14 聚焦2024年高考中圆锥曲线的方程及几何性质的考题评析-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

聚焦2024年高考中圆锥曲线的 方程及几何性质的考题评析 ■江苏省锡东高级中学 马立军 2024年高考数学全国卷持续深化考试 内容改革,考主干、考能力、考素养,重思维、 重创新、重应用,突出考查思维过程、思维方 法和创新能力。其中圆锥曲线是高考数学考 查的核心知识点,围绕定义、方程与几何性质 的考题,多以选择、填空题的形式出现,难度 中等,侧重考查数学抽象、数学建模、逻辑推 理与数学运算四大核心素养。 考向一、离心率 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性 质,高考中常常结合椭圆、双曲线的定义及相 关几何图形来考查离心率的值或取值范围。 1.利用定义求离心率 例 1 (2024年全国甲卷)已知双曲线 C:y 2 a2 - x2 b2 =1(a>0,b>0)的两个焦点分别 为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上, 则该双曲线的离心率为( )。 A.4 B.3 C.2 D.2 解析:由题意,设F1(0,-4),F2(0,4), P(-6,4),则|F1F2|=2c=8,|PF1|= 62+(4+4)2=10,|PF2|= 62+(4-4)2 =6,所以2a=|PF1|-|PF2|=10-6=4, 所以e= 2c 2a= 8 4=2 。故选C。 点评:此题由焦点坐标可得焦距2c,结 合双曲线定义计算可得2a,再由离心率定义 即可求得离心率的值。 2.利用几何关系求离心率 例 2 (2024年新课标全国Ⅰ卷)设双 曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左右焦点 分别为F1,F2,过F2 作平行于y 轴的直线交 C 于A,B 两点,若|F1A|=13,|AB|=10, 则C 的离心率为 。 解析:由题意知A,B,F2 三点的横坐标 相等,设A 在第一象限,将x=c代入 x2 a2 -y 2 b2 =1,得y=± b2 a ,即 A c, b2 a ,B c,-b 2 a , 故|AB|= 2b2 a =10 ,|AF2|= b2 a =5 。又 |AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+ 2a=2a+5=13,解得a=4,代入 b2 a=5 ,得 b2=20,所以c2=a2+b2=36,即c=6,所以 e= c a= 6 4= 3 2 。 点评:由题意知A,B,F2 三点的横坐标相 等,从而 求 出|AF2|,结 合 双 曲 线 定 义 求 出 |AF1|,进而得到a,b,c的值,最终求出离心 率。圆锥曲线的离心率常借助三角形的性质, 如勾股定理、正弦定理、余弦定理等,结合圆锥 曲线的定义和几何图形中的边长关系来确定。 3.求离心率的取值范围 例 3 (2024年扬州模拟卷)已知焦点 分别在x 轴,y 轴上的两个椭圆C1,C2,且椭 圆C2 经过椭圆C1 的两个顶点与两个焦点,设 椭圆C1,C2 的离心率分别是e1,e2,则( )。 A.e21< 1 2 且e21+e22<1 B.e21< 1 2 且e21+e22>1 C.e22< 1 2 且e21+e22<1 D.e22< 1 2 且e21+e22>1 解析:由题意不妨设椭圆C1 对应的参数 为a1,b1,c1,椭圆C2 对应的参数为a2,b2, c2,因为椭圆C2 经过椭圆C1 的两个顶点与 两个焦点,所以a2=b1,b2=c1,此时e21=1- b21 a21 ,e22=1- b22 a22 =1- c21 b21 =2- a21 b21 。因为a2> b2,即b1>c1,所以b21>c21=a21-b21,可得 2b21>a21,此时 1 2< b21 a21 <1,1< a21 b21 <2,解得 0<1- b21 a21 < 1 2 ,0<2- a21 b21 <1,即0<e21< 1 2 , 33 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年12月 0<e22<1。