17 追根溯源变式拓展——2024年高考数学全国甲卷解析几何试题的评价-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■江苏省宜兴第一中学 范雄庚 ■江苏省无锡市锡山区教师发展中心 姚敬东 与圆锥曲线有关的证明问题,常以直线 与圆锥曲线的位置关系为背景,考查圆锥曲 线的相关性质、代数式的恒等变形、必要的数 值计算和推导证明,对同学们的图形分析、逻 辑思维、运算求解等能力要求较高。下面通 过对一道高考题的解法探究、课本题源及变 式拓展,为同学们解答这类试题提供思路和 方法。 一、试题呈现 题目 已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b> 0)的右焦点为 F,点 M 1, 3 2 在 C 上,且 MF⊥x 轴。 (1)求C 的方程; (2)过点P(4,0)的直线交C 于A,B 两 点,N 为线段FP 的中点,直线 NB 交直线 MF 于点Q,证明:AQ⊥y 轴。 赏析:试题考查椭圆的基本概念和基本 性质,考查椭圆的方程、通径、直线与椭圆的 位置关系等知识,考查解析几何的基本思想、 基本方法,考查数学运算、逻辑推理、数学抽 象等核心素养。试题切入口宽,计算量适中, 突出对思维过程、思维方法和创新能力的考 查。 二、解法探究 (1)设F(c,0),由题设知c=1,即a2- b2=1,又 1 a2 + 9 4b2 =1,解得a2=4,b2=3,所 以C 的方程为 x2 4+ y2 3=1 。 (2)分析:要证 AQ⊥y 轴,只需证点 A 和点Q 的纵坐标相等。为此,我们可以根据 题设条件作出图形,分析图形运动变化的原 因,是“线”动还是“点”动,即确定谁是主动参 变量,而选取不同的参变量,就对应着不同的 思路和解法。 思路1:以直线AB 的斜率的倒数t为参 变量。 解法1:当直线AB 不垂直y 轴时,设直 线AB:x=ty+4,代入椭圆 C 的方程得 (3t2+4)y2+24ty+36=0。 因为直线AB 交椭圆C 于A,B 两点,所 以Δ=144(t2-4)>0,解得t<-2或t>2。 设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得 y1+y2=- 24t 3t2+4 ,y1y2= 36 3t2+4 。 由(1)知,F(1,0),因为N 为线段FP 的 中点,所 以 N 52 ,0 ,所 以 直 线 NB:y= y2 x2- 5 2 x- 5 2 。 令x=1,得yQ= - 3 2y2 x2- 5 2 =- 3y2 2ty2+3 。 所 以 y1 - yQ = y1 + 3y2 2ty2+3 = 2ty1y2+3(y1+y2) 2ty2+3 =0,即 y1 =yQ,所 以 AQ⊥y 轴。 当AB⊥y 轴时,结论也成立。 综上可得,AQ⊥y 轴。 思路2:以直线 AB 与直线 MF 的交点 的纵坐标m 为参变量。 解法2:设直线 AB 与直线 MF 的交点 为(1,m),则直线AB:y=- m 3 (x-4),代入 椭圆C 的方程得(4m2+27)x2-32m2x+ 64m2-108=0。 因为直线AB 交椭圆C 于A,B 两点,所 14 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年12月 以- 3 2<m< 3 2 。 设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得 x1+x2= 32m2 4m2+27 ,x1x2= 64m2-108 4m2+27 。 由N,B,Q 三点共线得 yQ - 3 2 = y2 x2- 5 2 , 所以yQ= - 3 2y2 x2- 5 2 = 3y2 5-2x2 。 所 以 yQ -y1 = 3y2 5-2x2 - y1 = 3m(x2-4)-5m(x1-4)+2mx2(x1-4) -15+6x2 = m[2x1x2-5(x1+x2)+8] -15+6x2 = m 128m2-216 4m2+27 - 160m2 4m2+27 +8 -15+6x2 =0,所 以 AQ⊥y 轴。 评注:在用设线法处理直线与椭圆的位 置关系问题时,先设出直线方程,与椭圆方程 联立,消元得到关于y(或x)的一元二次方 程,借助韦达定理,由 N,B,Q 三点共线的条 件,得到yQ 的代数式,再证明yQ=y1 即可。 解法1和解法2是同学们容易想到的解法, 思维量均较小,但解法2的计算量要大一些。 思路3:以点 A 的横坐标x1、纵坐标y1 为参变量。 解法 3:当 直 线 AB 不 垂 直 y 轴 时, 设A(x1,y1),B(x2,y2)。 由A,B,P 三点共线得 y1 x1-4 = y2 x2-4 , 即x1y2-x2y1=4y2-4y1。 ① 因为 y2 ≠y1,所 以 x1y2 +x2y1 = x21y22-x22y21 x1y2-x2y1 = 41- y21 3 y22-41-y 2 2 3 y21 4y2-4y1 = y2+y1。 ② 由①和②得2x1y2=5y2-3y1; ③ 2x2y1=5y1-3y2。 ④ 由③和④得x2= 8-5x1 5-2x1 ,y2= 3y1 5-2x1 。 由N,B,Q 三点共线得yQ= - 3 2y2 x2- 5 2 = - 3 2 · 3y1 5-2x1 8-5x1 5-2x1 - 5 2 = -9y1 2(5-2x1) -9 2(5-2x1) =y1,所以AQ⊥ y 轴。 