15 例析圆锥曲线性质的综合应用-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■北京师范大学台州附属高级中学 程伟涛 圆锥曲线是高中数学的核心内容,也是 高考考查的重点内容。此类问题综合性强, 交汇度广,创新性强,难度较大。圆锥曲线与 平面向量、三角函数、数列、不等式、导数、平 面几何等知识的融合是命题的重点和难点。 本文将从以下几个角度来探析圆锥曲线性质 在高考试题中的综合应用。 一、直线与圆的综合问题 直线与圆是高考的常考内容,主要涉及 直线与圆的方程、切线方程、直线与圆的位置 关系等,大多以选择题或填空题的形式呈现, 常借助于几何法和代数法解决相关问题,难 度中等。 例 1 (2024年全国甲卷12)已知b是 a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆 x2+y2+4y-1=0交于A,B 两点,则|AB| 的最小值为( )。 A.1 B.2 C.4 D.25 解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b =a+c,将c=2b-a 代入直线方程得ax+ by+2b-a=0,即a(x-1)+b(y+2)=0, 故直线过定点(1,-2)。 图1 设P(1,-2),圆的标准方 程为x2+(y+2)2=5,设圆心 为C,如图1所示。 由几何关系可知,当PC⊥ AB 时,|AB|最小,此时|PC| =1,|AC|=5,|AB|=2|AP| =2 AC2-PC2=2 5-1=4。 故选C。 点评:在直线与圆的位置关系问题中,由 于圆具有丰富的几何特征,常借助圆心、弦心 距、半径、切线等相关几何元素,通过勾股定 理建立相关等式。 二、圆锥曲线与向量的综合问题 圆锥曲线与平面向量的综合问题是高考 的热点,向量常以数量积、共线、平行、垂直等 形式呈现,问题条件较为隐蔽,综合性强。解 答此类问题需要同学们能熟练运用平面向量 的数量积运算与坐标运算,能从题意中挖掘 显性的等量关系与隐性的几何条件,构造等 式或不等式。 例 2 已知双曲线 E:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a >0,b>0)的左焦点为F1(-c,0),直线y = 3(x+c)与双曲线 E 交于 A,B 两点, 若F1B→=3F1A→,则双曲线 E 的离心率为 。 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB 方程为x= 3 3y-c 。 联立 x= 3 3y-c , x2 a2 -y 2 b2 =1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 消去x 整理得(b2- 3a2)y2-2 3b2cy+3b4=0,则y1+y2= 23b2c b2-3a2 ,y1y2= 3b4 b2-3a2 。 因为F1B→=3F1A→,所以y2=3y1,得 4y1 = 23b2c b2-3a2 ,3y21 = 3b4 b2-3a2 ,所 以 1 16 23b2c b2-3a2 2 = 1 3 · 3b 4 b2-3a2 ,化简得c2= 16a2,所以双曲线E 的离心率e=4。 故填4。 点评:解决本题的关键是转化向量条件 得到A,B 两点的坐标关系,再联立直线与圆 锥曲线,由韦达定理来构造等式。 三、圆锥曲线与立体几何的综合问题 例 3 (多选)已知抛物线C:y2=x 的 焦点为F,准线交x 轴于点D,过点F 作倾 斜角为θ(θ为锐角)的直线交抛物线于A,B 两点(其中点A 在第一象限),如图2。把平 63 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年12月 图2 面 ADF 沿x 轴折起,使平面 ADF⊥平面BDF,如图3,则 以下选项正确的为( )。 A.折叠前△ABD 的面积 的最大值为 1 4 图3 B.折叠前 DF 平分 ∠ADB C.折叠后 VB-ADF 为 定值 1 48 D.折叠后异面直线 AD,BF 所成角随θ的增大而增大 解析:由题意知 F 14 ,0 ,D -14,0 , 设直线AB:x=my+ 1 4 ,A(x1,y1),B(x2, y2),联立 x=my+ 1 4 , y2=x, 消去x 整理得y2- my- 1 4=0 ,所以y1+y2=m,y1y2=- 1 4 。 对于选项A,S△ABD= 1 2 ·|DF|·|y1- y2|= 1 4 m 2+1≥ 1 4 ,故折叠前△ABD 的 面积的最小值为 1 4 ,所以A错误。 对于选项B,kAD= y1 x1+ 1 4 = y1 y21+ 1 4 ,同 理可 得,kBD = y2 y22+ 1 4 ,所 以 kAD +kBD = (y1+y2)y1y2+ 1 4 y21+ 1 4 y22+14 =0,即 折 叠 前 直 线 AD,BD 关于x 轴对称,所以折叠前 DF 平 分∠ADB,所以B正确。 对于选项C,翻折后S△BDF= 1 2 ·|DF|· |y2|= 1 4|y2| ,所以VB-ADF= 1 3 ·S△BDF· |y1|= 1 12|y1y2|= 1 48 ,所以选项C正确。 对于 选 项 D,翻 折 后 D - 1 4 ,0,0 , F 14 ,0,0 ,A(x1,0,y1),B(x2,y2,0),所以 AD→ = -14-y 2 1,0,-y1 , BF→ = 1 4-y 2 2,-y2,0 ,所以|cos<AD→,BF→>|= - 1 4-y 2 1 14-y22 - 1 4-y 2 1 2 +y21· 1 4-y 2 2 2 +y22 = y1-y2 y1+y2 (y21+y22+1)2- 1 4 = m4+m2 m4+3m2+2 = 1- 2m2+2 m4+3m2+2 。设t=m2+1(t>1),则 |cos<AD→,BF→>|= 1- 2 t+ 1 t 。当t>1时, t+ 1 t 为增函数,所以 1- 2 t+ 1 t 为增函数。 由于k=tan θ= 1 m ,当θ增大时,m 在变小, 此时t也在变小,故 1- 2 t+ 1 t 也在变小,所 以|cos<AD→,BF→>|在变小,异面直线AD,BF 所成角在变大,所以D正确。 故选BCD。 点评:本 题 以 直 线 与 抛 物 线 相 交 为 背 景,既考查 了 抛 物 线 翻 折 前 三 角 形 面 积 的 最值问题、角平分线的判定问题,又考查抛 物线翻折 后 三 棱 锥 体 积 的 定 值 问 题、异 面 直线所成角的向量求法,将立体几何、解析 几何、函数与不等式融合在一起,考查同学 们的知识 迁 移 能 力、综 合 分 析 问 题 和 解 决 问题能力。 (责任编辑 王福华) 73 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年12月