11 第二章 素养提升课(一) 匀变速直线运动平均速度公式及图像问题-【名师导航】2024-2025学年高中物理必修第一册同步讲义(人教版2019)

素养提升课(一)　匀变速直线运动平均速度公式及图像问题 1．掌握匀变速直线运动的平均速度公式，并会进行有关计算。 2．掌握匀变速直线运动的x-t图像和v-t图像中坐标、斜率、截距、交点的含义。 3．能根据图像分析物体的运动规律。 探究1　匀变速直线运动的平均速度公式 1．三个平均速度公式及适用条件 (1)＝，适用于所有运动。 (2)＝，适用于匀变速直线运动。 (3)＝，即一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动。 2．公式＝＝的推导 设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v 由x＝v0t＋at2得， 平均速度＝＝v0＋at　① 由v＝v0＋at知，当t′＝时有＝v0＋a·　② 由①②得＝ 又v＝＋a·　③ 由②③解得＝ 综上所述有＝＝。 【典例1】　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度和末速度及加速度。 [解析]　如图所示，连续两段相等时间T内的平均速度分别为 ＝＝ m/s＝6 m/s ＝＝ m/s＝16 m/s 且＝＝ 由于B是A、C的中间时刻，则vB＝＝＝ m/s＝11 m/s 解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s 加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。 [答案]　(1)1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2 [针对训练] 1．一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动。已知汽车从启动到停止一共经历了10 s，在此过程中，汽车的最大速度为5 m/s，则这段时间内汽车前进的位移为(　　) A．20 m B．25 m C．30 m D．40 m B　[设汽车的最大速度为vm，加速时间为t1，减速时间为t2，加速阶段的平均速度＝＝，减速阶段的平均速度＝＝，x＝t1＋t2＝(t1＋t2)＝vmt，解得x＝25 m。] 探究2　x-t图像与v-t图像 1．x-t图像与v-t图像的比较 比较内容 x-t图像 v-t图像 图像 物理意义 反映的是位移随时间的变化规律 反映的是速度随时间的变化规律 ① 表示物体从位移为正处开始一直做反向匀速直线运动并过零位移处 表示物体先做正向匀减速直线运动，再做负向匀加速直线运动 ② 表示物体静止不动 表示物体做正向匀速直线运动 ③ 表示物体从位移为零处开始做正向匀速运动 表示物体从静止开始做正向匀加速直线运动 ④ 表示物体做加速直线运动 表示物体做加速度逐渐增大的加速运动 图像与时间轴围成 的“面积”的意义 无实际意义 表示相应时间内的位移 2．图像问题的四点注意 (1)x-t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的速度，图像上一个点对应物体某一时刻的位置。 (2)v-t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的加速度，图像上一个点对应物体某一时刻的速度。 (3)形状一样的图线，在不同图像中所表示的物理意义不同，因此在应用时要特别注意看清楚图像的纵、横轴所描述的是什么物理量。 【典例2】　如图所示的x-t图像和v-t图像中，给出四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是(　　) A．图线1表示物体做曲线运动 B．x-t图像中t1时刻v1＞v2 C．v-t图像中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等 D．两图像中，t2、t4时刻2、4开始反向运动 B　[图线1表示的是变速直线运动，选项A错误；x-t图像中t1时刻物体1的速度v1大于物体2的速度v2，选项B正确；在v-t图像中图线与时间轴围成图形的面积表示位移，0至t3时间内，x4＞x3，则＞，选项C错误；x-t图像中t2时刻物体2开始反向运动，v-t图像中t4时刻物体4开始减速，但运动方向不变，选项D错误。] [针对训练] 2．(多选)如图所示为甲、乙两物体运动的x-t图像，则下列说法正确的是(　　) A．甲物体做变速直线运动，乙物体做匀速直线运动 B．两物体的初速度都为零 C．在t1时间内两物体平均速度大小相等 D．