不妨令t= b21 a21 ∈ 12 ,1 ,此时e21+ e22=3- b21 a21 + a21 b21 =3- t+1t ,易知函数 y=t+ 1 t 在 1 2 ,1 上单调递减,所以e21+ e22=3-t+ 1 t ∈ 12,1 。故选A。 点评:本题先建立两椭圆的方程模型,根 据题意寻找参数间关系,再利用离心率定义 表示,结合参数关系达到消参目的,最后换元 建立函数模型,求得相关范围。离心率的取 值范围的求解方式主要有:①通过建立不等 式,根据圆锥曲线中一些量的取值范围,如点 与曲线的位置关系、直线与曲线的交点情况 等,建立关于离心率的不等式;②利用函数思 想,将离心率表示为某个变量的函数,通过分 析函数的性质来确定离心率的取值范围。 考向二、焦点三角形 焦点三角形是圆锥曲线中以焦点为顶点 的三角形,高考中常考查其面积、边长关系、 角度等。 例 4 (2024年天津卷)双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2, P 是双曲线右支上一点,且直线PF2 的斜率 为2,△PF1F2 是面积为8的直角三角形,则 双曲线的方程为( )。 A. x2 8- y2 2=1 B. x2 8- y2 4=1 C. x2 2- y2 8=1 D. x2 4- y2 8=1 图1 解析:由题可知,点P 必落 在第四象限,∠F1PF2=90°,如 图 1 所 示。设|PF2|=m, ∠PF2F1=θ1,∠PF1F2=θ2。 由kPF2=tan θ1=2,得sin θ1= 2 5 。因为∠F1PF2=90°,所以 kPF1·kPF2 =-1,得kPF1 =- 1 2 ,即tan θ2= 1 2 ,sin θ2= 1 5 。由 正 弦 定 理 知|PF1| sin θ1 = |PF2| sin θ2 = |F1F2| sin 90° ,又因为|PF2|=m,所以 |PF1|=2m,|F1F2|=2c= 5m。由S△PF1F2 = 1 2|PF1| ·|PF2|= 1 2m ·2m=8,得m= 22,则|PF2|=22,|PF1|=42,|F1F2| =2c=2 10,c= 10。由双曲线的第一定 义得|PF1|-|PF2|=2a=22,a= 2,b= c2-a2= 8,所以双曲线的方程为 x2 2- y2 8 =1。故选C。 点评:本题利用△PF1F2 三边的斜率与 正弦定理,转化出三边比例,设|PF2|=m, 由面积公式求出m,由勾股定理求出c,结合 第一定义再求出a。对于椭圆和双曲线,焦 点三角形的面积公式分别为S=b2tan θ和S = b2 tan θ (2θ为焦点三角形的顶角),可以根据 已知条件求出面积。也可以利用余弦定理和 三角形面积公式来求解焦点三角形的面积。 考向三、圆锥曲线综合 例 5 (多选)(2024年新课标Ⅱ卷)已 知抛物线C:y2=4x 的准线为l,P 为C 上的 动点,过P 作☉A:x2+(y-4)2=1的一条 切线,Q 为切点,过P 作l的垂线,垂足为B, 则( )。 A.l与☉A 相切 B.当P,A,B 三点共线时,|PQ|= 15 C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P 有且仅有 2个 解析:A选项,抛物线y2=4x 的准线为 x=-1,☉A 的圆心(0,4)到直线x=-1的 距离显然是1,等于圆的半径,故准线l 和 ☉A 相切,A选项正确。 B选项,当P,A,B 三点共线,即PA⊥l 时,点P 的纵坐标yP=4,由y2P=4xP,得xP =4,即P(4,4),此时|PQ|= |PA|2-r2 = 42-12= 15,B选项正确。 C选项,若|PB|=2,则xP=1,y2P=4xP =4,故P(1,2)或P(1,-2)。