16 2024年全国新高考Ⅰ卷解析几何的解法探究与拓展-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■湖北省咸宁市青龙山高级中学 蔡爱兵 陈思圻 2024年全国新高考Ⅰ卷中的圆锥曲线 大题出现在解答题的第二题,出乎意料。命 题者以直线与椭圆的位置关系为背景,巧妙 设计三角形的面积计算问题,主要考查直观 想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。本文 以此题为例,从不同角度探究其解法,再对试 题进行溯源,以期同学们对这类问题的求解 策略、命题背景有更深刻的认识。 一、试题呈现 题目 (2024年全国新高考Ⅰ卷第16 题)已知A(0,3)和P 3, 3 2 为椭圆C:x 2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)上两点。 (1)求C 的离心率; (2)若过P 的直线l交C 于另一点B,且 △ABP 的面积为9,求l的方程。 赏析:本题的第(1)问考查椭圆的标准方 程、离心率的计算,体现高考命题的基础性; 第(2)问考查三角形面积的计算,方法多样, 计算量差异也大,体现高考命题的综合性。 二、解法探究 (1)将 A 和P 的坐标代入椭圆方程得 b2=9, a2=12。 所以e= 1-b 2 a2 = 1- 9 12= 1 2 。 (2)直线过定点,常用方法以斜率为参 数,直线与椭圆方程联立,利用斜率表示弦长 和距离,进行求解。 思路1:以|AP|为底,求出三角形的高, 即点B 到直线AP 的距离,再利用平行线间的 距离公式得到平移后的直线方程,联立椭圆方 程求得B 点坐标,即可得到直线l的方程。 解法1: kAP= 3- 3 2 0-3=- 1 2 ,则直线AP 的方程为y=- 1 2x+3 ,即x+2y-6=0。 |AP|= (0-3)2+ 3- 3 2 2 = 35 2 , 由(1)知C: x2 12+ y2 9=1 ,设点B 到直线AP 的距离为d,则d= 2S△PAB |AP|= 125 5 ,将直线 AP 沿着与AP 垂直的方向平移 125 5 个单 位,此时该平行线与椭圆的交点即为点B,设 该平行线方程为x+2y+t=0,则 |t+6| 5 = 125 5 ,解得t=6或t=-18。 ①若t=6,联 立 x2 12+ y2 9=1 , x+2y+6=0, 解 得 x=0, y=-3 或 x=-3, y=- 3 2 , 即 B (0,-3)或 -3,- 3 2 。 当B(0,-3)时,kl= 3 2 ,直线l的方程 为y= 3 2x-3 ,即3x-2y-6=0; 当B -3,- 3 2 时,kl=12,直线l的方 程为y= 1 2x ,即x-2y=0。 ②若t=-18,联立 x2 12+ y2 9=1 , x+2y-18=0, 消 去x 整理得2y2-27y+117=0,因为Δ= 272-4×2×117=-207<0,所以该直线与 椭圆无交点。 综上可得,直线l的方程为3x-2y-6 =0或x-2y=0。 评注:此解法比较独特,将点 B 到直线 83 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年12月 AP 的距离转化为两平行线间的距离。先通 过距离求出过点 B 且与AP 平行的直线方 程,再与椭圆联立,得到B 点坐标,从而求出 直线PB 的方程,很好地体现了化归与转化 的数学思想。 思路2:同解法1得到点B 到直线AP 的距离,再设B(x0,y0),根据点到直线的距 离和点在椭圆上得到方程组,解出点B 的坐 标即可。 解法2: 前面同解法1得直线AP 的方 程为x+2y-6=0,点B 到直线AP 的距离 d= 125 5 。 设B(x0,y0),则 |x0+2y0-6| 5 = 125 5 , x20 12+ y20 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解 得 x0=-3, y0=- 3 2 或 x0=0, y0=-3, 即 B(0,-3)或 -3,- 3 2 。以下同解法1。 思路3:同解法1得到点B 到直线AP 的距离,再利用椭圆的参数方程求解。 解法3:前面同解法1得直线AP 的方程 为x+2y-6=0,点 B 到直线AP 的距离 d= 125 5 。 设B 23cos θ,3sin θ ,其中θ∈ 0,2π , 则 |23cos θ+6sin θ-6| 5 = 125 5 ,与cos2θ +sin2θ=1 联 立,解 得 cos θ=- 3 2 , sin θ=- 1 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 或 cos θ=0, sin θ=-1, 即B(0,-3)或 -3,-32 ,所 以l的方程为x-2y=0或3x-2y-6=0。 评注:解法3是对解法2的优化,通过椭 圆的参数方程,引入三角换元。通过三角换 元,把复杂的代数运算转化为三角函数运算, 有助于简化数学运算,提高运算准确率。 思路4:同解法3设B 点坐标,用向量形式 的三角形面积公式,即在△ABC 中,若AB→= (x1,y1),AC→=(x2,y2),则S△ABC= 1 2|x1y1- x2y2|。 解法4:设B(23cos θ,3sin θ),其中θ ∈ [0,2π),则 PA→ = -3,32 ,PB→ = 23cos θ-3,3sin θ- 3 2 。 