相遇时，甲的速度大于乙的速度 ACD　[由x-t图像形状可知，甲做变速直线运动，乙做匀速直线运动，乙物体的初速度不为零，故选项A正确，B错误；0～t1时间内，甲、乙的位移相同，平均速度相同，选项C正确；t1时刻甲、乙相遇，根据 x-t 图像的斜率等于速度大小的特点知v甲>v乙，选项D正确。] 3．(多选)甲、乙两同学相约去博物馆参观，两人同时从各自家中出发，沿同一直线相向而行，经过一段时间后两人会合。身上携带的运动传感器分别记录了他们在这段时间内的速度大小随时间的变化关系，如图所示。其中，甲的速度大小随时间变化的图线为两段四分之一圆弧。则(　　) A．在t1时刻，甲、乙两人速度相同 B．0～t2时间内，乙所走路程小于甲 C．在t3时刻，甲、乙两人加速度大小相等 D．0～t4时间内，甲、乙两人平均速率相同 CD　[因为两个人是相向运动的，说明运动方向相反，因此t1时刻速度方向相反，故A错误；该v-t图像的面积表示物体运动的位移大小，0～t2时间内，乙的路程大于甲的路程，故B错误；该v-t图像的斜率绝对值表示加速度大小，设t3时刻的交点为A，则t3时刻交点A恰好等分t2～t4的圆周，因此由几何关系可得过A点圆的切线的斜率和乙的斜率大小相等，都为，故C正确；设圆弧半径为R，通过观察可以看出甲的图线与时间轴围成的图形面积S＝πR2＋R2－πR2＝R2，乙图线与时间轴围成的图形面积也为R2，说明甲、乙的路程相等，则平均速率相同，D正确。] 探究3　匀变速直线运动的四类非常规图像 1．由Δv＝aΔt可知，a-t图像中图线与时间轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。 2．由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由此知-t图像的斜率为a，纵轴截距为v0，如图乙所示。 3．v2-x图像：由＝2ax可知v2＝＋2ax，图像斜率为2a，纵截距为，如图丙所示。 4．a-x图像：由＝2ax可知a＝，图像与x轴所围面积表示速度平方的变化量Δv2的一半，如图丁所示。 【典例3】　下列关于物体做直线运动的四个图像的说法中，正确的是(　　) A．甲图中，物体的加速度大小为2 m/s2 B．乙图中，0～2 s内物体的速度变化量大小为6 m/s C．丙图中，t＝3 s时物体的速度大小为14 m/s D．丁图中，物体的加速度大小为1 m/s C　[根据运动学公式v2＝2ax可知题图甲中v2-x图线的斜率为k＝2a＝ m/s2，解得加速度大小为a＝0.5 m/s2，故A错误；由公式Δv＝aΔt可知题图乙中图线与横轴围成的面积代表物体的速度变化量，则物体在0～2 s的速度变化量大小为Δv＝×3×2 m/s＝3 m/s，故B错误；由题图丙得＝(2t＋2) m/s，则有x＝(2t＋2t2) m，结合运动学公式x＝v0t＋at2可知初速度和加速度分别为v0＝2 m/s，a＝4 m/s2，则t＝3 s时物体的速度为v＝v0＋at＝2 m/s＋4×3 m/s＝14 m/s，故C正确；对于题图丁，根据x＝at2，可知k＝a＝ m/s2，解得加速度大小为a＝2 m/s2，故D错误。] [针对训练] 4．一辆车减速时做直线运动，其-t关系符合一次函数，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．车辆初速度为60 m/s B．在5～8 s时间内，车辆的位移大小是12 m C．车辆加速度大小为2 m/s2 D．当＝20 m/s时，车辆速度为10 m/s D　[由题图可得＝(－2t＋30) m/s，即x＝(30t－2t2) m，对比x＝v0t＋at2可得v0＝30 m/s，a＝－4 m/s2，选项A、C错误；当t＝ s＝7.5 s时，车辆停止运动，位移x＝t＝112.5 m，由x＝(30t－2t2) m可知，当t＝5 s时，x＝100 m，故在5～8 s时间内，车辆运动位移大小是12.5 m，选项B错误；由x＝(30t－2t2) m可知，当＝20 m/s时，t＝5 s，则速度v＝(30－4×5) m/s＝10 m/s，选项D正确。] 5．(多选)2022年8月8日，重庆政府部门发布了自动驾驶全无人商业化试点政策，开启了全国首批无人化驾驶示范运营。已知某品牌无人驾驶汽车进行刹车性能测试的速度v、位移x的关系图像如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．汽车刹车过程的加速度大小为4 m/s2 B．汽车最后10 m内的平均速度为5 m/s C．汽车在最后3 s内的平均速度为6 m/s D．