当AB⊥y 轴时,结论显然成立。 综上可得,AQ⊥y 轴。 评注:在用设点法处理直线与椭圆的位 置关系问题时,先设出点A,B 的坐标,根据 A,B,P 三点共线及A,B 在椭圆上,构建方 程组,得到x2,y2 与x1,y1 的等量 关 系,然 后把yQ 用x2,y2 表示,再用等量关系消元 即可。此法由于变量较多,思维量和运算量 均较大。在证明yQ=y1 时,用整体代换可 简化 运 算,即yQ= - 3 2y2 x2- 5 2 = - 3 2y1y2 x2y1- 5 2y1 = - 3 2y1y2 - 3 2y2 =y1。 三、课本题源 题源(人教 A 版选择性必修第一册第 136页例5)经过抛物线的焦点F 的直线交抛 物线于A,B 两点,经过点A 和抛物线顶点 的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴。 证明:不妨设抛物线的方程为y2=2px (p>0),则F p2 ,0 。 显然直线AB 不垂直y轴,设直线AB:x =ty+ p 2 ,与抛物线方程联立得,y2-2pty- p2=0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得, y1+y2=2pt,y1y2=-p2。 联立直线OA:y= y1 x1 x 和抛物线的准线: x=-p2 ,解得yD=- py1 2x1 。 24 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年12月 因 为 yD - y2 = - py1+2x1y2 2x1 = - py1+2ty1+ p 2 y2 2x1 =- p(y1+y2)+2ty1y2 2x1 =0,所以yD=y2,所以直线DB 平行于抛物 线的对称轴。 对比高考题和课本例题,我们可以发现: 它们的命题背景都是圆锥曲线,图形特征高 度相似,题设条件和所证结论也具有某种结 构上的一致性。 四、变式拓展 变式1 已知椭圆C: x2 4+ y2 3=1 的右焦 点为F,过点P(4,0)的直线交C 于A,B 两 点,直线l:x=1。若AQ⊥l于点Q,直线QB 交x轴于点N,证明:N 为线段FP 的中点。 证明:由题意知,直线AB 的斜率存在且 不为0,设直线 AB:x=ty+4,A(x1,y1), B(x2,y2)。 由解法1的过程知,y1+y2=- 24t 3t2+4 , y1y2= 36 3t2+4 。 因为Q(1,y1),所以直线QB:y-y1= y2-y1 x2-1 (x-1)。 令y=0,得 xN = -y1(x2-1) y2-y1 +1= -y1(ty2+3) y2-y1 +1= -ty1y2-3y1 y2-y1 +1。 又因为 y1+y2 y1y2 = -2t 3 ,所以-ty1y2= 3y1 2 + 3y2 2 ,所以xN= 3y2 2 - 3y1 2 y2-y1 +1= 5 2 ,即 N 为线段FP 的中点。 变式2 已知椭圆C: x2 4+ y2 3=1 的右焦 点为F,过点P n,0 的直线交C 于A,B 两 点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线l: x=1于点Q,AQ⊥y 轴,证明:n=4。 证明:当直线AB 不垂直y 轴时,设直线 AB:x=ty+n,代入椭圆C 的方程得(3t2+ 4)y2+6tny+3n2-12=0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得 y1+y2=- 6tn 3t2+4 ,y1y2= 3n2-12 3t2+4 。 因 为 N 为 线 段 FP 的 中 点,所 以 N n+12 ,0 ,所以直线 NB:y= y2 x2- n+1 2 · x- n+1 2 。 令x=1,得yQ = 1-n 2 · y2 x2- n+1 2 = (1-n)y2 2x2-n-1 。 因为AQ⊥y 轴,所以yQ=y1,即y1(2x2 -n-1)=(1-n)y2。 将x2=ty2+n 代入上式整理得2ty1y2 +(n-1)(y1+y2)=0,化简得t(6n-24)= 0,解得n=4。 当直线AB 垂直y 轴时,结论也成立。 综上可得,n=4。 评注:在高考题的第(2)问中,有三个“条 件”,即 点 P(4,0)、N 为 线 段FP 的 中 点、 AQ⊥y 轴,利用它们中的任意两个“条件”, 可以推得剩余的一个“条件”。通过变式研 究,把条件和结论互换位置,能够帮助同学们 更好地理解高考题中条件和结论的关系。 五、复习建议 通过对高考题的分析、探究和拓展,我们 可以看到,新高考对于解析几何的考查,侧重 于基础知识与基本技能的掌握、运算能力与 逻辑推理能力的提升、几何与代数的灵活转 换等方面。因此,在解析几何的复习备考过 程中,同学们要做好以下三个方面:一是要深 入研究教材,系统复习教材,理解每一个概 念、定理、公式,及时归纳总结,建构完整的知 识网络;二是要研究课本例题和课后习题,挖 掘题目背后的命题背景,在解题过程中提升 自身的运算速度和准确性,培养自身的逻辑 推理能力;三是要强化几何直观,掌握基本代 数运算技巧,在学会通性通法的基础上,敢于 尝试新的思路和方法,有意识地培养自身的 创新思维与综合应用能力。 (责任编辑 王福华) 34 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年12月