当P(1,2)时, 43 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年12月 A(0,4),B(-1,2),kPA= 4-2 0-1=-2 ,kAB= 4-2 0-(-1)=2 ,不满足kPAkAB=-1;当P(1, -2)时,A(0,4),B(-1,2),kPA= 4-(-2) 0-1 =-6,kAB= 4-(-2) 0-(-1)=6 ,不满足kPAkAB= -1。综上可得,PA⊥AB 不成立,C选项错误。 D选 项,利 用 抛 物 线 定 义 知|PB|= |PF|,这里F(1,0),于是“当|PA|=|PB| 时,P 点的存在性问题”转化成“当|PA|= |PF|时,P 点的存在性问题”,A(0,4),F(1, 0),AF 的中点为 12 ,2 ,AF 的中垂线的斜 率为- 1 kAF = 1 4 ,于是AF 的中垂线方程为y = 2x+15 8 ,代入抛物线y2=4x,得y2-16y +30=0,Δ=162-4×30=136>0,即AF 的 中垂线和抛物线有两个交点,即存在两个P 点,使得|PA|=|PF|,D选项正确。 故选ABD。 点评:本题 A选项,抛物线准线为x= -1,根据圆心到准线的距离来判断;B选项, P,A,B 三点共线时,先求出P 的坐标,进而 得出切线长;C选项,根据|PB|=2先算出P 的坐标,然后验证kPAkAB=-1是否成立;D 选项,根据抛物线的定义,|PB|=|PF|,于 是问题转化成“当|PA|=|PF|时,P 点的存 在性问题”,此时考察AF 的中垂线和抛物线 的交点个数即可。新高考中的解析几何多选 题,综合考查知识及能力,同学们要灵活变通 考虑各问题选项,可选择逻辑排除、几何意 义、直接计算、等价转换等方法解决问题。 考向四、圆锥曲线新概念 例 6 (多选)(2024年新课标Ⅰ卷)设 计一条美丽的丝带 ,其造型可以看作图2 图2 中的曲线C 的一部分。已知C 过坐标原点O,且C 上的点满 足:横坐标大于-2,到点F(2, 0)的距离与到定直线x=a(a< 0)的距离之积为4,则( )。 A.a=-2 B.点(22,0)在C 上 C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值 为1 D.当点(x0,y0)在C 上时,y0≤ 4 x0+2 解析:A选项,设曲线C 上的动点P(x, y),则x>-2,且 (x-2)2+y2×|x-a| =4。因 为 曲 线 C 过 坐 标 原 点,所 以 (0-2)2+02×|0-a|=4,解得a=-2, 故A正确。 B 选 项, 曲 线 C 的 方 程 为 (x-2)2+y2×|x+2|=4,而x>-2,故 (x-2)2+y2×(x+2)=4。当x=22,y =0时, (22-2)2×(22+2)=8-4=4, 所以点(22,0)在曲线C 上,故B正确。 C选 项,由 曲 线 C 的 方 程 可 得y2= 16 (x+2)2 -(x-2)2,取x= 3 2 ,则y2= 64 49- 1 4 ,而64 49- 1 4-1= 64 49- 5 4= 256-245 49×4 >0 , 此时y2>1,故曲线C 在第一象限内点的纵 坐标的最大值大于1,故C错误。 D选项,当点(x0,y0)在曲线C 上时,由 选项C的分析得y20= 16 (x0+2)2 -(x0-2)2 ≤ 16 (x0+2)2 ,故- 4 x0+2 ≤y0≤ 4 x0+2 ,故 D 正确。 故选ABD。 点评:本 题 描 述 的 是 动 点 到 定 点 的 距 离与到定 直 线 的 距 离 之 积 是 一 个 定 值,属 于拓展考 查,同 学 们 要 会 举 一 反 三。解 析 几何最核 心 的 内 容 就 是 寻 找 曲 线 方 程,即 求动点的轨迹方程。本题根据题目描述直 接列出轨迹方程,简单化简,A,B选项都是 通过待定 系 数 法 即 可 验 证,D选 项 简 单 放 缩即可得出。对 于 C选 项,也 可 以 将 方 程 写成标准 的 函 数 形 式,再 分 析 函 数 的 单 调 性和极值点即可判断。 (责任编辑 王福华) 53 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2024年12月