汽车在最初3 s内通过的位移与最后3 s内通过的位移之差为36 m AC　[根据匀减速直线运动的规律－v2＝2ax可得v2＝，由题图可知汽车的初速度为v0＝20 m/s，图像斜率为k＝－2a＝ m/s2＝－8 m/s2，汽车的加速度大小为a＝4 m/s2，故A正确；汽车最后10 m内运动的时间为t1＝＝ s, 汽车最后10 m内的平均速度为＝＝2 m/s, 故B错误；汽车在最后3 s内的平均速度为＝＝6 m/s，故C正确；汽车在最初3 s内通过的位移为x1＝－at2＋v0t＝42 m，汽车最后3 s内通过的位移为x2＝at2＝18 m，汽车在最初3 s内通过的位移与最后3 s内通过的位移之差为Δx＝x1－x2＝24 m，故D错误。] 素养提升练(一) 1．某战机起飞前由静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需的时间为t，则起飞前的运动距离为(　　) A．vt B． C．2vt D．不能确定 B　[因为战机在起飞前做匀加速直线运动，则x＝ t＝t＝t，B正确。] 2．一辆汽车做匀加速直线运动，初速度为2 m/s，经过4 s速度为10 m/s，在这段时间内，下列说法正确的是(　　) A．汽车的加速度为4 m/s2 B．汽车的加速度为3 m/s2 C．汽车的位移为24 m D．汽车的平均速度为3 m/s C　[汽车的加速度a＝＝2 m/s2，故A、B错误；平均速度t＝24 m，故C正确。] 3．物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，加速一段时间t1，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用的时间t＝20 s，总位移为300 m，则物体运动的最大速度为(　　) A．15 m/s B．30 m/s C．7.5 m/s D．无法求解 B　[设最大速度为vm，匀加速直线运动过程： ＝＝＝ m/s，解得vm＝30 m/s。] 4．(多选)质点做直线运动的v-t图像如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内的平均速度及质点运动的总路程为(　　) A．总路程为2 m B．平均速度为0.25 m/s，方向向左 C．总路程为8 m D．平均速度为1 m/s，方向向左 BC　[v-t图像中，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，时间轴上方的面积表示的位移为正值，下方的面积表示的位移为负值，由题图知，前8 s内的总位移x＝ m－＝＝－0.25 m/s，负号表示方向向左，故选项B正确，D错误；总路程为s＝ m＋ m＝8 m，选项C正确，A错误。] 5．(多选)如图为一质点做直线运动的速度—时间图像，如图中实线所示，其初速度为v0，末速度为v，则它在t0时间内的平均速度和加速度应是(　　) A．平均速度小于 B．平均速度大于 C．加速度逐渐减小 D．加速度逐渐增大 AD　[如图所示，若质点运动的v-t 图线为②，则＝；而实际上质点运动的位移为①下的阴影部分，与②图线下的面积相比较小，而时间相等，所以＜，故A正确，B错误；由a＝知过某一时刻图线上对应点的切线的斜率可表示该时刻的加速度的大小，由题图可看出图线的斜率在不断变大，也就表示加速度在不断变大，故C错误，D正确。 ] 6．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a-t图像如图所示，下列v-t图像中，可能正确描述此物体运动的是(　　) A　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　D D　[0～时间内物体向正方向加速运动，时刻的速度为；～T时间内物体向正方向以速度做匀速运动；T～时间内加速度大小不变，方向相反，则向正方向减速运动，时刻的速度减为零；～2T时间内向负方向做加速运动，2T时刻的速度为－。故选D。] 7．甲、乙两辆小车在同一平直公路上同向做直线运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。其x-t图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．在t2时刻两车速度相等 B．在0～t2时间内，甲车的平均速度等于乙车的平均速度 C．在t2时刻，甲车速度大于乙车速度 D．在t1～t2之间的某一时刻，两车加速度相等 C　[x-t图像斜率表示速度，由题图可知，在t2时刻甲车图线斜率大于乙车图线斜率，则在t2时刻甲车速度大于乙车速度，故A错误，C正确；根据＝可知，由于0～t2时间内两车的位移不相等，则平均速度不相等，故B错误；由题意可知，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀速直线运动，则两车的加速度不可能相等，故D错误。] 8．(多选)若AB＝3 m、BC＝12 m，如图所示。已知质点在A、B间的速度增加量为Δv＝2 m/s，在B、C间的速度增加量为Δv′ ＝4 m/s，则下列说法正确的是(　　) A．质点在A、B间的平均速度大小为3 m/s B．质点从B点运动到C点的时间为3 s C．质点经过A点时的速度大小为3 m/s D．质点的加速度大小为2 m/s2 AD　[设质点经过A时速度为v，又由于质点在AB段速度增加量为Δv＝2 m/s，故通过B时速度为v＋2 m/s，同理通过C时速度为v＋6 m/s，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系(v＋2)2－v2＝2a·AB，(v＋6)2－(v＋2)2＝2a·BC，联立解得v＝2 m/s，a＝2 m/s2，故C错误，D正确；质点在AB段的平均速度大小′＝ m/s＝6 m/s，质点从B处运动到C处的时间为t＝＝2 s，故B错误。] 9．新能源汽车的电机驱动控制系统可以使汽车行驶更平顺，如图所示为新能源汽车在某段直线行驶过程中的a-t图像，则汽车(　　) A．5 s末的速度为30 m/s B．10 s内位移为40 m C．做匀减速直线运动 D．做加速度均匀减小的直线运动 D　[a-t图像与t轴围成的面积表示速度的变化量，0到5 s内速度的变化量Δv1＝ m/s＝30 m/s，即速度增加30 m/s，由于不知道汽车的初速度，故无法求出5 s时汽车的速度，故A错误；由于不知道汽车的初速度，且不是匀变速运动，无法求出10 s内汽车的位移，故B错误；汽车加速度随时间均匀减小，做加速度均匀减小的直线运动，故C错误，D正确。] 10．从t＝0时刻开始，物块在外力作用下由静止开始沿x轴做匀变速直线运动，其位移和速率的二次方的关系图线如图所示。下列说法正确的是(　　) A．t＝2 s时物块位于x＝－1 m处 B．物块运动的加速度大小为a＝1 m/s2 C．t＝0时刻物块位于x＝0处 D．物块从2 s末至4 s末的平均速度大小为 m/s A　[由题意可知物块运动的初速度为0，根据匀变速直线运动的规律有v2＝2a(x－x0)，变形可得x＝v2＋x0，结合题图可知，图像斜率为k＝，即a＝＝0.5 m/s2，故B错误；t＝0时，v＝0，x0＝－2 m，2 s内物块的位移为x2＝at2＝1 m，则t＝2 s时物块位于x＝－1 m处，故A正确，C错误；物块从2 s末至4 s末的平均速度大小为＝＝v3，即为3 s末的速度，由匀变速直线运动速度与时间的关系式得v3＝at′＝1.5 m/s，故D错误。] 11．一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s，前4 s内位移为20 m，求： (1)质点前4 s内的平均速度大小； (2)质点第4 s末的速度大小； (3)质点第2 s末的速度大小。 [解析]　(1)利用平均速度公式，前4 s内的平均速度 ＝＝ m/s＝5 m/s。 (2)因为＝，代入数据解得， 第4 s末的速度v4＝8 m/s。 (3)第2 s末为这段时间的中间时刻，故v2＝＝5 m/s。 [答案]　(1)5 m/s　(2)8 m/s　(3)5 m/s 12．公交车是学生上学的重要交通工具之一，当汽车快到校门口时，司机往往关闭汽车发动机，让汽车做匀减速直线运动进站，已知行驶120 m时速度减小为原来的一半，再行驶8 s静止，求汽车关闭发动机时的速度大小和行驶的距离。 [解析]　以汽车初速度方向为正方向，汽车进入站台前做匀减速直线运动，设汽车关闭发动机时的速度为v0，加速度大小为a，则at2＝ 而前半段：t1＝＝t2＝8 s 由s1＝t1＝120 m 得v0＝20 m/s 行驶的距离s＝(t1＋t2)＝160 m。 [答案]　20 m/s　160 m 13．空间探测器从某一星球表面竖直升空，发动机推力为恒力。探测器升空后发动机因故障突然关闭，探测器从升空到落回星球表面的速度随时间变化的图像如图所示，根据图像，求： (1)该探测器在加速上升时的加速度大小及上升的最大高度Hm； (2)探测器落回星球表面的速度大小v； (3)探测器从最大高度到落回星球表面所用的时间t。 [解析]　(1)在0～10 s内探测器在加速上升，其加速度为 a1＝＝6 m/s2 由题图得，探测器上升的最大高度为 Hm＝ m＝900 m。 (2)在10 s后，探测器关闭发动机，其运动过程中的加速度大小为a2＝＝3 m/s2 由v2＝2a2Hm 得v＝＝30 m/s。 (3)由Hm＝a2t2得探测器从最高点下落到星球表面的时间为t＝＝10 s。 [答案]　(1)6 m/s2　900 m　(2)30 m/s　(3)10 s 2/3 学科网（北京）股份有限公司 $$