13 第二章 素养提升课(三) 追及相遇问题、竖直上抛运动-【名师导航】2024-2025学年高中物理必修第一册同步课件(人教版2019)

第二章　匀变速直线运动的研究 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 学习任务 1．掌握追及相遇问题的分析思路和方法。 2．掌握竖直上抛运动的特点，能用全过程分析法或者分段法解决竖直上抛运动的问题。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 探究重构·关键能力达成 探究1　追及、相遇问题的分析与求解 1．追及相遇问题 两物体在同一直线上一前一后运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及相遇问题，讨论追及相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 2．分析追及相遇问题的思路和方法 (1)抓住一个条件、用好两个关系 ①一个条件：速度相等。这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。 ②两个关系：时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 (2)常用方法 ①物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。 ②图像法：将两者的v-t图像画在同一坐标系中，然后利用图像求解。 ③数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 【典例1】　一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。 (1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？ (2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？ [思路点拨]　开始时自行车的速度大于汽车的速度，二者之间的距离逐渐增大，当汽车的速度等于自行车的速度时，二者相距最远；之后汽车的速度大于自行车的速度，二者之间距离逐渐缩短，直到追上。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 [解析]　(1)解法一　基本规律法 汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δx，则有 v1＝at1＝v自 所以t1＝＝2 s Δx＝v自＝6 m。 解法二　极值法或数学分析法 设汽车在追上自行车之前经过时间t1，两车间的距离为 Δx＝x1－x2＝v自 代入已知数据得Δx＝ m 由二次函数求极值的条件知t1＝2 s时，Δx最大， 代入得Δx＝6 m。 解法三　图像法 自行车和汽车运动的v-t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。 t1＝＝ s＝2 s Δx＝＝ m＝6 m。 (2)解法一　基本规律法 当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，汽车的瞬时速度为v2，则有 v自t2＝ 解得t2＝＝ s＝4 s v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。 解法二　图像法 由图可以看出，在t1时刻之后，由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与标有阴影的三角形面积相等，此时汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇。 由几何关系知t2＝2t1＝4 s，v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。 [答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s 规律总结　分析追及问题的思路及三个易错点 1．解决追及相遇问题的思路 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 2．三个易错点 (1)追赶物体与被追赶物体的速度恰好相等是临界条件，往往是解决问题的重要条件。 (2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 (3)仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v-t图像的应用。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 [针对训练] 1．(多选)甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿同一条直线运动，它们的v-t图像如图所示，由图可知(　　) A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲 B．t＝20 s时，乙追上了甲 C．t＝20 s时，甲、乙之间的距离为乙追上甲前的最大距离 D．在t＝20 s之前，甲比乙运动快；在t＝20 s之后，乙比甲运动快 √ √ 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 CD　[由题图可知，乙在0～10 s内速度为零，甲先出发，但乙出发后做匀加速直线运动，甲做匀速直线运动，两物体出发地点相同，则乙可以追上甲，故A错误；在v-t图像中，图线与时间轴所围面积即为物体运动的位移，故20 s内甲的位移大于乙的位移，乙不可能追上甲，故B错误；在10～20 s内，甲的速度大于乙的速度，甲在乙的前方，两者距离逐渐增大，20 s后乙的速度大于甲的速度，两者距离逐渐减小，在t＝20 s时刻两者距离最大，最大距离为s＝10×20 m－×10×10 m＝150 m，所以C、D正确。] 2．一小汽车在平直公路上行驶，速度v1＝20 m/s，紧急制动后经t＝5 s停下，则： (1)小汽车紧急制动时的加速度多大？ (2)若司机发现前方70 m处发生了交通事故，从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间(即反应时间)t0＝0.50 s，该车行驶是否会出现安全问题？请通过计算说明原因； (3)若司机发现前方有一大货车停着，因为该路段只能通过一辆车，所以小汽车司机在距离大货车x＝20 m时按喇叭提出警示并开始紧急制动，大货车听到提示马上加速，大货车至少以多大的加速度加速才不会相撞？ 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 [解析]　(1)以初速度方向为正方向，由vt＝v1＋at 代入数据得a＝－4 m/s2 则汽车加速度的大小为4 m/s2。 (2)反应距离为s1＝v1t0＝10 m 刹车距离为s2＝t＝50 m 停车距离为s＝s1＋s2＝60 m<70 m 小汽车行驶时不会出现安全问题。 (3)设经过时间t1，两车速度相等，大小为v2时两车不相撞，有t1－t1＝20 m v2＝v1＋at1 v2＝a1t1 联立可得a1＝6 m/s2 大货车至少以6 m/s2的加速度加速才不会相撞。 [答案]　(1)4 m/s2　(2)不会，原因见解析　(3)6 m/s2 探究2　竖直上抛运动 1．竖直上抛运动 将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 2．竖直上抛运动的性质 (1)上升阶段：初速度v0向上，加速度为g，方向竖直向下，是匀减速运动。 (2)下降阶段：初速度为零、加速度为g，是自由落体运动。 (3)全过程可以看作是初速度为v0(竖直向上)、加速度为g(竖直向下)的匀变速直线运动。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 3．竖直上抛运动的规律 通常取初速度v0的方向为正方向，则a＝－g。 (1)速度公式：v＝v0－gt。 (2)位移公式：h＝v0t－gt2。 (3)位移和速度的关系式：＝－2gh。 (4)上升的最大高度：H＝。 (5)上升到最高点(即v＝0时)所需的时间：t＝。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 4．竖直上抛运动的特点 (1)对称性(如图所示) ①时间对称性，对同一段距离，上升过程和下降过程 时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO。 ②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速 度大小相等、方向相反，vB＝－vB′， vA＝－vA′。 (2)多解性 通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 【典例2】　气球下挂一重物，以v0＝10 m/s匀速上升，当到达离地面高175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面？落地速度多大？(空气阻力不计，g取10 m/s2) [解析]　解法一　分段法 绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下降。 重物上升阶段，时间t1＝＝1 s 由＝2gh1知，h1＝＝5 m 重物下降阶段，下降距离H＝h1＋175 m＝180 m 设下落时间为t2，则H＝，故t2＝＝6 s 重物落地总时间t＝t1＋t2＝7 s，速度v＝gt2＝60 m/s。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 解法二　全程法 取初速度方向为正方向 重物全程位移h＝v0t－gt2，其中h＝－175 m 可解得t1＝7 s，t2＝－5 s(舍去) 由v＝v0－gt得v＝－60 m/s，负号表示方向竖直向下。 [答案]　7 s　60 m/s 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 规律方法　竖直上抛运动的处理方法 分段法 上升阶段是初速度为v0、a＝－g的匀减速直线运动；下落阶段是自由落体运动 全过程 分析法 全过程看作初速度为v0、a＝－g的匀变速直线运动 (1)v>0时，上升阶段；v<0时，下落阶段 (2)x>0时，物体在抛出点的上方；x<0时，物体在抛出点的下方 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 [针对训练] 3．某次自由体操项目比赛中，某运动员以大小为v0的初速度竖直向上跳起，重力加速度大小为g，若不计空气阻力，运动员可视为质点，从离开地面算起，则下列说法正确的是(　　) A．运动员上升到最大高度所用的时间为 B．运动员的速度大小减小到初速度的一半时所用的时间一定为 C．运动员上升到最大高度一半时的速度大小为v0 D．运动员上升的最大高度为 √ 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 C　[根据匀变速直线运动的速度—时间公式得0＝v0－gt，故运动员上升到最大高度所用的时间为t＝，故A错误；取竖直向上为正方向，运动员的速度大小减小到初速度的一半时所用的时间可能为t1＝＝，也可能为t2＝＝，故B错误；设运动员上升到最大高度一半时的速度大小为v，根据匀变速直线运动速度与位移的关系有＝－2g·，0－v2＝－2g·，解得v＝v0，故C正确；根据匀变速直线运动速度与位移的关系有＝－2gh，解得h＝，故D错误。] 4．某校一课外活动小组自制了一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2, 求： (1)燃料恰好用完时火箭的速度大小； (2)火箭上升离地面的最大高度； (3)火箭从发射到返回发射点的时间(结果保留三位有效数字)。 素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动 [解析]　(1)设燃料恰好用完时火箭的速度为v。 根据运动学公式有h＝t 解得v＝20 m/s。 (2)燃料用完后，火箭能够继续上升的时间t1＝＝2 s 火箭能够继续上升的高度h1＝＝20 m 因此火箭离地面的最大高度H＝h＋h1＝60 m。 (3)火箭由最高点落至地面的时间t2＝＝2 s 火箭从发射到返回发射点的时间t总＝t＋t1＋t2≈9.46 s。 [答案]　(1)20 m/s　(2)60 m　(3)9.46 s $$