由向量 形 式 的 三 角 形 面 积 公 式 可 得 S△PAB = 1 2 | PA → × PB→ | = 1 2 -9sin θ+ 9 2-33cos θ+ 9 2 = 1 2|9- 9sin θ-33cos θ|=9 。 所以9sin θ+33cos θ=-9或9sin θ+ 3 3cos θ=27,即 3sin θ+ 3cos θ= 23sinθ+ π 3 =-3或3sin θ+ 3cos θ= 23sinθ+ π 3 =9 (无解舍去)。 所 以 sin θ=-1, cos θ=0 或 sin θ=- 1 2 , cos θ=- 3 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 B(0,-3)或 -3,- 3 2 ,所以l 的方程为 x-2y=0 或 3x-2y-6=0 。 评注:向量形式的三角形面积公式的引 入,使复杂的面积计算转变为简单的向量坐 标运算,大大简化了解题过程,提高解题效 率,值得同学们关注。 思路5:首先考虑直线PB 的斜率不存在 的情况,再设PB:y- 3 2=k (x-3),利用弦 长公式和点到直线的距离公式求解即可。 解法5:当l的斜率不存在时,l:x=3, B 3,- 3 2 ,|PB|=3,点 A 到PB 的距离 d=3,此时S△ABP= 1 2×3×3= 9 2≠9 ,不满 足条件。 当l 的斜率存在时,设 PB:y- 3 2= k(x-3),P(x1,y1),B(x2,y2)。 93 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年12月 联立 y=k(x-3)+ 3 2 , x2 12+ y2 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去y 整理得 (4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k- 27=0,Δ=(24k2-12k)2-4(4k2+3)(36k2 -36k-27)>0,且k≠kAP,即k≠- 1 2 。 由韦达定理得 x1+x2= 24k2-12k 4k2+3 , x1x2= 36k2-36k-27 4k2+3 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 故|PB|= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2 = 43 k2+1 3k2+9k+ 27 4 4k2+3 。 点A 到直线PB 的距离d= 3k+ 3 2 k2+1 。 所 以 S△PAB = 1 2|PB| ·d= 1 2 · 43 k2+1 3k2+9k+ 27 4 4k2+3 · 3k+ 3 2 k2+1 =9, 解得k= 1 2 或 3 2 ,均满足题意,所以l的方程 为y= 1 2x 或y= 3 2x-3 ,即x-2y=0或 3x-2y-6=0。 评注:解法5是圆锥曲线的通解通法,通 过联立消元,借助韦达定理、弦长公式和点到 直线的距离公式进行求解,对同学们来说轻 车熟路,思路明确。但是该方法对运算求解 能力要求较高。 三、试题溯源 题1(人教A版121页练习)求焦点在x 轴上,经过点(- 2,- 3), 15 3 ,2 的双 曲线的标准方程。 题2(人教A版114页例7)已知直线l: 4x-5y+m=0和椭圆C: x2 25+ y2 9=1 。当m 为何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个公共点? (2)有且只有一个公共点? (3)没有公共点? 题3(人教 A版116页练习)已知椭圆 C: x2 25+ y2 9=1 ,直线l:4x-5y+40=0。试 问:椭圆上是否存在一点,使得: (1)点到直线l的距离最小? 最小距离 是多少? (2)点到直线l的距离最大? 最大距离 是多少? 将题1的双曲线背景改为椭圆就是真题 的第(1)问,题2是判断直线与椭圆的位置关 系,题3是在相切的前提下,计算点到直线最 值,在相交的前提下,将点到直线的最值改为 定值即是真题第(2)问。教材例题和课后习 题的求解思路和做题方法,可以原封不动地 搬到此题,可见关注教材的重要性。 四、解题启示 (1)关注教材,适当拓展。很多高考试题 都能在教材中的例题和课后习题找到其影 子。因此,同学们在日常学习的过程中,要回 归教材,重视课本的再学习,看清课本习题与 高考题之间的联系,揭开高考试题的神秘面 纱,从而达到事半功倍的复习效果。 (2)精研真题,一题多解。高考真题一部 分来源于教材,一部分源自真题改编,2024年 新高考Ⅰ卷解析几何大题就是2020年高考全 国Ⅱ卷真题改编。新高考Ⅰ卷不回避热点,近三 年全国Ⅰ卷不约而同地考了离心率。因此,同 学们在复习备考的过程中,可以从高考真题入 手,精选真题,开展一题多解与变式,培养思维 能力。通过一题多解与多变的研究,可以很好 地挖掘各部分数学知识和方法间的联系,全面 发展数学思维。同学们通过解一道题,学会解 一类题,触类旁通,拓展自己的解题空间,培养 数学思维的广阔性、灵活性和创造性。 (3)强化图形意识,突破难点。解析几何 的特征是“算”,而难点也在“算”。解析几何 的运算是建立在几何背景下的代数运算,借 助几何图形,分析清楚几何图形的要素及基 本关系,再用代数语言表达,而且在运算过程 中要注意利用图形的几何特征及图形间的关 系来化简,这是突破运算难点的关键。 (责任编辑 王福华) 04 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年12月