可得， 由，可知点在“蒙日圆”上， 所以椭圆的“蒙日圆”的半径为， 所以“蒙日圆”方程为， 因为点在椭圆的“蒙日圆”上，又因为点在直线上， 所以直线和“蒙日圆”有公共点. 即圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，则， 所以椭圆离心率，所以，即椭圆离心率的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对“蒙日圆”定义的理解，能够利用椭圆的四条特殊切线确定蒙日圆的半径，将问题转化为直线与圆有交点的问题. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 已知向量，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）利用空间向量坐标的线性运算可得结果； （3）利用空间向量数量积的坐标运算可求得结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ， 所以. 15. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ADBD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD． （1）证明：平面PBD⊥平面PBC； （2）若二面角P－BC－D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】（1） 在平行四边形中，，，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及线面垂直的判定定理，结合线面垂直性质定理以及面面垂直性质定理，可得答案； （2）由题意，建立空间直角坐标系，利用二面角的定义以及勾股定理，求得棱长，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据计算公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则，在中，， 平面，平面，， ，平面，平面， 在二面角的平面角，即， 在中，， 在平行四边形中，， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，化简可得， 令，，解得平面的一个法向量， 设与平面的夹角为， . 16. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. （1）求线段的长. （2）为原点，求的面积. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线方程，与抛物线方程联立，应用韦达定理，结合焦点弦长公式可得结果； （2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后由三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 ∵抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为1， ∴直线方程为， 由，得， 设，则， 则由抛物线焦点弦长公式得：． 【小问2详解】 点到直线的距离为， 则的面积． 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线绕与的交点逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所转的角为，则称为到的角，当直线与不垂直且斜率都存在时，（其中分别为直线和的斜率）.结合阅读材料，回答下述问题： 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，，四边形的面积为为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在的直线的方程； （3）过点A且斜率分别为直线分别与椭圆交于不同的两点，若点到直线的距离相等，当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形的面积求得即，将点A的坐标代入椭圆方程即可求得. （2）设的角平分线所在的直线的斜率为，利用到角公式求出直线斜率，代入点斜式直线方程即可求解. （3）根据角平分线的性质知直线AB为角平分线，根据到角公式并化简可得，然后利用基本不等式求解范围即可. 【小问1详解】 因为四边形的面积为，解得， 可得，即，又为椭圆上一点， 所以，得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1），， 设的角平分线所在的直线的斜率为，则， 根据到角公式可得，化简得，所以（正值舍去）， 此时直线的方程为，即； 【小问3详解】 因为，点到直线的距离相等， 则直线AB为角平分线，根据到角公式可得， 即，化简得， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 横峰中学2024-2025学年度第一学期高二年级第二次月考 数学试卷 命题人：宗辉；审题人：饶欢平；满分：150分；考试时间：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 圆台上､下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 7. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线交右支于点，且，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 满足不等式的的值可为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，则在上的投影向量为 B. 若空间向量满足，则与夹角为锐角 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则的最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为__________. 13. 加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 14. 已知向量，，求： （1）； （2）； （3）. 15. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，ADBD，AB＝2AD，且PD⊥底面ABCD． （1）证明：平面PBD⊥平面PBC； （2）若二面角P－BC－D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值． 16. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. （1）求线段的长. （2）为原点，求的面积. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线绕与的交点逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所转的角为，则称为到的角，当直线与不垂直且斜率都存在时，（其中分别为直线和的斜率）.结合阅读材料，回答下述问题： 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，，四边形的面积为为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在的直线的方程； （3）过点A且斜率分别为直线分别与椭圆交于不同的两点，若点到直线的距离相等，当时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $